CN111524103B - 一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法，属于地面激光扫描点云数据处理技术领域，首先使用三维激光扫描仪对隧道进行三维扫描，获取隧道三维激光点云；然后将隧道点云进行水平方向投影，根据边界特征点几何特性提取出点云边界；接着将点云边界栅格化进行精提取，依据边界点提取水平中轴线；考虑到隧道弯曲弧度、附属物及点云缺失等情况对水平中轴线精度的影响，采用滑动窗口稳健拟合的方法提取出准确水平中轴线；最后，以准确水平中轴线为基准等间隔提取出隧道横断面点云，并对横断面轮廓线进行拟合，提取出圆心作为隧道中轴点，依次连接各横断面处的中轴点从而实现圆型隧道中轴线的准确提取。

Description

一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法

技术领域

本发明属于地面激光扫描点云数据处理技术领域，具体是一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法。

背景技术

隧道作为城一种重要的交通设施，由于受到周围土体的挤压、地上物体及地质运动的影响，存在一定程度的形变，对其进行的全面检测是隧道交通安全运营的重要保证。目前地铁隧道形变监测常用的方法主要是利用全站仪、断面仪、收敛计等常规仪器进行监测，虽然精度高，但效率低下，难以实现对隧道整体进行实时自动监测。三维激光扫描技术被称为从单点测量进化到面测量的革命性技术突破，能够高效率、高精度提供扫描物体表面的三维点云数据，目前正广泛用于地形测量、工程测量、文物保护等方面。

随着地面激光扫描仪设备和相关应用算法的发展，地面三维激光扫描技术在大型隧道建筑的横断面提取、变形分析、灾害预测等方面得到了进一步应用。目前三维激光扫描技术在隧道工程测量领域得到了迅速发展，但是如何有效利用三维点云数据对隧道中轴线进行自动化精确提取仍是研究难点之一。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法，以解决上述背景技术中提出的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

1、一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法，其特征在于包括如下步骤：

a、使用地面激光扫描测量***，获取隧道三维点云数据；

b、将三维点云投影至水平面上，根据边界特征点与临近点云的几何特性提取点云边界；

c、将点云边界栅格化，对点云边界精提取，然后依据边界提取初始水平中轴线；

d、采用滑动窗口稳健拟合法对水平中轴线进行精提取；

e、以水平中轴线为基准获取横断面轮廓线，接着使用最小二乘方法拟合横断面对称中心，即隧道中轴点，最后将各中轴点连接从而实现隧道中轴线的准确提取。

作为本发明再进一步的方案：所述步骤a包括如下子步骤：

a、数据采集

使用地面激光测量***，获取隧道三维点云数据。

作为本发明再进一步的方案：所述步骤b包括如下子步骤：

b1、水平投影

将点云数据通过空间坐标基准变换，投影至XOY平面作为边界提取的基础数据；

b2、边界提取

根据边界特征点与临近点云的几何特性提取隧道投影的点云边界。

作为本发明再进一步的方案：所述步骤c包括如下子步骤：

c1、点云边界精提取

数据获取过程中可能出现漏测、数据丢失等情况，造成平面投影点云出现“漏洞”，进而使得提取出的边界出现噪点，使用栅格法对边界点进行精提取；

将边界点云栅格化，根据隧道走向，筛选出X(或Y)轴方向上每列栅格的Y_max、Y_min(或X_max、X_min)所对应的点集，从而通过获取最外层边界点，剔除掉内部噪点，并将Y_max所对应点集作为上边界，Y_min对应点集作为下边界；

c2、初始水平中轴线提取

根据c1所获得的精确点云边界点集，以上下两条边界为例：将下边界点(X_down、Y_down、Z_down)作为圆心建立kd-tree，从上边界点集中搜索最近点(X_up、Y_up、Z_up)作为对应点，依据公式(1)获取初始水平中轴线点集(X_mid、Y_mid、Z_mid)；

作为本发明再进一步的方案：滑动窗口稳健拟合中轴线步骤如下：

d1、计算阈值λ

阈值λ是选取起始窗口、剔除粗差点的关键，因此须选取合理的阈值作为判断条件，将窗口内各点到拟合直线距离的平均值作为阈值λ，将窗口1内的四点P₁、P₂、P₃、P₄进行直线拟合，拟合公式如下

F(x)＝a₀+a₁x (2)

