CN111551895B - 基于加权多维标度和拉格朗日乘子的运动源tdoa和fdoa定位方法 - Google Patents

基于加权多维标度和拉格朗日乘子的运动源tdoa和fdoa定位方法 Download PDF

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CN111551895B CN202010335953.9A CN202010335953A CN111551895B CN 111551895 B CN111551895 B CN 111551895B CN 202010335953 A CN202010335953 A CN 202010335953A CN 111551895 B CN111551895 B CN 111551895B
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Abstract

本发明公开了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，首先利用多个运动传感器同时获得运动辐射源信号的TDOA观测量和FDOA观测量，并利用距离差观测量和距离差变化率观测量构造两个标量积矩阵，由此形成多维标度伪线性方程；然后定量分析TDOA/FDOA观测误差对伪线性方程的影响，从而确定最优加权矩阵；接着利用增广未知向量的代数特征构造两个二次等式约束，并结合伪线性方程构建双二次等式约束加权最小二乘优化模型；最后利用拉格朗日乘子技术对此模型进行数值优化，其中利用牛顿迭代获得拉格朗日乘子的最优解，并进而得到辐射源位置向量和速度向量的估计值。本发明能够进一步提升对运动辐射源的定位精度。

Description

基于加权多维标度和拉格朗日乘子的运动源TDOA和FDOA定位 方法
技术领域
本发明属于辐射源定位技术领域，尤其涉及一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法。
背景技术
众所周知，辐射源定位技术在目标监测、导航遥测、地震勘测、射电天文、紧急救助、安全管理等诸多工业和电子信息领域中发挥着重要作用。辐射源定位的基本过程就是从电磁信号中提取出与其位置和速度有关的参数(也称为定位观测量)，然后再利用这些参数解算出辐射源位置向量和速度向量。用于辐射源定位的观测量涉及到空、时、频、能量等多域参数，每个域的定位参数都有其特定的应用场景。在实际应用中，为了提高对辐射源的定位精度，可以考虑联合多域观测量进行定位。联合TDOA/FDOA观测量对运动辐射源进行定位是最常见的一种联合定位体制，其所适用的信号频段宽，并且具有较高的定位精度。
基于TDOA/FDOA观测方程的代数特征，国内外学者提出了很多性能优良的定位方法，其中包括迭代类方法和解析类方法。解析类定位方法可以提供辐射源位置向量和速度向量的闭式解，无需迭代运算，能够有效避免发散和局部收敛等问题，因而得到了学者们的广泛青睐。近年来，在解析类定位方法中，相关学者提出了一种基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法(Wei H W,Peng R,Wan Q,Chen Z X,Ye S F.Multidimensional scalinganalysis for passive moving target localization with TDOA and FDOAmeasurements[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(3):1677-1688.)，该方法通过构造标量积矩阵获得了关于辐射源位置向量和速度向量的伪线性方程，并由此给出了辐射源位置向量和速度向量的闭式解，能够取得较好的定位效果。然而，该方法未利用增广未知向量所满足的二次等式约束，因此其定位精度并不是渐近最优的。基于目前的研究现状，本发明公开了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA/FDOA定位方法。新方法充分考虑了增广未知向量服从的两个二次等式约束，将定位问题转化成含有双二次等式约束的优化问题，并且利用拉格朗日乘子技术进行优化求解，由此获得辐射源位置向量和速度向量的估计值。相比于已有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法，本专利公开的方法可以进一步提升对运动辐射源的定位精度。
发明内容
本发明针对现有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法存在的定位精度差的问题，提供了一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其能够充分利用增广未知向量所服从的两个二次等式约束，从而进一步提升对运动辐射源的定位精度。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，包括：
步骤1：利用空间中放置的M个运动传感器同时获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA和FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure GDA0002822435590000021
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000022
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000023
距离差观测量
Figure GDA0002822435590000024
和距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000025
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000026
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000027
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure GDA0002822435590000028
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000029
距离差观测量
Figure GDA00028224355900000210
和距离差变化率观测量
Figure GDA00028224355900000211
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure GDA00028224355900000212
然后利用矩阵G和
Figure GDA00028224355900000213
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure GDA00028224355900000214
步骤5：令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure GDA0002822435590000031
T和
Figure GDA0002822435590000032
计算迭代初始值
Figure GDA0002822435590000033
步骤6：根据
Figure GDA0002822435590000034
W、
Figure GDA0002822435590000035
G、
Figure GDA0002822435590000036
T和
Figure GDA0002822435590000037
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000038
以及
Figure GDA0002822435590000039
步骤7：根据
Figure GDA00028224355900000310
以及
Figure GDA00028224355900000311
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA00028224355900000312
并对矩阵
Figure GDA00028224355900000313
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure GDA00028224355900000314
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure GDA00028224355900000315
