CN112434472A - 一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法 - Google Patents

一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于流体力学技术领域，具体涉及一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，包括步骤一、给出模型参数、假设和近似；步骤二、建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；步骤三、选择壳体的振型函数；步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；步骤五、求解附加质量；本方法能够实现三维梁式及多种三维壳式振型的附加质量的计算。相比于美国机械工程师协会给出的二维方法的公式，本发明提供的计算策略可以大大降低梁式振型的附加质量，解决过保守的问题；并解决了单端简支边界条件的同轴筒体尚无壳式振型附加质量解析解的问题，为反应堆设计和安全分析提供了支持和依据。

Description

一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法
技术领域
本发明属于流体力学技术领域，具体涉及一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法。
背景技术
池式反应堆，如池式快堆，结构具有尺寸大、壁薄的特点，因而刚度相对较低，所以反应堆抗震设计、分析及验证是反应堆安全评价的重点关注问题。反应堆内部是一个很复杂的体系，除了有堆芯，还有热交换器和主泵等许多复杂的结构，为了保护设备不承受过高的温度，这些关键设备都由多层金属热屏所包围。这些热屏及设备之间存在微小的间隙，并填充了冷却剂。地震或流体冲刷引起的振动使得设备与支撑筒之间发生流固耦合作用，改变结构固有振动特性，这对于反应堆的设备安全至关重要。
结构抗震设计中，一般采用流体附加质量的方法来代替复杂的流固耦合作用。该方法是基于势流理论，将结构所受到的流体力简化为与结构运动加速度相关的惯性力，并将这个惯性力的系数称作附加质量，并将该质量附加在结构上进行抗震设计。
美国机械工程师协会(ASME)给出了浸没在流体中的无限长圆柱体附加质量公式，该公式广泛应用于工业的设计之中，但是该方法基于二维理论推导，结果过于保守，且仅适用于梁式振动的情形，尤其不适用于窄间隙流体的结构三维振动。
为了解决三维振动的问题，美国阿贡实验室的研究人员率先获得了双端简支的多层壳体的梁式及壳式振动的附加质量的计算方法。三维方法可以显著降低附加质量过于保守的问题，但是由于上述方法仅适用于双端简支的问题，故无法用于快堆主泵支撑筒-热屏、主容器-热屏等单端简支(悬臂梁式)的多层窄缝间隙筒体的振动。为解决单端简支三维振动的问题，本发明提供了一种用于计算反应堆多层同轴筒体窄缝间隙流体附加质量的方法。
发明内容
针对以上不足，本发明的目的是提供一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，解决现有二维理论对于三维单端简支同轴筒体窄缝间隙流体附加质量估计过于保守的问题，从而提升反应堆设计的经济性。
本发明的技术方案如下：
一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，采用轴向梁函数和周向三角函数的组合逼近圆柱壳的振型函数，从而获得设备的附加质量；步骤一、给出模型参数、假设和近似；
步骤二、建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；写出间隙流体压强场的波动方程，应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n 阶展开，其中n为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数；
步骤三、选择壳体的振型函数；选用固定-自由边界条件的筒体的振型函数；
步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；给出流固接触面上的边界条件，得到间隙流体压强场的分布公式；
步骤五、求解附加质量；写出振动的运动方程，求得附加质量面密度，获得附加质量。
所述步骤一，给出模型参数、假设和近似；
两个筒体底端简支，顶端无约束，内筒a的半径Ra，长度La；外筒b的半径 Rb，长度Lb；间隙流体的液位L，流体密度ρ和声速C；假定b筒体为刚性；
基本假设为，流体无粘性；忽略重力作用；流体流速小于声速；所考虑的频率低于相干频率，即相干频率定义为流体介质中的声波波长等于圆柱壳的轴向弯曲波长时的频率；
近似设定为，单模态近似，即忽略筒体振动的主频率与高阶模态频率之间的耦合作用，实际位移是由主频率主导的，a筒不同模态之间的耦合作用忽略。
所述步骤二，建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；
间隙流体压强场的波动方程：
Figure RE-GDA0002894230000000031
其中，▽2为拉普拉斯算子，C为水中的声速，t为时间；p为流体内部某一点的压力、r为流体内部某一点的径向位置、θ为流体内部某一点的周向角度、 z为流体内部某一点的轴向高度；
应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n阶展开，其中n 为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数，表达式如下：
