CN112032243B - 一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振*** - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，所述局域共振型隔振***包括简支梁和安装在简支梁上的精密仪器，所述精密仪器隔振安装在简支梁上表面；在所述简支梁上表面上沿轴向还周期布置有M个局域共振元胞，每个局域共振元胞中包含N个吸振器；MN个吸振器等间隔布置，精密仪器布置在任意两个相邻的吸振器之间；本发明提供一种局域共振型隔振***，能够有效抑制精密仪器的低频振动，局域共振型隔振***由设置在梁上的局域共振元胞和精密仪器组成，局域共振元胞中包含若干不同的吸振器，这可以大幅增加吸振器的有效减振范围和减振效率，达到优良的低频隔振效果。本发明结构简单，便于加工、安装和后期维护，降低了应用成本。
Description
技术领域
本发明涉及低频振动控制技术领域，特别是一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***。
背景技术
振动是影响精密仪器测量精度的重要环境因素之一，而其中低频振动又难以消除，影响深远。因此，对精密仪器的低频振动进行有效抑制具有十分重要的意义。目前常用的减振方式中，吸振器能够实现低频宽带的减振性能而被广泛研究和运用。吸振器的基本工作原理是在主振***上的特定位置布置含阻尼、刚度、质量的共振子***即吸振器，吸振器的固有频率在主振***的固有频率附近时，会将主振***的共振能量转移到吸振器中，从而有效减小主振***的振幅。而局域共振理念的提出为低频振动控制问题提供了新的解决思路，局域共振型结构是一种人为构造的周期结构，其减振性能主要依赖于构成单元中微结构的局部共振，由于每个局域共振单元中振子参数的多样化可有效拓宽减振频率的有效范围。
在实际工程应用过程中，复杂多变的工作环境对吸振器的有效减振范围提出了更高的要求，单一类型的吸振器的减振频带较窄，面对主振***变化的工作频率往往达不到理想的减振效果。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，以解决上述技术背景中提出的问题。
为实现上述目的，本发明通过以下技术方案来实现：
一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，所述局域共振型隔振***包括简支梁和安装在简支梁上的精密仪器，所述精密仪器隔振安装在简支梁上表面；在所述简支梁上表面上沿轴向还周期布置有M个局域共振元胞，每个局域共振元胞中包含N个吸振器；所述的MN(即M×N)个吸振器等间隔布置，所述精密仪器布置在任意两个相邻的吸振器之间；
所述局域共振型隔振***满足式(1)的振动方程：
其中：ρ为简支梁的密度，A为简支梁的横截面积，E为简支梁的弹性模量，I为梁截面关于中性轴的惯性矩，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移，f(t)为梁在时刻t受到的横向外力，f0(t)为精密仪器对梁的反作用力，fij(xj+ia,t)为梁上从左至右第i个元胞中第j个吸振器对梁的反作用力，xj+ia为第i个元胞中第j个吸振器在梁上的位置，a为每个局域共振元胞的长度，xj为每个元胞中第j个吸振器相对于第一个吸振器的距离，δ(x-x0)和δ(x-xij)是单位脉冲函数，是为了描述精密仪器或者吸振器的反作用力在梁上的作用点。
上述技术方案中，所述简支梁受到横向外力可由下式(2)表示：
f(t)＝F0sinωt (2)
其中，f(t)为简支梁在t时刻受到的横向外力，F0是横向外力的幅值，ω是横向外力的激振频率。
上述技术方案中，在简支梁受到横向外力作用时，精密仪器对简支梁的反作用力通过下式(3)求得：
其中，k0为精密仪器隔振对应的刚度；c0为精密仪器隔振对应的阻尼；w(x0,t)为坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；x0为精密仪器在梁上的安装位置坐标；u0(t)为精密仪器在时刻t的横向位移；是坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(x0,t)的一阶导数；是精密仪器在时刻t的横向速度，为u0(t)的一阶导数；精密仪器的阻尼力为阻尼与阻尼两端速度差的乘积；精密仪器的弹簧力等于刚度乘以弹簧两端的位移差。