步骤9：根据Φ(k)和
Figure GDA00028224355900000316
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，λ1和λ2的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure GDA00028224355900000317
若
Figure GDA00028224355900000318
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure GDA00028224355900000319
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
进一步地，所述步骤1包括：
根据辐射源位置向量u和速度向量
Figure GDA00028224355900000320
第m个传感器的位置向量
Figure GDA00028224355900000321
和速度向量
Figure GDA00028224355900000322
获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure GDA00028224355900000323
和FDOA观测量
Figure GDA00028224355900000324
将TDOA观测量
Figure GDA00028224355900000325
乘以信号传播速度得到距离差观测量
Figure GDA00028224355900000326
将FDOA观测量
Figure GDA00028224355900000327
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1得到距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000041
相应的表达式分别为
Figure GDA0002822435590000042
Figure GDA0002822435590000043
式中εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
进一步地，所述步骤2包括：
利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000044
距离差观测量
Figure GDA0002822435590000045
和距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000046
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000047
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000048
Figure GDA0002822435590000049
式中
Figure GDA00028224355900000410
Figure GDA00028224355900000411
进一步地，所述步骤3包括：
首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure GDA00028224355900000412
然后利用距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000051
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure GDA0002822435590000052
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000053
式中
Figure GDA0002822435590000054
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
进一步地，所述步骤4包括：
首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure GDA0002822435590000055
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000056
Figure GDA0002822435590000057
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure GDA0002822435590000058
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure GDA0002822435590000059
相应的计算公式为
Figure GDA00028224355900000510
Figure GDA00028224355900000511
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure GDA0002822435590000061
进一步地，所述步骤5包括：
令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure GDA0002822435590000062
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000063
式中
Figure GDA0002822435590000064
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵；向量
Figure GDA0002822435590000065
表示矩阵
Figure GDA0002822435590000066
中的第1列向量；矩阵
Figure GDA0002822435590000067
表示矩阵
Figure GDA0002822435590000068
中的第2至第5列构成的矩阵。
进一步地，所述步骤6包括：
按照如下公式依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000069
Figure GDA00028224355900000610
以及
Figure GDA00028224355900000611
Figure GDA00028224355900000612
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure GDA00028224355900000613
Figure GDA0002822435590000071
Figure GDA0002822435590000072
Figure GDA0002822435590000073
式中
Figure GDA0002822435590000074
Figure GDA0002822435590000075
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
Figure GDA0002822435590000077
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure GDA0002822435590000076
O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
进一步地，所述步骤7包括：
首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000081
并对矩阵
Figure GDA0002822435590000082
进行奇异值分解可得
Figure GDA0002822435590000083
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure GDA0002822435590000084
的奇异值。
进一步地，所述步骤8包括：
首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure GDA0002822435590000085
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵；
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure GDA0002822435590000086
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000087