Figure RE-GDA0002894230000000032
其中，e为自然对数，i为虚数标志，ω为振动角频率；n为从0开始的正整数，k为从1开始的正整数；其他参数定义如下：
Figure RE-GDA0002894230000000033
其中，Ank和Bnk是与边界条件相关的常数，L为间隙流体的液位；
αk定义为：
Figure RE-GDA0002894230000000041
其中，lk为将公式(2)带入公式(1)所得到的特征值。
所述步骤三，选择壳体的振型函数；
Figure RE-GDA0002894230000000042
为a筒法向的广义坐标，
Figure RE-GDA0002894230000000043
为b筒法向的广义坐标，
Figure RE-GDA0002894230000000044
为筒体a的第α阶振型，
Figure RE-GDA0002894230000000045
为筒体b的第β阶振型；
选用固定-自由边界条件的筒体一般的振型函数，筒体a的振型函数为：
Figure RE-GDA0002894230000000046
其中，Ψn为周向的振型函数，Ψk为轴向的振型函数，并采用如下表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000047
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000048
Figure RE-GDA0002894230000000049
Figure RE-GDA00028942300000000410
选用筒体a的振型函数，可以得到筒体b的振型
Figure RE-GDA00028942300000000411
所述步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；
流固接触面上的边界条件：
Figure RE-GDA00028942300000000412
其中，ρ为流体密度，wa为筒体a的法相位移，wb为筒体b的法向位移；将wa和wb分别在筒体a和筒体b的振型上展开成如下表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000051
将振型
Figure RE-GDA0002894230000000052
和
Figure RE-GDA0002894230000000053
用(3)式中的Θnek作为基函数，做γ项展开：
Figure RE-GDA0002894230000000054
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000055
为振型
Figure RE-GDA0002894230000000056
与
Figure RE-GDA0002894230000000057
按照基函数Θnek展开的第γ项，
Figure RE-GDA0002894230000000058
为振型
Figure RE-GDA0002894230000000059
与
Figure RE-GDA00028942300000000510
的内积，
Figure RE-GDA00028942300000000511
为振型
Figure RE-GDA00028942300000000512
与
Figure RE-GDA00028942300000000513
的内积：
Figure RE-GDA00028942300000000514
其中积分区域Ω为间隙流体区域；
将(2)式也做以Θnek为基函数的γ项展开：
Figure RE-GDA00028942300000000515
其中，
pγ(r)＝AγIγ(r)+BrKγ(r) (11)
将(10)式和(7)式带入(6)式，导出Ank和Bnk，再带入(11)式即可得到第γ项展开的压力表达式：
Figure RE-GDA00028942300000000516
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000061
其中，Iγ为第γ项对应的第一类修正贝塞尔函数，Kγ为第γ项对应的第第二类修正贝塞尔函数，Iγ'为Iγ的导数，Kγ'为Kγ的导数；将(12)带入(10)式即可得到间隙流体压强场的分布公式。
所述步骤五、求解附加质量；
b筒为刚性，筒体a的α阶振动的运动方程为：
Figure RE-GDA0002894230000000062
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000063
为筒体a的面密度，
Figure RE-GDA0002894230000000064
为广义刚度，
Figure RE-GDA0002894230000000065
为广义压强，
Figure RE-GDA0002894230000000066
为a筒法向的广义坐标，流体载荷
Figure RE-GDA0002894230000000067
的表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000068
其中，Ra为内筒的半径；
附加质量，即是将流体间隙的压力等效为筒体额外的虚拟质量，增加附加质量后筒体的运动方程为：
Figure RE-GDA0002894230000000069
其中，
Figure RE-GDA00028942300000000610
为a筒体α振型对应的附加质量面密度，
Figure RE-GDA00028942300000000611
为其结构附加质量之后对应的方程的广义坐标；
将(12)式带入(14)式，并与(16)式比对，可得附加质量面密度的解析解：
Figure RE-GDA00028942300000000612