上述技术方案中，在简支梁受到横向外力作用时，吸振器对简支梁的反作用力通过下式(4)求得：
其中：kij和cij分别为梁上从左至右第i个元胞中第j个吸振器的刚度和阻尼；w(xj+ia,t)为坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；xj+ia为第i个元胞中第j个吸振器在梁上的位置坐标；uij(xj+ia,t)为第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向位移；是坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(xj+ia,t)的一阶导数；是第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向速度，为uij(xj+ia,t)的一阶导数；吸振器的弹簧力等于刚度乘以弹簧两端的位移差，吸振器的阻尼力为阻尼与阻尼两端速度差的乘积。
上述技术方案中，根据简支梁的简支边界条件，由模态叠加法可得到简支梁的横向固有振动位移，可表示为：
其中，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；l为简支梁的长度；n为梁振动模态数；ω为横向外力的激振频率；Wsn，Wcn分别为简支梁振幅的正弦和余弦分量。
上述技术方案中，将精密仪器和吸振器的振动表示为：
ui(t)＝Usisinωt+Ucicosωt i＝0,1,2,…,MN (6)
其中，i取0时，u0(t)为精密仪器的在t时刻的横向位移；i在1～MN范围内取值时，ui(t)表示梁上从左至右第i个吸振器或设置在x0处的精密仪器在t时刻的横向位移；Usi，Uci分别为梁上吸振器和精密仪器振幅的正弦和余弦分量，MN为吸振器的总个数。
上述技术方案中，所述简支梁上吸振器总数MN取值6，每个局域共振元胞均为单振子元胞、双振子元胞或三振子元胞，即每个局域共振元胞中吸振器数量N取值1、2或3。
上述技术方案中，每个局域共振元胞中，每个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.5～1.5、阻尼比均为ζ＝0.05～0.25。其中，吸振器的质量比是指吸振器质量和精密仪器的质量之间的比值；吸振器的固有频率比是指吸振器固有频率和精密仪器的固有频率之间的比值，吸振器的阻尼比是指吸振器阻尼和精密仪器的阻尼之间的比值，文中所涉及的吸振器的质量比、固有频率比和阻尼比均是这个含义。
上述技术方案中，当每个局域共振元胞为单振子元胞，即M＝6、N＝1时，每个局域共振元胞中的吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.7221、阻尼比均为ζ＝0.1321；
当每个局域共振元胞为双振子元胞，即M＝3、N＝2时，每个局域共振元胞中，其中一个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.8273、阻尼比均为ζ＝0.0959；另一个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.7338、阻尼比均为ζ＝0.0969；
当每个局域共振元胞为三振子元胞，即M＝2、N＝3时，每个局域共振元胞中，其中一个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.7534、阻尼比均为ζ＝0.1186；其中另一个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.7281、阻尼比均为ζ＝0.0653；余下一个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比均为γ＝0.8553、阻尼比均为ζ＝0.0859。
作为优选的，每个局域共振元胞均为双振子元胞。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
1、本发明通过对简支梁上安装的吸振器的数量、质量、阻尼以及刚度对减振性能影响的研究，获得了吸振器各参数对***减振性能的影响规律，这有利于局域共振型隔振***的设计和吸振器参数范围的选择优化，可为低频振动控制问题的研究提供理论指导。
