CN112528517B - 基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，属于桥梁疲劳可靠度分析技术领域。步骤一、初始化内部克里金代理模型，采用U函数以主动学习的方式在失效面附近不断增加样本点进行训练，并得到失效概率的估计误差；步骤二、通过定义中间失效事件，构建子集模拟外部框架，将极小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率，在不同层级的子集中训练克里金代理模型直至收敛；步骤三、重复以上步骤，不断定义新的子集，并训练克里金代理模型直到满足两阶段收敛准则。本发明不仅可以保证失效概率的估计精度，还可以提高效率，并且对失效概率的数值大小不敏感，从而验证了本方法的准确性和高效性。

Description

基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法

技术领域

本发明涉及基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，属于桥梁疲劳可靠度分析技术领域。

背景技术

大跨桥梁的主梁结构普遍采用扁平钢箱梁形式，由正交异性钢桥面板、横隔板、纵隔板等主要部件组成，具有轻质高强、便于安装施工等优点。随着车流量和单车轴重不断增加，同时受到焊接残余应力、材料内部缺陷以及往复车辆荷载等复杂因素的耦合作用，钢箱梁的疲劳开裂现象日趋严重，疲劳裂纹不断扩展引起局部失效或断裂，严重影响大跨桥梁的安全性及耐久性，甚至会导致极端性灾难事故的发生。

由于钢箱梁的疲劳开裂会显著引起结构可靠度的降低，研究钢箱梁疲劳可靠度的高效分析方法，是钢箱梁安全评定的重要内容。目前主要采用子模型方法通过分析整体模型确定局部模型的边界条件，或者采用子结构方法将局部模型凝聚成超单元构造出整体模型，最终实现多尺度有限元建模，包括针对钢桥模型进行疲劳破坏建模及试验研究，以及基于应力和车辆荷载等监测数据评估钢桥疲劳性能等。基于有限元及断裂力学的钢桥疲劳寿命评估方法高度依赖于模型参数的准确取值，而相关参数由于受到荷载、环境和材料属性的影响往往具有较大的变异性。考虑到钢箱梁疲劳退化过程的不确定性，国内外学者发展了一系列随机车辆荷载作用下钢桥面板疲劳可靠度评估方法，并研究了运营荷载和构造细节设计等因素对钢桥面板疲劳可靠度的影响规律。

目前，钢桥面板疲劳可靠度的分析通常采用基于一阶矩和二阶矩方法，对显式非线性极限状态函数在设计点附近进行泰勒级数展开并且忽略其高阶项，然而此类方法在高维非线性条件下的估计精度较差。随后发展出蒙特卡洛模拟方法，通过生成随机样本来估计失效概率，提供了一种不需要显式极限状态函数的可靠性分析方法，但是对于实际钢箱梁结构小概率疲劳失效事件的可靠度评估是低效的，因为蒙特卡洛模拟需要大量的样本来保证精度。针对蒙特卡洛模拟方法的不足，研究者后来提出了基于方差缩减的可靠度分析方法，包括重要性抽样和子集模拟等，根据辅助概率密度函数生成随机样本，从而将采样中心向设计点移动、提高采样效率，在保证相同变异系数的条件下只需要较少的样本。此类算法对小概率事件的估计非常有效，对输入变量的维数具有较强的鲁棒性，但是需要在确定失效域和选择适当的辅助概率密度函数等方面投入大量的精力。其中，子集模拟方法通过定义中间条件失效事件，将小失效概率转化为一系列较大条件失效概率的乘积，只通过更少的样本就可以估计得到更大的条件失效概率，因此在保证相同精度的条件下具有显著的效率。然而，对于大型工程结构和基础设施结构而言，由于其极限状态函数通常都是高度非线性并且是隐式的、没有直接的显式表达、需要进行有限元分析，因此基于方差缩减的可靠度分析方法需要消耗巨大的计算资源，这是在实际工程中无法接受的。

为了解决这一问题，研究者后来提出了一系列基于代理模型的可靠度分析方法，通过建立隐含的输入输出关系来代替有限元分析的过程，从而以更低的时间成本来获得样本点。目前广泛采用的代理模型有响应面模型、多项式混沌展开、支持向量机、神经网络、克里金模型等。其中，克里金模型可以同时获得未测试样本的无偏估计以及基于高斯过程的估计方差，模型精度和效率取决于人工实验设计(Design ofExperiment,DoE)。而传统的随机采样或拉丁超立方体采样对于构造DoE是十分低效的，因为它们需要完全充满随机变量的整个状态空间。事实上，实际的采样过程应该集中在极限状态面附近区域，即关注安全域和失效域的边界。近年来，研究者又开发了基于主动学***衡。

