CN103745091A - 一种薄壁圆柱筒结构振动故障特征确定方法 - Google Patents

Abstract

一种薄壁圆柱筒结构振动故障特征确定方法，属于薄壁圆柱筒类结构的振动分析技术领域。测量薄壁圆柱筒构件的几何参数，包括：中面直径、筒的长度和壁厚；根据薄壁圆柱筒的材料确定弹性模量、泊松比和密度；确定薄壁圆柱筒在静止或旋转状态下的振动响应特征；根据实际圆柱筒所发生的裂纹或破损部位，判别出故障成因。本发明针对现有薄壁圆柱筒结构的强迫振动响应分析方法尚不完善，且大多分析都基于有限元软件分析的客观现状，给出了一种***的精确计算方法，完善了该领域的分析理论，可有效降低航空发动机鼓筒和机匣等这类薄壁圆柱筒构件的故障发生率。

Description

一种薄壁圆柱筒结构振动故障特征确定方法

技术领域

本发明属于薄壁圆柱筒类结构的振动分析技术领域，特别涉及一种薄壁圆柱筒结构故障确定方法。

背景技术

航空发动机作为飞机的心脏，其性能的好坏直接影响飞机的整体性能，作为航空发动机关键部件中的鼓筒和机匣都属于薄壁圆柱筒结构，在其实际应用过程中，鼓筒和机匣的振动破坏以及鼓筒和机匣的振动疲劳损伤故障，一直都是航空发动机所面临的严重问题，且超过60％的鼓筒和机匣故障是由振动引起的。

关于薄壁圆柱筒结构的强迫振动响应一直没有引起人们的足够重视，近年来随着对发动机性能要求不断提高，鼓筒和机匣等这类薄壁圆柱筒构件的故障发生率也不断增大，才渐渐引起人们的重视。现阶段，鼓筒和机匣这类薄壁圆柱筒结构的强迫振动响应分析大多是基于有限元软件开展的，其分析结果受有限元建模方法和网格划分等因素影响很大，缺乏理论性和***性。

随着对航空发动机性能越来越高的要求，且航空发动机的种类也越来越多，现有的薄壁圆柱筒结构的强迫振动响应分析方法尚不成熟，缺少***性的计算方法。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明的目的是提供一种薄壁圆柱筒结构故障特征确定方法，以达到降低航空发动机的鼓筒和机匣等这类薄壁圆柱筒构件的故障发生率的目的。

本发明的技术方案是这样实现的：一种薄壁圆柱筒结构故障特征确定方法，包括以下步骤：

步骤1：测量薄壁圆柱筒构件的几何参数，包括：中面直径、筒的长度和壁厚；根据薄壁圆柱筒的材料确定弹性模量、泊松比和密度；

步骤2：根据步骤1的数据，确定薄壁圆柱筒在静止或旋转状态下的振动响应特征，具体如下：

步骤2.1：分别建立两个坐标系：首先，建立一个全局坐标系，以筒的一端截面圆圆心作为坐标原点，筒的长度方向为横坐标，筒的半径方向为纵坐标；其次，建立一个局部坐标系，以筒中面上任意一点作为坐标原点，筒的长度方向为横坐标，沿筒半径方向为纵坐标；

步骤2.2：在圆柱筒上加一个力，来模拟圆柱筒构件的实际受力情况，计算出圆柱筒上各点因受力振动而引起的振动位移，该位移即称为振动响应；根据圆柱筒上的各点位移变化规律确定圆柱筒构件在受力情况下的振动规律，即为振动响应特征，而在某一阶固有频率下对应的振动响应特征称之为薄壁圆柱壳的振型；

所述的圆柱筒上各点因受力振动而引起的振动位移，确定过程包括步骤如下：

步骤2.2.1：确定圆柱筒的支撑方式：圆柱筒结构包括以下四种支撑方式：

(1)第一种支撑方式为：自由—自由支撑方式；

(2)第二种支撑方式为：简支—简支支撑方式；

(3)第三种支撑方式为：固支—自由支撑方式；

(4)第四种支撑方式为：固支—固支支撑方式；

步骤2.2.2：根据步骤2.2.1选定一种支撑方式，并建立全局坐标系和局部坐标系，在全局坐标系下建立薄壁圆柱筒构件的振动方程，利用所述振动方程计算出圆柱筒构件在该支撑方式下的各阶固有频率；

步骤2.2.3：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，在局部坐标系下计算出圆柱筒上的各点位移，具体步骤如下：

步骤2.2.3.1：根据步骤2.2.1选定的支撑方式，计算出各点的各阶振型比，各阶振型比是计算位移的一个非常重要的中间量；

步骤2.2.3.2：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，以及步骤2.2.3.1得出的各阶振型比，确定圆柱筒的位移与固有频率的关系式，以便于计算圆柱筒上各点的位移；

步骤2.2.3.3：在圆柱筒局部坐标系下，任意设定一点为受力点；

步骤2.2.3.4：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率、步骤2.2.3.1得出的各阶振型比和步骤2.2.3.3所加的力，计算出圆柱筒上各点的振动位移；

