CN111487868A - 一种适用于积分反馈增广***l1自适应控制***和方法 - Google Patents

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CN111487868A CN202010329914.8A CN202010329914A CN111487868A CN 111487868 A CN111487868 A CN 111487868A CN 202010329914 A CN202010329914 A CN 202010329914A CN 111487868 A CN111487868 A CN 111487868A
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Abstract

本发明适用于自适应控制技术领域，针对标准的L1自适应控制不能够应用于误差积分反馈增广***的技术问题，本发明提供了一种适用于积分反馈增广***的L1自适应控制***和方法，包括状态预测器、自适应律、控制律；本发明提出的适用于误差积分反馈增广***的L1自适应控制***和方法，在保留了标准L1自适应控制原有特点的基础上，通过对状态预测器和控制律进行改动，使得改动后的L1自适应控制***和方法可以适用于带有误差积分反馈增广状态的动态***。

Description

一种适用于积分反馈增广***L1自适应控制***和方法
技术领域
本发明属于自适应控制技术领域，尤其涉及一种适用于积分反馈增广***L1自适应控制***和方法。
背景技术
L1自适应控制是近年来发展起来的一种新的自适应控制方法，主要由Hovakimyanand Cao提出(参考文献1：Cao,C.,and Hovakimyan, N."Design and analysis of anovel L1 adaptive controller,Part I:Control signal and asymptotic stability,"American Control Conference,2006. IEEE,2006,pp.3397-3402；参考文献2：[2]Cao,C.,and Hovakimyan,N. "Design and analysis of a novel L1 adaptive controller,partii:Guaranteed transient performance,"American Control Conference,2006.IEEE,2006, pp.3403-3408；参考文献3：Cao,C.,and Hovakimyan,N."Guaranteed transientperformance with L1 adaptive controller for systems with unknown time-varyingparameters and bounded disturbances:Part I," American Control Conference,2007.ACC'07.IEEE,2007,pp. 3925-3930；参考文献4：Cao,C.,and Hovakimyan,N."Stability margins of L1 adaptive controller:Part II,"American ControlConference,2007. ACC'07.IEEE,2007,pp.3931-3936)，与模型参考自适应控制(MRAC) 等传统自适应控制相比，L1自适应控制具有一些显著的特点。
L1自适应控制的关键特点是在快速自适应的情况下保证了鲁棒性，L1自适应控制适用于关键安全控制***的开发，并可以在实际环境中用于反馈控制***的验证。近年来，L1自适应控制在许多领域得到了广泛的应用，特别是在航空航天和飞行器中。
然而，在参考文献5(Hovakimyan,N.,and Cao,C.
Figure RE-GDA0002517777690000021
Adaptive Control Theory:Guaranteed Robustness with Fast Adaptation:SIAM, 2010)和其他已有文献中，各种形式的L1自适应控制方法没有考虑带有输出误差积分扩展状态的动态***，当将标准形式的L1自适应控制直接应用到这类具有误差积分增广状态的***时，存在一些数学和设计上的问题。已有文献中的标准L1自适应控制结构和方法无法应用于误差积分反馈增广***。
发明内容
本发明的目的在于提供一种适用于积分反馈增广***的L1自适应控制***和方法，旨在解决现有技术中L1自适应控制无法应用到误差积分反馈增广***的技术问题。
本发明是这样实现的，一种适用于积分反馈增广***的L1自适应控制***，包括状态预测器、自适应律、控制律，将所述误差积分反馈增广***的数学模型由不含有误差积分反馈状态的原***改写为如下的闭环形式动态方程：
Figure RE-GDA0002517777690000022
x(0)＝(0；xp0)
Figure RE-GDA0002517777690000031
其中，x(t)＝(eyI,xp T)T∈Rn为扩展的***状态向量，eyI(t)为输出跟踪误差的积分，即
Figure RE-GDA0002517777690000032
ey(t)为***输出跟踪误差且ey(t)＝y(t)-r(t)，y(t)∈R为控制输出，r(t)为时变控制指令；
Figure RE-GDA0002517777690000033
为不含有误差积分反馈状态的原***状态向量，且是可观测的；Am＝A+bωKx T，
Figure RE-GDA0002517777690000034
n＝np+1，
Figure RE-GDA0002517777690000035
bp、
Figure RE-GDA0002517777690000036