本发明的有益效果在于：
根据本发明提供的一种适用于单端简支边界条件的反应堆同轴筒体窄缝间隙附加质量的计算策略，能够实现三维梁式及多种三维壳式振型的附加质量的计算。相比于美国机械工程师协会给出的二维方法的公式，本发明提供的计算策略可以大大降低梁式振型的附加质量，解决过保守的问题；并解决了单端简支边界条件的同轴筒体尚无壳式振型附加质量解析解的问题，为反应堆设计和安全分析提供了支持和依据。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明用于计算反应堆多层同轴筒体窄缝间隙流体附加质量的近似方法。下面以单端简支的双层圆柱壳设备，主泵支撑筒-热屏为例，采用轴向梁函数和周向三角函数的组合逼近圆柱壳的振型函数，最终获得设备的附加质量，具体实施如下：
步骤一、给出模型参数、假设和近似；
两个筒体底端简支，顶端无约束。内筒a的半径Ra，长度La；外筒b的半径 Rb，长度Lb；间隙流体的液位L，流体密度ρ和声速C。
基本假设：流体无粘性；忽略重力作用；流体流速小于声速；所考虑的频率低于相干频率，即相干频率定义为流体介质中的声波波长等于圆柱壳的轴向弯曲波长时的频率；
近似设定：单模态近似，即忽略筒体振动的主频率与高阶模态频率之间的耦合作用，实际位移通常是由主频率主导的，a筒不同模态之间的耦合作用可以忽略。
本实施例中，L＝La＝Lb＝1.117m，Ra＝0.28m，Rb＝0.308m，ρ＝1000kg/m3，流体声速C＝1400m/s。并假定b筒体为刚性。
步骤二、建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；
写出间隙流体压强场的波动方程：
Figure RE-GDA0002894230000000081
其中，▽2为拉普拉斯算子，C为水中的声速，t为时间；p为流体内部某一点的压力、r为流体内部某一点的径向位置、θ为流体内部某一点的周向角度、 z为流体内部某一点的轴向高度。
应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n阶展开，其中n 为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数，表达式如下：
Figure RE-GDA0002894230000000082
其中，e为自然对数，i为虚数标志，ω为振动角频率；n为从0开始的正整数，k为从1开始的正整数；其他参数定义如下：
Figure RE-GDA0002894230000000083
其中，Ank和Bnk是与边界条件相关的常数，L为间隙流体的液位。
αk定义为：
Figure RE-GDA0002894230000000084
其中，lk为将公式(2)带入公式(1)所得到的特征值。
步骤三、选择壳体的振型函数；
参考板壳振动理论(曹志远.板壳振动理论[M].北京:中国铁道出版社,1989.311-313.)，
Figure RE-GDA0002894230000000091
为a筒法向的广义坐标，
Figure RE-GDA0002894230000000092
为b筒法向的广义坐标，
Figure RE-GDA0002894230000000093
为筒体a的第α阶振型，
Figure RE-GDA0002894230000000094
为筒体b的第β阶振型。
对于本实施例中的固定-自由圆柱壳，选用固定-自由边界条件的筒体一般的振型函数，筒体a的振型函数为：
Figure RE-GDA0002894230000000095
其中，Ψn为周向的振型函数，Ψk为轴向的振型函数，并采用如下表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000096
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000097
Figure RE-GDA0002894230000000098
Figure RE-GDA0002894230000000099
选用筒体a的振型函数，可以得到筒体b的振型
Figure RE-GDA00028942300000000910
步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；
给出流固接触面上的边界条件：
Figure RE-GDA00028942300000000911
其中，ρ为流体密度，wa为筒体a的法相位移，wb为筒体b的法向位移。将wa和wb分别在筒体a和筒体b的振型上展开成如下表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000101
将振型
Figure RE-GDA0002894230000000102
和
Figure RE-GDA0002894230000000103
用(3)式中的Θnek作为基函数，做γ项展开：
Figure RE-GDA0002894230000000104
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000105
为振型
Figure RE-GDA0002894230000000106
与
Figure RE-GDA0002894230000000107
按照基函数Θnek展开的第γ项，
Figure RE-GDA0002894230000000108
为振型
Figure RE-GDA0002894230000000109
与
Figure RE-GDA00028942300000001010
的内积，
Figure RE-GDA00028942300000001011
为振型
Figure RE-GDA00028942300000001012