2、本发明基于对局域共振型隔振***低频隔振性能的研究结果发现，局域共振型隔振***能够有效抑制精密仪器的低频振动，局域共振结构由设置在梁上局域共振元胞和主振***(如精密仪器)组成，局域共振元胞中包含若干不同的吸振器，这可以大幅增加吸振器的有效减振范围和减振效率，达到优良的低频隔振效果。
3、本发明结构简单，便于加工、安装和后期维护，降低了应用成本。
附图说明
图1为本发明的结构示意图；
图2为本发明的动力学结构示意图；
图3为局域共振元胞的动力学结构示意图；
图4为采用本发明的解析法和有限元法对局域共振型隔振***的隔振性能计算结果，图中，实线表示本发明的解析法计算所得，虚线表示有限元法计算所得；
图5为不同吸振器数量下精密仪器振幅图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图6为不同吸振器与精密仪器质量比下设备振幅图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图7为不同吸振器与精密仪器固有频率比下设备振幅图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图8为不同吸振器与精密仪器阻尼比下设备振幅图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图9为单振子元胞参数优化前后设备振动图像对比，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图10为双振子元胞优化后设备振动图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图11为三振子元胞优化后设备振动图像，横坐标为激振频率，纵坐标为振幅；
图12为不同局域共振元胞的减振效率图像；
图4至图11中，纵坐标设备振幅是精密仪器的振幅，即5-50Hz频带范围内的振幅；
图中，1、简支梁；2、精密仪器；3、局域共振元胞；3.1、吸振器。
具体实施方式
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需说明的是，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，遂图式中仅显示与本发明中有关的组件而非按照实际实施时的组件数目、形状及尺寸绘制，其实际实施时各组件的型态、数量及比例可为一种随意的改变，且其组件布局型态也可能更为复杂。
参阅图1和图2，本发明提供一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，所述局域共振型隔振***包括简支梁1和安装在简支梁1上的精密仪器2，所述精密仪器2隔振安装在简支梁1上表面；在所述简支梁1上表面上沿轴向还周期布置有M个局域共振元胞3，每个局域共振元胞3中包含N个吸振器3.1；所述的MN(即M×N)个吸振器3.1等间隔布置，精密仪器2布置在任意两个相邻的吸振器3.1之间；每个吸振器的结构包括质量块、阻尼元件和弹簧，弹簧和阻尼元件在质量块和简支梁之间并联；
参阅图2，图2为局域共振型隔振***的单个周期元胞，即局域共振元胞，图中，单个周期元胞内有N个吸振器，且每个吸振器中均包含阻尼元件，阻尼元件不仅仅能够有效拓宽减振频带还能够在一定程度上通过阻尼消耗主***上的能量。假设第i个吸振器的位置为xj，第i个吸振器的质量、弹簧刚度、阻尼分别为mi、ki和ci。元胞的长度为a，元胞中N个吸振器将整个元胞分成N+1段，每段梁的长度记为ai，则吸振器位置关系可表述为：
对于简支梁的低频振动，可以忽略梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。这种梁模型称为Bernoulli-Euler梁。根据其振动原理、并结合本发明提供的局域共振型隔振***的结构特征，可得到局域共振型隔振***的振动方程为：