为已知常数向量，(Ap,bp,cp)为不含有误差积分反馈状态的原***的矩阵定义，(A,b,c)为误差积分反馈增广***的矩阵；其中，
Figure RE-GDA0002517777690000037
为常数未知矩阵，ω∈R是控制增益，为一个未知常数，且对于给定的Hurwitz稳定矩阵 Am∈Rn×n，存在常数增益矩阵Kx∈Rn使得Am＝A+bωKx T；σ(t)∈R为输入干扰项；θ(t)为误差积分反馈增广***的且不含有 bωKx T信息的不确定参数，θm T(t)∈Rn为误差积分反馈增广***的不确定参数，其中包含了θ(t)和bωKx T的信息；
所述状态观测器为：
Figure RE-GDA0002517777690000038
Figure RE-GDA0002517777690000039
Figure RE-GDA0002517777690000041
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000042
为预测器状态向量；
Figure RE-GDA0002517777690000043
为控制增益ω的估计；
Figure RE-GDA0002517777690000044
为不确定参数θ(t)和匹配不确定度的估计；
Figure RE-GDA0002517777690000045
为输入干扰项σ(t)的估计，x0为误差积分反馈增广***的初始状态值，xp0为不含有误差积分反馈状态的原***的初始状态值。
进一步地，所述自适应律为：
Figure RE-GDA0002517777690000046
Figure RE-GDA0002517777690000047
Figure RE-GDA0002517777690000048
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000049
为预测误差向量；
Figure RE-GDA00025177776900000410
Γ∈r+为自适应增益；P＝PT＞0，为代数李雅普诺夫方程Am TP+PAm＝ -Q的解，Q＝QT＞0。
进一步地，所述控制律为：
Figure RE-GDA00025177776900000411
其中，
Figure RE-GDA00025177776900000412
为
Figure RE-GDA00025177776900000413
的拉普拉斯变换；k＞0为正反馈增益；D(s)是一个严格可实现传递函数。
进一步地，根据D(s)构建一个严格可实现滤波器C(s)：
Figure RE-GDA0002517777690000051
其直流增益C(0)＝1。
进一步地，D(s)可以选择的最简单的形式为D(s)＝1/s。
本发明还提供了一种适用于积分反馈增广***的L1自适应控制方法，包括以下步骤：
S1：将所述误差积分反馈增广***的数学模型由不含有误差积分反馈状态的原***改写为如下的闭环动态方程：
Figure RE-GDA0002517777690000052
x(0)＝(0；xp0)
y(t)＝cTx(t),
Figure RE-GDA0002517777690000053
其中，x(t)＝(eyI,xp T)T∈Rn为扩展的***状态向量，eyI(t)为输出跟踪误差的积分，即
Figure RE-GDA0002517777690000054
ey(t)为***输出跟踪误差且ey(t)＝y(t)-r(t)，y(t)∈R为控制输出，r(t)为时变控制指令；
Figure RE-GDA0002517777690000055
为不含有误差积分反馈状态的原***状态向量，且是可观测的；Am＝A+bωKx T，
Figure RE-GDA0002517777690000056
n＝np+1，
Figure RE-GDA0002517777690000057
bp、
Figure RE-GDA0002517777690000058
为已知常数向量，(Ap,bp,cp)为不含有误差积分反馈状态的原***的矩阵定义，(A,b,c)为误差积分反馈增广***的矩阵；其中，
Figure RE-GDA0002517777690000061
为常数未知矩阵，ω∈R是控制增益，为一个未知常数，且对于给定的Hurwitz稳定矩阵 Am∈Rn×n，存在常数增益矩阵Kx∈Rn使得Am＝A+bωKx T；σ(t)∈R为输入干扰项；θ(t)为误差积分反馈增广***的且不含有 bωKx T信息的不确定参数，θm T(t)∈Rn为误差积分反馈增广***的不确定参数，其中包含了θ(t)和bωKx T的信息；
S2：构建状态预测器、自适应律、控制律，其中所述状态观测器为：
Figure RE-GDA0002517777690000062
Figure RE-GDA0002517777690000063
Figure RE-GDA0002517777690000064
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000065
为预测器状态向量；
Figure RE-GDA0002517777690000066
为控制增益ω的估计；
Figure RE-GDA0002517777690000067
为不确定参数θ(t)和匹配不确定度的估计；
Figure RE-GDA0002517777690000068
为输入干扰项σ(t)的估计，x0为误差积分反馈增广***的初始状态值，xp0为不含有误差积分反馈状态的原***的初始状态值。
进一步地，所述自适应律为：
Figure RE-GDA0002517777690000069
Figure RE-GDA0002517777690000071
Figure RE-GDA0002517777690000072
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000073
为预测误差向量；
