CN111103796B - 基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法 - Google Patents

基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法 Download PDF

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CN111103796B CN201911243103.XA CN201911243103A CN111103796B CN 111103796 B CN111103796 B CN 111103796B CN 201911243103 A CN201911243103 A CN 201911243103A CN 111103796 B CN111103796 B CN 111103796B
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Abstract

本发明公开了一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，包括首先考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的交直流混合电力***数学模型；利用潮流计算求解的稳定平衡点，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分解优化算法；根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域。本发明方法适用于维数更高、非线性化更强的电力***，可用于分析和评估暂态稳定性的影响因素，有利于对电力***的暂态控制和参数优化。

Description

基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法
技术领域
本发明涉及交直流电力***暂态稳定性分析技术领域，特别涉及一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法。
背景技术
近年来，随着直流传输的增加，与传统的交流***相比，交直流混合***的动态特性发生了很大变化。直流***复杂的结构、各动态元件多时间尺度控制下的相互作用以及拓扑结构会随着控制切换而改变等特点，使得具有高度非线性的交直流混合***的暂态稳定分析更为复杂。此外，直流整流器和逆变器的不同控制模式及其搭配对稳定性的影响也不同，因此，迫切需要更准确的方法来分析和评估交直流混合***的暂态稳定性，而如何提供可靠的定量信息，以指导包括直流换流器在内的一系列动态元件在故障后的暂态稳定性控制具有现实意义。
传统的基于时域仿真的暂态稳定分析方法无法提供定量的稳定裕度信息。随着现代数学成果的应用，基于李雅普诺夫稳定性定理的直接法以其可用于分析稳定性并提供稳定裕度的优点，逐步被应用于暂态稳定性问题分析。然而常用的基于能量函数和主导不稳定平衡点的方法保守性较大，且难以对传输电导较大、含电压相关有功负载等电力***进行分析，特别地，由于针对交直流混合***，相关工作成果中常将直流***以准稳态模型表示，对整个***用统一的李雅普诺夫函数描述，仅在母线电压，相角和发电机等状态变量空间内求解稳定域，忽略了反映直流动态特性的关键状态变量对***稳定域的影响，难以评估直流换流器控制模式及切换特性对稳定域的影响。而其中如何保留具有灵活可变换流器控制模式的直流***的特征，并从域的角度定量分析这一特征对交直流***稳定性的影响则是一个难题。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，该方法可用于分析和评估暂态稳定性的影响因素，有利于对电力***的暂态控制和参数优化。
本发明的目的通过下述技术方案实现：一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，包括如下步骤：
S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的交直流混合电力***数学模型；
S2、利用潮流计算求解的稳定平衡点，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；
S3、将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分解优化算法；
S4、根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域。
优选的，在步骤S1中，交直流混合电力***数学模型的建立过程具体为：
考虑直流动态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路，动态RL电路具体如下：
Figure GDA0002939988980000021
其中，Id是直流电流；t是时间；Ld是直流线电感；Rd是直流线电阻；Vdr是直流整流器的直流电压，Vdi是直流逆变器的直流电压，分别定义为：
Figure GDA0002939988980000022
Figure GDA0002939988980000023
其中，mr是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；Vr是整流侧交流母线电压；Vi是逆变侧交流母线电压；mi是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；Xr是直流整流器的变压器电抗；Xi是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角；
针对于交直流混合电力***的多种不同控制模式，分别构建对应的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；
