CN1121658C - 电脑数控曲线路径速率控制方法及装置 - Google Patents

Abstract

于参数化曲线的CNC加工中，进给速率是加工品质的决定性因素；本发明提出具速率控制的参数化曲线插值器，发展出(1)定速率插值器，(2)加减速插值器等之操作模式；定速率插值器操作模式可以使参数化曲线在插值的实现过程中保持速率定值，进而利用参数式曲线插值器的加减速设计，获得更为平滑的加减速运动。

Description

电脑数控曲线路径速率控制方法及装置

本发明是关于一种电脑数控(CNC)加工机，具体地说，是关于具速率控制的参数化曲线插值器设计之电脑数控加工机。

传统的CAD/CNC***操作人员首先经由电脑辅助设计(CAD)设计所需工件，如：模具、涡轮叶片、飞机模型等的3-D曲线表示，其中曲线的表示在CAD***中一般为参数化曲线的格式，并且由于一般的CNC***仅提供直线与圆的插值器，因此CAD尚必须将所设计的工件表面曲线分段并传送到CNC执行。当CNC***的直线插值器接收到工件表面曲线分段信息后再以某些演算法则产生刀具运动的内插点，而这些内插点即为伺服驱动器的位置输入命令。

虽然传统的曲线加工方式较为简单，但是在应用上仍有些许缺点：(1)为使能更精确的表示曲线，因此必须将曲线分段为大量的区段并传送于CAD与CNC之间，但是在传送大量的信号时容易造成误差，如：数据遗失与噪音干扰；(2)切割区段的不连续性会造成加工工件的表面精度恶化。(3)因为曲线区段直线化，速率在每一直线区段并非为平滑(smooth)变化，尤其是考虑CNC插值器的自动加减速特性后更为明显。

传统的加减速方式是将位置命令经过低通滤波器以产生较为平滑的命令输入。但是此法会使具有较大变化的命令路径产生径向与弦高误差，如加工曲线的起点与终点附近。虽然Kim(D.I.Kim)提出使用参数的加减速方式以达到参数化曲线加减速的目的，同时因为是对参数进行加减速的操作，因此内插点具有较小的径向误差，可以使内插点的产生具有加减速的功能，但是在某些曲线上并不能真正达到速率加减速的目的，其原因是参数空间与曲线并非是均匀对应。此外，当曲线之曲率半径太小以至于进给速率命令相形过大时，将造成明显的位置命令误差。

鉴于公知的参数化曲线插值的过程中，曲线的速率精度不易控制，而进给的速率是加工品质的决定性因素，因此本发明提出具速率控制的参数化曲线插值器的设计。

本发明之目的为提供一种具定速率插值器操作模式，可以使参数化曲线在插值的实现过程中，保持定值速率，以确保加工品质的电脑数控曲线路径速率控制方法及装置。

本发明之另一目的为提供一种具加减速插值器操作模式，利用参数式曲线插值器的加减速设计，以获得更为平滑的加减速运动的电脑数控曲线路径速率控制方法及装置。

本发明的电脑数控(CNC)曲线路径速率控制方法，系以等速率或加减速控制操作曲线路径加工，包括下列步骤：

(1)参数化曲线插值器在接收由电脑辅助设计(CAD)所解译曲线的信息后，以参数化曲线的参数迭代法(Iteration)产生连续的内插点；

(2)仅考虑插值器产生的位置命令误差的弦高误差(chord heighterror)的影响，而不考虑径向误差(radial error)；

(3)导出参数曲线公式(parametric curve formulation)之一次近似参数迭代法则；

(4)设计具速率控制之参数迭代法则，将该表示之一次近似参数迭代法则提出参数补偿，经由补偿量与曲线间的相关性获得更高精度的曲线速率控制；

(5)选择在零点附近的补偿值以获得较为可靠的参数迭代结果；以及

(6)将该获得补偿值之连续的内插点送入控制***使刀具中心沿著参数化曲线移动。

本发明的电脑数控(CNC)曲线路径速率控制方法中所使用的参数化曲线为非等距B云形线(NURBS)，而参数化曲线插值器使用的参数迭代法，是以Chou(J.J.Chou)和Yang(D.C.H.Yang)所提出的一般化参数迭代法则为基础提出进给速率控制的参数迭代方式。

本发明的电脑数控曲线路径速率控制装置，包括：

电脑，作辅助设计(CAD)的工作，该辅助设计工作包括作参数化曲线格式及分段曲线；

电脑数控(CNC)机构，包括：

参数化曲线插值器，在接收该电脑所解译的参数曲线信息后，以参数化曲线的点产生方式产生连续的内插点；

控制器，接收该参数化曲线插值器所产生的连续的内插点，送出控制加工信号；

刀具，接收该控制器送出之控制加工信号，中心沿著参数化曲线移动；以及

人机介面装置，可让操作者与该参数化曲线插值器之间作人机对话；

其中该参数化曲线插值器可对该参数化曲线作定速率插值操作模式及加减速插值操作模式。

本发明的电脑数控曲线路径速率控制之参数化曲线插值器装置，包括：定速率插值器，使参数化曲线路径在插值的实现过程中保持速率定值；加减速插值器，使该加工曲线路径获得更为平滑的加减速运动。