计算四点到直线L的距离，窗口2、3进行同上计算，最后将P₁、P₂、P₃…P_n到所拟合直线距离d_i的平均值作为阈值λ；

d2、选取起始窗口

首先将P₁、P₂、P₃、P₄作为窗口进行直线拟合，然后计算各点到直线的距离e₁、e₂、e₃、e₄，若e_i皆满足e_i≤λ，则由该四点作为起始窗口拟合；否则，将P₂、P₃、P₄、P₅作为窗口进行直线拟合，同理判断是否满足e_i≤λ；直至选取的窗口满足条件，则将该窗口作为起始窗口；

d3、粗差点剔除及拟合

d3.1、粗差点剔除

假设P₁、P₂、P₃、P₄为起始窗口，则P₂、P₃、P₄、P₅为待拟合窗口，先对待拟合窗口内的前三点(P₂、P₃、P₄)进行直线拟合，再判断第四点(P₅)到该直线L的距离f是否小于阈值λ，若小于λ则P₅予以保留，并将该四点进行三阶曲线拟合；否则，将P₅剔除，然后判断P₆到直线L的距离f是否小于阈值λ，若满足要求则由P₂、P₃、P₄、P₆重组窗口1进行三阶曲线拟合，以此类推；

d3.2、曲线拟合

筛去粗差点，得到符合要求的窗口后(如P₂、P₃、P₄、P₆)，将窗口内四点进行三阶曲线拟合，曲线方程为

F(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³ (3)

拟合完成后，向前滑动作为待拟合窗口(如：P₃、P₄、P₆、P₇)；

循环d3.1、d3.2步骤即可完成水平中轴线的滑动拟合；

d4、提取准确水平中轴线

获取全部水平中轴线的拟合方程后，代入各点的X坐标，即可提取精确水平中轴线。

作为本发明再进一步的方案：所述步骤e包括如下子步骤：

e1、横断面轮廓线获取

由于点云在特定平面内的数量是有限的，因此本发明以水平中轴线为基准将点云分割成一定厚度的切片并投影至横断面上，从而提取横断面轮廓线；

e1.1、点云切片切割

使用d3.2步骤拟合出的三阶曲线方程可求得水平中轴点P的的切线向量ρ(l,m,n)，从而求得P点的法平面即横断面W的方程：

A₀X+B₀Y+C₀Z+D＝0 (4)

利用横断面方程将点云切割为宽度为g的点云切片；

e1.2、切片点云投影

将横断面方程前后各0.5g厚度的离散点云全都视为W上的点，并把该范围内的所有点云投影到该横断面方程上，由切向量ρ(l,m,n)及横断面方程可知过离散点G_i到横断面的垂线方程为

将公式(4)和(5)两式联立可得垂足点Q_i，即为离散点G_i在横断面上的投影点，投影点Q_i的点集构成横断面轮廓线；

e2、横断面轮廓线降噪

由于隧道内壁存在电缆、路灯、螺栓孔、沟槽等隧道附属物，点云中不可避免的出现噪声点，因此使用随机采样一致性算法对轮廓线进行降噪处理；

e3、横断面轮廓线拟合

获得有效横断面轮廓点后，利用空间平面内圆心与任意弦中点垂直于该弦作为观测条件求取横断面圆心；

由e1.1可知轮廓点满足断面方程式(4)，因此拟合出的空间圆和圆心同样满足公式(4)，将公式(4)转化为AX+BY+CZ-1＝0(6)

设定拟合圆的圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，则将圆心代入公式(6)中有

[A,B,C]×[X₀,Y₀,Z₀]^T＝1 (7)

假设圆上任意两点为Q₁(X₁,Y₁,Z₁)、Q₂(X₂,Y₂,Z₂)，Q₁Q₂的中点与圆心O(X₀,Y₀,Z₀)的连线垂直于Q₁Q₂，从而可以得到

即：

令ΔX₁₂＝X₂-X₁，ΔY₁₂＝Y₂-Y₁，ΔZ₁₂＝Z₂-Z₁，

由n个轮廓点可以得出n-1个线性无关的误差方程：

公式(10)可简化为V＝BX-L，此方程中B和L皆为已知，结合最小二乘法则，按照附有条件的间接平差计算，得到法方程

N_BBX+C^TK_s-W_l＝0 (11)

将公式(7)作为限制条件，转换为

CX+W_x＝0 (12)