Figure RE-GDA0002517777690000074
Γ∈R+为自适应增益；P＝PT＞0，为代数李雅普诺夫方程Am TP+PAm＝ -Q的解，Q＝QT＞0。
进一步地，所述控制律为：
Figure RE-GDA0002517777690000075
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000076
为
Figure RE-GDA0002517777690000077
的拉普拉斯变换；k＞0为正反馈增益；D(s)是一个严格可实现传递函数。
进一步地，根据D(s)构建一个严格可实现滤波器C(s)：
Figure RE-GDA0002517777690000078
其直流增益C(0)＝1。
进一步地，D(s)可以选择的最简单的形式为D(s)＝1/s。
本发明相对于现有技术的技术效果是：
本发明提出的适用于误差积分反馈增广***的L1自适应控制***，在保留了标准L1自适应控制原有特点的基础上，通过对状态预测器和控制律进行改动，使得改动后的L1自适应控制***可以适用于误差积分反馈增广***。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对本发明实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面所描述的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是标准的L1自适应控制***框图；
图2是改动的L1自适应控制***框图；
图3是飞机的短周期纵向运动示意图；
图4a为MRAC***的***输出α(t)和r(t)的模拟结果图；
图4b为MRAC***的δec(t)的模拟结果图；
图4c为MRAC***的
Figure RE-GDA0002517777690000081
的模拟结果图；
图5a为改动的L1自适应控制***的***输出α(t)和r(t)的模拟结果图；
图5b为改动的L1自适应控制***的δec(t)的模拟结果图；
图5c为改动的L1自适应控制***的估计参数的模拟结果图；
图6a为改动的L1自适应控制***与MRAC***的***输出α(t) 和r(t)的模拟结果图；
图6b为改动的L1自适应控制***与MRAC***的控制信号u(t) 的模拟结果图；
图6c为自适应性控制参数估计的模拟结果图；
图6d为MRAC参数估计的模拟结果图。
附图标记说明：
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。
在本发明的描述中，需要说明的是，当元件被称为“固定于”或“设置于”另一个元件，它可以直接在另一个元件上或者间接在该另一个元件上。当一个元件被称为是“连接于”另一个元件，它可以是直接连接到另一个元件或间接连接至该另一个元件上。
需要理解的是，术语“长度”、“宽度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。
对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。
为了说明本发明，首先对一般不确定***及其标准的L1自适应控制方法进行说明。然后介绍对应于上述不确定***的误差积分反馈增广***及其改动的L1自适应控制方法。
对于一个如下形式的一般不确定***，其数学模型如方程(1)所示：
Figure RE-GDA0002517777690000101
xp(0)＝xp0
Figure RE-GDA0002517777690000102
其中：
Figure RE-GDA0002517777690000103
为***状态向量，；u(t)∈R，为控制输入；y(t)∈R，为控制输出；bp,
Figure RE-GDA0002517777690000104
为已知常数向量；
Figure RE-GDA0002517777690000105
为常数未知矩阵；ω∈R，为具有已知符号的未知常数；
Figure RE-GDA0002517777690000106
为时变未知参数向量；σ(t)∈R，为输入扰动项；xp0为***在初始时刻的状态值。这里要求(Ap,bpω)是可控的。(Ap,bp,cp)为不含有误差积分反馈状态的原***的矩阵定义。
对于上述不确定***的数学模型(1)，其控制目标是，当***存在以上不确定性和未知量时，设计控制律u(t)，使得***调节输出 y(t)可以跟踪任何有界的时变控制指令r(t)，并且跟踪误差有界。
***输出跟踪误差定义为：
ey(t)＝y(t)-r(t) (2)
ey(t)表示***输出跟踪误差。使用输出跟踪误差的积分eyI(t)
Figure RE-GDA0002517777690000111
来扩充上述不确定***的数学模型(1)，得到(1)的误差积分反馈增广***的数学模型(4)，扩展后的开环***形式为：
Figure RE-GDA0002517777690000112
Figure RE-GDA0002517777690000113
在误差积分反馈增广***的数学模型(4)中，x(t)＝(eyI,xp T)T∈Rn是扩展后的***状态向量，且n＝np+1；x0为***在初始时刻的状态值；误差积分反馈增广***的矩阵如下：
Figure RE-GDA0002517777690000114
误差积分反馈增广***的输出表示为：
Figure RE-GDA0002517777690000115
误差积分反馈增广***的数学模型(4)中，θ(t)＝(θ1,θp T(t))T∈ Rn,表示匹配不确定度，是包括原始θp(t)的时变未知参数的扩展向量。θ(t)中的θ1∈R，与x(t)的扩展积分状态eyI有关，表示扩展的不确定性。因为(Ap,bpω)是可控的，所以扩展后的(A,bω)也是可控的。
如参考文献5(Hovakimyan,N.,and Cao,C.