图1为本发明实施例参数化曲线的加工***方块图；

图2为刀具在两内插点间以直线运动，插值器产生位置命令误差的示意图；

图3为补偿量ε_1，2(u_i)公式中，向量 曲线微分向量

与参数u_i、u_i+1′、u_i+1间的几何关系；

图4为形成相同实数值或共轭虚数值补偿量ε_1，2(u_i)的情况；

图5为本实施例应用之蝴蝶结曲线命令路径；

图6为一阶近似(1st order approximation)插值速率命令结果曲线速率变动情形；

图7为二阶近似(2nd order approximation)插值速率命令结果曲线速率变动情形；

图8为本实施例定速率操作模式插值速率命令结果曲线速率变动情形；

图9为定速率操作模式中参数补偿值ε_1，2(u_i)计算结果；

图10为二次曲线加减速方式的速率差值变化一阶(1st)近似之曲线情况；

图11为二次曲线加减速方式的速率差值变化二阶(2nd)近似之曲线情况；

图12为二次曲线加减速方式的速率差值变化定速率操作模式之曲线情况。

一般由于CAD***所产生的曲线为参数式曲线表示，同时CAD***也提供参数式曲线的相关参数数据传输格式，因此在CAD/CNC***的设计上可直接应用参数式曲线的参数信息作为CAD/CNC***间的加工信息传输与CNC的插值。本发明讨论参数化曲线的加工***如图1所示，图中1为电脑，其作辅助设计(CAD)之工作，包括作参数化曲线格式及分段曲线，2为电脑数控(CNC)机构，其中参数化曲线插值器3在接收由电脑1所解译之参数曲线信息7后，以参数化曲线的点产生方式产生连续的内插点送入控制器5使刀具6中心沿著参数化曲线移动，其中4为人机介面装置，可让操作者与CNC之间作对话。常见的参数化曲线为：贝齐尔(Bezier)曲线、B云形线(B Spline)、和非等距B云形线(NURBS)；本发明使用NURBS参数化曲线。

参数化曲线插值器3实现的过程，主要是进行参数化曲线点的计算。一般较高曲线位置与速率精度的计算法则需较复杂的计算方式与较大的计算量，此点在即时命令产生的环境下较为不利。因此计算法的选择与设计必须考虑曲线精度与计算时间的权衡。最常使用的计算法格式为如下的参数迭代方式：

u_i+1＝u_i+Δ(u_i)

其中，u_i表示现在时序的参数，u_i+1表示下一时序时的参数，Δ(u_i)表示与现在时序相关的计算量。在参数化曲线下，u_i表示曲线的参数，因此必须将该参数代入曲线的数学表示式才能获得该时序时的点。在参数化曲线插值器的设计时，对于任意参数式曲线数学模型的应用，由于参数化曲线中参数与曲线或几何路径间的关系并不明显，不易执行逆运算，即不容易由已知的曲线点反推相对应的参数值，因此在参数的迭代法上不易对曲线速率有良好的控制。在实际加工上，参数式曲线插值器会因为不适当的参数迭代法则造成插值结果曲线速率的误差，曲线速率误差是指相邻内插点间的移动速率与插值器的进给速率设定的差值，当曲线速率的误差越大时表示内插点间的移动不能如进给速率所操作，往往会造成过大的位置误差、过长的加工时间与不良的加工工件表面。因此在参数化曲线插值器的设计上，参数迭代法必须精确的控制曲线速率降低误差。除了曲线速率误差，由于插值器产生刀具运动时的内插点，而刀具在两内插点间是以直线运动，因此插值器产生的位置命令误差一般可包含：径向误差(radialerror)与弦高误差(chord height error)。径向误差、弦高误差与曲线间的关系可如图2所表示，其中8为工件轮廓曲线，9为刀具运动路径，10为径向误差，11为弘高误差，12为内插点。

径向误差为位置点与曲线间的最短距离，而弦高误差则为两位置点所形成的割线 CD与切割弧间的最大距离。在参数化曲线插值器的设计上，一般引起径向误差的原因为浮点数的圆切误差(rounding error)，而引起弦高误差的原因为不正确的进给速率所造成。由于在参数化曲线的表示中，圆切误差可利用精密电脑运算予以降低，而弦高误差往往会远大于径向误差，因此在插值器的设计上，本发明仅考虑弦高误差的影响，并且弦高误差应控制在一个基本长度单位(BLU)以内。