步骤2.3：根据步骤2.2得出圆柱筒上各点的振动位移，确定圆柱筒的振动响应特征，进而确定各阶固有频率下的振型薄壁圆柱筒的各阶振型；

步骤3：根据实际圆柱筒所发生的裂纹或破损部位，与由步骤2计算出的振动响应特征对照，从而判别出故障是由工作时的激励力频率与圆柱筒构件某阶固有频率一致或接近所造成的，排除故障的方法通常有两种：(1)重新设计圆柱筒构件改变其固有频率；(2)改变圆柱筒构件的工作状态，使其工作激励力或工作转速的频率改变。

本发明的有益效果：针对现有薄壁圆柱筒结构的强迫振动响应分析方法尚不完善，且大多分析都基于有限元软件分析的客观现状，给出了一种***的精确计算方法，完善了该领域的分析理论，可有效降低航空发动机鼓筒和机匣等这类薄壁圆柱筒构件的故障发生率。

附图说明

图1为本发明一种实施方式一种薄壁圆柱筒结构振动故障特征确定方法流程图；

图2为本发明一种实施方式受单点激励作用的旋转薄壁圆柱壳；

图3为本发明一种实施方式自由—自由支撑方式示意图；

图4为本发明一种实施方式简支—简支支撑方式示意图；

图5为本发明一种实施方式固支—自由支撑方式示意图；

图6为本发明一种实施方式固支—固支支撑方式示意图；

图7为本发明一种实施方式固支—自由圆柱壳时域响应图，其中，图7(a)为静止薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图，图7(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图；

图8为本发明一种实施方式两端简支圆柱壳时域响应图，其中，图8(a)为静止薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图，图8(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图；

图9为本发明一种实施方式同一转速不同阻尼时两端简支圆柱壳幅频响应曲线，其中，图9(a)为静止薄壁圆柱筒阻尼分别为ζ＝1.5％，ζ＝1％，ζ＝0.5％时谐波激励下的幅频响应曲线，图9(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒阻尼分别为ζ＝1.5％，ζ＝1％，ζ＝0.5％时谐波激励下的幅频响应曲线；

图10为本发明一种实施方式单点谐波激励下固支-自由旋转壳体的响应示意图，其中图10(a)为转速为0时薄壁圆柱筒的响应，图10(b)为转速为2000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图10(c)为转速为3000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图10(d)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒的响应；

图11为本发明一种实施方式单点谐波激励下简支-简支旋转壳体的响应示意图，其中图11(a)为转速为0时薄壁圆柱筒的响应，图11(b)为转速为2000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图11(c)为转速为3000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图11(d)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒的响应；

图12为本发明一种实施方式薄壁圆柱壳的周向振动形式。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施方式作进一步详细的说明。

本发明采用薄壁圆柱筒结构故障确定方法对某航空发动机的鼓筒和机匣故障进行诊断或处理，其流程如图1所示，包括以下步骤流程：

步骤1：测量航空发动机薄壁圆柱筒实验件的几何参数，包括：中面直径、筒的长度和壁厚；根据薄壁圆柱筒的材料确定弹性模量、泊松比和密度等参数。本实施方式列出2种筒(E1和E2)的基本参数如表1所示，本实施方式以第1种圆柱筒为例子，对筒的响应特征分析方法进行说明：

表1薄壁圆柱壳筒基本参数

步骤2：根据步骤1的E1圆柱筒数据，确定薄壁圆柱筒在静止或旋转状态下的振动响应特征，具体步骤如下：

步骤2.1：如图2所示，首先，建立一个全局坐标系o′x′θ′r′，其中，坐标原点o′为薄壁圆柱壳其中一个端面的圆心点；x′轴与薄壁圆柱壳的中心线重合；θ′为薄壁圆柱壳端面上偏离初始位置的偏转角；r′为薄壁圆柱壳端面上的径向长度坐标，即端面上距离坐标原点的距离。其次，建立一个局部坐标系，薄壁圆柱壳的圆壁中面坐标系oxθz相当于将坐标系o′x′θ′r′向r′方向平移R距离，其中，R为薄壁圆柱壳的中面半径。坐标原点o为薄壁圆柱壳其中一个端面上的中面点；x轴与x′轴平行且方向一致；θ轴与θ′轴重合且方向一致；z轴与r′轴重合，即表示到坐标原点o′的距离。Q(x，θ，t)为激励力，x，θ为激励力作用的位置，t为激励力作用的时间。x^*，θ^*为模拟的激振力点的位置。q_x(x，θ，t)，q_θ(x，θ，t)，q_z(x，θ，t)分别为激励力Q(x，θ，t)在中面上x，θ，z方向的分量。在柱坐标系oxθz中，u(x，θ，t)，v(x，θ，t)和w(x，θ，t)分别为圆柱壳中面上任意一点在纵向x、切向θ和径向z三个方向上的位移。Ω为转速，Ω≥0，Ω为0时，即筒为静止状态。

步骤2.2：在圆柱筒上加力Q(x，θ，t)，并计算筒的各点的振动位移，具体步骤如下：

步骤2.2.1：确定圆柱筒的支撑方式，任意选取四种方式之一。

建立旋转态薄壁圆柱壳的结构模型。基于Love壳体理论，对旋转薄壁圆柱壳进行受力分析，建立线性振动微分方程组为：

$\frac{{\∂N}_x}{\∂x}+\frac{1}{R}\frac{{\∂N}_{\mathrm{x\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+N_{\mathrm{\θ}}^0(\frac{1}{R^2}\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}-\frac{1}{R}\frac{\∂w(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂x})-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2}=-q_x(x^{*},{\mathrm{\θ}}^{*},t)---\left(1a\right)$

