CN112346474A - 一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，针对一种无穷时间内稳定的微分对策制导律进行有限时间改进，通过对权重矩阵进行设计，从而使微分对策制导律在有限时间内实现视线角速率收敛，同时制导律保持了不需要剩余时间估计的优点，最终实现对机动目标的有效拦截，提升制导效果。
Description
技术领域
本发明涉及一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，属于飞行器制导领域。
背景技术
微分对策制导律是基于微分对策方法设计出的制导律，文献(李登峰.微分对策及其应用.国防工业出版社,2000)中对微分对策进行定义，即微分对策是指需要利用微分方程描述对策活动的一类对策。其目的是求出微分对策解，即鞍点解。鞍点解是对于决策双方最优的解，任意一方如果不采取鞍点解都会使得对方在博弈过程中受益。导弹追逃问题属于天然的微分对策问题，基于微分对策理论可以进行相关制导律设计。相较于比例制导律和最优制导律，微分对策制导律对于目标机动信息的依赖程度较低。传统制导律需要精确的目标加速度值用来计算补偿目标机动的控制量，微分对策制导律可以利用目标的最大机动能力信息实现制导。在面对现代高机动目标时，往往难以实时获取精确的目标的加速度信息。文献(Anderson G M,宗有德.最优控制拦截与微分对策拦截的导弹制导律比较.***工程与电子技术,1982(05):18-26)指出微分对策制导律的主要优越性在于微分对策制导律对目标加速度估值误差不敏感。
零化视线角速率方法起源于平行制导法，研究发现如果导弹可以实现视线角速率收敛，则表明导弹与目标处于碰撞状态，最终导弹可以实现对目标的拦截。零化视线角速率模型简便，极大简化了制导律的设计。
状态依赖黎卡提方程(state dependent Riccati equation或SDRE)方法在非线性***控制领域中获得广泛的应用，SDRE方法主要包含：状态依赖参数(state-dependentRiccati equation或SDC)以及代数黎卡提方程的求解。在微分对策制导律设计过程中，SDRE方法被广泛用于微分对策问题的求解。文献(Bardhan R.An SDRE BasedDifferential Game Approach for Maneuvering Target Interception.AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference.2013)中利用SDRE方法设计出不需要剩余时间估计的微分对策制导律，而以往的微分对策制导律则需要进行剩余时间估计，这极大地影响了制导精度。
有限时间收敛在制导律设计方面表现为实现视线角速率在制导结束前收敛，并保持收敛至拦截结束，这使得导弹与目标在拦截结束前已经进入碰撞状态，最终可以实现拦截。文献(孙胜,周获.有限时间收敛变结构导引律.宇航学报,2008,29(004):1258-1262)中指出，有限时间稳定性的定义是***的状态在有限时间内到达平衡点，随后就稳定在平衡上。
发明内容
上述的基于SDRE方法的微分对策制导律在设计过程中未对有限时间的收敛性问题进行考虑，本发明将利用有限时间理论对其进行改进以设计出一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法。针对一种无穷时间内稳定的微分对策制导律进行有限时间改进，通过对权重矩阵进行设计，从而使微分对策制导律在有限时间内实现视线角速率收敛，同时制导律保持了不需要剩余时间估计的优点，最终实现对机动目标的有效拦截，提升制导效果。
本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：
一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，包括如下步骤：
步骤一，针对平面追逃问题，基于零化视线角速率的方法设计关于平面追逃问题的微分对策问题；