其中：ρ为简支梁的密度，A为简支梁的横截面积，E为简支梁的弹性模量，I为梁截面关于中性轴的惯性矩，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移，f(t)为梁受到的横向外力，f0(t)为精密仪器对梁的反作用力，fij(xj+ia,t)为梁上从左之右第i个元胞中第j个吸振器对梁的反作用力，xj+ia为第i个元胞中第j个吸振器的位置，a为局域共振元胞的长度，xj为每个元胞中第j个吸振器相对该元胞中第1个吸振器的距离；δ(x-x0)和δ(x-xij)是单位脉冲函数，当括号里面为0时(即x＝x0或x＝xij)，δ(x-x0)＝1或δ(x-xij)＝1，是为了描述精密仪器或者吸振器的反作用力在简支梁上的作用位置。
进一步的，简支梁受到横向外力为：
f(t)＝F0sinωt (2)
其中，f(t)为简支梁在t时刻受到的横向外力，F0为横向外力的幅值，ω为横向外力的激振频率。
在简支梁受到横向外力作用时，精密仪器受力为：
其中，k0为精密仪器隔振对应的刚度；c0为精密仪器隔振对应的阻尼；w(x0,t)为坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；x0为精密仪器在梁上的安装位置坐标；u0(t)为精密仪器在时刻t的横向位移；是坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(x0,t)的一阶导数；是精密仪器在时刻t的横向速度，为u0(t)的一阶导数；精密仪器的弹簧力等于刚度乘以弹簧两端的位移差；精密仪器的阻尼力为阻尼与阻尼两端速度差的乘积。
在简支梁受到横向外力作用时，精密仪器受力为：
其中：kij和cij分别为梁上从左至右第i个元胞第j个吸振器的刚度和阻尼；w(xj+ia,t)为坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；xj+ia第i个元胞中第j个吸振器的位置坐标；uij(xj+ia,t)为第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向位移；是坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(xj+ia,t)的一阶导数；是第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向速度，为uij(xj+ia,t)的一阶导数；吸振器的弹簧力等于刚度乘以弹簧两端的位移差；吸振器的阻尼力为阻尼与阻尼两端速度差的乘积。
研究简支梁受到横向外力f(t)＝F0sinωt时精密仪器的振动，根据梁的简支边界条件，由模态叠加法可得到简支梁的横向固有振动位移可表示为：
其中，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移，l为简支梁的长度，n为梁振动模态数，ω为横向外力的激振频率；Wsn，Wcn分别为简支梁振幅的正弦和余弦分量。
取梁的Q阶模态参与计算，可以将精密仪器和吸振器的振动表示为：
ui(t)＝Usisinωt+Ucicosωt i＝0,1,2,…,MN (6)
其中，i取0时，u0(t)为精密仪器的在t时刻的横向位移；i在1～MN范围内取值时，ui(t)表示第i个吸振器或设置在x0处的精密仪器在t时刻的横向位移；Usi，Uci分别为梁上振子(包含若干吸振器和精密仪器)振幅的正弦和余弦分量，MN(M×N)为吸振器的总个数；
将式(2)、(3)、(4)、(5)、(6)代入***的振动方程(1)，然后对式(1)左右两端同乘以并对x从0到l进行积分，取梁的Q阶模态参与计算，利用梁振动模态的正交性可将振动方程整合成矩阵形式：
其中：q＝[Ws,Wc,Us,Uc]T，为2(Q+MN+1)×1的待求未知向量(2(Q+MN+1)×1是未知向量的维数，其中Q是模态数，MN为吸振器的总数，+1是指精密仪器，乘2是因为把余弦分量和正弦分量分别考虑的，所以包含两份)，Ws，Wc分别为梁振幅的正弦和余弦分量，Us，Uc分别为梁上振子(包含吸振器和精密仪器)振幅的正弦和余弦分量；Q11为Q×Q的对角矩阵，可将Q11分解为两部分：Q11＝Λb+C1。其中Λb代表的是梁本身的固有特性，其中的元素经推导可得：C1代表的是梁上振子(含设备)的刚度对梁振动的影响，其中的元素为p和q分别对应着矩阵的行数和列数；Q12为Q×Q的矩阵，代表梁上振子(含设备)的阻尼对梁振动的影响，矩阵中的元素经推导可得：Q13和Q14为Q×(MN+1)的矩阵，分别代表梁上振子(不含设备)的刚度和阻尼对梁振动的影响，矩阵中的元素经推导可得： Q33为(MN+1)×(MN+1)的对角阵，主要由梁上振子(含设备)的惯性与刚度决定，经计算Q33中的元素为Q34为(MN+1)×(MN+1)的对角阵，主要由梁上振子(含设备)的阻尼决定，经计算矩阵中的元素为