$\frac{1}{R}\frac{{\∂N}_{\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂N_{\mathrm{x\θ}}}{\∂x}+\frac{Q_{\mathrm{\θ}}}{R}+\frac{N_{\mathrm{\θ}}^0}{R}\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂x\∂\mathrm{\θ}}-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}v(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2}-2\mathrm{\ρH\Ω}\frac{\∂w(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂t}+\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^{2}v(x,\mathrm{\θ},t)---\left(1b\right)$

$=-q_{\mathrm{\θ}}(x^{*},{\mathrm{\θ}}^{*},t)$

$\frac{{\∂Q}_x}{\∂x}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{\θ}}}{R\∂\mathrm{\θ}}-\frac{N_{\mathrm{\θ}}}{R}+\frac{N_{\mathrm{\θ}}^0}{R^2}(\frac{{\∂}^{2}w(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}-\frac{\∂v(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}})-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}w(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2}+2\mathrm{\ρH\Ω}\frac{\∂v(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂t}+{\mathrm{\ρH\Ω}}^{2}w(x,\mathrm{\θ},t)---\left(1c\right)$

$=-q_z(x^{*},{\mathrm{\θ}}^{*},t)$

式中，N_x和N_θ为中面上单位长度的薄膜力，N_xθ别为中面上单位长度的薄膜剪力，

为离心力引起的初始切向应力项，

在x，θ方向中面上单位长度的横向剪力分别为

M_x和M_θ为中面上单位长度的弯矩，M_xθ为中面上单位长度的扭矩。q_x(x，θ，t)，q_θ(x，θ，t)，q_z(x，θ，t)分别为激励力在中面x，θ，z方向的分量。 $\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}u(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2},\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}v(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2},\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}w(x,\mathrm{\θ},t)}{{\∂t}^2}$ 为惯性力项； $2\mathrm{\ρH\Ω}\frac{\∂w(x,\mathrm{\θ},t)}{\∂t},$

为科氏力项；ρHΩ²v(x，θ，t)，ρHΩ²w(x，θ，t)为离心力项；

轴向振型接近于相应边界条件梁的振型，故振型函数可以用轴向梁函数和周向三角函数的组合来近似表示，设薄壁圆柱壳的位移解为：

式中，u(x，θ，t)，v(x，θ，t)和w(x，θ，t)分别为壳体曲面上一点的轴向、切向、法向位移；m为轴向半波数；n为周向波数；和为振型系数；T_mn(t)为关于时间的函数；

和

为圆柱壳的周向模态函数，公式如下：

式中，

和

为圆柱壳的轴向模态函数，进一步表示为：

${\mathrm{\φ}}_m^u\left(x\right)={\mathrm{\φ}}_m^v\left(x\right)={\mathrm{\φ}}_m^w\left(x\right)=a_1\cosh \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_{m}x}{L}\right)+a_2\cos \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_{m}x}{L}\right)-{\mathrm{\σ}}_m[a_3\sinh \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_{m}x}{L}\right)+a_4\sin \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_{m}x}{L}\right)]---\left(4\right)$

式中，a₁、a₂、a₃、a₄、λ_m、σ_m为与不同边界条件有关系数，取正整数值。

对于常见4种不同边界条件(自由-自由条件、简支-简支条件、固支-自由条件、固支-固支条件)，其对应轴向模态函数式的参数不相同，即：

(1)第一种支撑方式为：自由—自由支撑方式，如图3所示：

cos(λ_m)cosh(λ_m)＝1，

a₁＝a₂＝a₃＝a₄＝1    (5a)(2)第二种支撑方式为：简支—简支支撑方式，如图4所示：

λ_m＝mπ，a₁＝a₂＝a₃＝0，a₄＝σ_m＝1    (5b)(3)第三种支撑方式为：固支—自由支撑方式，如图5所示：

cos(λ_m)cosh(λ_m)＝-1，

a₁＝a₃＝1，a₂＝a₄＝-1    (5c)(4)第四种支撑方式为：固支—固支支撑方式，如图6所示：

cos(λ_m)cosh(λ_m)＝1，

a₁＝a₃＝1，a₂＝a₄＝-1    (5d)

步骤2.2.2：根据步骤2.2.1所列支撑方式，计算圆柱筒在相应支撑方式下，各阶固有频率。

在激励力分量q_x(x^*，θ^*，t)、q_θ(x^*，θ^*，t)和q_z(x^*，θ^*，t)的值为0时，把位移函数式(2)代入圆柱壳的动力平衡方程式(1)，进行Galerkin离散，可将薄壁圆柱壳的动力平衡方程表示为如下形式：

${\∫}_x{\∫}_{\mathrm{\θ}}(L_{11}u+L_{12}v+L_{13}w-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}){\mathrm{\Φ}}_u(x,\mathrm{\θ},t)\mathrm{d\θdx}=0---\left(6a\right)$

${\∫}_x{\∫}_{\mathrm{\θ}}(L_{21}u+L_{22}v+L_{23}w-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}v}{{\∂t}^2}){\mathrm{\Φ}}_v(x,\mathrm{\θ},t)\mathrm{d\θdx}=0---\left(6b\right)$

