CN112276957B - 一种直线段和圆弧的平滑过渡方法及*** - Google Patents

Abstract

本发明提供一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，给定交融区半径，在交融区内构造过渡曲线，然后求取过渡曲线。按照本方法得到的过渡曲线与直线段和圆弧在相接处具有两阶几何连续性，另外，过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，保证了过渡曲线曲率平缓变化，且截取的曲线段不会出现局部闭合和尖点的情况。

Description

一种直线段和圆弧的平滑过渡方法及***

技术领域

本发明涉机器人路径规划技术领域，具体来说是一种直线段和圆弧的平滑过渡方法及***。

背景技术

在工业机器人编程中，工具中心点TCP的运动路径有两种基本形式：直线段和圆弧，分别对应于直线运动指令和圆弧运动指令。通过运动指令的组合和顺序执行，可以实现复杂的末端工具运动。若TCP(工具中心点)严格按指令定义的路径运动，为保证加速度不跳变，在每条路径的终点处机器人都应该停止，对于需要执行多条运动指令的任务，机器人将频繁启停。某些应用(如搬运，上下料)希望机器人在指令之间保持运动，而且允许TCP在一定范围内偏离指定的路径。对于此类需求，一个典型做法是在指令中增加参数并定义一个交融区，在交融区内构造一条平滑连接相邻路径段的过渡曲线。构造的过渡曲线应符合两点要求：一是过渡曲线与前后路径段在衔接处应具有两阶及以上的几何连续性，以保证加速度不跳变；二是其曲率变化应平缓，避免出现局部闭合和尖点等现象。

不考虑顺序，基本路径之间的连接分为三种情况：直线段和直线段，直线段和圆弧，圆弧和圆弧。相应地，基本路径之间的过渡也分为三种情况。其中，直线段和直线段的过渡相对简单，此种情况下过渡曲线构造方法包括使用Bezier曲线或是对前后两段路径进行矢量叠加。但对于直线段和圆弧的过渡，或是圆弧和圆弧的过渡，以上方法构造的过渡曲线虽然在衔接处有两阶几何连续性，但可能会出现局部闭合和尖点等现象。

如申请号为201811627820.8公开的工业机器人的空间轨迹过渡方法、***及机器人，该专利申请中采用5次贝塞尔曲线构造过渡曲线，所构造的过渡曲线与前后路径在衔接处具有两阶几何连续性，但过渡曲线可能出现局部闭合和尖点现象，造成曲率局部变化剧烈，影响机器人的通过速度。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对直线段和圆弧，提供一种平滑过渡的方法。

本发明通过以下技术手段实现解决上述技术问题的：

一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，假设已知直线段以P₀为起点，P₁为终点，且在P₁点和圆弧相接，由P₀到P₁的方向向量为t₀，P₀与P₁之间的距离为d；圆弧以P₁为起点，P₂为终点，圆心为O，半径为R，圆弧在起点P₁处的切向量为t₁，法向量为n₁，圆弧所对的圆心角为θ；t₀和n₁的夹角为α，t₀和t₁的夹角为β；

方法具体为：给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域；在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e；P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e；

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)；

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标；

确定m，φ₁以及p的方法为：

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二；

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁；

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_s，d_e相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

进一步的，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ) (17)

φ₁与m有如下关系

其中

c1＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)。

进一步的，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)。

按照本方法得到的过渡曲线与直线段和圆弧在相接处具有两阶几何连续性，另外，过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，保证了过渡曲线曲率平缓变化，且截取的曲线段不会出现局部闭合和尖点的情况。

本发明还提供一种直线段和圆弧的平滑过渡***，假设已知直线段以P₀为起点，P₁为终点，且在P₁点和圆弧相接，由P₀到P₁的方向向量为t₀，P₀与P₁之间的距离为d；圆弧以P₁为起点，P₂为终点，圆心为O，半径为R，圆弧在起点P₁处的切向量为t₁，法向量为n₁，圆弧所对的圆心角为θ；t₀和n₁的夹角为α，t₀和t₁的夹角为β；

***包括

过渡曲线构造模块，给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域；在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e；P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e；

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)；

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标；

参数值计算模块，确定m，φ₁以及p的方法为：

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二；

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁；

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_sc，d_ec相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

进一步的，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ) (17)