参数式曲线的参数迭代法研究上，在Bedi(S.Bedi)，Ali(I.Ali)，和Quan(N.Quan)所使用的方法中，Δ(u_i)为一常数值，此时称该迭代方式为均匀(uniform)的参数迭代。此种方法虽然简单，但是参数的等间距选取并不能保证曲线位置命令弦高误差的边界范围与曲线速率的变化，因为参数与曲线点间的关系并非为一致对应。Chou和Yang根据切削刀具路径与运动***的动态特性提出精确的参数式曲线的参数迭代方式，以同时控制***的位置、速率与加速率，更精密的原因是Chou和Yang的方法加入了参数与时间间的动态关系考量。Kim讨论参数化曲线中参数加减速的参数迭代方式，经由参数加减速的方式以获得具高精密度的位置与平滑的速率加减速结果，但是由于参数与曲线间的关系并非一致(uniform)对应，因此在速率上可能未有如预期的加减速行为。

由于插值器所产生的位置命令与曲线速率精度均会影响加工工件的品质；不精确的位置命令会造成精度不够的加工结果而曲线速率误差会造成工时的延长与速率上的波动会造成震动，影响加工工件的表面精度。因此在实现任何的参数化曲线的过程中，如何设计参数的迭代过程产生位置与曲线速率精度都能符合设计要求，亦即达到低位置命令弦高误差与低曲线速率误差，是参数化曲线插值器实现的重要关键。

在参数迭代的方法上，虽然Chou和Yang所提出的参数迭代方法因为具有参数与时间间的动态关系而使得曲线速率变动的情况获得改善，但是改善的幅度仍因泰勒展开式的近似程度而受限制，同时也无法准确的控制曲线速率。因此，本发明以Chou和Yang所提出的一般化参数迭代法则为基础提出进给速率控制的参数迭代方式以准确的控制插值器所产生的曲线速率。具速率控制的参数迭代方法是在Chou和Yang原始的一阶近似参数迭代法中加入补偿量，由于补偿量考量参数与曲线速率间的近似关系，因此可大幅降低曲线速率的波动。基于进给速率的控制，参数式曲线插值器的内插点产生可依加工条件的要求以定速率操作模式与加减速操作模式操作。定速率操作模式是使插值器在曲线产生过程中维持相同的曲线速率以减少因速率变动所引起的加工误差。在加减速操作模式中，由于速率控制的参数迭代方式可以获得高精度的曲线速率控制，因此在加减速的设计上可针对进给速率参数执行加减速使曲线速率以相同的加减速方式进行并获得真正的加减速率结果，并且也可完全得知加减速时的速率变化。

(A)参数曲线公式(Parametric Curve Formulation)之推导：

在参数迭代方法的推导过程中，假定C(u)为参数式曲线点的表示式，其中u为参数表示，并且为时间t的函数，即：u＝u(t)。定义

u(t_i)＝u_i；u(t_i+1)＝u_i+1

则经由泰勒展开式可知： $u_{i+1}=u_i+\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{t=t_i}\·(t_{i+1}-t_i)+\frac{1}{2}\·\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{t=t_i}\·{(t_{i+1}-t_i)}^2+H.O.T----\left(1\right)$

由于曲线速率V(u_i)可表为 $V\left(u_i\right)={\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{dt}}\left|\right|}_{u=u_i}={\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}\·\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{t=t_i}$

所以 $\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{t=t_i}=\frac{V\left(u_i\right)}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}}----\left(2\right)$

对式(2)再进行一次微分可得， $\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{t=t_i}=\frac{-1}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}^2}[V\left(u_i\right)\·\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{dt}}]----\left(3\right)$

经由简单的微分演算可知， $\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{dt}}=\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{du}}\·\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{t=t_i}=\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{du}}\·\frac{V\left(u_i\right)}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}}----\left(4\right)$

将式(4)代入式(3)中可得， $\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{t=t_i}=-\frac{V^2\left(u_i\right)}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}^3}\·\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{du}}----\left(5\right)$

同样经由简单的微分演算可知， $\frac{d\left(\right|\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|\left|\right){|}_{u=u_i}}{\mathrm{du}}=\frac{\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}}{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|{|}_{u=u_i}}----\left(6\right)$

将式(6)代入式(5)中可得参数u的二次微分式为， $\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{t=t_i}=-\frac{V^2\left(u_i\right)\·(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2})}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}^4}----\left(7\right)$

若曲线点产生间隔为一个取样时间T_s，则

t_i+1-t_i＝T_s

将式(2)与(7)代入式(1)中并省略高次项，则可分别获得一次与二次近似的参数迭代法则如下：

一次近似的参数迭代法则： $u_{i+1}=u_i+\frac{V\left(u_i\right)\·T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}}----\left(8\right)$

二次近似的参数迭代法则： $u_{i+1}=u_i+\frac{V\left(u_i\right)\·T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}}-\frac{V^2\left(u_i\right)\·T_s^2\·(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}){|}_{u=u_i}}{2\·{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}^4}----\left(9\right)$

其中，由于期望曲线速率为进给速率设定值，因此在参数式曲线插值器的实现上可以指定V(u_i)为参数u＝u_i时的进给速率设定值。而在平面座标***中，由于 $\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}=\left[\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dC}}_x\left(u\right)}{\mathrm{du}}\\ \frac{{\mathrm{dC}}_y\left(u\right)}{\mathrm{du}}\end{array}\right];\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}=\left[\begin{array}{c}\frac{d^2{C}_x\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}\\ \frac{d^2{C}_y\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}\end{array}\right]$