Figure RE-GDA0002517777690000121
Adaptive Control Theory:Guaranteed Robustness with Fast Adaptation:SIAM,2010)所述， L1自适应控制方法需要对上述不确定***(1)和误差积分反馈增广***(4)施加如下假设：
假设1(匹配条件)：
给定已知Hurwitz稳定矩阵
Figure RE-GDA0002517777690000122
和Am∈Rn×n，以及未知常数ω≠0,那么存在常数(可能未知)增益矩阵
Figure RE-GDA0002517777690000123
和 Kx∈Rn，使得：
Amp＝Ap+bpωKp T
Am＝A+bωKx T
假设2(未知参数的一致有界性)：设θ(t)∈Θ,σ(t)∈Δ0,
Figure RE-GDA0002517777690000124
其中，Θ是一个已知的紧致凸集，Δ0∈R+是σ(t)的已知保守正边界。
假设3(参数变化率的一致有界性)：设θ(t)和σ(t)连续可微，并且具有一致有界导数:
Figure RE-GDA0002517777690000125
假设4(***控制输入增益不确定性的部分可知性)：设
Figure RE-GDA0002517777690000126
其中0＜ωl0＜ωu0是ω的已知上下界。
标准的L1自适应控制方法只能够应用于上述的不确定***(1)的控制律设计，而不能够应用于该***的误差积分反馈增广***(4)的控制律设计。具体说明如下：
首先，对于上述形式为(1)的不确定***，标准的L1自适应控制器由如下几个部分构成：
状态预测器：
Figure RE-GDA0002517777690000131
Figure RE-GDA0002517777690000132
Figure RE-GDA0002517777690000133
状态预测器的结构和不确定***(1)的结构相似；
Figure RE-GDA0002517777690000134
为预测状态,
Figure RE-GDA0002517777690000135
为控制增益ω的估计，
Figure RE-GDA0002517777690000136
为参数θp和匹配不确定度 bpωKp T的估计，Amp为根据假设1得到的Hurwitz稳定矩阵，即 Amp＝Ap+bpωKp T；
Figure RE-GDA0002517777690000137
表示干扰σ(t)的估计。
自适应律：
Figure RE-GDA0002517777690000138
Figure RE-GDA0002517777690000139
Figure RE-GDA00025177776900001310
其中，
Figure RE-GDA00025177776900001311
为预测误差,Γ∈R+为自适应增益, P＝PT＞0为代数李雅普诺夫方程Amp TP+PAmp＝-Q的解， Q＝QT＞0。投影算子Proj()确保这些参数的所有估计都是有界的。
控制律：
Figure RE-GDA00025177776900001312
其中，r(s)和
Figure RE-GDA00025177776900001313
分别为r(t)和
Figure RE-GDA00025177776900001314
Figure RE-GDA00025177776900001315
的拉普拉斯变换；
Figure RE-GDA00025177776900001316
k＞0是正反馈增益,D(s)是一个严格可实现传递函数，因而可以构建一个严格可实现的滤波器：
Figure RE-GDA00025177776900001317
其直流增益为C(0)＝1，一个简单的D(s)选择为D(s)＝1/s。
对于不确定***(1)而言，方程(7)～(9)构成了标准的L1自适应控制器。标准L1自适应控制方法的稳定性和性能分析，可参见文献5 (Hovakimyan,N.,and Cao,C.
Figure RE-GDA0002517777690000141
Adaptive Control Theory:Guaranteed Robustness with Fast Adaptation:SIAM,2010)。
这种标准的L1自适应控制器结构如图1所示。
然而，在将上述标准的L1自适应控制方法应用于误差积分反馈增广***的数学模型(4)时，会出现奇异性问题，控制律不可实现。
具体原因如下：
首先，状态预测器的数学模型(7)的预测形式不同于误差积分反馈增广***(4)的结构。除了二者之间的阶差之外，状态预测器(7)没有误差积分反馈增广***数学模型(4)中的直流增益项br。
其次，主要的问题在于控制律(9)中的前馈增益项kg。在标准的 L1自适应控制中，该项用于驱动预测器的状态，以确保
Figure RE-GDA0002517777690000142
以零稳态误差来跟踪参考输入r(t)，特别是当r(t)是常数时。以此来保证实际***(1)的输出y(t)以零稳态误差来跟踪参考输入r(t)。将其直接应用于误差积分反馈增广***的数学模型(4)时，会出现奇异性问题。如下所示：
在假设1下，Hurwitz矩阵Am可由数学模型(4)中的A导出的， Am＝A+bωKx T。那么Am具有如下形式：
Figure RE-GDA0002517777690000151
因为Am为Hurwitz矩阵,因此，A21中至少有一个元素不为0，并且A22为可逆的。根据矩阵代数，分块矩阵Am的逆矩阵可以表示为如下形式
Figure RE-GDA0002517777690000152
那么
Figure RE-GDA0002517777690000153
可以计算为
Figure RE-GDA0002517777690000154
这会导致cTAm -1b＝0。此时如果采用标准的L1自适应控制律(9)，其中的
Figure RE-GDA0002517777690000155
会导致|kg|＝∞。因此，对于积分增广***(4)，标准的L1自适应控制律不可实现。
通过以上分析可知，标准的L1自适应控制可以应用于上述形式为(1)的不确定***，但是不适用于误差积分反馈增广***(4)。
以下为本发明提出的针对误差积分反馈增广***的L1自适应控制***和方法。
首先，根据前面的假设1，将误差积分反馈增广***的数学模型 (4)写为闭环动态方程形式：
Figure RE-GDA0002517777690000156
x(0)＝(0；xp0)
Figure RE-GDA0002517777690000161
其中，θm T(t)∈Rn，包含了数学模型(4)中的不确定参数θ(t)和未知项bωKx T的信息，根据前面的假设1，这个未知项用于将(4)中的矩阵A转化为(10)中的矩阵Am，即Am＝A+bωKx T；xp0为原***的初始状态值；(A,b,c)为误差积分反馈增广***(4)的矩阵；
当Θ的范围选择足够大的情况下，这里θm∈Θ仍旧成立。进一步，从r(t)到y(t)的传递函数可以表示为：