φ₁与m有如下关系

其中

c₁＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)。

进一步的，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)。

本发明还提供一种直线段和圆弧平滑过渡处理设备，包括至少一个处理器，以及与所述处理器通信连接的至少一个存储器，其中：所述存储器存储有可被处理器执行的程序指令，所述处理器调用所述程序指令能够执行上述的方法。

本发明还提供一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储计算机指令，所述计算机指令使所述计算机执行上述的方法。

本发明的优点在于：

过渡曲线的参数方程(1)，以及求解过程中式(8)、式(18)和式(24)保证了过渡曲线与直线段和圆弧在相接处具有相等的切线和曲率，因而过渡曲线与前后曲线在相接处具有两阶几何连续性；另外，若不限制参数取值范围，参数方程(1)表示平面弹性线，过渡曲线实际为一段从平面弹性线上截取的曲线，由于平面弹性线是能量极小曲线，保证了过渡曲线的曲率平缓变化，并且截取曲线段也不会出现闭合和尖点的情况。

附图说明

图1为本发明实施例2中过渡曲线示意图；

图2为本发明实施例3中过渡曲线示意图；

图3为本发明实施例4中过渡曲线示意图。

图4为本发明实施例5中过渡曲线示意图。

图5为本发明实施例6中过渡曲线示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1

一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，已知直线段以P₀为起点，P₁为终点，且在P₁点和圆弧相接，由P₀到P₁的方向向量为t₀，P₀与P₁之间的距离为d；圆弧以P₁为起点，P₂为终点，圆心为O，半径为R，圆弧在起点P₁处的切向量为t₁，法向量为n₁，圆弧所对的圆心角为θ；t₀和n₁的夹角为α，t₀和t₁的夹角为β。

给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域。在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e。P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e。

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)。

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标。

若能确定m，φ₁以及p，过渡曲线的参数方程将完全确定，过渡曲线也因此确定。以下为m，φ₁以及p的确定方法及流程。

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二。

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，例如二分法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁。

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，例如二分法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_s，d_e相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

进一步，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ) (17)

φ₁与m有如下关系

其中

c₁＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，例如二分法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)

进一步，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，比如二分法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)

按本实施例方法得到的过渡曲线与直线段和圆弧在相接处具有两阶几何连续性，另外，过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，保证了过渡曲线曲率平缓变化，且截取的曲线段不会出现局部闭合和尖点的情况。

本实施例还提供一种直线段和圆弧平滑过渡的***，包括过渡曲线构造模块，给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域；在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e；P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e；

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)；

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标；

参数值计算模块，确定m，φ₁以及p的方法为：

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二；

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁；

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_s，d_e相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

进一步的，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ) (17)

φ₁与m有如下关系

其中

c₁＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)。

进一步的，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e) (23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)。

实施例2

如图1所示，本实施例以一个对应于情形一的具体输入为例，对确定过渡曲线的过程进行详细说明。

给定d＝2.5，R＝1，θ＝180°，α＝120°，β＝30°，R_c＝1.2。

由α＞90°可以判定为情形一，按情形一的处理方法，首先由式(5)得到d_e＝1.2，由式(6)得到θ_e＝0.2398，由式(7)得到(x_e，y_e)＝(0.97138，0.23751)，使用二分法，在区间

上求解由式(9)确定的关于m的方程，得到m＝0.29288，再由式(8)得到φ₁＝0.64952，最后由(10)确定p＝(0.92593，-0.32098)。m，φ₁以及p都确定后，由式(1)可得到过渡曲线的参数方程。图1为所得过渡曲线的示意图。

实施例3

如图2所示，本实施例给出另一个对应于情形一的例子。

给定d＝4，R＝1，θ＝240°，α＝90°，β＝0°，R_c＝1.8。

由α＝90°，β＝0°可以判定为情形一，按情形一的处理方法得到过渡曲线的参数方程，图2为所得过渡曲线的示意图。

实施例4

如图3所示，本实施例以一个对应于情形二的具体输入为例，对确定过渡曲线的过程进行详细说明。

给定d＝3.5，R＝2，θ＝180°，α＝30°，β＝60°，R_c＝1.7。

由α＜90°可以判定为情形二，按情形二的处理方法，使用二分法在区间[0，0.1]内求解式(11)表示的方程，求出μ＝0.020663，由式(12)求得d_s＝1.34701，d_e＝1.48127，再由式(13)求得d_max＝1.7。由于d_max≥d_s且d_max≥d_e，对应于第一种情况，按第一种情况的处理流程，由式(14)得到m＝0.020663，φ₁＝π，由式(15)得(x_e，y_e)＝(-0.56902，1.9173)，最后由式(16)得到p＝(-2.17967，1.09448)。m，φ₁以及p都确定后，由式(1)可得到过渡曲线的参数方程。图3为所得过渡曲线的示意图。