式(7)中等号左侧系数矩阵中其余组成矩阵和以上已知矩阵之间有着相似的表达形式和相同的含义，可由以上矩阵进行变换得到，具体为：Q21＝-Q12，Q22＝Q11，Q23＝-Q14，Q24＝Q13。Q31＝Q13 T，Q32＝Q14 T，Q41＝-Q32，Q42＝Q31，Q43＝-Q34，Q44＝Q33。式(7)等号右侧向量F为2(Q+MN)×1的力向量，包含作用在梁上的横向外力，可将该向量表述为：F＝[F1,01×(Q+MN+1)]T，其中：
综上，通过求解矩阵方程(7)便可得到精密仪器在不同激振频率下的振动幅值。
1、本发明的隔振性能研究
为了降低精密仪器的低频振动，本发明采用局域共振型吸振器这种减振方式，精密仪器是安装在基体上，这里就假设精密仪器安装在最常见的机械结构梁上进行分析，通过对方程求解得到精密仪器随着激振频率的振动规律，分析对比安装吸振器前后，以及安装不同种类的局域共振元胞时减振效果对比，有限元法是利用仿真软件comsol进行仿真，来验证解析解的正确性，为了得到该模型不同元胞下的减振最优解，对元胞中的各吸振器参数进行了分析得到减振规律，最后用粒子群优化算法对吸振器的参数进行优化，根据上面得到的减振规律确定了目标函数和优化参数范围。
(1)验证通过本发明提供的振动方程解析的有效性
为验证本发明所得振动方程进行解析精密仪器在不同激振频率下的振动幅值的有效性，这里分别采用本发明所得振动方程(式7)和有限元法对局域共振型隔振***中精密仪器在不同激振频率下的振动幅值进行计算对比。
将精密仪器安装在简支梁的中点位置，取梁和精密仪器的初始计算参数如下：梁的长度l＝0.7m，宽度B＝0.05m，高度H＝0.008m，弹性模量E＝2.1×1011Pa，密度ρ＝7.8×103kg/m3，可得梁的一阶固有频率为38.4Hz；精密仪器质量m0＝0.5kg，刚度k0＝9×103N/m，阻尼c0＝46N·s/m，可得设备的固有频率为19.7Hz。将上述参数分别代入本发明所得耦合方程(式7)和有限元软件，得到解析结果和有限元结果的对比如图4所示。
由图4可知，第一个共振峰(位于10～30Hz之间)反映的是精密仪器与简支梁的耦合，对应的频率是精密仪器的固有频率，第二个共振峰(位于30～50Hz之间)反映的是简支梁本身的共振特性，对应的频率是简支梁的一阶固有频率。对计算分析可知，在目标频段内，解析结果和有限元结果之间的最大误差为1.01×10-6m，平均误差为7.23×10-7m。故，本发明的解析法计算结果和有限元结果的共振峰对应的频率基本一致，图像具有较高的吻合度，验证了解析法的有效性。
(2)单因素法分析低频隔振特性
在简支梁上周期布置若干吸振器时，要分析吸振器对精密仪器的减振效果，就要研究吸振器的数量、刚度、质量以及阻尼分别对减振性能的影响。针对单振子元胞的低频隔振特性进行分析，研究元胞中振子不同参数下的减振规律。假设吸振器的初始计算参数为：吸振器与精密仪器的质量比μ＝0.16、固有频率比γ＝0.8、阻尼比ζ＝0.1。
2.1附加振子对梁的固有频率的影响
为研究梁上附加振子(若干吸振器及精密仪器)与梁的耦合作用，现对梁上附加振子前后梁固有频率的变化进行分析。以梁上安装精密仪器为例，分别计算设备与梁耦合前后梁的固有频率。可利用简支梁的前n阶固有频率公式计算梁的前4阶固有频率，并利用有限元软件计算设备与梁耦合时梁的各阶固有频率。对比如表1所示。
表1梁的固有频率
由表1可知，耦合后梁的各阶固有频率均发生了改变。由于精密仪器与梁的耦合作用，当激振频率与精密仪器固有频率相同时，精密仪器的共振同样会引起梁的大幅振动，因此梁的一阶固有频率与精密仪器的固有频率相同。梁的其余各阶固有频率均发生了移位，由于设备中存在阻尼，梁的固有频率变成了复数形式，且耦合作用对高频段梁的固有频率的影响小于低频段。
2.2吸振器数量对隔振性能的影响
假定吸振器的质量比μ＝0.16、固有频率比γ＝0.8、阻尼比ζ＝0.1，在单振子元胞情况下(即N＝1)，首先分析梁上等间隔布置吸振器的数量M×N对隔振性能的影响。
