CN112613177B - 基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法 - Google Patents
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Abstract
基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，属于超表面设计领域。1)建立模型：选定二维计算区域、介质材料参数以及入射光束，确定超表面的磁化率参数；2)将计算区域用四边形网格单元剖分，并记录计算区域中每个单元的信息；3)建立二维计算区域SEM‑GSTCs矩阵方程，求解每个结点的场值；4)绘制磁场强度分布图；5)通过重新调整材料合成磁化率的方式，进而改进材料的磁化率张量结构，利用更新后的磁化率张量，重复步骤3)～4)，直至获得指定的功能，结束迭代，输出超表面的磁化率张量，并根据磁化率进行下一步超表面的物理结构设计。可极大地节省CPU计算时间和内存，提高超表面设计仿真的效率。
Description
技术领域
本发明属于超表面设计领域，尤其是涉及一种基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法。
背景技术
超表面属于超材料的一种，是由许多亚波长纳米散射颗粒单元组成的二维功能性平面结构。相比超材料，超表面的优点是低耗散、重量轻、易制造，可以任意调控光波的相位、振幅和偏振，与传统的频率选择表面相比，超表面提供了更为丰富的功能(S.Sandeep,J.Jin and C.Caloz,"Finite-Element Modeling of Metasurfaces With GeneralizedSheet Transition Conditions,"in IEEE Transactions on Antennas andPropagation,vol.65,no.5,pp.2413-2420,May 2017,doi:10.1109/TAP.2017.2679478)。具体来说，超表面可改变偏振方向和极化方式，亦可以进行光束分离，还可以实现轨道角动量复用技术。超表面之所以能实现这么多复杂又实用的功能，是因为它能产生介质中电磁场的不连续性。这种不连续性不仅是电场不连续或者磁场不连续，而是电场和磁场的同时不连续。因此，不能用传统的TCs来描述，但可以用GSTCs(Generalized Sheet TransitionConditions)来建模。因此，建立GSTCs超表面模型，对超表面的研究与设计起着重要的作用。
GSTCs最先被应用于频域有限差分技术(FDFD)中，它能高效率地解决了超表面各向异性和色散问题。然而，在处理宽频问题时速度较慢，需要更多的内存资源，且不适用于非线性问题。之后，GSTCs被应用在谱域积分方程(SD-IE)，改善了FDFD中占用内存多，效率低下的问题。但这种新方法会产生新的问题：无法处理计算区域中存在散射体的情况，而且很难应用于双各向异性超表面(Y.Vahabzadeh,N.Chamanara,K.Achouri and C.Caloz,"Computational Analysis of Metasurfaces,"in IEEE Journal on Multiscale andMultiphysics Computational Techniques,vol.3,pp.37-49,2018,doi:10.1109/JMMCT.2018.2829871)。近年来，金建铭等人实现了GSTCs与有限元方法(FEM)进行结合。众所周知，FEM采用三角形网格剖分，可适用于剖分各种复杂结构，许多商业软件的底层算法都采用FEM。GSTCs与FEM结合，将使得GSTCs的应用更为广泛，也提高这些商业软件处理超薄结构的效率。
发明内容
本发明的目的在于为超表面的结构设计提供一种高效准确的基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法。在合成磁化率后，验证具有该磁化率的超表面能否实现特定的功能，这在超表面的设计过程中是一个关键的环节，直接影响到超表面设计的效率与正确性。
本发明包括以下步骤：
1)建立模型：选定二维计算区域、介质材料参数以及入射光束，确定超表面的磁化率参数；
2)将计算区域用四边形网格单元剖分，并记录计算区域中每个单元的信息；
3)建立二维计算区域SEM-GSTCs矩阵方程，求解方程得到每个结点的场值；
4)绘制该二维计算区域内的磁场强度分布图；
5)上述步骤4)得到的磁场强度分布图若不满足超表面预先指定的功能，或出现不期望得到的特性，则通过重新调整材料合成磁化率的方式，进而改进材料的磁化率张量结构，利用更新后的磁化率张量，重复步骤3)～4)的过程，直至获得指定的功能，结束迭代，输出超表面的磁化率张量，并根据磁化率进行下一步超表面的物理结构设计。
在步骤1)中，选定二维计算区域时，应确定其形状、尺寸以及边界条件。
所述介质材料参数包括填充计算区域的介质的介电常数、磁导率、尺寸大小。
所选定的入射光束应包括入射光束的振幅、频率以及传播方向等已知信息。
在步骤2)中，所述记录计算区域中每个单元的信息包括顶点坐标、材料属性及边界特性。