实施例5

如图4所示，本实施例以另一个对应于情形二的具体输入为例，对确定过渡曲线的过程进行详细说明。

给定d＝2，R＝1，θ＝180°，α＝60°，β＝150°，R_c＝1。

由α＜90°可以判定为情形二，按情形二的处理方法，使用二分法在区间[0，0.1]内求解式(11)表示的方程，求出μ＝0.08406，由式(12)求得d_s＝1.99423，d_e＝1.6988，再由式(13)求得d_max＝1。由于d_max＜d_s，对应于第二种情况。按第二种情况的处理流程，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，由式(17)得到(x_s，y_s)＝(-1.5，-0.86603)，式(19)得到c1＝1，c2＝2.86603，使用二分法在区间

内求解由式(20)确定的关于m的方程，得到m＝0.179253，由式(18)得到φ₁＝1.93861，再由式(21)得到p＝(-1.03924，-0.71694)。根据求得的m，φ₁和p，由式(1)和式(2)得到终点P_e的坐标(x_e，y_e)＝(-0.9933，-0.11557)，P₁的坐标(x₁，y₁)＝(R cos(β+π/2)，Rsin(β+π/2))＝(-0.5，-0.866025)，P_e与P₁之间的距离d_e＝0.898067。由于d_e≤d_max，过渡曲线的方程即为已求取的参数方程。图4所得的过渡曲线的示意图。

实施例6

如图5所示，本实施例以一个具体输入为例，分别使用两种方法：5阶Bezier曲线过渡和本发明提出的方法，并对比结果。

给定d＝2，R＝1，θ＝30°，α＝160°，β＝70°，R_c＝0.17。

分别使用5阶Bezier曲线和本发明提出的方法进行过渡，图5中为两种方法得到过渡曲线的示意图，其中5阶Bezier曲线出现了局部闭合现象。

以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (8)

1.一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，其特征在于，假设已知直线段以P₀为起点，P₁为终点，且在P₁点和圆弧相接，由P₀到P₁的方向向量为t₀，P₀与P₁之间的距离为d；圆弧以P₁为起点，P₂为终点，圆心为O，半径为R，圆弧在起点P₁处的切向量为t₁，法向量为n₁，圆弧所对的圆心角为θ；t₀和n₁的夹角为α，t₀和t₁的夹角为β；

方法具体为：给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域；在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e；P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e；

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)；

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标；

确定m，φ₁以及p的方法为：

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二；

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e)(7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁；

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_s，d_e相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

2.根据权利要求1所述的一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，其特征在于，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ)(17)

φ₁与m有如下关系

其中

c₁＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)。

3.根据权利要求1所述的一种直线段和圆弧的平滑过渡方法，其特征在于，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e)(23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)。

4.一种直线段和圆弧的平滑过渡***，其特征在于，假设已知直线段以P₀为起点，P₁为终点，且在P₁点和圆弧相接，由P₀到P₁的方向向量为t₀，P₀与P₁之间的距离为d；圆弧以P₁为起点，P₂为终点，圆心为O，半径为R，圆弧在起点P₁处的切向量为t₁，法向量为n₁，圆弧所对的圆心角为θ；t₀和n₁的夹角为α，t₀和t₁的夹角为β；

***包括

过渡曲线构造模块，给定交融区半径R_c，交融区为以P₁为圆心、R_c为半径的区域；在交融区内构造过渡曲线，过渡曲线的起点记为P_s，终点记为P_e；P_s位于直线段上，P_e位于圆弧上，P_s到P₁的距离记为d_s，P_e到P₁的距离记为d_e；

以O为原点，t₀为x轴方向，t₀旋转β角度到t₁的旋转方向作为逆时针方向，建立平面直角坐标系XOY，并作为参考坐标系，在参考坐标系下，P_s坐标记为(x_s，y_s)，P_e坐标记为(x_e，y_e)；