将梁上布置吸振器前后精密仪器的振幅最大值(即5～50Hz频率范围内振幅最大值)分别记为Wm0和Wm，吸振器的减振效率可以表示为：由图5可知，在吸振器数量(M＝5，N＝1)取5时减振性能最优，减振效率为11.34％，随着吸振器数量的增多精密仪器的振幅逐渐降低后又增大(精密仪器的振幅是指某一频带范围内振幅最大值的变化，如10～30Hz，下同)，减振效率从1.21％提升至11.34％后又降低至8.69％。由于吸振器的与梁的耦合作用，在10～30Hz频率范围内由原来的一个共振峰变为两个共振峰，新增的共振峰对应的频率为吸振器的固有频率。在给定吸振器的初始参数下，吸振器的数量会影响减振效率，但并不是吸振器数量越多减振效率越好，吸振器数量的选择还需结合实际中的需求。
2.3质量比对隔振性能的影响
假定吸振器的固有频率比γ＝0.8、阻尼比ζ＝0.1，在单振子元胞情况下，取吸振器数量N＝6，研究吸振器质量比μ对隔振性能的影响规律。
由图6可知，随着质量比的增加，吸振器的质量逐渐增大，其固有频率逐渐降低且远离精密仪器的固有频率。在10～20Hz频率范围内出现了新的共振峰，这是由吸振器的固有频率引起的。已知梁上未布置吸振器时设备振幅(指精密仪器振幅，也即5-30Hz的频带范围内振幅最大值，下同)最大值为2.14×10-5m，当质量比μ取0.08时，设备振幅最大值为1.91×10-5m，减振效率为10.46％；当质量比μ取0.16时，设备振幅最大值为1.95×10-5m，减振效率为8.69％；当质量比μ取0.24时，设备振幅最大值为2.09×10-5m，减振效率为2.18％。在30～50Hz频率范围内随着质量比的增大，吸振器的减振性能提高，通过抑制梁的振动而逐渐降低了精密仪器的振幅。
2.4固有频率比对隔振性能的影响
假定吸振器的阻尼比ζ＝0.1，在单振子元胞情况下，取吸振器数量N＝6，吸振器质量比μ＝0.16，研究吸振器固有频率比γ对隔振性能的影响规律。
由图7可知，随着吸振器的固有频率比从0.4逐渐变化至0.83时，由于吸振器与梁的耦合作用，在5～20Hz频率范围内，吸振器固有频率对应的共振峰逐渐向右偏移且峰值逐渐增大。与此同时，精密仪器固有频率对应的共振峰值逐渐降低。在固有频率比取0.4与0.6时，吸振器固有频率对应的共振峰值远小于设备固有频率对应的共振峰值，此时随着固有频率比的增大减振效率由2.71％提升至8.69％。在固有频率比取0.8与0.83时，吸振器固有频率对应的共振峰值超过了设备固有频率对应的共振峰值而对减振效率产生主要影响，导致在目标频段精密仪器的振幅最大值增大，减振效率又因此降低至2.58％。
2.5阻尼比对隔振性能的影响
取吸振器数量N＝6，吸振器与精密仪器的质量比μ＝0.16，固有频率比γ＝0.8，研究吸振器阻尼比ζ对隔振性能的影响规律。
图8为不同大小阻尼比下设备幅值随频率变化曲线对比，由图8可知，在10～30Hz频率范围内，吸振器阻尼比取0.08与0.1时，出现了两个共振峰，分别对应着吸振器的固有频率和设备的固有频率，此时减振效率分别为4.43％和8.69％。吸振器阻尼比取0.18与0.2时，原来的两个共振峰变成了一个峰值较小且带宽较宽的共振峰，这是由于吸振器中阻尼成分的逐渐增大使得两个共振峰发生了叠加导致的，由于在目标频段，设备振幅最大值的降低，此时的减振效率提高至12.20％。在30～50Hz频率范围内，随着阻尼比的增大，精密仪器的振幅逐渐降低且振动趋于平缓。
(3)局域共振型吸振器的参数优化及分析
3.1参数优化
获得了吸振器数量以及各参数对减振性能的影响规律之后，可初步了解吸振器参数在减振过程中发挥的作用。考虑到吸振器的质量比在多振子元胞中取值较小时可能会影响吸振器地减振性能，因此质量比应尽可能地取较大的值。这里取吸振器总数N＝6、质量比μ＝0.16，在吸振器总数一定的情况下，将其分别划分为单振子、双振子、三振子元胞，利用粒子群算法对吸振器固有频率比γ和阻尼比ζ进行优化设计。
将5～50Hz频率范围内精密仪器振幅最大值记为Wm，平均值记为Wp。考虑到优化的目标是为了更好的降低低频段精密仪器在各激振频率下的共振峰值，且优化效果要求稳定，因而可选择优化目标函数为：0.7×Wm+0.3×Wp(由于影响精密仪器工作性能的主要因素是在目标频段内精密仪器的振动幅值的最大值以及波动幅度，且对最大值的要求要高于对波动幅度的要求，所以这里取最大值的70％和平均值的30％之和作为优化的目标函数)。吸振器的固有频率在被控对象的固有频率附近时，将有效减小被控对象的振动幅值，这里取吸振器固有频率比的优化范围为0.5～1.5；单振子元胞中吸振器地阻尼比在0.18附近取值时减振性能较好，这里取吸振器阻尼比地优化范围为0.05～0.25。