进一步地，所述步骤9包括：
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值
Figure GDA0002822435590000091
和
Figure GDA0002822435590000092
相应的迭代公式为
Figure GDA0002822435590000093
式中
Figure GDA0002822435590000094
和
Figure GDA0002822435590000095
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure GDA0002822435590000096
和
Figure GDA0002822435590000097
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure GDA0002822435590000098
Figure GDA0002822435590000099
Figure GDA00028224355900000910
Figure GDA0002822435590000101
Figure GDA0002822435590000102
Figure GDA0002822435590000103
其中
Figure GDA0002822435590000104
Figure GDA0002822435590000105
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
进一步地，所述步骤10包括：
利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure GDA0002822435590000106
和
Figure GDA0002822435590000107
计算迭代结果
Figure GDA0002822435590000108
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000109
若
Figure GDA0002822435590000111
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6。
进一步地，所述步骤11包括：
利用迭代序列
Figure GDA0002822435590000112
的收敛值
Figure GDA0002822435590000113
确定辐射源位置向量和速度向量，将辐射源位置向量和速度向量的估计结果分别记为
Figure GDA0002822435590000114
和
Figure GDA0002822435590000115
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000116
与现有技术相比，本发明具有的有益效果：
本发明首先利用3维空间中的多个运动传感器同时获得运动辐射源信号的TDOA观测量(等价于距离差观测量)和FDOA观测量(等价于距离差变化率观测量)，并利用距离差观测量和距离差变化率观测量构造两个标量积矩阵，由此形成多维标度伪线性方程；然后定量分析TDOA/FDOA观测误差对伪线性方程的影响，从而确定最优加权矩阵；接着利用增广未知向量的代数特征构造两个二次等式约束，并结合伪线性方程构建1个双二次等式约束加权最小二乘优化模型。最后利用拉格朗日乘子技术对此模型进行数值优化，其中利用牛顿迭代获得拉格朗日乘子的最优解，并进而得到辐射源位置向量和速度向量的估计值。本发明基于加权多维标度原理，并在充分利用增广未知向量所满足的两个二次等式约束的基础上，将TDOA/FDOA定位问题转化成含有双二次等式约束的优化模型，并且通过拉格朗日乘子技术对该模型进行优化求解，相比已有的基于加权多维标度的TDOA/FDOA定位方法，本发明利用了增广未知向量所满足的两个二次等式约束，能够进一步提升对运动辐射源的定位精度。
附图说明
图1是本发明实施例一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法的基本流程图；
图2是定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(X-Y坐标平面)；
图3是定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(Y-Z坐标平面)；
图4是辐射源位置估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；
图5是辐射源速度估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；
图6是辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；
图7是辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线；
图8是辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线(σ＝1)；
图9是辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线(σ＝1)。
具体实施方式
下面结合附图和具体的实施例对本发明做进一步的解释说明：
如图1所示，一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，包括：
步骤1：在空间中放置M个运动传感器，利用它们同时获得运动辐射源信号到达第m(2≤m≤M)个传感器与到达第1个传感器的TDOA/FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure GDA0002822435590000121
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000122
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000123
距离差观测量
Figure GDA0002822435590000124
和距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000125
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000126
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000127
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure GDA0002822435590000128
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000129
距离差观测量
Figure GDA00028224355900001210
和距离差变化率观测量
Figure GDA00028224355900001211
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure GDA00028224355900001212
然后利用矩阵G和
Figure GDA00028224355900001217
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure GDA00028224355900001213
步骤5：令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure GDA00028224355900001214
T和
Figure GDA00028224355900001215
计算迭代初始值
Figure GDA00028224355900001216
步骤6：根据
Figure GDA0002822435590000131
W、
Figure GDA0002822435590000132
G、
Figure GDA0002822435590000133
T和
Figure GDA0002822435590000134
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000135
以及
Figure GDA0002822435590000136
步骤7：根据
Figure GDA0002822435590000137
以及
Figure GDA0002822435590000138