所以 ${\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{dC}}_x\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{dC}}_y\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right)}^2}$ $(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}){|}_{u=u_i}=(\frac{{\mathrm{dC}}_x\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^2{C}_x\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}+\frac{{\mathrm{dC}}_y\left(u\right)}{\mathrm{du}}\·\frac{d^2{C}_y\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}){|}_{u=u_i}$

在应用上，式(9)的二次近似参数迭代法则相对于式(8)的一次近似参数迭代法则具有较小的曲线速率误差。

(B)具速率控制之参数迭代法则设计：

由上述中可知，式(8)与式(9)所表示的一次与二次近似参数迭代法则是由曲线参数对时间的泰勒展开式中简化高阶次项获得，但在应用上，由于未知省略项对曲线的影响，曲线速率精度往往受到限制。有监于此，本发明提出参数补偿的方法，经由补偿量与曲线间的相关性获得更高精度的曲线速率控制。设计的方法是在式(8)所表示的一次近似参数迭代法中加入ε(u_i)的补偿量，以修正参数的迭代，由于是经由一次近似参数迭代法进行补偿，因此可以省去曲线二次微分信息的计算。经补偿的参数迭代式为： $u_{i+1}=u_{i+1}^{\′}+\mathrm{\ϵ}\left(u_i\right)$

其中 $u_{i+1}^{\′}=u_i+\frac{V\left(u_i\right)\·T_s}{{\left|\right|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\left|\right|}_{u=u_i}}$

为求得参数迭代的补偿量ε(u_i)，本发明使用位置对参数的一次泰勒展开式，并经由进给速率与曲线速率的要求求解补偿量。定义参数曲线表式为C(u)，其中， $C\left(u\right)=\left[\begin{array}{c}{C}_x\left(u\right)\\ C_y\left(u\right)\end{array}\right],$ C_x(u)与C_y(u)可分别表示参数u时的x轴与y轴的曲线位置。

由于， $u_{i+1}=u_{i+1}^{\′}+\mathrm{\ϵ}\left(u_i\right)$

经由一次泰勒展开式的近似， $C_x\left(u_{i+1}\right)=C_x\left(u_{i+1}^{\′}\right)+\frac{{\mathrm{dC}}_x\left(u_{i+1}^{\′}\right)}{\mathrm{du}}\·\mathrm{\ϵ}\left(u_i\right)$ $C_y\left(u_{i+1}\right)=C_y\left(u_{i+1}^{\′}\right)+\frac{{\mathrm{dC}}_y\left(u_{i+1}^{\′}\right)}{\mathrm{du}}\·\mathrm{\ϵ}\left(u_i\right)$

为使路径运动C(u_i)→C(u_i+1)时的速率能够符合进给速率设定值，V(u_i)，因此令 $\frac{\sqrt{{[C_x\left(u_{i+1}\right)-C_x\left(u_i\right)]}^2+{[C_y\left(u_{i+1}\right)-C_y\left(u_i\right)]}^2}}{T_s}=V\left(u_i\right)$

则可得如下之二次函数表示式：

U·ε²+Z·ε+W＝0

其中， $U=X^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2+Y^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2$ $Z=2[\mathrm{DX}\·X^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)+\mathrm{DY}\·Y^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)]$

W＝DX²+DY²-(V(u_i)·T_s)² $\mathrm{DX}=C_x\left(u_{i+1}^{\′}\right)-C_x\left(u_i\right)$ $\mathrm{DY}=C_y\left(u_{i+1}^{\′}\right)-C_y\left(u_i\right)$ $X^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)=\frac{{\mathrm{dC}}_x\left(u_{i+1}^{\′}\right)}{\mathrm{du}}$ $Y^{\′}\left(u_{i+1}\right)=\frac{{\mathrm{dC}}_y\left(u_{i+1}^{\′}\right)}{\mathrm{du}}$

并可求解补偿量ε(u_i)为： ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{1,2}}\left(u_i\right)=\frac{-Z\±\sqrt{Z^2-4\mathrm{UW}}}{2U}$ $=\frac{-[\mathrm{DX}\·X^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)+\mathrm{DY}\·Y^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)]\±\sqrt{[X^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2+Y^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2]\·{(V\left(u_i\right)\·T_s)}^2-{[\mathrm{DY}\·X^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)-\mathrm{DX}\·Y^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)]}^2}}{X^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2+Y^{\′}{\left(u_{i+1}^{\′}\right)}^2}----\left(10\right)$

在式(10)中，由于补偿量ε(u_i)为二次方程序的根值，因此必须讨论其根值的属性并选择适当的根值作为速率控制参数迭代法的补偿值。定义 $\stackrel{\→}{D}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{DX}\\ \mathrm{DY}\end{array}\right]$ ${\stackrel{\→}{C}}^{\′}=\left[\begin{array}{c}{X}^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)\\ Y^{\′}\left(u_{i+1}^{\′}\right)\end{array}\right]$