基于克里金模型的可靠度分析方法一般可以分为三大类：(1)研究新的学习函数，不断选择新样本来丰富DoE，其中U函数是最为广泛采用的形式；(2)优化样本库的构建策略，减少样本容量，上述的方差缩减方法就属于这一大类；(3)探索主动学习过程的新收敛准则。目前一般会选用合适的阈值来确定迭代是否终止，比如通过判断U函数的取值是否超过2。在这种情况下，每个样本获得正确估计的概率需要超过0.977(按U函数服从标准正态分布计算)，而此条件对于每一个局部的样本来说通常是过于严格的，因为其实只要能控制极限状态函数符号的全局误差，就可以保证相应的失效概率估计精度。

发明内容

本发明的目的是提出基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，以解决现有技术中存在的问题。

基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，所述分析方法包括以下步骤：

步骤一、初始化内部克里金代理模型，采用U函数以主动学习的方式在失效面附近不断增加样本点进行训练，并得到失效概率的估计误差；

步骤二、通过定义中间失效事件，构建子集模拟外部框架，将极小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率，在不同层级的子集中训练克里金代理模型直至收敛；

步骤三、重复以上步骤，不断定义新的子集，并训练克里金代理模型直到满足两阶段收敛准则。

进一步的，在步骤一中，具体的，在克里金理论中，准确的极限状态函数被建模为一个随机过程。

对全局均值的线性回归和对局部偏置的随机建模，表示为：

G(x)＝f(x)^Tβ+Z(x) (1)

式中，f(x)^T为一组已知基函数向量，β为回归参数向量，Z(x)为平稳高斯随机过程，其协方差函数基于高斯相关函数建立，可根据下式计算：

cov(Z(x_i)，Z(x_j))＝σ²R(x_i，x_j) (2)

式中，σ²为随机过程方差，R(x_i，x_j)为高斯相关函数，基于最小二乘回归算法，式(1)中的回归参数β及式(2)中的过程方差σ²由样本进行估计，然后得到最优线性无偏估计

及其方差

根据克里金理论，随机变量状态空间中任一点的估计服从正态分布：

基于采样的失效概率估计可以由下式计算：

其中，q_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数；X为N维随机变量组成的向量，在结构可靠性分析中，事先通过纳塔夫变换转化为相互独立的正态分布随机变量；I_F(x)为二值化指示性函数，由下式定义：

其中，b为失效阈值，

为极限状态面，

考虑到克里金模型方差，上式中的指示性函数估计值也会存在随机性，因此，失效概率的估计值应调整为：

式中，

为考虑克里金模型误差的失效概率估计，

为样本点x_i失效的概率，P_adj(x_i)为指示性函数的调整函数，

基于克里金均值和估计方差，

由下式计算：

其中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，U(x_i)定义为：

因此，较小的U函数取值表示样本点更靠近极限状态面或者其估计方差

较大，二者都会增大样本指示性函数的估计误差，U函数作为主动学习过程中的学习函数，新训练样本的选择根据下式进行：

其中，S表示候选样本池，

至此，计算出调整函数为：

进一步的，在步骤二中，具体的，子集模拟第一层的样本直接由蒙特卡洛模拟生成，因此样本相互独立，然而，其他层的样本则是由马尔科夫链蒙特卡洛模拟生成，而不同马尔科夫链的第一个样本存在相关性，因此其他层的样本是相关的，作为简化条件，假设基于样本的调整函数是独立的，即：

cov(P_adj(x_i)，P_adj(x_j))＝0，i≠j (11)

为研究克里金模型随机性对失效概率估计的影响，定义调整函数的期望为：

E_adj＝E[P_adj(x)]＝∫P_adj(x)f_X(x)dx (12)

其中，f_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数，即对于子集模拟的第一层有f_X(x)＝q_X(x)，对于子集模拟的第l层f_X(x)＝q_X(x|F_l-1)，根据中心极限定理，假设E_adj近似服从正态分布，其基于样本的估计为：