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000139
并对矩阵
Figure GDA00028224355900001310
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure GDA00028224355900001311
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure GDA00028224355900001312
步骤9：根据Φ(k)和
Figure GDA00028224355900001313
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代(其初始值均设为0)，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure GDA00028224355900001314
若
Figure GDA00028224355900001315
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure GDA00028224355900001316
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
进一步地，所述步骤1中，在空间中放置M个运动传感器，并利用它们对运动辐射源进行TDOA/FDOA定位。辐射源位置向量和速度向量分别为u和
Figure GDA00028224355900001317
第m个传感器的位置向量和速度向量分别为
Figure GDA00028224355900001318
和
Figure GDA00028224355900001319
Figure GDA00028224355900001320
分别表示第m个传感器在x轴、y轴、z轴方向上的坐标；
Figure GDA00028224355900001321
分别表示第m个传感器在x轴、y轴、z轴方向上的速度；利用它们可以同时获得运动辐射源信号到达第m(2≤m≤M)个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure GDA00028224355900001322
和FDOA观测量
Figure GDA00028224355900001323
将TDOA观测量
Figure GDA00028224355900001324
乘以信号传播速度即可得到距离差观测量
Figure GDA00028224355900001325
将FDOA观测量
Figure GDA00028224355900001326
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1即可得到距离差变化率观测量
Figure GDA00028224355900001327
相应的表达式分别为
Figure GDA0002822435590000141
Figure GDA0002822435590000142
Figure GDA0002822435590000143
Figure GDA0002822435590000144
Figure GDA0002822435590000145
Figure GDA0002822435590000146
式中，c为信号传播速度；f0为信号载波频率；εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
进一步地，所述步骤2中，利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure GDA0002822435590000147
距离差观测量
Figure GDA0002822435590000148
和距离差变化率观测量
Figure GDA0002822435590000149
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure GDA00028224355900001410
相应的计算公式为
Figure GDA00028224355900001411
Figure GDA00028224355900001412
式中
Figure GDA00028224355900001413
Figure GDA0002822435590000151
进一步地，所述步骤3中，首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000152
然后利用距离变化率矩阵
Figure GDA0002822435590000153
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure GDA0002822435590000154
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000155
式中
Figure GDA0002822435590000156
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
进一步地，所述步骤4中，首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure GDA00028224355900001513
(G和
Figure GDA00028224355900001514
没有具体的物理含义，只是中间矩阵)，相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000157
Figure GDA0002822435590000158
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure GDA0002822435590000159
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure GDA00028224355900001510
(T和
Figure GDA00028224355900001511
没有具体的物理含义，只是中间矩阵)，相应的计算公式为
Figure GDA00028224355900001512
Figure GDA0002822435590000161
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure GDA0002822435590000162
进一步地，所述步骤5中，令迭代索引k:＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure GDA0002822435590000163
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000164
式中
Figure GDA0002822435590000165
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵(即有T＝[t1 T2])；向量
Figure GDA0002822435590000166
表示矩阵
Figure GDA0002822435590000167
中的第1列向量；矩阵
Figure GDA0002822435590000168
表示矩阵
Figure GDA0002822435590000169
中的第2至第5列构成的矩阵(即有
Figure GDA00028224355900001610
)。
进一步地，所述步骤6中，依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA00028224355900001611
Figure GDA00028224355900001612
以及
Figure GDA00028224355900001613
以及
Figure GDA00028224355900001614
均无具体的物理含义，只是中间参量)：
具体地，矩阵
Figure GDA00028224355900001615
的计算公式为
Figure GDA00028224355900001616
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure GDA0002822435590000171
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
具体地，矩阵
Figure GDA0002822435590000172
的计算公式为