在步骤3)中，所述建立二维计算区域SEM-GSTCs矩阵方程的具体步骤为：
①控制方程为二维y方向的标量亥姆霍兹方程：
应用伽辽金方法得到残数加权方程；
其中，Hy(x,z)为磁场的y方向分量，∈r为材料的相对介电常数，μr为材料的相对磁导率，Ωe表示第e个单元区域，
表示该单元的第i个测试函数；
②利用分部积分的方法，残数加权方程中的二次微分可降为一次微分，因此，残数加权方程转变成如下方程：
式中，Γe表示包围Ωe的边界，
是Γe的单位外法向量；
③将物理单元坐标(x,z)的积分运算转换成在参考单元坐标(ξ,η)中计算，对基函数进行相应的协变映射，映射关系如下：
其中，雅可比矩阵J为：
④利用高斯-勒让德-洛巴托多项式构造基函数，并用基函数作为测试函数，可离散为矩阵方程；
KΦ＝g
其中，矩阵K是阻抗矩阵，列向量Φ为待求解的未知量，即所有结点上Hy的值；
⑤矩阵K和向量g中，对应的元素表达式分别为式：
式中，Ω表示整个计算区域，Γ表示包围Ω的边界，上式中含有
项，无法直接求积分；通过安培定律
转化为：
通过GSTCs方程：
电场分量Ex、Ez转化成与待求未知量Hy有关的表达式，A+、A-分别表示超表面上A点的上表面、下表面。系数C、D与超表面的磁化率
有关，具体表达式如下：
其中，k是介质中的波数。
⑥解上述矩阵方程，得到每个结点的磁场强度Hy值。
在步骤3)第①部分中，所述控制方程原本为关于H的矢量波动方程，由于本发明中所仿真的入射波为TM极化波，仅有(Ex,Ez,Hy)分量，故上述矢量的亥姆霍兹方程所包含的关于Hx,Hy,Hz的三个标量方程仅存在关于Hy的标量方程；
在步骤3)第⑤部分中，所述GSTCs方程区别于传统TCs方程的地方在于，电磁波跨越超表面时，GSTCs方程可同时处理超表面两边的电场不连续和磁场不连续，而传统TCs方程仅能处理其中一种不连续(电场或磁场)。
所述GSTCs方程把超表面当成一个零厚度的薄片，故点A+与点A-重合。尽管如此，这两点上的场却不相同，一般地，有Φ|A+≠Φ|A-，Φ表示电场或磁场。因此，离散化时,Hy|A+与Hy|A-应作为两个不同的未知量来处理。
与现有技术相比,本发明的优点如下：本发明使用高精度的谱元法(SpectralElement Method，SEM)与广义薄片过渡条件(Generalized Sheet TransitionConditions，GSTCs)相结合的方法，能够快速计算已知模型参数的超表面的电磁场。本发明采用高精度的谱元法仿真超表面，使用四边形网格剖分，SEM容易实现高阶基函数离散，这将进一步提高计算精度。在相同自由度的条件下，比传统的有限元法有着更高的精度。相比有限元法(FEM)，SEM不仅可以使用较少的离散网格，而且可以采用高阶基函数得到更为精确的数值结果。此外，本发明使用GSTCs方程把超表面等效成一个零厚度的薄片，避免直接剖分亚波长厚度的超表面产生极细密的网格，导致巨大的计算量，节约计算机资源。本发明提出的SEM-GSTCs新方法，结合SEM与GSTCs的优点，减少待求解的矩阵方程的未知数个数，可以极大地节省CPU计算时间和内存，提高超表面设计仿真的效率。
附图说明
图1是本发明实施例的流程图；
图2是本发明实施例的结构及计算区域示意图；
图3是本发明实施例中超表面附近区域的网格示意图；
图4是COMSOL网格剖分中超表面附近区域的网格示意图；
图5是根据本发明实施例计算的归一化磁场模的分布图；
图6是COMSOL计算的归一化磁场模的分布图。
具体实施方式
以下实施例将结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。
参见图1，本发明具体实施步骤如下：
S1：建立如图2所示的模型，计算区域选取xz平面的一个26λ×26λ的正方形区域，四条边为吸收边界条件(ABC)。填充的介质为空气(εr＝1，μr＝1)。超表面平行于x轴，放置于计算区域的中心，长度为20λ，其中，λ为入射波的波长。
入射光束为一沿x轴振幅呈高斯分布的TM极化波，频率为5GHz，从区域的下边界垂直入射超表面。根据入射波频率计算得到上述的λ＝0.06m。
本发明中，超表面要实现的功能为：对垂直入射的光束向右偏折45°，且无反射。
S2：将计算区域用四边形网格单元剖分，并记录计算区域中每个单元的信息(包括结点坐标、局部编号、全局编号)；
S3：SEM-GSTCs矩阵方程的建立，具体步骤为：
①由二维y方向的标量亥姆霍兹方程(1)，应用伽辽金方法得到残数加权方程(2)；
所述方程(1)、(2)如下：
其中，Hy(x,z)为磁场的y方向分量，∈r为材料的相对介电常数，μr为材料的相对磁导率，Ωe表示第e个单元区域，
表示该单元的第i个测试函数。
②利用分部积分的方法，方程(2)中的二次微分可降为一次微分，方程(2)转变成方程(3)：
式中，Γe表示包围Ωe的边界，
是Γe的单位外法向量；
③将物理单元坐标(x,z)的积分运算转换成在参考单元坐标(ξ,η)中计算，对基函数进行相应的协变映射，映射关系如下：
其中，雅可比矩阵J为：
④利用高斯-勒让德-洛巴托多项式构造基函数，并用基函数作为测试函数，(3)式可离散为矩阵方程(6)；
KΦ＝g (6)
其中，矩阵K是阻抗矩阵，列向量Φ为待求解的未知量，即所有结点上Hy的值；列向量g跟边界条件有关：若第i个结点位于边界或交界面上，则该结点对应的gi不为0，否则为0.