相应的方差估计为：

定义模型误差率为：

其中，

为标量，由于E_adj近似服从正态分布，因此η也近似服从正态分布，即

基于子集模拟将较小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率的乘积，给定失效事件F，定义中间失效事件{F₁，F₂，…，F_L}为F_l＝{G(x)≤b_l}，l＝1，2，…，L，其中，b₁＞…＞b_l＞…＞b_L＝0为失效阈值，

最终失效概率由下式计算：

其中，P₁＝P{F₁}为第一个失效事件的失效概率，P_l＝P{F_l|F_l-1}(l＝2，3，…，L)为条件失效概率，基于马尔科夫链蒙特卡洛进行模拟估计，

估计失效概率

的变异系数计算公式为：

其中，n_l为直接蒙特卡洛模拟(l＝1)或马尔科夫链蒙特卡洛模拟(l＝2…L)的样本个数，γ_l为考虑样本相关性的非负标量，γ_l越小表明样本之间相关性越弱，因此γ₁＝0，

最终失效概率估计

的变异系数为：

进一步的，在步骤三中，具体的，一方面，条件概率P_l(l＝1，2，…，L)的估计误差应被控制，定义第l层失效概率的估计误差率为η_l，根据式(16)服从正态分布，第一阶段约束条件为|η_l|＜α₁的置信度不低于99.7％：

其中，

和

为控制边界，

为第l个失效事件的失效概率的估计，α₁为预先设置的大于零的阈值，

为第l个子集上调整函数期望的估计，var代表方差计算函数，式(20)即为第一阶段收敛准则，

另一方面，由于最终失效概率为一系列条件失效概率的乘积，得到最终失效概率的计算公式为：

其中，

为考虑模型误差的最终失效概率的估计，

为第l个子集上调整函数期望的估计，由于α₁被设置为一个很小的值，这里取0.03，因此忽略式(21)中的高阶项，

模型累积误差定义为：

与η_l一致，ξ_l服从正态分布，即：

为控制模型累积误差，保证ξ_l∈[-α₂，α₂]的置信度不低于99.7％，即为本发明所提出的第二阶段收敛准则：

其中，α₂为预先设置的大于零的阈值，这里取0.05。

本发明的主要优点如下：

(1)本发明基于内部克里金模型，可以对失效概率的估计值进行误差分析。

(2)本发明基于子集模拟外部框架，可以实现在较少计算量条件下的小失效概率事件可靠性评估。

(3)本发明基于两阶段收敛准则，可以同时实现对不同层级子集失效概率估计误差的分层控制和全局控制，并且能够在保持失效概率估计精度的基础上提高可靠性分析效率。

(4)本发明的整个建模过程为数据驱动，根据主动学习策略不断选取靠近不同层级失效面附近的样本点，显著提升了采样效率。

(5)本发明提高了大跨度桥梁钢箱梁正交异性钢桥面板疲劳开裂可靠度评估的自动化和智能化程度以及分析效率，为大跨度斜拉桥服役状态的自主智能评估提供了技术支撑。

附图说明

图1为本发明的基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法的一个实施例的流程图；

图2为包含15条疲劳裂纹的正交异性钢桥面板结构示意图；

图3为疲劳开裂正交异性钢桥面板结构的三维有限元模型；

图4为不同子集中新增样本点真实响应与中间极限状态面的关系图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明的实施例一：本实施方式为基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，如图1所示，采用子集模拟外框架处理了极小失效概率事件的可靠性评估难题，采用主动学习方法在各个子集中以主动学习的方式选择样本点训练内部克里金模型，并且设计了两阶段收敛准则来控制子集模拟过程中分层和全局估计误差。具体包括：

步骤一：初始化内部克里金代理模型，采用U函数以主动学习的方式在失效面附近不断增加样本点进行训练，并得到失效概率的估计误差；

步骤二：通过定义中间失效事件，构建子集模拟外部框架，将极小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率，在不同层级的子集中训练克里金代理模型直至收敛；

步骤三：重复以上步骤，不断定义新的子集，并训练克里金代理模型直到满足两阶段收敛准则。

本发明的实施例二：

步骤一具体包括：

克里金模型作为一种常用的代理模型，可以近似代理复杂的输入输出函数关系，从而替代极限状态函数。在克里金理论中，准确的极限状态函数通常被建模为一个随机过程，包含两个部分：对全局均值的线性回归和对局部偏置的随机建模，可以表示为：