所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程共同构成交直流混合电力***数学模型。
更进一步的，直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整流器的控制方程和直流逆变器的控制方程；
不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，
第一控制模式为交直流混合电力***的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到阈值以下，则交直流混合电力***从第一控制模式切换为第二控制模式。
更进一步的，第一控制模式具体是指直流整流器的定直流电流控制和直流逆变器的定熄弧角控制，其中，
(11)在第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：
Figure GDA0002939988980000031
Figure GDA0002939988980000032
Figure GDA0002939988980000033
其中，X1是用于直流整流器的控制器输入信号；t是时间；KIr是整流器控制环节的积分增益；Idref是参考电流；Id是直流电流；αmax是触发角的最大值；αmin是触发角的最小值；KPr是整流器控制环节的比例增益；
(12)在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：
Figure GDA0002939988980000041
Figure GDA0002939988980000042
Figure GDA0002939988980000043
其中，X2是直流逆变器的控制器输入信号；
Figure GDA0002939988980000049
是逆变器控制环节的积分增益；γ是熄弧角；γref是参考熄弧角；β是超前角；βmax是超前角的最大值；
Figure GDA00029399889800000410
是逆变器控制环节的比例增益；
第二控制模式具体是直流整流器和直流逆变器的定直流电流控制，其中，
(21)在第二控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方程相同；
(22)在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：
Figure GDA0002939988980000044
Figure GDA0002939988980000045
Figure GDA0002939988980000046
其中，X3是直流逆变器的控制器输入信号；
Figure GDA0002939988980000047
是逆变器控制环节的积分增益；γmin是熄弧角的最小值；
Figure GDA0002939988980000048
是逆变器控制环节的比例增益。
优选的，在步骤S2中，通过将状态变量x更改为x+xs，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；xs是状态变量在稳定平衡点处的值。
优选的，在步骤S3中，将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，具体是采用泰勒级数将数学模型中的三角函数展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。
优选的，在步骤S4中，根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域，过程具体如下：
S41、提出满足李雅普诺夫稳定性理论的平方和分解约束以及交直流混合电力***数学模型的切换条件约束；
S42、以稳定边界最大为优化目标，对平方和分解约束和切换条件约束进行求解，得到在不同控制模式下，交直流混合电力***对应的多项式李雅普诺夫函数和稳定域。
更进一步的，在步骤S41中，提出满足李雅普诺夫稳定性理论的平方和分解约束以及交直流混合电力***数学模型的切换条件约束，过程具体如下：
(1)根据李雅普诺夫稳定性理论，对满足
Figure GDA0002939988980000056
的切换***，其中x是状态变量向量集，当在x的定义域U内存在稳定平衡点，在不同控制模式下位于稳定平衡点处的李雅普诺夫函数Va(xs)＝0满足：
Va(0)＝0；
Figure GDA0002939988980000051
Figure GDA0002939988980000052
表征切换规则的切换***满足：
Figure GDA0002939988980000053
其含义为：切换***的每个状态变量在a种控制模式下都有对应的控制方程
Figure GDA0002939988980000054
Rn是一个n维向量空间的数学描述；a表示在不同的切换约束条件ga对应的控制模式序号；ga是第a种***状态方程运行所需的切换约束条件；b表示切换***的状态变量集合[x1,x2,...,xb],(b＝1,2,...,n)中的状态变量序号；fa为第a种控制模式下***动态模型的数学方程集；fab是在第a种控制模式下的状态变量xb的控制方程；
其中，
Figure GDA0002939988980000055
V(x)∈{Va(x):x∈U}时，V(x)为切换***的李雅普诺夫函数；
在上式中，Va(x)是控制模式a下的子李雅普诺夫函数；
Figure GDA0002939988980000057
是Va(x)对时间的微分；▽Va(x)是控制模式a所对应***状态模型求得的子李雅普诺夫函数对变量x的微分；{Va(x):x∈U}的含义是：一个由各个控制模式下得到的子李雅普诺夫函数构成的向量集合；