式中C＝(A,B,C)，W_x＝-1，N_BB＝B^TPB，W_l＝B^TPL，由式(11)(12)可求得最小二乘解X，即得到横断面圆心坐标O(X₀,Y₀,Z₀)，该点即为隧道中轴点；

e4、中轴线获取

根据e3求得的中轴点，依次连接各切片内的中轴点从而实现隧道中轴线的提取。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

1、三维激光扫描技术即使在无光的条件下也能提供高精度、高密度的快速测量。

2、使用滑动窗口稳健拟合水平中轴线的方法可以有效规避隧道附属物及点云缺失带来的数据缺陷、提高水平中轴线精度，适用于长距离的弯曲隧道。

3、使用RANSAC算法结合最小二乘原理对轮廓线进行拟合可以有效提高中轴线精度。

附图说明

图1为本发明提供的基于三维激光点云的隧道断面提取及变形分析流程图；

图2为本发明提供的边界提取示意图；

图3为本发明提供的边界及噪点示意图；

图4为本发明提供的边界精提取示意图；

图5为本发明提供的滑动窗口拟合水平中轴线示意图；

图6为本发明提供的点云缺失示及水平中轴线变形示意图；

图7为本发明提供的点云切割俯视示意图；

图8为本发明提供的切片点云投影示意图；

图9为本发明提供的随机采样一致性算法降噪流程图；

图10为本发明提供的圆心求取示意图；

图11为本发明提供的水平投影坐标示意图；

图12为本发明提供的隧道轮廓线示意图；

图13为本发明提供的横断面轮廓线降噪示意图。

具体实施方式

请参阅图1～13，本发明实施例中，一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法，仅使用三维点云数据自动精确拟合出水平中轴线；并以此为基础根据隧道水平中轴线、横断面之间的几何关系提取横断面轮廓线、拟合圆断面圆心，从而提取中轴线，包括如下步骤：

a、使用地面激光扫描测量***，获取隧道三维点云数据；

b、将三维点云投影至水平面上，根据边界特征点与临近点云的几何特性提取点云边界；

c、将点云边界栅格化，对点云边界精提取，然后依据边界提取初始水平中轴线；

d、采用滑动窗口稳健拟合法对水平中轴线进行精提取；

e、以水平中轴线为基准获取横断面轮廓线，接着使用最小二乘方法拟合横断面对称中心，即隧道中轴点，最后将各中轴点连接从而实现隧道中轴线的准确提取；

进一步，上述步骤a包括如下子步骤：

a、数据采集

使用地面激光测量***，获取隧道三维点云数据。

进一步，上述步骤b包括如下子步骤：

b1、水平投影

如图11所示，通过空间坐标基准变换，将三维隧道点云投影至XOY平面上。

b2、边界提取

根据边界特征点与临近点云的几何特性提取隧道投影的点云边界：如图2所示，若P点为内部点，则P点的临近点均匀分布；若P点为边界点，则P点的临近点分布于一侧；因此可以依据R邻域内临近点分布的均匀程度来提取边界点。

以P为中心分别连接各个临近点，以y方向为起始向量，顺时针旋转到各个临点所在的直线上，得到k个与之对应的夹角θ，对θ进行升序排列，计算连续夹角间的差值δ。若其中的最大角大于设定阈值β₀，则判断该点为边界点，否则该点为内部点。

步骤c包括如下子步骤：

c1、点云边界精提取

数据获取过程中可能出现漏测、数据丢失等情况，造成平面投影点云出现“漏洞”，进而使得提取出的边界出现噪点，如图3所示，使用栅格法对边界点进行精提取。

如图4所示，将边界点云栅格化，根据隧道走向，筛选出X(或Y)轴方向上每列栅格的Y_max、Y_min(或X_max、X_min)所对应的点集，从而通过获取最外层边界点，剔除掉内部噪点。并将Y_max所对应点集作为上边界，Y_min对应点集作为下边界。

c2、初始水平中轴线提取

根据c1所获得的精确点云边界点集，以上下两条边界为例：将下边界点(X_down、Y_down、Z_down)作为圆心建立kd-tree，从上边界点集中搜索最近点(X_up、Y_up、Z_up)作为对应点，依据公式(1)获取初始水平中轴线点集(X_mid、Y_mid、Z_mid)。

进一步，上述步骤d包括如下子步骤：

考虑到电灯、电缆、沟渠等隧道附属物以及隧道弯曲弧度对水平中轴线的影响，本发明使用一种滑动窗口稳健拟合方法对水平中轴线进行多项式拟合。该方法采用分段拟合以保证水平中轴线的精度，使用递推原理以保证水平中轴线的连续性。如图5所示将P₁、P₂、P₃、P₄构成窗口1，P₂、P₃、P₄、P₅构成窗口2，以此类推，结合最小二乘方法进行局部三阶曲线拟合。单个窗口所包含的点数、多项式阶数可根据实际工程需要设置，本发明以四点窗口、拟合三阶曲线方程为例进行说明。