G(x)＝f(x)^Tβ+Z(x) (1)

式中，f(x)^T为一组已知基函数向量，β为回归参数向量，Z(x)为平稳高斯随机过程，其协方差函数基于高斯相关函数建立，可根据下式计算：

cov(Z(x_i)，Z(x_j))＝σ²R(x_i，x_j) (2)

式中，σ²为随机过程方差，R(x_i，x_j)为高斯相关函数。基于最小二乘回归算法，公式(1)中的回归参数β及公式(2)中的过程方差σ²可以由样本进行估计，然后就可以得到最优线性无偏估计

及其方差

根据克里金理论，随机变量状态空间中任一点的估计服从正态分布：

基于采样的失效概率估计可以由下式计算：

其中，q_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数；X为N维随机变量组成的向量，在结构可靠性分析中，通常事先通过纳塔夫变换转化为相互独立的正态分布随机变量；I_F(x)为二值化指示性函数，由下式定义：

其中，b为失效阈值，

为极限状态面。

考虑到克里金模型方差，上式中的指示性函数估计值也会存在随机性。因此，失效概率的估计值应调整为：

式中，

为考虑克里金模型误差的失效概率估计，

为样本点x_i失效的概率，P_adj(x_i)为指示性函数的调整函数。

基于克里金均值和估计方差，

可以由下式计算

其中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，U(x_i)定义为

因此，较小的U函数取值可以表示样本点更靠近极限状态面或者其估计方差

较大，二者都会增大样本指示性函数的估计误差。U函数作为主动学习过程中的学习函数，新训练样本的选择根据下式进行：

其中，S表示候选样本池。

至此，可计算出调整函数为

本发明的实施例三：

步骤二具体包括：

子集模拟第一层的样本直接由蒙特卡洛模拟生成，因此样本相互独立。然而，其他层的样本则是由马尔科夫链蒙特卡洛模拟生成，而不同马尔科夫链的第一个样本存在相关性，因此其他层的样本是相关的。作为简化条件，本发明中假设基于样本的调整函数是独立的，即

cov(P_adj(xi)，P_adj(x_j))＝0，i≠j (11)

为研究克里金模型随机性对失效概率估计的影响，定义调整函数的期望为

E_adj＝E[P_adj(x)]＝∫P_adj(x)f_X(x)dx (12)

其中，f_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数，即对于子集模拟的第一层有f_X(x)＝q_X(x)，对于子集模拟的第l层f_X(x)＝q_X(x|F_l-1)。根据中心极限定理，假设E_adj近似服从正态分布，其基于样本的估计为

相应的方差估计为：

定义模型误差率为：

其中，

为标量。由于E_adj近似服从正态分布，因此η也近似服从正态分布，即

基于子集模拟可以将较小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率的乘积。给定失效事件F，定义中间失效事件{F₁，F₂，…，F_L}为F_l＝{G(x)≤b_l}，l＝1，2，…，L，其中，b₁＞…＞b_l＞…＞b_L＝0为失效阈值。

最终失效概率可以由下式计算：

其中，P₁＝P{F₁}为第一个失效事件的失效概率，P_l＝P{F_l|F_l-1}(l＝2，3，…，L)为条件失效概率，可以基于马尔科夫链蒙特卡洛模拟估计。

估计失效概率

的变异系数计算公式为：

其中，n_l为直接蒙特卡洛模拟(l＝1)或马尔科夫链蒙特卡洛模拟(l＝2…L)的样本个数，γ_l为考虑样本相关性的非负标量，γ_l越小表明样本之间相关性越弱，因此γ₁＝0。

最终失效概率估计

的变异系数为

本发明的实施例四：

步骤三具体包括：

一方面，条件概率P_l(l＝1，2，…，L)的估计误差应被控制。定义第l层失效概率的估计误差率为η_l，根据公式(16)服从正态分布。第一阶段约束条件为|η_l|＜α₁的置信度不低于99.7％：