根据李雅普诺夫函数，可以确定该函数所得的稳定域Ω为：Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}；
Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}的含义是：稳定域Ω为李雅普诺夫函数集V(x)小于或者等于一个值c所包括的范围，且该稳定域是定义于状态变量集x的一个n维向量空间上的；c是正实数；
(2)在李雅诺普夫稳定性理论的约束下构造一个使得稳定边界最大的李雅普诺夫函数V(x)，以对李雅普诺夫函数进行优化，具体如下：
切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为以下空条件：
Figure GDA0002939988980000061
Figure GDA0002939988980000062
Figure GDA0002939988980000063
如果仅对于x＝0n，p(x)∈PSOS为0，其中0n表示n维空间上的原点，PSOS是可以分解为平方和分解形式的多项式函数集，则p(x)为能反映稳定性的多项式函数并用
Figure GDA0002939988980000069
表示；
使得稳定边界最大，具体是：
增加μ以对稳定域Ωa＝{Va(x)≤c}，Ω∈{Ωa}进行扩展；μ是一个设定的实数；在保证稳定域
Figure GDA0002939988980000064
的约束下，增加实数c以对域
Figure GDA0002939988980000065
进行扩大；
(3)基于高层正点定理和平方和分解，在使得稳定边界最大，切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为：
Figure GDA0002939988980000066
Figure GDA0002939988980000067
Figure GDA0002939988980000068
其中，L1(x),L2(x),…,L6(x)均是能进行平方和分解的多项式；l1和l2是自行设置的系数乘上状态变量平方和的多项式；
根据如上约束条件，得到稳定平衡点处的初始李雅普诺夫函数；
(4)通过约束最大化μ的优化算法，找出不同控制模式下的具体李雅普诺夫函数，以便更准确地估计出稳定域：
max μ
约束条件如下：
Figure GDA0002939988980000071
Figure GDA0002939988980000072
Figure GDA0002939988980000073
将具体李雅普诺夫函数重新编写为平方和分解优化表达：
max μ
约束条件如下：
Figure GDA0002939988980000074
Figure GDA0002939988980000075
Figure GDA0002939988980000076
第三个约束
Figure GDA0002939988980000077
保证在稳定域Ωa＝{Va(x)≤1}的范围内严格满足条件
Figure GDA0002939988980000078
更进一步的，在步骤S42中，平方和分解约束和切换条件约束的求解过程如下：
(1)针对于所获得的初始李雅诺普夫函数，保持Va(x)恒定，同时确定L1(x)、L4(x)和L5(x)，利用二分法获得最大的μ；
(2)保持L4(x)和L5(x)恒定，搜索可行的Va(x)和L1(x)，利用二分法最大化μ；
(3)令p(x)(k+1)＝Va(x)(k)和μ(k+1)＝μ(k)；
(4)重复步骤(1)～(3)，直至μ值收敛；
通过步骤(4)得到的μ值，求解出对应的多项式李雅诺普夫函数及其所得的稳定域。
优选的，交直流混合电力***所用的三阶发电机模型为：
Figure GDA0002939988980000081
其中，i是发电机，每个发电机有对应的母线；t是时间；δi是发电机的转子角；f是***频率；ωi是发电机的速度；M是转动惯量；Pmi是发电机的机械功率；Pei是发电机的电磁功率；D是阻尼系数；T′doi是d轴瞬态时间常数；E'qi是q轴瞬态电位；Efdi是励磁电势；Xdi和X'di是代表直轴同步电抗和直轴瞬时电抗；Vi是第i号母线电压幅值；δi是发动机功角；θi是第i号母线电压相角；Xqi是交轴同步电抗。
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
(1)本发明基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，首先考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的交直流混合电力***数学模型；利用潮流计算求解的稳定平衡点，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分解优化算法；根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域。本发明方法从域的角度，以直流换流器控制模式和切换特性为主要研究对象，将平方和求解和李雅普诺夫稳定性理论应用于交直流混合电力***的暂态稳定性分析中，与传统的时域仿真法相比，本发明方法能够提供稳定域作为定量的裕度信息，可以超前对不同控制方法下***暂态稳定性进行预测分析。可用于分析和评估暂态稳定性的影响因素，有利于对电力***的暂态控制和参数优化。
(2)本发明基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法中，通过将李雅普诺夫函数求解问题转换为优化问题，相较于传统的能量函数法，本发明方法可以避免因函数的代数变换所导致的维度的增大，因此，本发明方法更适用于维数更高、非线性化更强的电力***。
附图说明
图1是本发明基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法的流程图。
图2是直流输电***的示意图。
图3是用于优化稳定边界的域集示意图。