${\∫}_x{\∫}_{\mathrm{\θ}}(L_{31}u+L_{32}v+L_{33}w-\mathrm{\ρH}\frac{{\∂}^{2}w}{{\∂t}^2}){\mathrm{\Φ}}_w(x,\mathrm{\θ},t)\mathrm{d\θdx}=0---\left(6c\right)$

式中，L_ij为微分算子，具体表达式为

$L_{11}=K\frac{{\∂}^2}{\∂x^2}+K\frac{1-\mathrm{\μ}}{2R^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}+\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^2\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2},$

$L_{12}=K\frac{1+\mathrm{\μ}}{2R}\frac{{\∂}^2}{\∂x\∂\mathrm{\θ}},$

$L_{13}=K\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂}{\∂x}-\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^{2}R\frac{\∂}{\∂x},$ $L_{21}=(K\frac{1+\mathrm{\μ}}{2R}+\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^2{R}^2)\frac{{\∂}^2}{\∂x\∂\mathrm{\θ}},$

$L_{22}={\mathrm{\ρH\Ω}}^2+K\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂x^2}+K\frac{1}{R^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}+D\frac{(1-\mathrm{\μ})}{2R^2}\frac{{\∂}^2}{\∂x^2}+D\frac{1}{R^4}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2},$

$L_{23}=-2\mathrm{\ρH\Ω}\frac{\∂}{\∂t}+K\frac{1}{R^2}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}-D\frac{1}{R^4}\frac{{\∂}^3}{\∂{\mathrm{\θ}}^3}-D\frac{1}{R^2}\frac{{\∂}^3}{\∂x^2\∂\mathrm{\θ}},$

$L_{31}=K\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂}{\∂x},$

$L_{32}=-2\mathrm{\ρH\Ω}\frac{\∂}{\∂t}+(K\frac{1}{R^2}+\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^2)\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}-D\frac{1}{R^4}\frac{{\∂}^3}{\∂{\mathrm{\θ}}^3}-D\frac{1}{R^2}\frac{{\∂}^3}{\∂x^2\∂\mathrm{\θ}},$

$L_{33}=-\mathrm{\ρh}{\mathrm{\Ω}}^2+K\frac{1}{R^2}+D\frac{{\∂}^4}{\∂x^4}+D\frac{1}{R^4}\frac{{\∂}^4}{\∂{\mathrm{\θ}}^4}+D\frac{2}{R^2}\frac{{\∂}^4}{\∂x^2\∂{\mathrm{\θ}}^2}-\mathrm{\ρH}{\mathrm{\Ω}}^2\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2}.$

Φ_u(x，θ，t)、Φ_v(x，θ，t)和Φ_w(x，θ，t)为振型幅值系数。

对式(6)进行积分计算，可得薄壁圆柱壳的频率特征方程

$\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{11}}^{\′}& {c_{12}}^{\′}& {c_{13}}^{\′}\\ {c_{21}}^{\′}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{22}}^{\′}& -{c_{23}}^{\′}\\ {c_{31}}^{\′}& -{c_{32}}^{\′}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{33}}^{\′}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{U}}_{\mathrm{mn}}\\ {\stackrel{\‾}{V}}_{\mathrm{mn}}\\ {\stackrel{\‾}{W}}_{\mathrm{mn}}\end{array}\right\}=0---\left(7\right)$

式中，c_ij′(i，j＝1，2，3)为待定系数，具体表达式为

${c_{11}}^{\′}=-\frac{K}{\mathrm{\ρH}}(T_2-\frac{n^2(1-\mathrm{\μ})}{2R^2})+{\left(\mathrm{n\Ω}\right)}^2,$ ${c_{12}}^{\′}=K\frac{n(1+\mathrm{\μ})}{2\mathrm{\ρHR}}{T}_1,$ ${c_{13}}^{\′}=K\frac{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρHR}}{T}_1-R{\mathrm{\Ω}}^2{T}_1,$

${c_{21}}^{\′}=-(K\frac{n(1+\mathrm{\μ})}{2\mathrm{\ρHR}}+n{R}^2{\mathrm{\Ω}}^2)T_1,$ ${c_{22}}^{\′}=-{\mathrm{\Ω}}^2-\frac{(K{R}^2+D)}{\mathrm{\ρH}{R}^2}(\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}{T}_2-\frac{n^2}{R^2}),$

${c_{23}}^{\′}=-\frac{\mathrm{Dn}}{\mathrm{\ρH}{R}^2}(T_2-\frac{n^2}{R^2})+\frac{\mathrm{Kn}}{\mathrm{\ρH}{R}^2},$ ${c_{31}}^{\′}=-K\frac{\mathrm{\μL}}{\mathrm{\ρHR}}{T}_1,$ ${c_{32}}^{\′}=-\frac{\mathrm{Dn}}{\mathrm{\ρH}{R}^2}(T_2-\frac{n^2}{R^2})+\frac{\mathrm{Kn}}{\mathrm{\ρH}{R}^2}+n{\mathrm{\Ω}}^2,$

${c_{33}}^{\′}=-(1-n^2){\mathrm{\Ω}}^2-D\frac{n^2}{\mathrm{\ρH}{R}^2}(2T_2-\frac{n^2}{R^2})+\frac{K}{\mathrm{\ρH}{R}^2}+\frac{D}{\mathrm{\ρH}}{T}_3.$