利用N阶高斯-勒让德-洛巴托多项式构造拉格朗日插值函数，表达式如下：
其中，ξk∈[-1,1]是高斯-勒让德-洛巴托采样点，j＝0,1,...,N。基于结点的标量基函数为：
⑤矩阵K和向量g中，对应的元素表达式分别为式(9)、(10)：
式中，Ω表示整个计算区域，Γ表示包围Ω的边界，(10)式中含有
项，无法直接求积分。通过安培定律
(10)式就转化为：
通过GSTCs方程(12)：
式(11)中的电场分量Ex、Ez转化成与待求未知量Hy有关的表达式，式(12)中，A+、A-分别表示超表面上A点的上表面、下表面的场。因为超表面被当成零厚度的薄片，所以A+、A-的位置相同，但由于超表面的不连续性，这两点上的场值并不相等。因此，离散化时,Hy|A+与Hy|A-作为两个不同的未知量来处理。系数C、D与超表面的磁化率
有关，具体表达式如下：
其中，k是介质中的波数。
不同功能的超表面对应不同的磁化率，本发明要实现对垂直入射光束向右偏折45°的功能，其磁化率可由以下的超表面磁化率合成公式获得：
其中，E、H的上标inc、ref、tr分别代表入射波、反射波、透射波，合成的磁化率如下：
⑥解上述矩阵方程(6)，得到每个结点的磁场强度Hy值。
4)绘制该区域内的磁场强度分布图，如图5所示；
S4：上述步骤4)得到的磁场强度分布图若不满足超表面预先指定的功能，或出现不期望得到的特性，则可通过重新调整材料合成磁化率的方式，进而改进材料的磁化率张量结构，利用更新后的磁化率张量，重复步骤3)～4)的过程，直至获得指定的功能，结束迭代，输出超表面的磁化率张量，并根据磁化率进行超表面的物理结构设计。
本发明得到的磁场模分布图，符合我们一开始指定的功能，故最终输出的磁化率表达式为(15.a)、(15.b)两式。
以上为本发明的具体实施流程。
图3与4分别给出了本发明案例与COMSOL案例在超表面(y＝0处的红色实线)附近的网格剖分情况，其中图3使用的是4阶基函数，图4使用的是二阶基函数。与本发明不同的是，COMSOL案例中的超表面是一厚度为d＝0.01λ的薄片。由于厚度的存在，超表面附近的网格尺寸必须与超表面厚度相当，因此，超表面附近的网格非常细密，这样就使得要处理的网格信息增加了十几倍。并且由于超表面厚度的存在，在透射的区域内产生了一些微弱的衍射光束，如图6。本发明的仿真方法避免了这两个问题，能高效地、而且准确地得到超表面电场分布图，如图5。
本发明建立的是TM极化光束垂直入射超表面的模型，确定了超表面要实现的功能，对计算区域进行四边形网格单元剖分。根据TM极化波的特性，将矢量的亥姆霍兹方程化简为y方向的标量方程，并且由高斯-勒让德-洛巴托多项式构造基函数，使用伽辽金方法把方程离散为矩阵形式。在这个过程中，运用GSTCs，将合成的磁化率耦合到矩阵方程。求解矩阵方程得到每个网格结点的场值，并绘制该模型的磁场强度分布图，以确定合成的磁化率是否能实现指定的功能。本发明使用的SEM-GSTCs超表面仿真技术，减少离散超表面所需的网格数目，进而减少待求解的矩阵方程的未知数个数，加快计算速度，极大地提高超表面设计仿真的效率。另外，结果满足预先设定的功能，并且不存在COMSOL仿真中所产生的衍射光束，保证超表面仿真结果的准确性，可弥补商业软件仿真超表面结构的不足。
Claims (8)
1.基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于包括以下步骤：
1)建立模型：选定二维计算区域、介质材料参数以及入射光束，确定超表面的磁化率参数；
2)将计算区域用四边形网格单元剖分，并记录计算区域中每个单元的信息；
3)建立二维计算区域SEM-GSTCs矩阵方程，求解方程得到每个结点的场值；
所述建立二维计算区域SEM-GSTCs矩阵方程的具体步骤为：
①控制方程为二维y方向的标量亥姆霍兹方程如下：
应用伽辽金方法得到残数加权方程：
其中，Hy(x,z)为磁场强度的y方向分量，∈r为材料的相对介电常数，μr为材料的相对磁导率，Ωe表示第e个单元区域，
表示该单元的第i个测试函数；为了下述公式简洁，自变量(x,z)省略；
②利用分部积分的方法，残数加权方程中的二次微分降为一次微分，残数加权方程转变成如下方程：