起始拟合窗口的精度极其重要，若起始窗口误差较大会使得后续水平中轴线拟合出现较大误差。由于隧道在短距离内弯曲弧度较小，接近于直线，因此本发明使用距离阈值法选取合理的起始窗口。顾及到实际工程中可能出现部分点云缺失而造成点云边界变形的情况，如图6所示，从而使得水平中轴线出现粗差点，进而使用水平中轴线变形，如图6b，因此在拟合前使用阈值法对粗差点进行剔除。

d、采用滑动窗口稳健拟合法对水平中轴线进行拟合精提取；具体包括如下子步骤：

d1、计算阈值λ

阈值λ是选取起始窗口、剔除粗差点的关键，因此须选取合理的阈值作为判断条件，将窗口内各点到拟合直线距离的平均值作为阈值λ。如图5所示，将窗口1内的四点P₁、P₂、P₃、P₄进行直线拟合，拟合公式如下

F(x)＝a₀+a₁x (2)

计算四点到直线L的距离，窗口2、3进行同上计算，最后将P₁、P₂、P₃…P_n到所拟合直线距离d_i的平均值作为阈值λ。

d2、选取起始窗口

首先将P₁、P₂、P₃、P₄作为窗口进行直线拟合，然后计算各点到直线的距离e₁、e₂、e₃、e₄。若e_i皆满足e_i≤λ，则由该四点作为起始窗口拟合；否则，将P₂、P₃、P₄、P₅作为窗口进行直线拟合，同理判断是否满足e_i≤λ。直至选取的窗口满足条件，则将该窗口作为起始窗口。

d3、粗差点剔除及拟合

d3.1、粗差点剔除

假设P₁、P₂、P₃、P₄为起始窗口，则P₂、P₃、P₄、P₅为待拟合窗口，先对待拟合窗口内的前三点(P₂、P₃、P₄)进行直线拟合，再判断第四点(P₅)到该直线L的距离f是否小于阈值λ，若小于λ则P₅予以保留，并将该四点进行三阶曲线拟合；否则，将P₅剔除，然后判断P₆到直线L的距离f是否小于阈值λ，若满足要求则由P₂、P₃、P₄、P₆重组窗口1进行三阶曲线拟合，以此类推。

d3.2、曲线拟合

筛去粗差点，得到符合要求的窗口后(如P₂、P₃、P₄、P₆)，将窗口内四点进行三阶曲线拟合。曲线方程为

F(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³ (3)

拟合完成后，向前滑动作为待拟合窗口(如：P₃、P₄、P₆、P₇)。

循环d3.1、d3.2步骤即可完成水平中轴线的滑动拟合。

d4、提取准确水平中轴线

获取全部水平中轴线的拟合方程后，代入各点的X坐标，即可提取精确水平中轴线，如图6b所示。

以水平中轴线为基准将隧道点云按0.12m进行等距离分割，获得切片点云，然后投影至切平面获得横断面轮廓线，接着运用最小二乘方法拟合轮廓线，得到横断面对称中心，即隧道中轴点，然后将各中轴点连接从而实现隧道中轴线的准确提取；

具体包括如下子步骤：

e1、横断面轮廓线获取

由于点云在特定平面内的数量是有限的，因此本发明以水平中轴线为基准将点云分割成一定厚度的切片并投影至横断面上，从而提取横断面轮廓线。

e1.1、点云切片切割

使用d3.2步骤拟合出的三阶曲线方程可求得水平中轴点P的的切线向量ρ(l,m,n)，从而求得P点的法平面即横断面W的方程：

A₀X+B₀Y+C₀Z+D＝0 (4)

利用横断面方程将点云切割为宽度为g的点云切片，如图7所示。

e1.2、切片点云投影

将横断面方程前后各0.5g厚度的离散点云全都视为W上的点，并把该范围内的所有点云投影到该横断面方程上，投影方式如图8所示，由切向量ρ(l,m,n)及横断面方程可知过离散点G_i到横断面的垂线方程为