步骤二，利用SDRE方法对微分对策问题进行求解，得到的微分对策的鞍点解为一种不需要剩余时间估计的微分对策制导律；
步骤三，通过将与视线角速率相关的权重矩阵设计为自适应权重矩阵，获得新的微分对策问题，利用SDRE方法对新的微分对策问题进行求解，得到有限时间收敛的微分对策制导律；
步骤四，通过设置饱和函数以及分段函数，改进自适应权重矩阵，得到最终的有限时间收敛的微分对策制导律SDRE-FDG。
进一步，步骤一具体为：
针对导弹的平面追逃问题，假设导弹与目标速率不变，导弹与目标均具有一阶动态响应，得到导弹与目标的动力学方程：
其中，xm、zm分别为导弹在x、z轴上的坐标，xt、zt分别为目标在x、z轴上的坐标，Vm与Vt分别为导弹与目标的速率，αm与αt为导弹与目标的飞行路径角，am与at为导弹与目标的加速度，τm与τt为导弹与目标的动态响应时间，um、ut分别是导弹的追捕指令和目标的逃逸指令；
导弹与目标的相对运动方程为：
其中，R与
分别为导弹与目标的相对距离与相对速度，θ与
分别为视线角与视线角速率；基于零化视线角速率的方法，对视线角速率公式进行求导获得设计模型：
结合支付函数与设计模型，得到关于平面追逃问题的微分对策问题：
其中，t0为末制导开始时间，x为
J为支付函数，q(x)为关于视线角速率的权重矩阵，R1和R2分别为关于导弹追捕机动和目标逃逸机动的权重矩阵，γ为目标相对于导弹可以获得的机动大小。
进一步，步骤一中微分对策问题的鞍点解
满足：
其中
是导弹采取鞍点解进行机动、目标采取任意机动时的支付函数值，
指的是导弹与目标均采取鞍点解进行机动时的支付函数值，
指的是导弹采取任意机动、目标采取鞍点解进行机动时的支付函数值。
进一步，步骤二中利用SDRE方法对微分对策问题进行求解的过程分为SDC求解、代数黎卡提方程求解：利用每个时刻观测的参数并结合视线角速率微分方程
进行SDC计算，将SDC代入到SDRE方程中得到代数黎卡提方程，再对一阶的代数黎卡提方程进行求解，最终得到不需要剩余时间估计的微分对策制导律。
进一步，步骤二具体为：
针对微分对策问题，如果满足f(0)＝0，那么将f(x)转化为a(x)x，则
其中a(x)、b(x)、c(x)为状态依赖参数，
利用非延迟信息条件下所获得的R、
的测量值求解a(x)、b(x)、c(x)，获得实时状态依赖参数；
针对上述微分对策问题，获得哈密顿方程：
其中λ为协变量；
当支付函数要获得最小值时需要满足：
得到鞍点解：
假设λ＝p(x)x，其中p(x)是协变量λ与状态量x相关的系数，对λ求导得：
基于无穷时间稳定，使得
最终获得SDRE方程：
SDRE方程退化为一元二次方程，将实时求解的得到的a(x)、b(x)、c(x)，代入SDRE方程中，得到代数黎卡提方程：
直接进行一元二次方程求解得到：
最终获得不依赖剩余时间估计的微分对策制导律SDRE-DG：
进一步，步骤二具体为：对于SDRE-DG制导律，q(x)取为常值。
进一步，步骤三中自适应权重矩阵为：
其中-1<η＜1，β>0；
将自适应得权重矩阵q1(x)代入不依赖剩余时间估计的微分对策制导律，得到有限时间收敛的微分对策制导律：
进一步，步骤四中自适应权重矩阵改进为：
其中
为饱和函数，δ＞0为一个常值；
将改进的自适应权重矩阵q2(x)代入有限时间收敛的微分对策制导律，得到最终的有限时间收敛的微分对策制导律SDRE-FDG。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：本发明提出的一种有限时间内收敛的微分对策制导律SDRE-FDG，可以实现视线角速率在有限时间内收敛，同时保持了不需要剩余时间估计的优点。设计出的制导律SDRE-FDG相较于改进前的制导律SDRE-DG收敛速度更快，可以在拦截结束前有效地实现视线角速率收敛，使得导弹在拦截结束前进入碰撞状态，有效地降低了脱靶量，提升了制导效果。
附图说明
图1是末制导阶段的导弹与目标的相对运动；
图2～4分别是目标不进行机动时，SDRE-FDG制导律与SDRE-DG制导律在视线角速率、导弹与目标的运动轨迹、导弹加速度指令方面的对比图；