Figure GDA0002822435590000173
式中
Figure GDA0002822435590000174
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure GDA0002822435590000175
具体地，矩阵
Figure GDA0002822435590000176
的计算公式为
Figure GDA0002822435590000177
式中O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；其余表达式为
Figure GDA0002822435590000181
其中1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；
具体地，矩阵
Figure GDA0002822435590000182
的计算公式为
Figure GDA0002822435590000183
式中O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；其余表达式为
Figure GDA0002822435590000184
其中O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
进一步地，所述步骤7中，首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure GDA0002822435590000191
并对矩阵
Figure GDA0002822435590000192
进行奇异值分解可得
Figure GDA0002822435590000193
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure GDA0002822435590000194
的奇异值。
进一步地，所述步骤8中，首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure GDA0002822435590000195
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵。
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure GDA0002822435590000196
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000197
进一步地，所述步骤9中，利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，相应的迭代公式为
Figure GDA0002822435590000198
式中
Figure GDA0002822435590000199
和
Figure GDA00028224355900001910
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure GDA00028224355900001911
和
Figure GDA00028224355900001912
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure GDA0002822435590000201
Figure GDA0002822435590000202
Figure GDA0002822435590000203
Figure GDA0002822435590000204
Figure GDA0002822435590000205
Figure GDA0002822435590000206
其中
Figure GDA0002822435590000211
Figure GDA0002822435590000212
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
进一步地，所述步骤10中，利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure GDA0002822435590000213
和
Figure GDA0002822435590000214
计算迭代结果
Figure GDA0002822435590000215
相应的计算公式为
Figure GDA0002822435590000216
若
Figure GDA0002822435590000217
则转至步骤11，否则更新迭代索引k:＝k+1，并转至步骤6。
进一步地，所述步骤11中，利用迭代序列
Figure GDA0002822435590000218
的收敛值
Figure GDA0002822435590000219
确定辐射源位置向量和速度向量，将它们的估计结果分别记为
Figure GDA00028224355900002110
和
Figure GDA00028224355900002111
相应的计算公式为
Figure GDA00028224355900002112
为验证本发明效果，进行如下仿真实验：
假设利用7个运动传感器获得的TDOA/FDOA信息(亦即距离差/距离差变化率信息)对某个运动辐射源进行定位，传感器的位置坐标和速度分别如表1所示，距离差/距离差变化率观测误差向量服从均值为零、协方差矩阵为
Figure GDA0002822435590000221
其中σ为标准差。
表1传感器3维位置坐标和速度(单位：m和m/s)
Figure GDA0002822435590000222
首先将辐射源位置向量和速度向量分别设为u＝[-4900 -4800 5700]T(m)和
Figure GDA0002822435590000223
将标准差σ设为σ＝1，图2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(X-Y坐标平面)；图3给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线(Y-Z坐标平面)。
然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量和速度向量分别为u＝[2900 2800 2700]T(m)和
Figure GDA0002822435590000224
第2种是远场源，其位置向量和速度向量分别为u＝[8700 8200 7500]T(m)和
Figure GDA0002822435590000225
Figure GDA0002822435590000226
改变标准差σ的数值，图4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线；图5给出了辐射源速度估计均方根误差随着标准差σ的变化曲线。
接着将标准差σ设为两种情形：第1种是σ＝1；第2种是σ＝2，将辐射源位置向量和速度向量分别设为u＝[2400 2500 2600]T+[220 220 220]Tc(m)和
Figure GDA0002822435590000231
改变参数c的数值，图6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；图7给出了辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线。
从图4至图7中可以看出，本专利公开的定位方法对运动辐射源的位置和速度估计均方根误差均可以达到相应的克拉美罗界(即理论下界)。此外，从图中还可以看出，随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低，其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度。
下面将本专利公开的定位方法与已有的加权多维标度的定位方法进行比较，注意到已有的基于加权多维标度的定位方法并未利用增广未知向量所满足的双二次等式约束。仿真参数同图6和图7，只是固定标准差为σ＝1，图8给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数c的变化曲线；图9给出了辐射源速度估计均方根误差随着参数c的变化曲线。从图8和图9中可以看出，由于本专利公开的定位方法利用了增广未知向量所服从的双二次等式约束，因此其定位精度能够得到显著提升，并且其性能增益与辐射源和传感器之间的相对位置有关。
以上所示仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (12)

1.一种基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，包括：