Figure RE-GDA0002517777690000162
因此，从r(t)到y(t)的直流增益为G(0)＝cTAm -1br，其中，br在方程(5)中已定义。通过前面的讨论，很容易得到G(s)的直流增益 G(0)＝1。这意味着闭环动态方程(10)(也即(4))已经被brr(t)项正确地驱动，以确保其输出y(t)以零稳态误差跟踪参考输入信号r(t)，进而不需要在控制输入信号u(t)中再使用额外的信号来驱动该闭环动态方程(10)，也即不再需要(9)中的kg项。因此，u(t)在这里的主要作用是消除闭环动态方程(10)中的不确定性，来使得闭环***按照 Hurwitz矩阵Am定义的闭环动态特性进行响应。因为在(10)中，***状态x(t)＝(eyI,xp T)T含有输出跟踪误差ey(t)的时间积分eyI(t)，所以，这会在采用状态反馈的控制律u(t)中包含有积分控制行为，以确保闭环***具有由Hurwitz矩阵Am定义的期望闭环动态特性。
因此，可以构建如下改动的L1自适应控制***和方法：
状态预测器：
Figure RE-GDA0002517777690000171
Figure RE-GDA0002517777690000172
Figure RE-GDA0002517777690000173
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000174
为预测器状态向量,
Figure RE-GDA0002517777690000175
是控制增益ω的估计,θ(t) 为误差积分反馈增广***(4)的且不含有bωKx T信息的不确定参数，
Figure RE-GDA0002517777690000176
为不确定参数θm T(t)的估计，；
Figure RE-GDA0002517777690000177
为输入干扰项σ(t)的估计，x0为增广***的初始状态值，xp0为原***的初始状态值，θm T(t)∈Rn为误差积分反馈增广***的不确定参数，其中包含了不确定参数θ(t)和bωKx T的信息；
自适应律：
Figure RE-GDA0002517777690000178
Figure RE-GDA0002517777690000179
Figure RE-GDA00025177776900001710
其中，
Figure RE-GDA00025177776900001711
为预测误差向量；
Figure RE-GDA00025177776900001712
Γ∈R+为自适应增益；P＝PT＞0，为代数李雅普诺夫方程Am TP+PAm＝ -Q的解，Q＝QT＞0。
控制律：
Figure RE-GDA00025177776900001713
其中，
Figure RE-GDA00025177776900001714
为
Figure RE-GDA00025177776900001715
的拉普拉斯变换；k＞0为正反馈增益；D(s)是一个严格可实现传递函数，因而可以构建一个严格可实现的滤波器：
Figure RE-GDA00025177776900001716
其直流增益为C(0)＝1.D(s)可以选择为D(s)＝1/s。
方程(11)～(13)构成了改动的L1自适应控制方法。图2显示了其结构形式框图。此图清楚地显示了修改后的控制方法与图1中的标准 L1的自适应控制方法之间的主要区别。
为了对改动的L1自适应控制***进行理论验证，以下将对改动的L1自适应控制***的稳定性进行分析。
设：
Figure RE-GDA0002517777690000181
L1范数条件
Figure RE-GDA0002517777690000182
是L1自适应控制器(方程(11)、(12)、 (13))的稳定条件。以下的分析，在此前提条件下进行。
当***(4)的动态特性表示为方程(10)，状态预测器为方程(11)时，两者之间的动态预测误差为：
Figure RE-GDA0002517777690000183
Figure RE-GDA0002517777690000184
式中，
Figure RE-GDA0002517777690000185
Figure RE-GDA0002517777690000186
引理预测误差
Figure RE-GDA0002517777690000187
一致有界，且满足
Figure RE-GDA0002517777690000188
其中
Figure RE-GDA0002517777690000189
Figure RE-GDA00025177776900001810
这里Δ、ωu、ωl为方程(12)中
Figure RE-GDA00025177776900001811
和
Figure RE-GDA00025177776900001812
的保守投影算子界限，且满足Δ0＜Δ,0＜ωl＜ωl0＜ωu0＜ωu。
证明：考虑以下形式的候选李雅普诺夫函数
Figure RE-GDA0002517777690000191
由于
Figure RE-GDA0002517777690000192
时，则很容易证明
Figure RE-GDA0002517777690000193
V(t)沿方程(14)的轨迹的导数为
Figure RE-GDA0002517777690000194
方程(12)中的投影算子可以确保，对所有的t≥0，
Figure RE-GDA0002517777690000195
Figure RE-GDA0002517777690000196
因此，
Figure RE-GDA0002517777690000197
而且，投影算子同时还确保t≥0时，
Figure RE-GDA0002517777690000201
如果对于某个t1＞0，存在
Figure RE-GDA0002517777690000202
那么使用V(t)和θm的定义，则可得
Figure RE-GDA0002517777690000203
进而可得
Figure RE-GDA0002517777690000204
这将导致
Figure RE-GDA0002517777690000205
也即V(t1)将逐渐减小。因此(14)中的误差
Figure RE-GDA0002517777690000206
在控制律(11)～(13)下，是有界的。因此这将证明所有t＞0时，
Figure RE-GDA0002517777690000207
由于
Figure RE-GDA0002517777690000208
则
Figure RE-GDA0002517777690000209
因而结论成立。
从这一引理出发，证明了控制误差的性能界限
Figure RE-GDA00025177776900002010
与自适应增益Γ的平方根成反比。因此，可以通过尽可能增大自适应增益Γ来提高自适应控制器的控制性能。
这种改动的L1自适应控制方法的稳定性和性能的证明过程，在形式和原理上是与标准L1自适应控制是一致的。证明过程可以参考文献(Hovakimyan,N.,and Cao,C.