与
Figure RE-GDA00028942300000001013
的内积：
Figure RE-GDA00028942300000001014
其中积分区域Ω为间隙流体区域。
将(2)式也做以Θnek为基函数的γ项展开：
Figure RE-GDA00028942300000001015
其中，
pγ(r)＝AγIγ(r)+BrKγ(r) (11)
将(10)式和(7)式带入(6)式，导出Ank和Bnk，再带入(11)式即可得到第γ项展开的压力表达式：
Figure RE-GDA00028942300000001016
其中，
Figure RE-GDA00028942300000001017
其中，Iγ为第γ项对应的第一类修正贝塞尔函数，Kγ为第γ项对应的第第二类修正贝塞尔函数，Iγ'为Iγ的导数，Kγ'为Kγ的导数。将(12)带入(10)式即可得到间隙流体压强场的分布公式。
步骤五、求解附加质量；
对于本实施例，b筒为刚性，筒体a的α阶振动的运动方程可以写作：
Figure RE-GDA0002894230000000111
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000112
为筒体a的面密度，
Figure RE-GDA0002894230000000113
为广义刚度，
Figure RE-GDA0002894230000000114
为广义压强，
Figure RE-GDA0002894230000000115
为a筒法向的广义坐标，流体载荷
Figure RE-GDA0002894230000000116
的表达式：
Figure RE-GDA0002894230000000117
其中，Ra为内筒的半径。
附加质量，即是将流体间隙的压力等效为筒体额外的虚拟质量。具体来说，增加附加质量后筒体的运动方程为：
Figure RE-GDA0002894230000000118
其中，
Figure RE-GDA0002894230000000119
为a筒体α振型对应的附加质量面密度，
Figure RE-GDA00028942300000001110
为其结构附加质量之后对应的方程的广义坐标。
将(12)式带入(14)式，并与(16)式比对，可得附加质量面密度的解析解：
Figure RE-GDA00028942300000001111
根据本例给定的参数，可以得到如下结果：
Figure RE-GDA00028942300000001112
Figure RE-GDA0002894230000000121
本发明公开实施例只涉及到与本公开实施例涉及到的方法，其他方法可参考通常设计，在不冲突情况下，本发明同一实施例及不同实施例可以相互组合；
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，采用轴向梁函数和周向三角函数的组合逼近圆柱壳的振型函数，从而获得设备的附加质量，其特征在于：
步骤一、给出模型参数、假设和近似；
步骤二、建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；写出间隙流体压强场的波动方程，应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n阶展开，其中n为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数；
步骤三、选择壳体的振型函数；选用固定-自由边界条件的筒体的振型函数；
步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；给出流固接触面上的边界条件，得到间隙流体压强场的分布公式；
步骤五、求解附加质量；写出振动的运动方程，求得附加质量面密度，获得附加质量。
2.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤一，给出模型参数、假设和近似；
两个筒体底端简支，顶端无约束，内筒a的半径Ra，长度La；外筒b的半径Rb，长度Lb；间隙流体的液位L，流体密度ρ和声速C；假定b筒体为刚性；
基本假设为，流体无粘性；忽略重力作用；流体流速小于声速；所考虑的频率低于相干频率，即相干频率定义为流体介质中的声波波长等于圆柱壳的轴向弯曲波长时的频率；
近似设定为，单模态近似，即忽略筒体振动的主频率与高阶模态频率之间的耦合作用，实际位移是由主频率主导的，a筒不同模态之间的耦合作用忽略。
3.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤二，建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；
间隙流体压强场的波动方程：
Figure FDA0002722598610000021
其中，
Figure FDA0002722598610000022
为拉普拉斯算子，C为水中的声速，t为时间；p为流体内部某一点的压力、r为流体内部某一点的径向位置、θ为流体内部某一点的周向角度、z为流体内部某一点的轴向高度；
应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n阶展开，其中n为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数，表达式如下：
Figure FDA0002722598610000023
其中，e为自然对数，i为虚数标志，ω为振动角频率；n为从0开始的正整数，k为从1开始的正整数；其他参数定义如下：
Figure FDA0002722598610000024