(1)单振子元胞(M＝6，N＝1)。梁上均匀布置的6个吸振器划定为6个局域共振元胞，每个元胞中包含1个振子。为验证优化结果的有效性，将单振子元胞优化前后精密仪器的振幅进行对比，并取振子初始计算参数如表2所示。
表2单振子元胞原始参数
对元胞中振子固有频率比和阻尼比进行优化设计可得优化后的参数为：γ＝0.7221，ζ＝0.1321。将优化后的参数带入振动方程(式7)得到优化前后设备振动幅值对比如图8所示。
由图9可知，在10～30Hz频率范围内，存在两个共振峰分别对应着吸振器的固有频率和设备的固有频率。优化前，吸振器固有频率对应的共振峰值大于设备的固有频率对应的共振峰值，对减振效率产生主要影响。优化后，吸振器固有频率对应的共振峰值明显降低，低于设备固有频率对应的共振峰值。对数据进一步进行处理，在目标频段内精密仪器振幅的最大值由优化前的1.95×10-5m降低至优化后的1.87×10-5m，减振效率也由2.45％提升至8.69％。
实施例2
(2)双振子元胞(M＝3，N＝2)。梁上均匀布置的6个吸振器划定为三个局域共振元胞，每个元胞中包含两个振子，假设元胞中振子的质量比分别为μ1、μ2，振子的固有频率比分别为γ1、γ2，振子的阻尼比分别为ζ1、ζ2，其中μ1＝μ2＝0.16。利用粒子群算法对振子的固有频率比和阻尼比进行优化设计，得到优化后的振子参数如表3所示。
表3双振子元胞优化后参数
将优化后的参数带入振动方程(式7)可得到精密仪器振动幅值随频率的变化曲线如图9所示。
由图10可知，双振子元胞比单振子元胞具有更加优越的减振性能，在目标频段内，优化后的双振子元胞对应的精密仪器振幅最大值为1.75×10-5m，对比单振子元胞优化后的1.87×10-5m有了明显的改善。双振子元胞优化后的减振效率为18％，这相比于单振子元胞优化后的减振效率提升了两倍有余。
(3)三振子元胞(M＝2，N＝3)。梁上均匀布置的6个吸振器被分为两个元胞，每个元胞包含三个振子，假设每个元胞中振子的质量比分别为μ1、μ2、μ3，振子的固有频率比分别为γ1、γ2、γ3，振子的阻尼比分别为ζ1、ζ2、ζ3，其中μ1＝μ2＝μ3＝0.16，利用粒子群算法对振子的固有频率比和阻尼比进行优化，优化后的参数如表4所示。
表4三振子元胞优化后参数
将优化后的参数带入振动方程(式7)可得到设备(指精密仪器)振动图像如图11所示。
三振子元胞的减振性能与双振子元胞相接近且稍优于双振子元胞，在10～30Hz频率范围内出现了三个共振峰，这是由于设备以及元胞中不同固有频率的振子与梁耦合的结果，优化后的三振子元胞对应的精密仪器振幅最大值为1.747×10-5m，减振效率为18.3％。
单个振子元胞的最大问题就是减振频带较窄，而多振子元胞可以有效改善这个问题。下面对实验数据进一步进行处理，以包含不同振子的元胞优化前后的减振数据为依据，计算出5～50Hz范围内减振效率的具体数值，可以得到不同元胞减振效率如图11所示。
通过分析可知，在吸振器发挥作用的整个频带内，三振子元胞的减振效率和双振子元胞比较接近。在10～38Hz频带内三振子、双振子元胞的减振效率均高于单振子元胞，且三振子、双振子、单振子元胞的减振效率分别为：18.3％、18％和12.45％。为了简化设计，在局域共振型结构中选择双振子元胞设计即可。
以上所述实施例仅表达了本发明的具体实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，其特征在于，所述局域共振型隔振***包括简支梁(1)和安装在简支梁(1)上的精密仪器(2)，所述精密仪器(2)隔振安装在简支梁(1)上表面；在所述简支梁(1)上表面沿轴向还周期布置有M个局域共振元胞(3)，每个局域共振元胞(3)中包含N个吸振器(3.1)；所述的M×N个吸振器(3.1)等间隔布置，所述精密仪器(2)布置在任意两个相邻的吸振器(3.1)之间；每个吸振器(3.1)的结构包括质量块、阻尼元件和弹簧，弹簧和阻尼元件在质量块和简支梁(1)之间并联；
所述局域共振型隔振***满足式(1)的振动方程：