图5～7分别是目标进行常值机动时，SDRE-FDG制导律与SDRE-DG制导律在视线角速率、导弹与目标的运动轨迹、导弹加速度指令方面的对比图；
图8～10分别是目标进行蛇形机动时，SDRE-FDG制导律与SDRE-DG制导律在视线角速率、导弹与目标的运动轨迹、导弹加速度指令方面的对比图；
图11是本发明的方法流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：
结合图1和图11，本发明提出末制导条件的微分对策制导问题模型。
步骤一：针对平面追逃问题，假设在追逃过程中，导弹与目标的速率不变，忽视重力与空气阻力作用，导弹与目标具有一阶动态响应，最终得到导弹与目标的动力学方程：
其中，xm、zm和xt、zt分别为导弹与目标在x、z轴上的坐标，Vm与Vt分别为导弹与目标的速率，αm与αt为导弹与目标的飞行路径角，am与at为导弹与目标的加速度，τm与τt为导弹与目标的动态响应时间，um、ut分别是导弹的追捕指令和目标的逃逸指令。结合图1得到导弹与目标的相对运动模型为：
其中R与
分别为相对距离与相对速度，θ与
分别为视线角与视线角速率。基于零化视线角速率的方法，对视线角速率公式进行求导获得设计模型：
针对平面追逃问题，以
为x，设计相关支付函数，并得到以下微分对策问题：
γ为目标相对于导弹可以获得的机动大小，其值越大对于目标的机动惩罚越大，代表目标相对于导弹所能获得的机动越小，其取值应取决于目标相对于导弹机动能力的强弱。q(x)为关于视线角速率的权重矩阵，其取值可以为常值或者变量。R1和R2分别为关于导弹追捕机动和目标逃逸机动的权重矩阵。t0为末制导开始时间，代表支付函数积分项开始积分的开始时间。
针对上述微分对策问题，拦截方努力地使得支付函数J的值减小，而目标则努力增大J的值。而微分对策问题的目的是求出鞍点解
鞍点解满足下面的条件：
其中
指的是导弹采取最优(鞍点解)机动、目标采取任意机动(非最优)时的支付函数值，
指的是导弹与目标均采取鞍点解进行机动，
指的是导弹采取任意机动时的支付函数值、目标采取最优(鞍点解)机动时的支付函数值。
上述公式表明，当导弹采用鞍点值
进行机动时，目标只有采用鞍点值
进行机动才能最大程度增大支付函数的值。而目标采用在导弹博弈过程中鞍点值
进行机动，导弹只有用鞍点值
进行机动才能最大程度减小支付函数的值。博弈过程中任意一方如果不采取鞍点解
而采用非鞍点解ut或um进行机动，都将使得对方在博弈过程中受益。
步骤二：针对上述模型进行的微分对策制导律求解，获得不需要剩余时间估计的制导律SDRE-DG。
针对上述微分对策问题，如果满足f(0)＝0，那么就可以将f(x)转化为a(x)x，则可将公式
采取合适的方式转为得到下述公式：
其中a(x)、b(x)、c(x)为所需要实时计算的状态依赖参数：
利用非延迟信息条件下所获得的测量值R、
的值进行求解a(x)、b(x)、c(x)，获得实时状态依赖参数以进行进一步的SDRE的求解。
采取SDRE的方法求解得到步骤一种的追逃微分对策问题的鞍点解
针对上述微分对策问题，获得哈密顿方程：
其中λ为协变量。
当目标方程(支付函数)要获得最小值时需要满足：
得到鞍点解：
假设λ＝p(x)x，其中p(x)是协变量λ与状态量x相关的系数，对λ求导得：
基于无穷时间稳定，使得
最终获得SDRE方程：
由于x为一阶，那么上述公式所示的状态依赖黎卡提SDRE方程退化为一元二次方程，将实时求解的得到的SDC：a(x)、b(x)、c(x)，代入SDRE方程中的得到代数黎卡提方程：
可以直接进行一元二次方程求解：
最终获得不依赖剩余时间估计的微分对策制导律SDRE-DG：
其中对于SDRE-DG制导律q(x)取为常值。
步骤三：
利用有限时间理论设计出自适应的权重矩阵：
其中-1<η＜1，β>0。
将自适应的权重矩阵q1(x)代入到
最终得到有限时间收敛的微分对策制导律：
步骤四：为了避免视线角速率在0值以及附近时发生振荡和制导律失效，对自适应的权重矩阵q1(x)进行改进：
其中：饱和函数
δ＞0为一个接近于0值的常值，为末端视线角速率