则式(10)可以改写为 ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{1,2}}\left(u_i\right)=\frac{-(\stackrel{\→}{D}\·{\stackrel{\→}{C}}^{\′})\±\sqrt{{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{(V\left(u_i\right)\·T_s)}^2-{|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\×\stackrel{\→}{D}|}^2}}{{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2}----\left(11\right)$

其中，向量 曲线微分向量

与参数u_i、u_i+1′、u_i+1间的几何关系可由图3表示，图中θ为向量 与曲线微分向量 间的夹角。在式(11)中，由于 ${\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{(V\left(u_i\right)\·T_s)}^2-{|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\×\stackrel{\→}{D}|}^2={\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{T_s}^2[V^2\left(u_i\right)-\frac{{|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\×\stackrel{\→}{D}|}^2}{{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{T_s}^2}]$ $={\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{T_s}^2[V^2\left(u_i\right)-{|\frac{{\stackrel{\→}{C}}^{\′}}{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}\×\frac{\stackrel{\→}{D}}{T_s}|}^2]$ $={\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{T_s}^2[V^2\left(u_i\right)-{\left|\right|\frac{\stackrel{\→}{D}}{T_s}\left|\right|}^2\·{\sin }^2\mathrm{\θ}]$

并且 ${\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2>0,{T_s}^2>0$

所以 $\{{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{(V\left(u_i\right)\·T_s)}^2-{|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\×\stackrel{\→}{D}|}^2\}$ 与 $\left\{\right[V^2\left(u_i\right)-{\left|\right|\frac{\stackrel{\→}{D}}{T_s}\left|\right|}^2\·{\sin }^2\mathrm{\θ}\left]\right\}$ 同号

其中， ${\left|\right|\frac{\stackrel{\→}{D}}{T_s}\left|\right|}^2={\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\→}{D}\left|\right|}{T_s}\right)}^2$ 为参数u_i+1′时曲线插值器产生的曲线速率平方。

由于 $\{{\left|\right|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\left|\right|}^2\·{(V\left(u_i\right)\·T_s)}^2-{|{\stackrel{\→}{C}}^{\′}\×\stackrel{\→}{D}|}^2\}$ 与 $\left\{\right[V^2\left(u_i\right)-{\left|\right|\frac{\stackrel{\→}{D}}{T_s}\left|\right|}^2\·{\sin }^2\mathrm{\θ}\left]\right\}$ 同号，因此补偿量ε_1，2(u_i)会有下列三种情形：

(1)当 $[V^2\left(u_i\right)>{\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\→}{D}\left|\right|}{T_s}\right)}^2\·{\sin }^2\mathrm{\θ}]$ 时，补偿量ε_1，2(u_i)为不同的实数值。

(2)当 $[V^2\left(u_i\right)={\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\→}{D}\left|\right|}{T_s}\right)}^2\·{\sin }^2\mathrm{\θ}]$ 时，补偿量ε_1，2(u_i)为相同的实数值。

(3)当 $[V^2\left(u_i\right)<{\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}{T_s}\right)}^2\&CenterDot;{\sin }^2\mathrm{\&theta;}]$ 时，补偿量ε_1，2(u_i)为共轭虚数值。

经过比较曲线插值器产生的曲线速率 进给速率V(u_i)与夹角θ可知 $\left\{\right[V^2\left(u_i\right)-{\left|\right|\frac{\stackrel{\&RightArrow;}{D}}{T_s}\left|\right|}^2\&CenterDot;{\sin }^2\mathrm{\&theta;}\left]\right\}$ 的正负号取决于向量

与曲线微分向量 间的夹角θ。因此可能形成相同实数值或共轭虚数值补偿量ε_1，2(u_i)的情况如图4所示。当u_i+1′落在a，b附近时，由于向量 与曲线微分向量 近乎垂直，因

此sin²θ≌1同时 $[V^2\left(u_i\right)\&le;{\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}{T_s}\right)}^2\&CenterDot;{\sin }^2\mathrm{\&theta;}]$ 亦比较可能发生。换言之，相同实数值或共轭虚数值补偿量较可能发生在曲线曲率较大的点附近。但在实际的应用上，相同实数值或共轭虚数值补偿量并不会发生，因为基于位置命令精确度的考量，曲线参数

间并不允许有大曲率的曲线变化，同时在变化较为平缓的曲线应用上也不会发生相同实数值或共轭虚数值补偿量的情形。因此，补偿量ε_1，2(u_i)在实际的应用上一般为不同的实数值。由式(11)， ${\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{1,2}}\left(u_i\right)=\frac{-(\stackrel{\&RightArrow;}{D}\&CenterDot;\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}}{\left|\right|{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}})\&PlusMinus;\sqrt{{(V\left(u_i\right)\&CenterDot;T_s)}^2-{|\frac{{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}}{\left|\right|{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}\left|\right|}\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{D}|}^2}}{\left|\right|{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}\left|\right|}$ $=\frac{-\left(\right|\left|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\right||\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;})\&PlusMinus;\sqrt{{(V\left(u_i\right)\&CenterDot;T_s)}^2-{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}^2\&CenterDot;{\sin }^2\mathrm{\&theta;}}}{\left|\right|{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}\left|\right|}$ $=\frac{-\left(\right|\left|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\right||\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;})\&PlusMinus;\sqrt{{(V\left(u_i\right)\&CenterDot;T_s)}^2-{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}^2+{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}^2{\cos }^2\mathrm{\&theta;}}}{\left|\right|{\stackrel{\&RightArrow;}{C}}^{\&prime;}\left|\right|}$