图4是三机九节点单直流电力***结构图。
图5是投影于状态变量坐标对(Id,cosα)下李雅普诺夫函数的三维视图。
图6(a)是稳定域边界和时域仿真***轨迹在(Id,cosα)平面上的二维投影图。
图6(b)是图6(a)中三相短路故障后的轨迹示意图。
具体实施方式
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
实施例
本实施例公开了一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，如图1所示，包括如下步骤：
S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的交直流混合电力***数学模型，过程具体如下：
图2为交直流混合电力***中的直流输电***，考虑该***的直流动态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路。动态RL电路具体如下：
Figure GDA0002939988980000091
其中，Id是直流电流；t是时间；Ld是直流线电感；Rd是直流线电阻；Vdr是直流整流器的直流电压，Vdi是直流逆变器的直流电压，分别定义为：
Figure GDA0002939988980000101
Figure GDA0002939988980000102
其中，mr是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；Vr是整流侧交流母线电压；Vi是逆变侧交流母线电压；mi是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；Xr是直流整流器的变压器电抗；Xi是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角。
针对于交直流混合电力***的多种不同控制模式，分别构建对应的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；
所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程共同构成交直流混合电力***数学模型。
其中，直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整流器的控制方程和直流逆变器的控制方程。
不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，
第一控制模式为交直流混合电力***的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到阈值以下，则交直流混合电力***从第一控制模式切换为第二控制模式。
第一控制模式(模式I)具体是指整流器的定直流电流控制(CDC)和逆变器的定熄弧角控制(CEA)。熄弧角增大时，逆变器功率因数减小，无功功率消耗增大，因此，在正常工作条件下，采用CEA控制可将熄弧角保持尽可能小，进而使无功功率的消耗少。其中，
(11)在第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：
Figure GDA0002939988980000103
Figure GDA0002939988980000111
Figure GDA0002939988980000112
其中，X1是用于直流整流器的控制器输入信号；t是时间；KIr是整流器控制环节的积分增益；Idref是参考电流；Id是直流电流；αmax是触发角的最大值；αmin是触发角的最小值；KPr是整流器控制环节的比例增益；
(12)在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：
Figure GDA0002939988980000113
Figure GDA0002939988980000114
Figure GDA0002939988980000115
其中，X2是直流逆变器的输入信号；
Figure GDA0002939988980000116
是逆变器控制环节的积分增益；γ是熄弧角；γref是参考熄弧角；β是超前角；βmax是超前角最大值；
Figure GDA0002939988980000117
是逆变器控制环节的比例增益；
第二控制模式(模式II)具体是整流器和逆变器的定直流电流控制(CDC)。逆变器的CDC控制用于快速限制瞬态故障电流，以保护转换器设备，并将整流器和逆变器之间的电流裕度保持在安全范围内。其中，
(21)在第二控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方程相同，具体为：
Figure GDA0002939988980000118
Figure GDA0002939988980000121
Figure GDA0002939988980000122
(22)在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体为：
Figure GDA0002939988980000123
Figure GDA0002939988980000124
Figure GDA0002939988980000125
其中，X3是直流逆变器的控制环节输入信号；
Figure GDA0002939988980000126
是逆变器控制环节的积分增益；γmin是熄弧角的最大值；
Figure GDA0002939988980000127
是逆变器控制环节的比例增益。
如上所述的直流换流器(直流整流器和直流逆变器)对应的控制模型比工业上使用的实际直流控制器更简单，并且能将与暂态稳定性相关的关键元件的动态特性相对完整地保留下来。