其中，Ank和Bnk是与边界条件相关的常数，L为间隙流体的液位；
αk定义为：
Figure FDA0002722598610000025
其中，lk为将公式(2)带入公式(1)所得到的特征值。
4.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤三，选择壳体的振型函数；
Figure FDA0002722598610000026
为a筒法向的广义坐标，
Figure FDA0002722598610000027
为b筒法向的广义坐标，
Figure FDA0002722598610000028
为筒体a的第α阶振型，
Figure FDA0002722598610000029
为筒体b的第β阶振型；
选用固定-自由边界条件的筒体一般的振型函数，筒体a的振型函数为：
Figure FDA0002722598610000031
其中，Ψn为周向的振型函数，Ψk为轴向的振型函数，并采用如下表达式：
Figure FDA0002722598610000032
其中，
Figure FDA0002722598610000033
Figure FDA0002722598610000034
Figure FDA0002722598610000035
选用筒体a的振型函数，可以得到筒体b的振型
Figure FDA0002722598610000036
5.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；
流固接触面上的边界条件：
Figure FDA0002722598610000037
其中，ρ为流体密度，wa为筒体a的法相位移，wb为筒体b的法向位移；将wa和wb分别在筒体a和筒体b的振型上展开成如下表达式：
Figure FDA0002722598610000041
将振型
Figure FDA0002722598610000042
和
Figure FDA0002722598610000043
用(3)式中的Θnek作为基函数，做γ项展开：
Figure FDA0002722598610000044
其中，
Figure FDA0002722598610000045
为振型
Figure FDA0002722598610000046
与
Figure FDA0002722598610000047
按照基函数Θnek展开的第γ项，
Figure FDA0002722598610000048
为振型
Figure FDA0002722598610000049
与
Figure FDA00027225986100000410
的内积，
Figure FDA00027225986100000411
为振型
Figure FDA00027225986100000412
与
Figure FDA00027225986100000413
的内积：
Figure FDA00027225986100000414
其中积分区域Ω为间隙流体区域；
将(2)式也做以Θnek为基函数的γ项展开：
Figure FDA00027225986100000415
其中，
pγ(r)＝AγIγ(r)+BrKγ(r) (11)
将(10)式和(7)式带入(6)式，导出Ank和Bnk，再带入(11)式即可得到第γ项展开的压力表达式：
Figure FDA00027225986100000416
其中，
Figure FDA00027225986100000417
其中，Iγ为第γ项对应的第一类修正贝塞尔函数，Kγ为第γ项对应的第第二类修正贝塞尔函数，Iγ'为Iγ的导数，Kγ'为Kγ的导数；将(12)带入(10)式即可得到间隙流体压强场的分布公式。
6.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤五、求解附加质量；
b筒为刚性，筒体a的α阶振动的运动方程为：
Figure FDA0002722598610000051
其中，
Figure FDA0002722598610000052
为筒体a的面密度，
Figure FDA0002722598610000053
为广义刚度，
Figure FDA0002722598610000054
为广义压强，
Figure FDA0002722598610000055
为a筒法向的广义坐标，流体载荷
Figure FDA0002722598610000056
的表达式：
Figure FDA0002722598610000057
其中，Ra为内筒的半径；
附加质量，即是将流体间隙的压力等效为筒体额外的虚拟质量，增加附加质量后筒体的运动方程为：
Figure FDA0002722598610000058
其中，
Figure FDA0002722598610000059
为a筒体α振型对应的附加质量面密度，
Figure FDA00027225986100000510
为其结构附加质量之后对应的方程的广义坐标；
将(12)式带入(14)式，并与(16)式比对，可得附加质量面密度的解析解：
Figure FDA00027225986100000511
7.如权利要求1所述的一种反应堆多层同轴筒体窄缝间隙附加质量计算方法，其特征在于：所述步骤一，给出模型参数、假设和近似；
两个筒体底端简支，顶端无约束，内筒a的半径Ra，长度La；外筒b的半径Rb，长度Lb；间隙流体的液位L，流体密度ρ和声速C；假定b筒体为刚性；
基本假设为，流体无粘性；忽略重力作用；流体流速小于声速；所考虑的频率低于相干频率，即相干频率定义为流体介质中的声波波长等于圆柱壳的轴向弯曲波长时的频率；
近似设定为，单模态近似，即忽略筒体振动的主频率与高阶模态频率之间的耦合作用，实际位移是由主频率主导的，a筒不同模态之间的耦合作用忽略；
所述步骤二，建立流体方程，并将流体压力沿周向及轴向展开；