令 ${(V\left(u_i\right)\&CenterDot;T_s)}^2-{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{D}\left|\right|}^2=\mathrm{\&mu;}$

当u_i+1′采用一阶近似参数迭代方式时，μ一般为一相对小值，因此经由泰勒展开式的近似可得知，

即ε_1，2(u_i)有一负补偿值与在零点附近的补偿值，并且该负补偿值远离零点。由于补偿值在此的目的是补偿参数u_i+1′在曲线速率上的不足，因此选择在零点附近的补偿值以获得较为可靠的参数迭代结果，即 $\mathrm{\&epsiv;}\left(u_i\right)=\frac{-[\mathrm{DX}\&CenterDot;X^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)+\mathrm{DY}\&CenterDot;Y^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)]+\sqrt{[X^{\&prime;}{\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)}^2+Y^{\&prime;}{\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)}^2]\&CenterDot;{(V\left(u_i\right)\&CenterDot;T_s)}^2-{[\mathrm{DY}\&CenterDot;X^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)-\mathrm{DX}\&CenterDot;Y^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)]}^2}}{[X^{\&prime;}{\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)}^2+Y^{\&prime;}{\left(u_{i+1}^{\&prime;}\right)}^2]}$

在本节所讨论的方法中，由于是基于插值曲线速率的不正确而加入补偿量，因此可获得较高的曲线速率精确度。

在上述具速率控制的参数迭代法则中，由于可以精确控制产生曲线的曲线速率，因此可应用于参数化曲线插值器的设计，并且可依加工条件的不同而有不同的操作模式。一般依加工条件的不同可将插值器的操作模式分为(1)定速率操作模式与(2)加减速操作模式。定速率操作模式是指在参数式曲线实现的过程中，插值器能产生固定曲线速率的内插点。加减速操作模式则可应用在曲线运动开始与终端的插值过程中以获得较为平缓的曲线速率变化。

(C)应用本实施例进给速率控制参数迭代法设计插值器，施行加工例子之比较：

(C.1)应用例

在***的设定上，本发明所使用的***是以C语言编写软件插值程序并于个人电脑具Pentium 200MHz CPU的***上执行。在参数曲线的设定上，本发明采用2级数(2degree)的NURBS参数化曲线模拟蝴蝶结曲线的命令路径如图5所示。其相关的NURBS参数设定为：

1.控制点依序为 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-150\\ -150\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-150\\ 150\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}150\\ -150\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}150\\ 150\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{mm}.$

2.权重向量为：W＝[1 0.85 0.85 1 0.85 0.85 1]。

3.节点向量为： $U=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}& 1& 1& 1\end{array}\right].$

并且以下的参数迭代过程中，相关的参数设定为：

1.取样时间：T_s＝0.01sec。

2.进给速率：F＝12m/min＝200mm/sec。

(C.2)定速率操作模式：

由于具速率控制之参数式曲线插值器设计可以精确的控制插值结果的曲线速率，因此在曲线插值过程中可利用固定进给速率的给定以获得固定曲线速率的插值结果。

参数式曲线插值器定速率操作模式模拟结果：

在此将比较由不同参数迭代法设计之参数式曲线插值器操作模式，均匀(uniform)，一阶近似(1st order approximation)，二阶近似(2nd orderapproximation)，定速率(constant feedrate)间的插值结果曲线速率变动情形。