上述式中，K为薄膜刚度，D为弯曲刚度，

ω_mn为固有频率。

其中， $T_1=\frac{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right){\mathrm{\φ}}^{\′}\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{dx}},$ $T_2=\frac{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right){\mathrm{\φ}}^{\′\′}\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{dx}},$ $T_3=\frac{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right){\mathrm{\φ}}^{\″\″}\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\∫}_0^L\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{\φ}\left(x\right)\mathrm{dx}}.$ 其中

φ′(x)、φ″(x)和φ″″(x)分别为φ(x)的一介倒数、二阶导数和四阶导数。

由式(7)的非平凡解条件可以得到旋转薄壁圆柱壳的求解公式为

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^6+{{\mathrm{\β}}_4}^{\′}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^4+{{\mathrm{\β}}_3}^{\′}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^3+{{\mathrm{\β}}_2}^{\′}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2+{{\mathrm{\β}}_1}^{\′}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}+{{\mathrm{\β}}_0}^{\′}=0---\left(8\right)$

其中，β₄′＝-(c₁₁′+c₂₂′+c₃₃′+4Ω²)，β₃′＝2(c₂₃′+c₃₂′)Ω，

β₂′＝c₁₁′c₂₂′+c₁₁′c₃₃′+c₂₂′c₃₃′-c₁₂′c₂₁′-c₁₃′c₃₁′-c₂₃′c₃₂′+4c₁₁Ω²，

β₁′＝2(c₁₃′c₂₁′+2c₁₂′c₃₁′-c₁₁′c₂₃′-c₁₁′c₃₂′)Ω，

β₀′＝c₁₁′c₂₃′c₃₂′+c₁₂′c₂₁′c₃₃′+c₁₃′c₂₂′c₃₁′-c₁₂′c₂₃′c₃₁′-c₁₃′c₂₁′c₃₁′-c₁₁′c₂₂′c₃₃′。

式(8)是一个关于频率ω_mn的代数方程，对应每一组确定的(m，n)，可以求得固有频率值。

计算固支-自由旋转薄壁圆柱壳在转速为4000r/min，轴向波数m＝1～3，周向波数n＝1～10时的固有频率值如表2所示：

表2转速为4000r/min薄壁圆柱壳的频率值(Hz)

步骤2.2.3：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，得出筒的各点的振动位移，具体过程为：

步骤2.2.3.1：求出各阶振型比。

由式(7)得相应各阶振型比公式为：

$\frac{{\stackrel{\‾}{U}}_{\mathrm{mn}}}{{\stackrel{\‾}{W}}_{\mathrm{mn}}}=C_{\mathrm{mn}}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{c_{13}}^{\′}& {c_{12}}^{\′}\\ -{c_{23}}^{\′}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{22}}^{\′}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{11}}^{\′}& {c_{12}}^{\′}\\ {c_{21}}^{\′}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{22}}^{\′}\end{array}\right|}---\left(9a\right)$

$\frac{{\stackrel{\‾}{V}}_{\mathrm{mn}}}{{\stackrel{\‾}{W}}_{\mathrm{mn}}}{D}_{\mathrm{mn}}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{11}}^{\′}& {c_{13}}^{\′}\\ {c_{21}}^{\′}& -{c_{23}}^{\′}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{11}}^{\′}& {c_{12}}^{\′}\\ {c_{21}}^{\′}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}^2-{c_{22}}^{\′}\end{array}\right|}---\left(9b\right)$

本实施方式中计算出的振型比

和

如表3和表4所示：

表3旋转薄壁圆柱壳的振型比

表4旋转薄壁圆柱壳的振型比

步骤2.2.3.2：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，以及步骤2.2.3.1得出的各阶振型比，将筒的振动位移表达式进行简化，以便于计算各点的位移。

设作用外激励的旋转圆柱壳的位移解为式子(10a)-(10c)，将步骤2.2.2得到的固有频率ω_mn和步骤2.2.3.1得到的各阶振型比代入式子(10a)-(10c)，公式为：

$u(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{\mathrm{mni}}{p}_{\mathrm{mni}}\left(t\right)T^u\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos (\mathrm{n\θ}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}t)---\left(10a\right)$

$v(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{mni}}{p}_{\mathrm{mni}}\left(t\right)T^v\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin (\mathrm{n\θ}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}t)---\left(10b\right)$

$w(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{\mathrm{mni}}\left(t\right)T^w\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos (\mathrm{n\θ}+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}t)---\left(10c\right)$

式中，p_mni(t)为振型参与系数，i＝1～6，ξ＝x/L。当边界条件为简支-简支时T^u(ξ)＝cos(mπξ)，T^v(ξ)＝T^w(ξ)＝sin(mπξ)。当为其它边界条件时T^u(ξ)＝T^v(ξ)＝T^w(ξ)＝φ(x)，轴向梁函数

在表达式(4)中已给出。

根据三角函数积化和差公式，位移解可化为如下公式：

$u(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[{\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}1}\left(t\right)T^u\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}2}\left(t\right)T^u\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)]---\left(11a\right)$

$v(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[{\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}1}\left(t\right)T^v\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)+{\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}2}\left(t\right)T^v\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)]---\left(11b\right)$

$w(x,\mathrm{\θ},t)=\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}[{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}1}\left(t\right)T^w\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)-{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}2}\left(t\right)T^w\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)]---\left(11c\right)$