步骤1：利用空间中放置的M个运动传感器同时获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA和FDOA观测量，并利用TDOA观测量进一步得到距离差观测量
Figure FDA0002813298550000011
利用FDOA观测量进一步获得距离差变化率观测量
Figure FDA0002813298550000012
步骤2：利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002813298550000013
距离差观测量
Figure FDA0002813298550000014
和距离差变化率观测量
Figure FDA0002813298550000015
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure FDA0002813298550000016
步骤3：首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，然后利用距离变化率矩阵
Figure FDA0002813298550000017
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure FDA0002813298550000018
步骤4：首先利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002813298550000019
距离差观测量
Figure FDA00028132985500000110
和距离差变化率观测量
Figure FDA00028132985500000111
构造(M+1)×4阶矩阵G和
Figure FDA00028132985500000112
然后利用矩阵G和
Figure FDA00028132985500000113
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure FDA00028132985500000114
步骤5：令迭代索引k＝0，设置迭代门限值δ，并且根据W、
Figure FDA00028132985500000115
T和
Figure FDA00028132985500000116
计算迭代初始值
Figure FDA00028132985500000117
步骤6：根据
Figure FDA00028132985500000118
W、
Figure FDA00028132985500000119
G、
Figure FDA00028132985500000120
T和
Figure FDA00028132985500000121
依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA00028132985500000122
以及
Figure FDA00028132985500000123
步骤7：根据
Figure FDA00028132985500000124
以及
Figure FDA00028132985500000125
计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA00028132985500000126
并对矩阵
Figure FDA00028132985500000127
进行奇异值分解；
步骤8：首先根据奇异值分解后的
Figure FDA0002813298550000021
计算2(M-1)×2(M-1)阶加权矩阵(Ω(k))-1，然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure FDA0002813298550000022
步骤9：根据Φ(k)和
Figure FDA0002813298550000023
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，λ1和λ2的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值；
步骤10：利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值计算迭代结果
Figure FDA0002813298550000024
若
Figure FDA0002813298550000025
则转至步骤11，否则更新迭代索引k＝k+1，并转至步骤6；
步骤11：利用迭代序列
Figure FDA0002813298550000026
的收敛值确定辐射源位置向量和速度向量。
2.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤1包括：
根据辐射源位置向量u和速度向量
Figure FDA0002813298550000027
第m个传感器的位置向量
Figure FDA0002813298550000028
和速度向量
Figure FDA0002813298550000029
获得运动辐射源信号到达第m个传感器与到达第1个传感器的TDOA观测量
Figure FDA00028132985500000210
和FDOA观测量
Figure FDA00028132985500000211
将TDOA观测量
Figure FDA00028132985500000212
乘以信号传播速度得到距离差观测量
Figure FDA00028132985500000213
将FDOA观测量
Figure FDA00028132985500000214
先乘以信号传播速度再除以信号载波频率，然后将结果乘以-1得到距离差变化率观测量
Figure FDA00028132985500000215
相应的表达式分别为
Figure FDA00028132985500000216
Figure FDA00028132985500000217
式中εm1和εm2分别表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差。
3.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤2包括：
利用传感器位置向量{sm}1≤m≤M和传感器速度向量
Figure FDA0002813298550000031
距离差观测量
Figure FDA0002813298550000032
和距离差变化率观测量
Figure FDA0002813298550000033
构造(M+1)×(M+1)阶距离矩阵D和距离变化率矩阵
Figure FDA0002813298550000034
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000035
Figure FDA0002813298550000036
式中
Figure FDA0002813298550000037
Figure FDA0002813298550000038
4.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤3包括：
首先利用距离矩阵D计算第1个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵W，相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000039
然后利用距离变化率矩阵
Figure FDA00028132985500000310
计算第2个(M+1)×(M+1)阶标量积矩阵
Figure FDA00028132985500000311
相应的计算公式为
Figure FDA00028132985500000312
式中
Figure FDA00028132985500000313
其中IM+1表示(M+1)×(M+1)阶单位矩阵；1(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)阶全1矩阵。
5.根据权利要求2所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤4包括：
首先计算(M+1)×4阶矩阵G和
Figure FDA0002813298550000041
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000042
Figure FDA0002813298550000043
式中1(M+1)×1表示(M+1)×1阶全1列向量；
然后利用矩阵G和
Figure FDA0002813298550000044