其中：ρ为简支梁的密度，A为简支梁的横截面积，E为简支梁的弹性模量，I为梁截面关于中性轴的惯性矩，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在t时刻的横向位移，f(t)为梁在t时刻受到的横向外力，f0(t)为t时刻精密仪器对梁的反作用力，x0为精密仪器在梁上的安装位置坐标，fij(xj+ia,t)为梁上从左至右第i个元胞中第j个吸振器对梁的反作用力，xj+ia为吸振器在梁上的安装位置坐标，a为每个局域共振元胞的长度，xj为梁上任意元胞中第j个吸振器相对该元胞中第1个吸振器之间的距离，δ(x-x0)与δ(x-xij)为单位脉冲函数；
所述简支梁(1)受到的横向外力由下式(2)表示：
f(t)＝F0sinωt (2)
其中，f(t)为简支梁在t时刻受到的横向外力，F0为横向外力的幅值，ω为横向外力的激振频率；
在简支梁(1)受到横向外力作用时，精密仪器(2)对简支梁的反作用力通过下式(3)求得：
其中，k0为精密仪器隔振对应的刚度；c0为精密仪器隔振对应的阻尼；w(x0,t)为坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；x0为精密仪器在梁上的安装位置坐标；u0(t)为精密仪器在时刻t的横向位移；是坐标x0处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(x0,t)的一阶导数；是精密仪器在时刻t的横向速度，为u0(t)的一阶导数；
在简支梁(1)受到横向外力作用时，吸振器(3.1)对简支梁(1)的反作用力通过下式(4)求得：
其中：kij和cij分别为梁上从左至右第i个元胞第j个吸振器的刚度和阻尼；w(xj+ia,t)为坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；xj+ia为第i个元胞中第j个吸振器的位置坐标；uij(xj+ia,t)为第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向位移；是坐标xj+ia处的梁截面中性轴在时刻t的横向速度，为w(xj+ia,t)的一阶导数；是第i个元胞中第j个吸振器在时刻t的横向速度，为uij(xj+ia,t)的一阶导数；
根据简支梁的简支边界条件，由模态叠加法可得到简支梁的横向固有振动位移为：
其中，w(x,t)为坐标x处的梁截面中性轴在时刻t的横向位移；l为简支梁的长度；n为梁振动模态数；ω为横向外力的激振频率；Wsn，Wcn分别为简支梁振幅的正弦和余弦分量；
将精密仪器和吸振器的振动表示为：
ui(t)＝Usisinωt+Ucicosωt i＝0,1,2,…,MN (6)
其中，i取0时，u0(t)为精密仪器的在t时刻的横向位移；i在1～MN范围内取值时，ui(t)表示梁上从左至右第i个吸振器在t时刻的横向位移；Usi，Uci分别为梁上吸振器和精密仪器振幅的正弦和余弦分量；MN为吸振器的总个数；
所述简支梁(1)上吸振器总数MN取值6，每个局域共振元胞(3)为单振子元胞、双振子元胞或三振子元胞，即每个局域共振元胞中吸振器数量N取值1、2或3。
2.根据权利要求1所述的一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，其特征在于，每个局域共振元胞(3)中，每个吸振器的质量比均为μ＝0.16、固有频率比为γ＝0.5～1.5、阻尼比为ζ＝0.05～0.25。
3.根据权利要求2所述的一种用于精密仪器低频减振的局域共振型隔振***，其特征在于，当每个局域共振元胞(3)为单振子元胞，即M＝6、N＝1时，每个局域共振元胞(3)中的吸振器(3.1)的质量比为μ＝0.16、固有频率比为γ＝0.7221、阻尼比为ζ＝0.1321；
当每个局域共振元胞(3)为双振子元胞，即M＝3、N＝2时，每个局域共振元胞(3)中的每个吸振器(3.1)的质量比均为μ＝0.16，固有频率比分别为γ1＝0.8273、γ2＝0.7338，阻尼比分别为ζ1＝0.0959、ζ2＝0.0969；
当每个局域共振元胞(3)为三振子元胞，即M＝2、N＝3时，每个局域共振元胞(3)中的每个吸振器(3.1)的质量比均为μ＝0.16，固有频率比分别为γ1＝0.7534、γ2＝0.7281、γ3＝0.8553，阻尼比分别为ζ1＝0.1186、ζ2＝0.0653、ζ3＝0.0859。
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