其中，α_mn1，α_mn2，β_mn1，β_mn2，γ_mn1，γ_mn2为广义坐标，受强迫激励的圆柱壳的位移解可利用广义坐标{α_mn1，β_mn1，γ_mn1}^T和{α_mn2，β_mn2，γ_mn2}^T表示，和模态正则坐标有如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}1}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}1}\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}1}\end{array}\right\}=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}t\right)\left\{\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{mni}}\\ D_{\mathrm{mni}}\\ 1\end{array}\right\}{p}_{\mathrm{mni}}\left(t\right)---\left(12a\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}2}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}2}\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}2}\end{array}\right\}=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{mn}}t\right)\left\{\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{mni}}\\ D_{\mathrm{mni}}\\ 1\end{array}\right\}{p}_{\mathrm{mni}}\left(t\right)---\left(12b\right)$

式中，C_mni和D_mni为对应的第i阶振型比，p_mni(t)为第i阶模态正则坐标系。

将位移解(11)代入振动微分方程(1)，利用三角函数的正交性，对振动微分方程进行解耦，可得到如下二阶常微分方程

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{x}}_2\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& -G\\ G& 0\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}J& 0\\ 0& J\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right\}---\left(13\right)$

式中，x₁＝{α_mn1，β_mn1，γ_mn1}^T和x₂＝{α_mn2，β_mn2，γ_mn2}^T为广义坐标向量，

和

分别为x₁的一阶倒数和二阶倒数，

和

分别为x₂的一阶倒数和二阶倒数，I₁＝{Q₁，Q₂，Q₃}^T和I₂＝{Q₄，Q₅，Q₆}^T为广义外激力向量，有如下表达式：

$G=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\mathrm{\Ω}\\ 0& 2\mathrm{\Ω}& 0\end{array}\right]---\left(14a\right)$

$J=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& -c_{13}\\ -c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ -c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]---\left(14b\right)$

$I_1=\left\{\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\\ Q_3\end{array}\right\}=\frac{2}{\mathrm{\ρH\π}}{\∫}_0^1{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}\left\{\begin{array}{c}{q}_x{T}^u\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)\\ q_{\mathrm{\θ}}{T}^v\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)\\ q_z{T}^w\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)\end{array}\right\}\mathrm{d\θd\ξ}---\left(14c\right)$

$I_2=\left\{\begin{array}{c}{Q}_4\\ Q_5\\ Q_6\end{array}\right\}=\frac{2}{\mathrm{\ρH\π}}{\∫}_0^1{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}\left\{\begin{array}{c}-q_x{T}^u\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)\\ q_{\mathrm{\θ}}{T}^v\left(\mathrm{\ξ}\right)\cos \left(\mathrm{n\θ}\right)\\ -q_z{T}^w\left(\mathrm{\ξ}\right)\sin \left(\mathrm{n\θ}\right)\end{array}\right\}\mathrm{d\θd\ξ}---\left(14d\right)$

通过引进等效粘性阻尼，假设在三个主方向上阻尼大小一致，因此可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{x}}_2\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}S& -G\\ G& S\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}J& 0\\ 0& J\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right\}---\left(15\right)$

式中，

$S=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{mn}}/\mathrm{\ρH}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{mn}}/\mathrm{\ρH}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{mn}}/\mathrm{\ρH}\end{array}\right],$ λ_mn＝2ρHζ_mnω_mn    (16)

式中，ζ_mn为模态阻尼系数。

在实际应用中，主要考虑圆柱壳的径向位移引起的弯曲振动，而与轴向位移相关的模态正则坐标系p_mni(t)，i＝3～6的值很小可以忽略不计，而且可认为位移幅值比C_mn1≈C_mn2＝C_mn，D_mn1≈D_mn2＝D_mn，因此由式(12)得出如下关系：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}1}=C_{\mathrm{mn}}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}1},& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{mn}2}=C_{\mathrm{mn}}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}2},\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}1}=D_{\mathrm{mn}}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}1},& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{mn}2}=D_{\mathrm{mn}}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}2}.\end{array}---\left(17\right)$

因此，式(17)可以简化为关于γ_mn1和γ_mn2的二阶常微分方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\γ}}}_{\mathrm{mn}1}\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\γ}}}_{\mathrm{mn}2}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}\widehat{\mathrm{\λ}}& -\widehat{\mathrm{\Ω}}\\ \widehat{\mathrm{\Ω}}& \widehat{\mathrm{\λ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{\mathrm{mn}1}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_{\mathrm{mn}2}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}\hat{g}& 0\\ 0& \hat{g}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}1}\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{mn}2}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1\\ {\hat{p}}_2\end{array}\right\}---\left(18\right)$

式中，

$\widehat{\mathrm{\Ω}}=2\mathrm{\Ω}\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& 0\\ -c_{21}& c_{22}& 1\\ -c_{31}& c_{32}& D_{\mathrm{mn}}\end{array}\right|{\left({\mathrm{\Δ}}_c\right)}^{-1}---\left(19a\right)$

$\hat{g}=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& -c_{13}\\ -c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ -c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right|{\left({\mathrm{\Δ}}_c\right)}^{-1}---\left(19b\right)$