计算(M+1)×5阶矩阵T和
Figure FDA0002813298550000045
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000046
Figure FDA0002813298550000047
式中O(M+1)×1表示(M+1)×1阶全0列向量；
Figure FDA0002813298550000048
6.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤5包括：
令迭代索引k＝0，设置迭代门限值δ，并且计算迭代初始值
Figure FDA0002813298550000049
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000051
式中
Figure FDA0002813298550000052
其中O(M+1)×4表示(M+1)×4阶全0矩阵；向量t1表示矩阵T中的第1列向量；矩阵T2表示矩阵T中的第2至第5列构成的矩阵；向量
Figure FDA0002813298550000053
表示矩阵
Figure FDA0002813298550000054
中的第1列向量；矩阵
Figure FDA0002813298550000055
表示矩阵
Figure FDA0002813298550000056
中的第2至第5列构成的矩阵。
7.根据权利要求4所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤6包括：
按照如下公式依次计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA0002813298550000057
Figure FDA00028132985500000513
以及
Figure FDA0002813298550000058
Figure FDA0002813298550000059
式中O(M+1)×M表示(M+1)×M阶全0矩阵；其余表达式为
Figure FDA00028132985500000510
Figure FDA00028132985500000511
Figure FDA00028132985500000512
Figure FDA0002813298550000061
式中
Figure FDA0002813298550000062
Figure FDA0002813298550000063
其中IM-1表示(M-1)×(M-1)阶单位矩阵；IM表示M×M阶单位矩阵；I4表示4×4阶单位矩阵；1M×1表示M×1阶全1列向量；O4×4表示4×4阶全0矩阵；O1×M表示1×M阶全0行向量；O1×(M-1)表示1×(M-1)阶全0行向量；
Figure FDA0002813298550000064
表示(M+1)×(M+1)2阶全0矩阵；
Figure FDA0002813298550000065
O(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全0矩阵；1(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全1矩阵；1(M+1)×M表示(M+1)×M阶全1矩阵；1(M-1)×(M-1)表示(M-1)×(M-1)阶全1矩阵；12×(M-1)表示2×(M-1)阶全1矩阵；O4(M+1)×(M-1)表示4(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O2×(M-1)表示2×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×(M-1)表示(M+1)×(M-1)阶全0矩阵；O(M+1)×9表示(M+1)×9阶全0矩阵。
8.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤7包括：
首先计算2(M+1)×2(M-1)阶矩阵
Figure FDA0002813298550000071
并对矩阵
Figure FDA0002813298550000072
进行奇异值分解可得
Figure FDA0002813298550000073
式中H(k)表示2(M+1)×2(M-1)阶列正交矩阵；V(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶正交矩阵；Σ(k)表示2(M-1)×2(M-1)阶对角矩阵，其对角元素为矩阵
Figure FDA0002813298550000074
的奇异值。
9.根据权利要求8所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤8包括：
首先计算加权矩阵(Ω(k))-1，其中矩阵Ω(k)的计算公式为
Ω(k)＝Σ(k)V(k)TEV(k)Σ(k)T
式中
Figure FDA0002813298550000075
其中Ett表示距离差观测误差协方差矩阵；Eff表示距离差变化率观测误差协方差矩阵；Etf表示距离差观测误差和距离差变化率观测误差之间的协方差矩阵；
然后利用加权矩阵(Ω(k))-1计算8×8阶矩阵Φ(k)和8×1阶列向量
Figure FDA0002813298550000076
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000077
10.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤9包括：
利用牛顿法对拉格朗日乘子λ1和λ2进行数值迭代，它们的初始值均设为0，得到λ1和λ2的收敛值
Figure FDA0002813298550000081
和
Figure FDA0002813298550000082
相应的迭代公式为
Figure FDA0002813298550000083
式中
Figure FDA0002813298550000084
和
Figure FDA0002813298550000085
分别表示λ1和λ2的第p+1次迭代结果；
Figure FDA0002813298550000086
和
Figure FDA0002813298550000087
分别表示λ1和λ2的第p次迭代结果；α∈[0,1)表示步长因子；其余表达式为
Figure FDA0002813298550000088
Figure FDA0002813298550000089
Figure FDA00028132985500000810
Figure FDA00028132985500000811
Figure FDA0002813298550000091
Figure FDA0002813298550000092
其中
Figure FDA0002813298550000093
Figure FDA0002813298550000094
式中I3表示3×3阶单位矩阵；O3×1表示3×1阶全0列向量；O1×3表示1×3阶全0行向量；O4×1表示4×1阶全0列向量；O1×4表示1×4阶全0行向量；O3×3表示3×3阶全0矩阵；O3×4表示3×4阶全0矩阵；O4×3表示4×3阶全0矩阵；O5×1表示5×1阶全0列向量。
11.根据权利要求10所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤10包括：
利用拉格朗日乘子λ1和λ2的收敛值
Figure FDA0002813298550000095
和
Figure FDA0002813298550000096
计算迭代结果
Figure FDA0002813298550000097
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000098
若
Figure FDA0002813298550000099
则转至步骤11，否则更新迭代索引k＝k+1，并转至步骤6。
12.根据权利要求1所述的基于加权多维标度和拉格朗日乘子技术的运动辐射源TDOA和FDOA定位方法，其特征在于，所述步骤11包括：
利用迭代序列
Figure FDA0002813298550000101
的收敛值
Figure FDA0002813298550000102
确定辐射源位置向量和速度向量，将辐射源位置向量和速度向量的估计结果分别记为
Figure FDA0002813298550000103
和
Figure FDA0002813298550000104
相应的计算公式为
Figure FDA0002813298550000105
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