间隙流体压强场的波动方程：
Figure FDA0002722598610000061
其中，
Figure FDA0002722598610000062
为拉普拉斯算子，C为水中的声速，t为时间；p为流体内部某一点的压力、r为流体内部某一点的径向位置、θ为流体内部某一点的周向角度、z为流体内部某一点的轴向高度；
应用因式分解法，间隙流体压强场写成沿圆柱坐标系周向n阶展开，其中n为周向波数，沿圆柱坐标系轴向k阶展开，其中k为轴向波数，表达式如下：
Figure FDA0002722598610000063
其中，e为自然对数，i为虚数标志，ω为振动角频率；n为从0开始的正整数，k为从1开始的正整数；其他参数定义如下：
Figure FDA0002722598610000064
其中，Ank和Bnk是与边界条件相关的常数，L为间隙流体的液位；
αk定义为：
Figure FDA0002722598610000071
其中，lk为将公式(2)带入公式(1)所得到的特征值；
所述步骤三，选择壳体的振型函数；
Figure FDA0002722598610000072
为a筒法向的广义坐标，
Figure FDA0002722598610000073
为b筒法向的广义坐标，
Figure FDA0002722598610000074
为筒体a的第α阶振型，
Figure FDA0002722598610000075
为筒体b的第β阶振型；
选用固定-自由边界条件的筒体一般的振型函数，筒体a的振型函数为：
Figure FDA0002722598610000076
其中，Ψn为周向的振型函数，Ψk为轴向的振型函数，并采用如下表达式：
Figure FDA0002722598610000077
其中，
Figure FDA0002722598610000078
Figure FDA0002722598610000079
Figure FDA00027225986100000710
选用筒体a的振型函数，可以得到筒体b的振型
Figure FDA00027225986100000711
所述步骤四、将边界条件及压力表达为满足壳体振型函数的表达式；
流固接触面上的边界条件：
Figure FDA00027225986100000712
其中，ρ为流体密度，wa为筒体a的法相位移，wb为筒体b的法向位移；将wa和wb分别在筒体a和筒体b的振型上展开成如下表达式：
Figure FDA0002722598610000081
将振型
Figure FDA0002722598610000082
和
Figure FDA0002722598610000083
用(3)式中的Θnek作为基函数，做γ项展开：
Figure FDA0002722598610000084
其中，
Figure FDA0002722598610000085
为振型
Figure FDA0002722598610000086
与
Figure FDA0002722598610000087
按照基函数Θnek展开的第γ项，
Figure FDA0002722598610000088
为振型
Figure FDA0002722598610000089
与
Figure FDA00027225986100000810
的内积，
Figure FDA00027225986100000811
为振型
Figure FDA00027225986100000812
与
Figure FDA00027225986100000813
的内积：
Figure FDA00027225986100000814
其中积分区域Ω为间隙流体区域；
将(2)式也做以Θnek为基函数的γ项展开：
Figure FDA00027225986100000815
其中，
pγ(r)＝AγIγ(r)+BrKγ(r) (11)
将(10)式和(7)式带入(6)式，导出Ank和Bnk，再带入(11)式即可得到第γ项展开的压力表达式：
Figure FDA00027225986100000816
其中，
Figure FDA0002722598610000091
其中，Iγ为第γ项对应的第一类修正贝塞尔函数，Kγ为第γ项对应的第第二类修正贝塞尔函数，Iγ'为Iγ的导数，Kγ'为Kγ的导数；将(12)带入(10)式即可得到间隙流体压强场的分布公式；
所述步骤五、求解附加质量；
b筒为刚性，筒体a的α阶振动的运动方程为：
Figure FDA0002722598610000092
其中，
Figure FDA0002722598610000093
为筒体a的面密度，
Figure FDA0002722598610000094
为广义刚度，
Figure FDA0002722598610000095
为广义压强，
Figure FDA0002722598610000096
为a筒法向的广义坐标，流体载荷
Figure FDA0002722598610000097
的表达式：
Figure FDA0002722598610000098
其中，Ra为内筒的半径；
附加质量，即是将流体间隙的压力等效为筒体额外的虚拟质量，增加附加质量后筒体的运动方程为：
Figure FDA0002722598610000099
其中，
Figure FDA00027225986100000910
为a筒体α振型对应的附加质量面密度，
Figure FDA00027225986100000911
为其结构附加质量之后对应的方程的广义坐标；
将(12)式带入(14)式，并与(16)式比对，可得附加质量面密度的解析解：
Figure FDA00027225986100000912
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