振荡上下界的绝对值，用以确保视线角速率最终在(-δ,δ)的较小范围内振荡。
步骤五：仿真对比
下面在目标不机动，进行常值机动以及目标进行蛇形机动的条件下进行仿真研究与对比，首先假设目标不机动时的初始参数如表1所示，即ut＝0、γ＝10、R1＝1、R2＝1，同时SDRE-DG制导律所使用的q(x)＝10000，SDRE-FDG的参数β＝100，η＝0，δ＝0.001最终获得如下所示的仿真结果。
表1目标不机动时初始参数
| x(0)/m | z(0)/m | α(0)/° | V(0)/m·s<sup>-1</sup> | |
| 导弹 | 0 | 0 | 0 | 2500 |
| 目标 | 50000 | 25000 | 180 | 1500 |
在目标不机动条件下，图2中的视线角速率对比图说明了SDRE-FDG制导律收敛速度快于SDRE-DG制导律，并可以有限时间内收敛，图3中的轨迹对比图表明了SDRE-FDG制导律的导弹轨迹更加平直，表明SDRE-FDG制导律可以更为有效地利用导弹的机动能力，而图4也证明了这一点。从如表2所示的脱靶量对比可以看出，SDRE-FDG的制导效果更好。
表2目标无机动时脱靶量对比
| 制导律 | 脱靶量(m) |
| SDRE-DG | 1.69 |
| SDRE-FDG | 0.28 |
导弹与目标的初始参数如表3所示，假设目标进行常值机动ut＝50，γ＝7.5，R1＝1，R2＝1，同时SDRE-DG制导律所使用的q(x)＝10000，SDRE-FDG的参数β＝100，η＝0，δ＝0.001，最终获得如下所示的仿真结果。
表3目标进行常值机动时初始参数
| x(0)/m | z(0)/m | α(0)/° | V(0)/m·s<sup>-1</sup> | |
| 导弹 | 0 | 0 | 0 | 2500 |
| 目标 | 50000 | 20000 | 180 | 1500 |
在目标常值机动条件下，图5中的视线角速率对比图说明了SDRE-FDG制导律收敛速度快于SDRE-DG制导律，并可以有限时间内收敛，图6中的轨迹对比图表明了SDRE-FDG制导律的导弹轨迹更加平直，表明SDRE-FDG制导律可以更为有效地利用导弹的机动能力，而图7也证明了这一点。从如表4所示的脱靶量对比可以看出，SDRE-FDG的制导效果更好。
表4目标进行常值机动时脱靶量对比
| 制导律 | 脱靶量(m) |
| SDRE-DG | 1.10 |
| SDRE-FDG | 0.57 |
导弹与目标的初始参数如表5所示，假设目标进行蛇形机动，蛇形机动峰值为ut＝100，γ＝7.5，R1＝1，R2＝1，同时SDRE-DG制导律所使用的q(x)＝10000，SDRE-FDG的参数β＝100，η＝0，δ＝0.001，最终获得如下所示的仿真结果。
表5目标进行蛇形机动时初始参数
| x(0)/m | z(0)/m | α(0)/° | V(0)/m·s<sup>-1</sup> | |
| 导弹 | 0 | 0 | 0 | 2500 |
| 目标 | 50000 | 20000 | 180 | 1500 |
在目标蛇形机动条件下，图8中的视线角速率对比图说明了SDRE-FDG制导律收敛速度快于SDRE-DG制导律，并可以有限时间内收敛，图9中的轨迹对比图表明了SDRE-FDG制导律的导弹轨迹更加平直，表明SDRE-FDG制导律可以更为有效地利用导弹的机动能力，而图10也证明了这一点。从如表6所示的脱靶量对比可以看出，SDRE-FDG的制导效果更好。
表6目标进行蛇形机动时脱靶量对比
| 制导律 | 脱靶量(m) |
| SDRE-DG | 1.32 |
| SDRE-FDG | 0.39 |
以上结果表明，微分对策制导律SDRE-FDG可以在有限时间内实现视线角速率的收敛，同时保持了制导律不需要剩余时间观测的优点，相较于SDRE-DG制导律有效地提升视线角速率的收敛速度，可以在制导结束前实现收敛，降低了脱靶量，提升了制导效果，具有实际意义。
以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。
Claims (8)