${\hat{p}}_1=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& Q_1\\ -c_{21}& c_{22}& Q_2\\ -c_{31}& c_{32}& Q_3\end{array}\right|{\left({\mathrm{\Δ}}_c\right)}^{-1}---\left(19c\right)$

${\hat{p}}_2=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& Q_4\\ -c_{21}& c_{22}& Q_5\\ -c_{31}& c_{32}& Q_6\end{array}\right|{\left({\mathrm{\Δ}}_c\right)}^{-1}---\left(19d\right)$

$\widehat{\mathrm{\λ}}={\mathrm{\λ}}_{\mathrm{mn}}/\mathrm{\ρH}---\left(19e\right)$

${\mathrm{\Δ}}_c=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& -c_{12}& C_{\mathrm{mn}}\\ -c_{21}& c_{22}& D_{\mathrm{mn}}\\ -c_{31}& c_{32}& 1\end{array}\right|---\left(19f\right)$

通过对式(18)进行求解，可以得到γ_mn1，γ_mn2的值，然后再代入式(11)即可求得位移响应的具体表达式。

步骤2.2.3.3：在筒的任意一点加单点谐波激励。

假设作用于圆柱壳径向位置(x^*，θ^*)的单点谐波激励表达式为

q_x(ξ，θ，t)＝0    (20a)

q_θ(ξ，θ，t)＝0    (20b)

q_z(ξ，θ，t)＝f₀δ(ξ-ξ^*)δ(θ-θ^*)cos(ωt-α)    (20c)

式中，ω为外激励频率，α为激励力的初相角，ξ＝x^*/L。

激励参数选取为：激振力幅值f₀＝1N，激励力位置x^*＝L，θ^*＝0，节径数取为m＝1，n＝6，固支-自由条件下激励频率选为ω＝ω₁₆＝1717Hz；简支—简支条件下激励频率选为ω＝ω₁₆＝2905Hz，模态阻尼系数ζ＝0.5％。

步骤2.2.3.4：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，步骤2.2.3.1各阶振型比，步骤2.2.3.3所加的单点谐波激励，得出筒的各点的位移。

把式(20)代入式(14)得到广义力向量，再代入式(19)，最后代入式(11)可以得到位移解为

式中，

${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{mn}1}=\frac{f_0{T}^w\left({\mathrm{\ξ}}^{*}\right)(c_{11}{c}_{22}-c_{12}{c}_{21})}{\mathrm{\ρH\π}{\mathrm{\Δ}}_c\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_1}}---\left(22a\right)$

${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{mn}2}=\frac{f_0{T}^w\left({\mathrm{\ξ}}^{*}\right)(c_{11}{c}_{22}-c_{12}{c}_{21})}{\mathrm{\ρH\π}{\mathrm{\Δ}}_c\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_2}}---\left(22b\right)$

${\mathrm{\Δ}}_1={(\hat{g}-{\mathrm{\ω}}_{+}\widehat{\mathrm{\Ω}}-{\mathrm{\ω}}_{+}^2)}^2+{\left(\widehat{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ω}}_{+}\right)}^2---\left(22e\right)$

${\mathrm{\Δ}}_2={(\hat{g}-{\mathrm{\ω}}_{-}\widehat{\mathrm{\Ω}}-{\mathrm{\ω}}_{-}^2)}^2+{\left(\widehat{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\ω}}_{-}\right)}^2---\left(22f\right)$

ω₊＝ω+nΩ    (22g)

ω_-＝ω-nΩ    (22h)

式中，f₀为激励力幅值。T^w(ξ^*)是当ξ^*＝x^*/L时T^w(ξ)的解，T^w(ξ)的表达式在式子(10a)-(10c)之后已给出。

图7为固支自由圆柱壳沿径向受单点谐波激励作用时的振动响应时域曲线，图7(a)为静止薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图，图7(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图；

图8为两端简支圆柱壳沿径向受单点谐波激励作用时的振动响应时域图，其中，图8(a)为静止薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图，图8(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒受单点谐波激励作用的时域响应图；

图9为同一转速不同阻尼时两端简支圆柱壳幅频响应曲线，其中，图9(a)为静止薄壁圆柱筒阻尼分别为ζ＝1.5％，ζ＝1％，ζ＝0.5％时谐波激励下的幅频响应曲线，图9(b)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒阻尼分别为ζ＝1.5％，ζ＝1％，ζ＝0.5％时谐波激励下的幅频响应曲线；

针对式(22e)和式(22f)，令，

$\hat{g}-{\mathrm{\ω}}_{+}\widehat{\mathrm{\Ω}}-{\mathrm{\ω}}_{+}^2=0,$ $\hat{g}-{\mathrm{\ω}}_{-}\widehat{\mathrm{\Ω}}-{\mathrm{\ω}}_{-}^2=0---\left(23\right)$

从而可得旋转圆柱壳的前后行波共振频率表达式为

${\mathrm{\ω}}_r=\frac{1}{2}[\sqrt{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}^2+4{\hat{g}}^2}\±(2\mathrm{n\Ω}+\widehat{\mathrm{\Ω}})]---\left(24\right)$