过渡曲线截取自平面弹性线上的一段，在参考坐标系下，其参数方程具有如下形式，

式中，φ为参数方程的参数，取值范围由-π/2到φ₁，且有，

u(φ)，v(φ)的表达式为

其中，E(φ，m)为第二类椭圆积分，F(φ，m)为第一类椭圆积分，m为椭圆积分的参数，其取值范围为0＜m＜1；i_c，j_c为互相垂直的单位向量，与m有关，其表达式为

p为φ＝0时，过渡曲线上对应点的坐标；

参数值计算模块，确定m，φ₁以及p的方法为：

根据α，β的取值，分两种情形处理，α＞90°或者α＝90°，β＝0°为情形一，α＜90°或者α＝90°，β＝180°为情形二；

对于情形一，首先确定过渡曲线的终点P_e，根据下式计算P_e到P₁的距离d_e，

由d_e得到OP_e的辐角θ_e为：

于是P_e坐标(x_e，y_e)为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e)(7)

再求m和φ₁，φ₁与m存在以下关系式，

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4+π/8)，sin²(θ_e/2+π/4)]上求解关于m的方程：

式(9)中E(m)为第二类完全椭圆积分，K(m)为第一类完全椭圆积分，根据式(8)，式(9)等号两边只与m相关；求解出m后，由式(8)可求得φ₁；

最后求p，由式(2)得到p计算公式为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (10)

对于情形二，首先确定当φ₁＝π时，过渡曲线起点P_s到P₁的距离d_s，以及P_e到P₁的距离d_e，具体做法如下：使用数值算法，在区间[0，0.1]内求解以下关于μ的方程，

求解出μ后，d_s以及d_e由下式确定

再按照下式计算P_s到P₁的最大允许距离d_max，

根据d_max与d_s，d_e相对大小的不同，分两种情况处理，第一种情况，d_max≥d_s且d_max≥d_e，此时有

m＝u，φ₁＝π (14)

P_e坐标(x_e，y_e)为

由式(2)，p为

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (16)

第二种情况，d_max＜d_s或d_max＜d_e，对于此情况，首先固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线的参数方程，并验证终点P_e到P₁的距离d_e是否不大于d_max，若d_e≤d_max，则过渡曲线的方程即为已求取的参数方程，若d_s＞d_max，则固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝d_max，重新求取过渡曲线参数方程。

5.根据权利要求4所述的一种直线段和圆弧的平滑过渡***，其特征在于，固定过渡曲线起点P_s使得d_s＝d_max，求取过渡曲线参数方程的过程如下：由d_s＝d_max得到P_s的坐标为

(x_s，y_s)＝(-R sinβ-d_max，R cosβ)(17)

φ₁与m有如下关系

其中

c₁＝d_max/R+sinβ，c₂＝2-cosβ (19)

使用数值方法，在区间

内求解以下关于m的方程，

根据式(18)，式(20)等号两边只与m相关；m求取后，由式(18)可求得φ₁，进而由已固定的P_s，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_s，y_s)-R|cosφ₁|(u(-π/2)i_c+v(-π/2)j_c) (21)。

6.- 根据权利要求4所述的一种直线段和圆弧的平滑过渡***，其特征在于，固定过渡曲线终点P_e使得d_e＝R_c，求取过渡曲线的参数方程的过程如下：由d_e＝d_max得到OP_e的辐角θ_e为

则P_e的坐标为

(x_e，y_e)＝(R cosθ_e，R sinθ_e)(23)

此时φ₁与m有如下关系

用数值方法，在区间[sin²(θ_e/4-π/8)，sin²(θ_e/2-π/4)]上求解以下关于m的方程，

根据式(24)，式(25)等号两边只与m相关；m求取后，由式(10)可求得φ₁，进而由已固定的P_e，已求取的m和φ₁，根据式(2)可确定

p＝(x_e，y_e)-R|cosφ₁|(u(φ₁)i_c+v(φ₁)j_c) (26)。

7.一种直线段和圆弧平滑过渡处理设备，其特征在于，包括至少一个处理器，以及与所述处理器通信连接的至少一个存储器，其中：所述存储器存储有可被处理器执行的程序指令，所述处理器调用所述程序指令能够执行如权利要求1至3任一所述的方法。

8.一种计算机可读存储介质，其特征在于，所述计算机可读存储介质存储计算机指令，所述计算机指令使所述计算机执行如权利要求1至3任一所述的方法。

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