Figure RE-GDA00025177776900002011
1Adaptive Control Theory: Guaranteed Robustness with Fast Adaptation:SIAM,2010)。
飞行器控制仿真示例
飞行器模型可以参考应用文献(Lavretsky,E.,and Wise,K. "Robust andadaptive control:With aerospace applications,ser," Advanced textbooks incontrol and signal processing.London and New York:Springer,2013)中的例子。该文献中的仿真例子用于飞机的短周期动力学和控制，采用的是模型参考自适应(MRAC)控制器。
对于正常的飞机，纵向运动是通过发动机节流阀和升降舵控制的，节流阀是空速调节的主要输入，升降舵上下偏转将改变飞机的俯仰速度
Figure RE-GDA0002517777690000214
(θ表示俯仰角)，同时，仰角的运动也会影响飞机的攻角(速度矢量V与机身纵轴X之间的夹角)。图3显示了飞机的短周期纵向运动。
假定固定节气门设置和恒定空速，由升降舵偏转δe所驱动的α和q 的变化构成飞机短周期动力学，可以由二阶微分方程来近似
Figure RE-GDA0002517777690000211
其中，V(ft/s)为实际空速(假定常数)，δe(deg)是升降舵偏转角(控制输入)，zα,zq,zδ,Mα,Mq,Mδ为已知飞行器参数。Λ＞0是不确定的控制增益，但具有已知的界。f(xp)表示匹配的不确定度。使用文献(McRuer,D.T.,Graham,D.,and Ashkenas,I.Aircraftdynamics and automatic control:Princeton University Press,2014.)中的通用运输机(DC-8)巡航数据填充短期模型：
Figure RE-GDA0002517777690000212
将飞机仰角α(deg)定义为***调节输出：
Figure RE-GDA0002517777690000213
f(xp)使用以下形式的线性状态相关的不确定度
f(xp)＝1.5Mαα+0.5Mqq
按照前面(4)的形式，将输出跟踪误差的时间积分作为该模型(15) 的扩展状态，形成类似于(4)的误差积分反馈增广***，扩展后的开环矩阵为
Figure RE-GDA0002517777690000221
c＝(0 1 0)(16)
在仿真中，升降舵作动器的未建模动态选取为
Figure RE-GDA0002517777690000222
其中，δec是来自控制律的指令信号。这个动态对控制器是未知的。
利用线性二次型调节器(LQR)方法建立类似于(10)的参考模型。此时应用(16)中的飞机模型数据。LQR方法中的权重矩阵定义为：
Figure RE-GDA0002517777690000223
通过求解与LQR方法相关的代数Riccati方程：
PA+ATP-PbRLQR -1bTP+QLQR＝0
通过求解Riccati方程，获得矩阵P，然后可以得到最优反馈增益为：
KLQR T＝-RLQR -1bTP＝(-3.1623 -1.1016 -0.2152)
然后，通过LQR最优控制反馈u＝-KLQR Tx产生所需的短周期动力学参考模型
Figure RE-GDA0002517777690000231
以下是两种自适应控制方法的对比。其中一种是常规的模型参考自适应控制(MRAC)，一种为上面介绍的L1自适应控制方法，两者都应用于误差积分反馈增广***时，控制性能的对比。
模型参考自适应控制(MRAC)：
选择参考模型：
Figure RE-GDA0002517777690000232
yref(t)＝cref Txref(t)
其中，cref T＝(0,1,0)。由于匹配不确定性是线性相关的，*** (16)的MRAC控制器的形式如下：
Figure RE-GDA0002517777690000233
Figure RE-GDA0002517777690000234
其中，
Figure RE-GDA0002517777690000235
是估计参数，Γx＝Γx T＞0是自适应增益， e＝x(t)-xref(t)是跟踪误差，P＝PT＞0是Lyapunov方程 PAref+Aref TPT＝-Q的解，Q＝QT＞0。对于这里的仿真模拟，选择以下参数：
Figure RE-GDA0002517777690000236
Γx＝27I3×3,Q＝I3×3
图4a-4c显示了控制***对控制目标r(t)为一系列阶跃变化时的模拟结果，其中，图4a为***输出α(t)和r(t)的模拟结果，图4b为δec(t)的模拟结果，图4c为
Figure RE-GDA0002517777690000237
的模拟结果。
在图4a-4c中可以看到，在初始适应过程之后，随着参数估计的改进，闭环***的输出能够很好地跟踪阶跃变化指令。不过，可以自然地会发现，由于初始阶段的参数估计相对较差，***在初始阶段的瞬态响应并不令人满意。
改动的L1自适应控制器：
***(16)的L1自适应控制器由方程(11)～(13)组成，***(16)定义了Am＝Aref,b，br.初始条件设置为
Figure RE-GDA0002517777690000241
Figure RE-GDA0002517777690000242