单点谐波激励下旋转圆柱壳在不同转速下的幅频响应曲线如图10和图11所示，图10为单点谐波激励下固支-自由旋转壳体的响应示意图，其中图10(a)为转速为0时薄壁圆柱筒的响应，图10(b)为转速为2000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图10(c)为转速为3000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图10(d)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒的响应；图11为单点谐波激励下简支-简支旋转壳体的响应示意图，其中图11(a)为转速为0时薄壁圆柱筒的响应，图11(b)为转速为2000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图11(c)为转速为3000r/min的薄壁圆柱筒的响应，图11(d)为转速为4000r/min的薄壁圆柱筒的响应；从图10和图11可以分析出静止壳体在谐波激励下的响应曲线为单个峰值，固支-自由条件下峰值位置为ω₁₆＝1717Hz，简支-简支条件下峰值位置为ω₁₆＝2905Hz。而转动状态下的圆柱壳由于转速的影响，存在科氏加速度和离心力项，从而旋转壳体在同一个转速下会出现两个固有频率值，即前行波和后行波频率。

步骤2.3：根据步骤2.2得出圆柱筒上各点的振动位移，确定圆柱筒的振动响应特征，进而确定各阶固有频率下的振型。薄壁圆柱筒的各阶振型是根据其节线数定义的，如一阶固有频率对应的振型节线数是1，二阶固有频率对于得振型节线数是2，以此类推。例如图12封闭虚线是圆柱筒的某4种固有频率下所对应端面各点的位移图振型图(响应特征)，实线画出的圆为未受激励的筒的端面形状，虚线为受到激励后筒端面变形的形状。

步骤3：根据实际圆柱筒所发生的裂纹或破损部位，与由步骤2计算出的响应特征对照，从而判别出故障是由工作时的激励力频率与圆柱筒构件某阶固有频率一致或接近所造成的，排除故障的方法通常有两种：(1)重新设计圆柱筒构件改变其固有频率；(2)改变圆柱筒构件的工作状态，使其工作激励力或工作转速的频率变化。

虽然以上描述了本发明的具体实施方式，但是本领域内的熟练的技术人员应当理解，这些仅是举例说明，可以对这些实施方式做出多种变更或修改，而不背离本发明的原理和实质。本发明的范围仅由所附权利要求书限定。

Claims (1)

1.一种薄壁圆柱筒结构故障特征确定方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：测量薄壁圆柱筒构件的几何参数，包括：中面直径、筒的长度和壁厚；根据薄壁圆柱筒的材料确定弹性模量、泊松比和密度；

步骤2：根据步骤1的数据，确定薄壁圆柱筒在静止或旋转状态下的振动响应特征，具体如下：

步骤2.1：分别建立两个坐标系：首先，建立一个全局坐标系，以筒的一端截面圆圆心作为坐标原点，筒的长度方向为横坐标，筒的半径方向为纵坐标；其次，建立一个局部坐标系，以筒中面上任意一点作为坐标原点，筒的长度方向为横坐标，沿筒半径方向为纵坐标；

步骤2.2：在圆柱筒上加一个力，来模拟圆柱筒构件的实际受力情况，计算出圆柱筒上各点因受力振动而引起的振动位移，该位移即称为振动响应；根据圆柱筒上的各点位移变化规律确定圆柱筒构件在受力情况下的振动规律，即为振动响应特征，而在某一阶固有频率下对应的振动响应特征称之为薄壁圆柱壳的振型；

所述的圆柱筒上各点因受力振动而引起的振动位移，确定过程包括步骤如下：

步骤2.2.1：确定圆柱筒的支撑方式：圆柱筒结构包括以下四种支撑方式：

(1)第一种支撑方式为：自由—自由支撑方式；

(2)第二种支撑方式为：简支—简支支撑方式；

(3)第三种支撑方式为：固支—自由支撑方式；

(4)第四种支撑方式为：固支—固支支撑方式；

步骤2.2.2：根据步骤2.2.1选定一种支撑方式，并建立全局坐标系和局部坐标系，在全局坐标系下建立薄壁圆柱筒构件的振动方程，利用所述振动方程计算出圆柱筒构件在该支撑方式下的各阶固有频率；

步骤2.2.3：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，在局部坐标系下计算出圆柱筒上的各点位移，具体步骤如下：

步骤2.2.3.1：根据步骤2.2.1选定的支撑方式，计算出各点的各阶振型比，各阶振型比是计算位移的一个非常重要的中间量；

步骤2.2.3.2：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率，以及步骤2.2.3.1得出的各阶振型比，确定圆柱筒的位移与固有频率的关系式，以便于计算圆柱筒上各点的位移；

步骤2.2.3.3：在圆柱筒局部坐标系下，任意设定一点为受力点；

步骤2.2.3.4：根据步骤2.2.2得出的各阶固有频率、步骤2.2.3.1得出的各阶振型比和步骤2.2.3.3所加的力，计算出圆柱筒上各点的振动位移；

步骤2.3：根据步骤2.2得出圆柱筒上各点的振动位移，确定圆柱筒的振动响应特征，进而确定各阶固有频率下的振型薄壁圆柱筒的各阶振型；

步骤3：根据实际圆柱筒所发生的裂纹或破损部位，与由步骤2计算出的振动响应特征对照，从而判别出故障是由工作时的激励力频率与圆柱筒构件某阶固有频率一致或接近所造成的，排除故障的方法通常有两种：(1)重新设计圆柱筒构件改变其固有频率；(2)改变圆柱筒构件的工作状态，使其工作激励力或工作转速的频率改变。

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