不同插值器操作模式的模拟插值曲线速率结果如图6、7、8所示，而定速率操作模式中参数补偿值计算结果如图9所示。

插值模拟结果总结如表1所示：

表1：

其中，

1.曲线速率误差的量测是指插值器所产生的曲线速率与设计之进给速率间的差值。

2.曲线速率变动率的计算公式为 ${\mathrm{\&eta;}}_i=\frac{V_f-V_i}{V_f},$ 表示每一取样时间的曲线速率变动率

V_i表示每一取样时间插值器产生的曲线速率

V_f为进给速率设定

3.均匀(uniform)参数迭代方式时的参数间距为取样时间大小。

在模拟结果中明显可知，由于速率控制的参数迭代方式考虑曲线速率与补偿值间的关系，定速率操作模式的插值方式具有最小的曲线速率误差与速率变动率。同时由于是对一阶(1st)近似的参数迭代方式作补偿，因此可知经补偿后的一阶(1st)近似的速率精度获得提升，同时超越二阶(2nd)近似的参数迭代所提供的速率精度。而均匀参数操作模式的插值方式具有最大的曲线速率误差与速率变动率，原因是参数与曲线间并非是均匀分布。在内插点间命令弦高误差的比较上，一阶(1st)近似，二阶(2nd)近似与定速率操作模式的命令弦高误差相差不大，原因是在本模拟所使用的蝴蝶结曲线中曲线速率变化对内插点间命令弦高误差的影响不大，但是均匀操作模式命令弦高误差明显比其他的参数迭代方式增加许多。而在每一内插点的计算时间比较上，由于均匀参数迭代方式产生内插点所需的时间仅是曲线内插点的计算时间因此会最少，而在一阶(1st)近似与二阶(2nd)近似的比较上，由于二阶(2nd)近似需要曲线二次微分与高阶的计算，因此计算时间会比一阶(1st)近似多，而速率控制的参数迭代方式虽然是以一阶(1st)近似为基础也不需进行曲线的二次微分计算，但是需要计算额外一曲线内插点以及一些补偿值的计算过程，因此计算量会比二阶(2nd)近似稍高。虽然具速率控制的参数迭代方式需要较其他参数迭代方式高出一些的计算量，但是插值器的曲线速率精度却比其他参数迭代方式要高出许多，基于此高精度的曲线速率控制，控制器或工件设计工程师可掌握更明确的加工过程；同时在与取样时间的比较上，定速率操作模式内插点计算时间所占的比例极小，因此计算时间在即时实现过程中为可接受。总结在曲线速率的变化程度比较上，参数式曲线插值器以定速率操作模式具有最小的曲线速率误差，其次是二阶(2nd)近似的操作模式与一阶(1st)近似的操作模式，均匀参数操作模式具有最大的曲线速率误差。

(C.3)加减速操作模式：

传统的加减速方式是将位置命令经过低通滤波器以产生较为平滑的命令输入。但是此法会使具有较大变化的命令路径产生径向与弦高误差，如加工曲线的起点与终点附近。有监于此，Kim提出使用参数的加减速方式以达到参数化曲线加减速的目的，同时因为是对参数进行加减速的操作，因此内插点具有较小的径向误差。虽然Kim所提出的参数加减速方式可以使内插点的产生具有加减速的功能，但是在某些曲线上并不能真正达到速率加减速的目的，其原因是参数空间与曲线并非是均匀对应。为获得曲线真正的加减速以适当的控制速率在曲线运动中的变化，本发明于此提出进给速率参数加减速应用的参数化曲线插值器的加减速操作模式。

由于在具速率控制的参数迭代过程中，工件设计者可以精确掌握速率的变化情形，因此可以用以作为进给速率参数加减速的实现，并可精确掌握加减速时的加速率与减速率变化。具速率控制的参数迭代方式是为控制参数的迭代使插值器的曲线速率能符合进给速率的设定值Vu_i，因此在加减速的设计上可以将进给速率参数Vu_i进行加减速的操作。尔后再将经过加减速计算的进给速率参数Vu_i代入进给速率控制的参数迭代公式以使曲线速率变化如预期，如此可获得更精确的加减速控制，也可获得更精确的加工结果。

相同的应用也可用在一阶(1st)与二阶(2nd)近似的参数迭代法则，或其他与进给速率相关的参数迭代法则。但是为确切掌握加减速时的加速率与减速率变化，参数迭代法必须使插值器的曲线速率能精确的反应出进给速率设定，因此建议使用本发明所提出之具速率控制之参数迭代方式实现参数化曲线插值器的加减速操作模式。

参数式曲线插值器加减速操作模式模拟结果：

在参数式曲线插值器加减速操作模式的模拟中，由于加速率与减速率是相同的过程，因此只比较参数式曲线插值器在初始的加速率过程。在本节的模拟中将比较三种与进给速率相关的参数迭代方式：第一(1st)阶近似，第二(2nd)阶近似，与速率控制参数迭代方式应用于加减速过程中曲线速率的变化情形，同时为观察参数迭代法则应用于不同加减速方式的结果，本节将比较三种常用的加减速方式-线性加减速、二次曲线加减速(parabolic)、与指数加减速。由于二次曲线加减速方式为平滑速率变化的加减速方式，因此比较不同参数迭代方式应用于二次曲线加减速方式的插值曲线速率模拟结果如图10，11，12所示。参数迭代方式应用于三种不同加减速方式时最大曲线速率差值列表于表2中。

表2：速率误差

在蝴蝶结曲线的加速率过程中，由于曲线曲率是由小至大渐渐变化，因此在参数迭代时，其曲线速率的误差会渐渐增加如图10，11，12中所示。但是在比较不同的参数迭代法时，使用具速率控制的参数迭代方式明显优于其他与进给速率相关的参数迭代法。而在不同加减速方式的比较上，指数式的加减速方式具有最大的曲线速率误差，二次曲线加减速方式的曲线速率变化较为平滑且速率误差最小。因此总结上述的模拟结果可知，在加减速过程中，当进给速率是以二次曲线的方式平滑变化时，则具速率控制的参数迭代方式可以使插值器所产生的曲线速率具有高精确度的二次曲线变化。换言之，当加减速之进给速率变化曲线为经过设计使参数化曲线插值器的插值结果具有所设计的加速率与减速率变化时，经由具速率控制的参数迭代方式所设计的参数式曲线插值器可使插值器的加速率与减速率结果如设计，尤其是在高速进给速率曲线运动时。