将(4)和(5)两式联立可得垂足点Q_i，即为离散点G_i在横断面上的投影点。投影点Q_i的点集构成横断面轮廓线，将切片内的点云投影至切平面如图12所示，得到隧道轮廓线。

e2、横断面轮廓线降噪

由于隧道内壁存在电缆、路灯、螺栓孔、沟槽等隧道附属物，点云中不可避免的出现噪声点。使用随机采样一致性算法对轮廓线进行去噪处理，如图13a中的噪点，在图13b中得到了有效剔除。因此使用随机采样一致性算法对轮廓线进行降噪处理，流程图如图9所示。

e3、横断面轮廓线拟合

获得有效横断面轮廓点后，利用空间平面内圆心与任意弦中点垂直于该弦作为观测条件求取横断面圆心，如图10所示。

由e1.1可知轮廓点满足断面方程式(4)，因此拟合出的空间圆和圆心同样满足公式(4)，将公式(4)转化为

AX+BY+CZ-1＝0 (6)

设定拟合圆的圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，则将圆心代入公式(6)中有

[A,B,C]×[X₀,Y₀,Z₀]^T＝1 (7)

假设圆上任意两点为Q₁(X₁,Y₁,Z₁)、Q₂(X₂,Y₂,Z₂)，Q₁Q₂的中点与圆心O(X₀,Y₀,Z₀)的连线垂直于Q₁Q₂。从而可以得到

即：

令ΔX₁₂＝X₂-X₁，ΔY₁₂＝Y₂-Y₁，ΔZ₁₂＝Z₂-Z₁，

由n个轮廓点可以得出n-1个线性无关的误差方程：

公式(10)可简化为V＝BX-L，此方程中B和L皆为已知。结合最小二乘法则，按照附有条件的间接平差计算，得到法方程

N_BBX+C^TK_s-W_l＝0 (11)

将公式(7)作为限制条件，转换为

CX+W_x＝0 (12)

式中C＝(A,B,C)，W_x＝-1，N_BB＝B^TPB，W_l＝B^TPL。由式(11)(12)可求得最小二乘解X，即得到横断面圆心坐标O(X₀,Y₀,Z₀)，该点即为隧道中轴点。

e4、中轴线获取

根据e3求得的中轴点，依次连接各切片内的中轴点从而实现隧道中轴线的提取。

以上所述的，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于三维激光点云的圆型隧道中轴线提取方法，其特征在于包括如下步骤：

a、数据采集

使用地面激光扫描测量***，获取隧道三维点云数据；

b、将三维点云投影至水平面上，根据边界特征点与临近点云的几何特性提取点云边界；

b1、水平投影

将点云数据通过空间坐标基准变换，投影至XOY平面作为边界提取的基础数据；

b2、边界提取

根据边界特征点与临近点云的几何特性提取隧道投影的点云边界；

c、将点云边界栅格化，对点云边界精提取，然后依据边界提取初始水平中轴线；

c1、点云边界精提取

数据获取过程中可能出现漏测、数据丢失等情况，造成平面投影点云出现“漏洞”，进而使得提取出的边界出现噪点，使用栅格法对边界点进行精提取；

将边界点云栅格化，根据隧道走向，筛选出X轴方向上每列栅格的Y_max、Y_min所对应的点集，从而通过获取最外层边界点，剔除掉内部噪点，并将Y_max所对应点集作为上边界，Y_min对应点集作为下边界；

c2、初始水平中轴线提取

根据c1所获得的精确点云边界点集，将下边界点(X_down、Y_down、Z_down)作为圆心建立kd-tree，从上边界点集中搜索最近点(X_up、Y_up、Z_up)作为对应点，依据公式(1)获取初始水平中轴线点集(X_mid、Y_mid、Z_mid)；

d、采用滑动窗口稳健拟合法对水平中轴线进行精提取；

滑动窗口稳健拟合中轴线步骤如下：

d1、计算阈值λ

阈值λ是选取起始窗口、剔除粗差点的关键，因此须选取合理的阈值作为判断条件，将窗口内各点到拟合直线距离的平均值作为阈值λ，将窗口1内的四点P₁、P₂、P₃、P₄进行直线拟合，拟合公式如下

F(x)＝a₀+a₁x (2)