其中，

和

为控制边界，

为第l个失效事件的失效概率的估计，α₁为预先设置的大于零的阈值，

为第l个子集上调整函数期望的估计，var代表方差计算函数。公式(20)即为本发明提出的第一阶段收敛准则。

另一方面，由于最终失效概率为一系列条件失效概率的乘积，可以得到最终失效概率的计算公式为

其中，

为考虑模型误差的最终失效概率的估计，

为第l个子集上调整函数期望的估计。由于α₁可以被设置为一个很小的值(这里取0.03)，因此可以忽略公式(21)中的高阶项。

模型累积误差定义为：

与η_l一致，ξ_l服从正态分布，即

为控制模型累积误差，保证ξ_l∈[-α₂，α₂]的置信度不低于99.7％，即为本发明所提出的第二阶段收敛准则：

其中，α₂为预先设置的大于零的阈值，这里取0.05。

本发明的实施例五：

本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：

本实施方式为基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法在一个包含15条疲劳裂纹正交异性钢桥面板上的具体实现。

图2为包含疲劳裂纹的正交异性钢桥面板结构示意图，图中C代表裂纹，编号1-15对应着15条不同的裂纹。该结构由3个U肋和2个横隔板组成。

基于ANSYS有限元建模软件，建立了疲劳开裂正交异性钢桥面板结构的三维有限元模型，如图3所示，用于计算该结构在车轮荷载作用下的响应。该有限元模型主要基于壳单元建立，基于复制节点模拟疲劳裂纹以实现裂纹面分离，并且在模型底部加以固定约束，其他边界为对称约束。车轮荷载作用在桥面板中心，作用面积为200mm×600mm。钢板厚度、钢材弹性模量、车轮荷载幅值及十五条疲劳裂纹长度作为随机变量，共计有二十维。开裂结构随机变量的概率分布及参数如表1所示。

表1开裂结构随机变量的概率分布及参数

基于跨中竖向位移建立极限状态函数，即

其中，X为随机变量向量，包含5个结构参数随机变量和15个裂纹长度随机变量，Δ(X)为荷载作用下跨中竖向位移，Δ₀为不考虑疲劳裂纹且结构参数随机变量取其均值时跨中竖向位移，γ为阈值。

为了验证本发明所提方法对参数的鲁棒性，考虑了四种情况，即γ＝1.5，1.6，1.7，1.8，计算结果如表2所示，其中，

为估计的失效概率值，

为估计失效概率的变异系数，β为估计得到的可靠性指标，N_call为对有限元模型的调用次数。由于有限元计算成本较高，直接蒙特卡洛模拟方法在此情况不适用。

另外还将本发明所提出的方法与传统的主动学习克里金-蒙特卡洛方法(ActiveLearning Kriging-Monte Carlo Simulation,AK-MCS)进行了对比，结果表明，失效概率的计算结果接近，但本发明所提出的方法需要显著较少的N_call，从而验证了本方法不仅可以保证精度，还可以提高计算效率。另外，当失效概率由1.312×10^-2降到3.919×10^-5时，N_call仅由33.2增加到40.5，表明本发明所提出方法的效率具有对失效概率不敏感的特性。

表2可靠度计算结果比较

图4为不同子集中新增样本点真实响应与中间极限状态面的关系图。结果表明，本实施例中通过五个层级的子集模拟达到了最终失效面，并且在各层级子集中所选择的样本都靠近中间极限状态面，进一步证明了本发明所提方法在样本点选择方面的有效性。

Claims (3)

1.基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，其特征在于，所述分析方法包括以下步骤：

步骤一、初始化内部克里金代理模型，采用U函数以主动学习的方式在失效面附近不断增加样本点进行训练，并得到失效概率的估计误差；

步骤二、通过定义中间失效事件，构建子集模拟外部框架，将极小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率，在不同层级的子集中训练克里金代理模型直至收敛；

步骤三、重复以上步骤，不断定义新的子集，并训练克里金代理模型直到满足两阶段收敛准则，

在步骤一中，具体的，在克里金理论中，准确的极限状态函数被建模为一个随机过程，

对全局均值的线性回归和对局部偏置的随机建模，表示为：

G(x)＝f(x)^Tβ+Z(x) (1)

式中，f(x)^T为一组已知基函数向量，β为回归参数向量，Z(x)为平稳高斯随机过程，其协方差函数基于高斯相关函数建立，可根据下式计算：

cov(Z(x_i)，Z(x_j))＝σ²R(x_i，x_j) (2)

式中，σ²为随机过程方差，R(x_i，x_j)为高斯相关函数，基于最小二乘回归算法，式(1)中的回归参数β及式(2)中的过程方差σ²由样本进行估计，然后得到最优线性无偏估计