由上实施例及所作比较实例可知，本发明提出具速率控制的参数式曲线插值器设计方式，并且依据曲线速率的控制目的不同而有定速率操作模式与加减速操作模式等以适应不同的加工条件。本发明所提出之速率控制参数迭代方式因为加入考虑参数与曲线速率关系的补偿量，所以应用在插值器的设计上可以获得精确的曲线速率插值结果。由于速率的变化会影响到加工工件的表面粗糙度，因此定速率操作模式旨在参数化曲线实现过程中，相邻内插点间的移动速率维持定值。在参数化曲线插值器加减速操作模式的讨论上，由于本发明提出高精密度要求的速率控制参数迭代方式，因此可应用于曲线速率加减速的控制，利用平滑变化的进给速率与精确的进给速率控制参数迭代方式以使参数化曲线插值器的的插值结果曲线速率的加速率与减速率变化可如预期。

在计算时间上，虽然本发明所提出之参数式曲线插值方式需要较多的计算过程，但是其结果能更精确的控制曲线路径的位置与速率，使工件加工结果能更加的精确。在电脑与处理器晶片速率越来越快，加工品质要求日益提高的现在，本发明所提出之参数式曲线插值器设计同时提供良好的位置及曲线速率精度。

Claims (8)

1.一种电脑数控曲线路径速率控制方法，是以在参数化曲线实现的过程中，插值器能产生固定曲线速率的内插点的等速控制操作曲线路径加工，包括下列步骤：

(1)参数化曲线插值器在接收由电脑辅助设计所解译曲线的信息后，以参数化曲线的参数迭代法产生连续的内插点；

(2)仅考虑插值器产生的位置命令误差的弦高误差的影响，而不考虑径向误差；

(3)导出参数曲线公式的一次近似参数迭代法则；

(4)设计具有速率控制的参数迭代法则，将该表示的一次近似参数迭代法则提出参数补偿，经由补偿量与曲线间的相关性获得更高精度的曲线速率控制；

(5)选择在零点附近的补偿值以获得较为可靠的参数迭代结果；以及

(6)将该获得补偿值的连续的内插点送入控制***使刀具中心沿着参数化曲线移动。

2.根据权利要求1所述的电脑数控曲线路径速率控制方法，其特征在于，所用的该参数化曲线为非等距B云形线。

3.根据权利要求1所述的电脑数控曲线路径速率控制方法，其特征在于，参数化曲线插值器使用的参数迭代法，是以Chou和Yang所提出的一般化参数迭代法则为基础提出进给速率控制的参数迭代方式。

4.一种电脑数控曲线路径速率控制方法，是以针对进给速率参数执行加减速使曲线速率以相同的加减速方式进行并获得真正加减速率结果的加减速控制操作曲线路径加工，包括下列步骤：

(1)参数化曲线插值器在接收由电脑辅助设计所解译曲线的信息后，以参数化曲线的参数迭代法产生连续的内插点；

(2)仅考虑插值器产生的位置命令误差的弦高误差的影响，而不考虑径向误差；

(3)导出参数曲线公式的一次近似参数迭代法则；

(4)设计具有速率控制的参数迭代法则，将该表示的一次近似参数迭代法则提出参数补偿，经由补偿量与曲线间的相关性获得更高精度的曲线速率控制；

(5)选择在零点附近的补偿值以获得较为可靠的参数迭代结果；以及

(6)将该获得补偿值的连续的内插点送入控制***使刀具中心沿着参数化曲线移动。

5.根据权利要求4所述的电脑数控曲线路径速率控制方法，其特征在于，所用的该参数化曲线为非等距B云形线。

6.根据权利要求4所述的电脑数控曲线路径速率控制方法，其特征在于，参数化曲线插值器使用的参数迭代法，是以Chou和Yang所提出的一般化参数迭代法则为基础提出进给速率控制的参数迭代方式。

7.一种电脑数控曲线路径速率控制装置，包括：

电脑，作辅助设计用，该辅助设计工作包括参数化曲线格式及分段曲线；

电脑数控机构，包括：

参数化曲线插值器，在接收该电脑所解译的参数曲线信息后，以参数化曲线的点产生方式产生连续的内插点；

控制器，接收该参数化曲线插值器所产生的连续的内插点，送出加工信号；

刀具，接收该控制器送出的控制加工信号，中心沿着参数化曲线移动；

人机介面装置，可让操作者与该参数化曲线插值器之间作人机沟通；

其中该参数化曲线插值器可对该参数化曲线作定速率插值操作模式、加减速插值操作模式。

8.一种电脑数控曲线路径速率控制的参数化曲线插值器装置，包括：

定速率插值器，使参数化曲线路径在插值的实现过程中保持速率定值；以及

加减速插值器，使该加工曲线路径获得更为平滑的加减速运动。

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