与MRAC的情况一样，这意味着控制器没有控制参数的先验知识。其他参数取Γ＝1000,k＝40,D(s)＝ 1/s,Q＝I3×3.自适应律(12)中Θ＝[-10,10],Δ＝5，Ω0＝[0,5]。
图5a-5c显示了控制***对控制目标r(t)为一系列阶跃变化时的模拟结果，其中，图5a为***输出α(t)和r(t)的模拟结果，图5b为δec(t)的模拟结果，图5c为估计参数的模拟结果。
从图中可以看出，闭环***的输出从一开始就可以很好地跟踪阶跃变化指令，同时保证***输出和参数都是有界的。这主要是由于 L1自适应控制器具有快速自适应和鲁棒性的特点。值得注意的是，方程(13)中的反馈增益
Figure RE-GDA0002517777690000243
与MRAC中的反馈增益
Figure RE-GDA0002517777690000244
起着相似的作用。由于***(16)和预测器(11)的扩展积分跟踪误差状态，通过估计参数
Figure RE-GDA0002517777690000245
的第一个元素，控制信号u(t)中会呈现积分控制作用。这种积分控制作用在标准的L1自适应控制结构中是没有的。
图6a-图6d比较了改动的L1自适应控制器和MRAC控制器对控制目标r(t)为正弦函数时的控制响应对比，即r(t)＝sin(0.1t)。其中，图6a为***输出α(t)和r(t)的模拟结果对比，图6b为控制信号u(t)的模拟结果对比，图6c L1为自适应性控制参数估计的模拟结果，图6d 为MRAC参数估计的模拟结果。
图6a-图6d中的结果清楚地表明，改动的L1自适应控制器比 MRAC具有更好的瞬态响应。在初始阶段，L1自适应控制的控制信号没有MRAC的控制信号那样变化剧烈。与传统的MRAC相比，这种改动的L1自适应控制结构具有良好的控制性能，特别是在飞机短周期动力学中存在未建模动态时。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制***，包括状态预测器、自适应律、控制律，其特征在于，将所述误差积分反馈增广***的数学模型由不含有误差积分反馈状态的原***改写为如下的闭环形式动态方程：
Figure FDA0002463557270000011
x(0)＝(0；xp0)
y(t)＝cTx(t),
Figure FDA0002463557270000012
其中，x(t)＝(eyI，xp T)T∈Rn为扩展的***状态向量，eyI(t)为输出跟踪误差的积分，即
Figure FDA0002463557270000013
ey(t)为***输出跟踪误差且ey(t)＝y(t)-r(t)，y(t)∈R为控制输出，r(t)为时变控制指令；
Figure FDA0002463557270000014
为不含有误差积分反馈状态的原***状态向量，且是可观测的；Am＝A+bωKx T，
Figure FDA0002463557270000015
n＝np+1，
Figure FDA0002463557270000016
Figure FDA0002463557270000017
Figure FDA0002463557270000018
为已知常数向量，(Ap,bp,cp)为不含有误差积分反馈状态的原***的矩阵定义，(A,b,c)为误差积分反馈增广***的矩阵；其中，
Figure FDA0002463557270000019
为常数未知矩阵，ω∈R是控制增益，为一个未知常数，且对于给定的Hurwitz稳定矩阵Am∈Rn×n，存在常数增益矩阵Kx∈Rn使得Am＝A+bωKx T；σ(t)∈R为输入干扰项；θ(t)为误差积分反馈增广***的且不含有bωKx T信息的不确定参数，θm T(t)∈Rn为误差积分反馈增广***的不确定参数，其中包含了θ(t)和bωKx T的信息；
所述状态观测器为：
Figure FDA0002463557270000021
Figure FDA0002463557270000022
Figure FDA0002463557270000023
其中，
Figure FDA0002463557270000024
为预测器状态向量；
Figure FDA0002463557270000025
为控制增益ω的估计；
Figure FDA0002463557270000026
为不确定参数θ(t)和匹配不确定度的估计；
Figure FDA0002463557270000027
为输入干扰项σ(t)的估计，x0为误差积分反馈增广***的初始状态值，xp0为不含有误差积分反馈状态的原***的初始状态值。
2.如权利要求1所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制***，其特征在于，所述自适应律为：
Figure FDA0002463557270000028
Figure FDA0002463557270000029
Figure FDA00024635572700000210
其中，
Figure FDA00024635572700000211
为预测误差向量；
Figure FDA00024635572700000212
Γ∈R+为自适应增益；P＝PT>0，为代数李雅普诺夫方程Am TP+PAm＝-Q的解，Q＝QT>0。
3.如权利要求1或2所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制***，其特征在于，所述控制律为：