及其方差

根据克里金理论，随机变量状态空间中任一点的估计服从正态分布：

基于采样的失效概率估计可以由下式计算：

其中，q_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数；X为N维随机变量组成的向量，在结构可靠性分析中，事先通过纳塔夫变换转化为相互独立的正态分布随机变量；I_F(x)为二值化指示性函数，由下式定义：

其中，b为失效阈值，

为极限状态面，

考虑到克里金模型方差，式(5)中的指示性函数估计值也会存在随机性，因此，失效概率的估计值应调整为：

式中，

为考虑克里金模型误差的失效概率估计，

为样本点x_i失效的概率，P_adj(x_i)为指示性函数的调整函数，

基于克里金均值和估计方差，

由下式计算：

其中，Φ为标准正态分布的累积分布函数，U(x_i)定义为：

因此，较小的U函数取值表示样本点更靠近极限状态面或者其估计方差

较大，二者都会增大样本指示性函数的估计误差，U函数作为主动学习过程中的学习函数，新训练样本的选择根据下式进行：

其中，S表示候选样本池，

至此，计算出调整函数为：

2.根据权利要求1所述的基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，其特征在于，在步骤二中，具体的，子集模拟第一层的样本直接由蒙特卡洛模拟生成，因此样本相互独立，然而，其他层的样本则是由马尔科夫链蒙特卡洛模拟生成，而不同马尔科夫链的第一个样本存在相关性，因此其他层的样本是相关的，作为简化条件，基于样本的调整函数是独立的，即：

cov(P_adj(x_i)，P_adj(x_j))＝0，i≠j (11)

为研究克里金模型随机性对失效概率估计的影响，定义调整函数的期望为：

E_adj＝E[P_adj(x)]＝∫P_adj(x)f_X(x)dx (12)

其中，f_X(x)为随机变量X的联合概率密度函数，即对于子集模拟的第一层有f_X(x)＝q_X(x)，对于子集模拟的第l层f_X(x)＝q_x(x|F_l-1)，根据中心极限定理，E_adj近似服从正态分布，其基于样本的估计为：

相应的方差估计为：

定义模型误差率为：

其中，

为标量，由于E_adj近似服从正态分布，因此η也近似服从正态分布，即

基于子集模拟将较小的失效概率转化为一系列较大的条件失效概率的乘积，给定失效事件F，定义中间失效事件{F₁，F₂，…，F_L}为F_l＝{G(x)≤b_l}，l＝1，2，…，L，其中，b₁＞…＞b_l＞…＞b_L＝0为失效阈值，

最终失效概率由下式计算：

其中，P₁＝P{F₁}为第一个失效事件的失效概率，P_l＝P{F_l|F_l-1}，其中，l＝2，3，…，L，P_l为条件失效概率，基于马尔科夫链蒙特卡洛进行模拟估计，

估计失效概率

的变异系数计算公式为：

其中，当l＝1时，n_l为直接蒙特卡洛模拟的样本个数，或当l＝2...L时，n_l为马尔科夫链蒙特卡洛模拟的样本个数，γ_l为考虑样本相关性的非负标量，γ_l越小表明样本之间相关性越弱，因此γ₁＝0，

最终失效概率估计

的变异系数为：

3.根据权利要求1所述的基于两阶段收敛准则的钢箱梁疲劳可靠度分析方法，其特征在于，在步骤三中，具体的，一方面，其中，当l＝1，2，…，L时，条件概率P_l的估计误差应被控制，定义第l层失效概率的估计误差率为η_l，根据式(16)服从正态分布，第一阶段约束条件为|η_l|＜α₁的置信度不低于99.7％：

其中，

和

为控制边界，

为第1个失效事件的失效概率的估计，α₁为预先设置的大于零的阈值，

为第l个子集上调整函数期望的估计，var代表方差计算函数，式(20)即为第一阶段收敛准则，

另一方面，由于最终失效概率为一系列条件失效概率的乘积，得到最终失效概率的计算公式为：

其中，

为考虑模型误差的最终失效概率的估计，

为第l个子集上调整函数期望的估计，由于α₁被设置为一个很小的值，这里取0.03，因此忽略式(21)中的高阶项，

模型累积误差定义为：

与η_l一致，ξ_l服从正态分布，即：

为控制模型累积误差，保证ξ_l∈[-α₂，α₂]的置信度不低于99.7％，即为第二阶段收敛准则：

其中，α₂为预先设置的大于零的阈值，这里取0.05。

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