1.一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一，针对平面追逃问题，基于零化视线角速率的方法设计关于平面追逃问题的微分对策问题；
步骤二，利用SDRE方法对微分对策问题进行求解，得到的微分对策的鞍点解为一种不需要剩余时间估计的微分对策制导律；
步骤三，通过将与视线角速率相关的权重矩阵设计为自适应权重矩阵，获得新的微分对策问题，利用SDRE方法对新的微分对策问题进行求解，得到有限时间收敛的微分对策制导律；
步骤四，通过设置饱和函数以及分段函数，改进自适应权重矩阵，得到最终的有限时间收敛的微分对策制导律SDRE-FDG。
2.如权利要求1所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤一中关于平面追逃问题的微分对策问题为：
其中，t0为末制导开始时间，x为
为视线角速率，
R与
分别为导弹与目标的相对距离与相对速度，um、ut分别是导弹的追捕指令和目标的逃逸指令，J为支付函数，q(x)为关于视线角速率的权重矩阵，R1和R2分别为关于导弹追捕机动和目标逃逸机动的权重矩阵，γ为目标相对于导弹可以获得的机动大小。
3.如权利要求2所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤一中微分对策问题的鞍点解
满足：
其中
是导弹采取鞍点解进行机动、目标采取任意机动时的支付函数值，
指的是导弹与目标均采取鞍点解进行机动时的支付函数值，
指的是导弹采取任意机动、目标采取鞍点解进行机动时的支付函数值。
4.如权利要求1所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤二中利用SDRE方法对微分对策问题进行求解的过程分为SDC求解、代数黎卡提方程求解：利用每个时刻观测的参数并结合视线角速率微分方程
进行SDC计算，将SDC代入到SDRE方程中得到代数黎卡提方程，再对一阶的代数黎卡提方程进行求解，最终得到不需要剩余时间估计的微分对策制导律；其中，R与
分别为导弹与目标的相对距离与相对速度，
为视线角速率，um、ut分别是导弹的追捕指令和目标的逃逸指令。
5.如权利要求2所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤二具体为：
针对微分对策问题，如果满足f(0)＝0，那么将f(x)转化为a(x)x，则
其中a(x)、b(x)、c(x)为状态依赖参数，
利用非延迟信息条件下所获得的R、
的测量值求解a(x)、b(x)、c(x)，获得实时状态依赖参数；
针对上述微分对策问题，获得哈密顿方程：
其中λ为协变量；
当支付函数要获得最小值时需要满足：
得到鞍点解：
假设λ＝p(x)x，其中p(x)是协变量λ与状态量x相关的系数，对λ求导得：
SDRE方程退化为一元二次方程，将实时求解的得到的a(x)、b(x)、c(x)，代入SDRE方程中，得到代数黎卡提方程：
直接进行一元二次方程求解得到：
最终获得不依赖剩余时间估计的微分对策制导律SDRE-DG：
6.如权利要求5所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤二具体为：对于SDRE-DG制导律，q(x)取为常值。
7.如权利要求5所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤三中自适应权重矩阵为：
其中-1＜η＜1，β＞0；
将自适应得权重矩阵q1(x)代入不依赖剩余时间估计的微分对策制导律，得到有限时间收敛的微分对策制导律：
8.如权利要求5所述的一种有限时间收敛的微分对策制导律的设计方法，其特征在于，步骤四中自适应权重矩阵改进为：
其中
为饱和函数，δ＞0为一个常值；
将改进的自适应权重矩阵q2(x)代入有限时间收敛的微分对策制导律，得到最终的有限时间收敛的微分对策制导律SDRE-FDG。
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