式中，Γe表示包围Ωe的边界，
是Γe的单位外法向量；
③将物理单元坐标(x,z)的积分运算转换成在参考单元坐标(ξ,η)中计算，对基函数进行相应的协变映射，映射关系如下：
其中雅可比矩阵J为：
④利用高斯-勒让德-洛巴托多项式构造基函数，并用基函数作为测试函数，离散为矩阵方程：
KΦ＝g
其中，矩阵K是阻抗矩阵，列向量Φ为待求解的量，是离散结点上Hy的函数值；
⑤矩阵K和向量g中，对应的元素表达式分别为：
式中，Ω表示整个计算区域，Γ表示包围Ω的边界，上式中含有
项，无法直接求积分；通过安培定律
转化为：
通过GSTCs方程：
电场分量Ex、Ez转化成与待求未知函数Hy有关的表达式，式中，A+、A-分别表示超表面上A点的上表面、下表面；系数C、D与超表面的磁化率
有关，具体表达式如下：
其中k是介质中的波数；
⑥解上述矩阵方程，得到每个离散结点磁场强度y分量的Hy值；
4)绘制二维计算区域内的磁场强度分布图；
5)上述步骤4)得到的磁场强度分布图若不满足超表面预先指定的功能，或出现不期望得到的特性，则通过重新调整材料合成磁化率的方式，进而改进材料的磁化率张量结构，利用更新后的磁化率张量，重复步骤3)～4)的过程，直至获得指定的功能，结束迭代，输出超表面的磁化率张量，并根据磁化率进行超表面的物理结构设计。
2.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于步骤1)中，所述选定二维计算区域是确定二维计算区域的形状、尺寸以及边界条件。
3.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于步骤1)中，所述介质材料参数包括填充计算区域的介质的介电常数、磁导率、尺寸大小。
4.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于步骤1)中，所述入射光束在选定时包括入射光束的振幅、频率以及传播方向信息。
5.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于在步骤2)中，所述记录计算区域中每个单元的信息包括顶点坐标、材料属性及边界特性。
6.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于在步骤3)第①部分中，所述控制方程原为关于H的矢量波动方程，由于所仿真的入射波为TM极化波，仅有(Ex,Ez,Hy)分量，故上述矢量的亥姆霍兹方程所包含的关于Hx,Hy,Hz的三个标量方程仅存在关于Hy的标量方程。
7.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于在步骤3)第⑤部分中，所述GSTCs方程，当电磁波跨越超表面时，GSTCs方程同时处理超表面两边的电场不连续和磁场不连续。
8.如权利要求1所述基于谱元法和广义薄片过渡条件的超表面电磁仿真方法，其特征在于在步骤3)第⑤部分中，所述GSTCs方程将超表面当成一个零厚度的薄片，故点A+与点A-重合，这两点上的场不相同，Φ|A+≠Φ|A-，Φ表示电场或磁场，离散化时,Hy|A+与Hy|A-作为两个不同的未知量来处理。
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2020
- 2020-12-24 CN CN202011552045.1A patent/CN112613177B/zh not_active Expired - Fee Related
Patent Citations (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN112002996A (zh) * | 2020-07-10 | 2020-11-27 | 北京邮电大学 | 一种四极化可重构超表面天线的设计方法 |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN112613177A (zh) | 2021-04-06 |
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