计算四点到直线L的距离，窗口2、3进行同上计算，最后将P₁、P₂、P₃…P_n到所拟合直线距离d_i的平均值作为阈值λ；

d2、选取起始窗口

首先将P₁、P₂、P₃、P₄作为窗口进行直线拟合，然后计算各点到直线的距离e₁、e₂、e₃、e₄，若e_i皆满足e_i≤λ，则由该四点作为起始窗口拟合；否则，将P₂、P₃、P₄、P₅作为窗口进行直线拟合，同理判断是否满足e_i≤λ；直至选取的窗口满足条件，则将该窗口作为起始窗口；

d3、粗差点剔除及拟合

d3.1、粗差点剔除

假设P₁、P₂、P₃、P₄为起始窗口，则P₂、P₃、P₄、P₅为待拟合窗口，先对待拟合窗口内的前三点进行直线拟合，再判断第四点到该直线L的距离f是否小于阈值λ，若小于λ则P₅予以保留，并将该四点进行三阶曲线拟合；否则，将P₅剔除，然后判断P₆到直线L的距离f是否小于阈值λ，若满足要求则由P₂、P₃、P₄、P₆重组窗口1进行三阶曲线拟合，以此类推；

d3.2、曲线拟合

筛去粗差点，得到符合要求的窗口后，将窗口内四点进行三阶曲线拟合，曲线方程为

F(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³ (3)

拟合完成后，向前滑动作为待拟合窗口；

循环d3.1、d3.2步骤即可完成水平中轴线的滑动拟合；

d4、提取准确水平中轴线

获取全部水平中轴线的拟合方程后，代入各点的X坐标，即可提取精确水平中轴线；

e、以水平中轴线为基准获取横断面轮廓线，接着使用最小二乘方法拟合横断面对称中心，即隧道中轴点，最后将各中轴点连接从而实现隧道中轴线的准确提取；

e1、横断面轮廓线获取

由于点云在特定平面内的数量是有限的，因此水平中轴线为基准将点云分割成一定厚度的切片并投影至横断面上，从而提取横断面轮廓线；

e1.1、点云切片切割

使用d3.2步骤拟合出的三阶曲线方程可求得水平中轴点P的的切线向量ρ(l,m,n)，从而求得P点的法平面即横断面W的方程：

A₀X+B₀Y+C₀Z+D＝0 (4)

利用横断面方程将点云切割为宽度为g的点云切片；

e1.2、切片点云投影

将横断面方程前后各0.5g厚度的离散点云全都视为W上的点，并把该范围内的所有点云投影到该横断面方程上，由切向量ρ(l,m,n)及横断面方程可知过离散点G_i到横断面的垂线方程为

将公式(4)和(5)两式联立可得垂足点Q_i，即为离散点G_i在横断面上的投影点，投影点Q_i的点集构成横断面轮廓线；

e2、横断面轮廓线降噪

由于隧道内壁存在电缆、路灯、螺栓孔、沟槽等隧道附属物，点云中不可避免的出现噪声点，因此使用随机采样一致性算法对轮廓线进行降噪处理；

e3、横断面轮廓线拟合

获得有效横断面轮廓点后，利用空间平面内圆心与任意弦中点垂直于该弦作为观测条件求取横断面圆心；

由e1.1可知轮廓点满足断面方程式(4)，因此拟合出的空间圆和圆心同样满足公式(4)，将公式(4)转化为

AX+BY+CZ-1＝0 (6)

设定拟合圆的圆心为O(X₀,Y₀,Z₀)，则将圆心代入公式(6)中有

[A,B,C]×[X₀,Y₀,Z₀]^T＝1 (7)

假设圆上任意两点为Q₁(X₁,Y₁,Z₁)、Q₂(X₂,Y₂,Z₂)，Q₁Q₂的中点与圆心O(X₀,Y₀,Z₀)的连线垂直于Q₁Q₂，从而可以得到

即：

令ΔX₁₂＝X₂-X₁，ΔY₁₂＝Y₂-Y₁，ΔZ₁₂＝Z₂-Z₁，

由n个轮廓点可以得出n-1个线性无关的误差方程：

公式(10)可简化为V＝BX-L，此方程中B和L皆为已知，结合最小二乘法则，按照附有条件的间接平差计算，得到法方程

N_BBX+C^TK_s-W_l＝0 (11)

将公式(7)作为限制条件，转换为

CX+W_x＝0 (12)

式中C＝(A,B,C)，W_x＝-1，N_BB＝B^TPB，W_l＝B^TPL，由式(11)(12)可求得最小二乘解X，即得到横断面圆心坐标O(X₀,Y₀,Z₀)，该点即为隧道中轴点；

e4、中轴线获取

根据e3求得的中轴点，依次连接各切片内的中轴点从而实现隧道中轴线的提取。