Figure FDA00024635572700000213
其中，
Figure FDA00024635572700000214
为
Figure FDA00024635572700000215
的拉普拉斯变换；k>0为正反馈增益；D(s)是一个严格可实现传递函数。
4.如权利要求3所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制***，其特征在于，根据D(s)构建一个严格可实现滤波器C(s)：
Figure FDA0002463557270000031
其直流增益C(0)＝1。
5.如权利要求4所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制***，D(s)可以选择的最简单的形式为D(s)＝1/s。
6.一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：将所述误差积分反馈增广***的数学模型由不含有误差积分反馈状态的原***改写为如下的闭环动态方程：
Figure FDA0002463557270000032
x(0)＝(0；xp0)
y(t)＝cTx(t),
Figure FDA0002463557270000033
其中，x(t)＝(eyI,xp T)T∈Rn为扩展的***状态向量，eyI(t)为输出跟踪误差的积分，即
Figure FDA0002463557270000034
ey(t)为***输出跟踪误差且ey(t)＝y(t)-r(t)，y(t)∈R为控制输出，r(t)为时变控制指令；
Figure FDA0002463557270000035
为不含有误差积分反馈状态的原***状态向量，且是可观测的；Am＝A+bωKx T，
Figure FDA0002463557270000036
n＝np+1，
Figure FDA0002463557270000037
Figure FDA0002463557270000038
Figure FDA0002463557270000039
为已知常数向量，(Ap,bp,cp)为不含有误差积分反馈状态的原***的矩阵定义，(A,b,c)为误差积分反馈增广***的矩阵；其中，
Figure FDA0002463557270000041
为常数未知矩阵，ω∈R是控制增益，为一个未知常数，且对于给定的Hurwitz稳定矩阵Am∈Rn×n，存在常数增益矩阵Kx∈Rn使得Am＝A+bωKx T；σ(t)∈R为输入干扰项；θ(t)为误差积分反馈增广***的且不含有bωKx T信息的不确定参数，θm T(t)∈Rn为误差积分反馈增广***的不确定参数，其中包含了θ(t)和bωKx T的信息；
S2：构建状态预测器、自适应律、控制律，其中所述状态观测器为：
Figure FDA0002463557270000042
Figure FDA0002463557270000043
Figure FDA0002463557270000044
其中，
Figure FDA0002463557270000045
为预测器状态向量；
Figure FDA0002463557270000046
为控制增益ω的估计；
Figure FDA0002463557270000047
为不确定参数θ(t)和匹配不确定度的估计；
Figure FDA0002463557270000048
为输入干扰项σ(t)的估计，x0为误差积分反馈增广***的初始状态值，xp0为不含有误差积分反馈状态的原***的初始状态值。
7.如权利要求6所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制方法，其特征在于，所述自适应律为：
Figure FDA0002463557270000049
Figure FDA00024635572700000410
Figure FDA00024635572700000411
其中，
Figure FDA0002463557270000051
为预测误差向量；
Figure FDA0002463557270000052
Γ∈R+为自适应增益；P＝PT>0，为代数李雅普诺夫方程Am TP+PAm＝-Q的解，Q＝QT>0。
8.如权利要求6或7所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制方法，其特征在于，所述控制律为：
Figure FDA0002463557270000053
其中，
Figure FDA0002463557270000054
为
Figure FDA0002463557270000055
的拉普拉斯变换；k>0为正反馈增益；D(s)是一个严格可实现传递函数。
9.如权利要求8所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制方法，其特征在于，根据D(s)构建一个严格可实现滤波器C(s)：
Figure FDA0002463557270000056
其直流增益C(0)＝1。
10.如权利要求9所述的一种适用于积分增广反馈***的L1自适应控制方法，其特征在于，D(s)可以选择的最简单的形式为D(s)＝1/s。
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