当然，在其他实施例中，第一控制模式下和第二控制模式下的***控制方程不限于如上方程，也可以是在其他控制模式下的与直流、交流变换有关的元件和相关参数构建得到，例如直流整流器为低压限流控制(VDCOL)，同时逆变器为定电流控制等。
S2、利用潮流计算求解的稳定平衡点，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点。
在电力***领域中，通过对电网的有功、无功潮流平衡方程进行求解，当找到满足这个方程的解时，也即是找到稳定平衡点。
在本实施例中，具体是通过将状态变量x更改为x+xs，实现将稳定平衡点转换到原点；xs是状态变量在稳定平衡点处的值。
S3、将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分解优化算法。
由于电力线***的数学模型包含三角函数，数学表达不是多项式形式，使得平方和分解(sum of squares，SOS)不能直接用于分析电力线***的稳定性；此外，代数变换会使维度增大，例如本来只是二阶***，通过对三角函数部分的代数变换，每代数变换一次至少会增大一阶，因此，对于复杂的电力***，不适合对三角函数执行代数变换，步骤S3将三角函数变换成多项式，可以避免动态方程阶数的***式增长，简化了计算。
本实施例具体是采用泰勒级数将数学模型中的三角函数展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。当然，在其他实施例中，也可以采用其他能够将三角函数转换成多项式的计算方法。
S4、根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域，过程如下：
S41、提出满足李雅普诺夫稳定性理论的平方和分解约束以及交直流混合电力***数学模型的切换条件约束，过程具体为：
(1)根据李雅普诺夫稳定性理论，对满足
Figure GDA0002939988980000135
的切换***，其中x是状态变量向量集，当在x的定义域U内存在稳定平衡点，在不同控制模式下位于稳定平衡点处的李雅普诺夫函数Va(xs)＝0满足：
Va(0)＝0；
Figure GDA0002939988980000131
Figure GDA0002939988980000132
表征切换规则的切换***满足：
Figure GDA0002939988980000133
其含义为：切换***的每个状态变量在a种控制模式下都有对应的控制方程
Figure GDA0002939988980000134
Rn是一个n维向量空间的数学描述；a表示在不同的切换约束条件ga对应的控制模式序号；ga是第a种***状态方程运行所需的切换约束条件；b表示切换***的状态变量集合[x1,x2,...,xb],(b＝1,2,...,n)中的状态变量序号；fa为第a种控制模式下***动态模型的数学方程集；fab是在第a种控制模式下的状态变量xb的控制方程；
其中，
Figure GDA0002939988980000141
V(x)∈{Va(x):x∈U}时，V(x)为切换***的李雅普诺夫函数；
在上式中，Va(x)是控制模式a下的子李雅普诺夫函数；
Figure GDA0002939988980000142
是Va(x)对时间的微分；
Figure GDA0002939988980000143
是控制模式a所对应***状态模型求得的子李雅普诺夫函数对变量x的微分；{Va(x):x∈U}的含义是：一个由各个控制模式下得到的子李雅普诺夫函数构成的向量集合；
根据李雅普诺夫函数，可以确定该函数所得的稳定域Ω为：Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}；
Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}的含义是：稳定域Ω为李雅普诺夫函数集V(x)小于或者等于一个值c所包括的范围，且该稳定域是定义于状态变量集x的一个n维向量空间上的；c是正实数。
(2)在李雅诺普夫稳定性理论的约束下构造一个使得稳定边界最大的李雅普诺夫函数V(x)，以对李雅普诺夫函数进行优化，实现将求解李雅普诺夫函数的问题转化为优化问题，有利于适用维数更高、非线性化更强的电力***。其稳定域边界拓展思路可参见图3，过程具体如下：
切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为以下空条件：
Figure GDA0002939988980000144
Figure GDA0002939988980000145
Figure GDA0002939988980000146
如果仅对于x＝0n，p(x)∈PSOS为0，其中0n表示n维空间上的原点，PSOS是可以分解为平方和分解形式的多项式函数集，则p(x)为能反映稳定性的多项式函数并用
Figure GDA0002939988980000147
表示；
使得稳定边界最大，具体是：
增加μ以对稳定域Ωa＝{Va(x)≤c}，Ω∈{Ωa}进行扩展；μ是一个设定的实数；
在保证稳定域
Figure GDA0002939988980000148
的约束下，增加实数c以对域
Figure GDA0002939988980000149
进行扩大；
(3)基于高层正点定理和平方和分解，在使得稳定边界最大，切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为：
Figure GDA0002939988980000151
Figure GDA0002939988980000152
Figure GDA0002939988980000153
其中，L1(x),L2(x),…,L6(x)均是能进行平方和分解的多项式；l1和l2是自行设置的系数乘上状态变量平方和的多项式；系数是一个较小的系数，一般取小于1。
根据如上约束条件，得到稳定平衡点处的初始李雅普诺夫函数；
(4)通过约束最大化μ的优化算法，找出不同控制模式下的具体李雅普诺夫函数，以便更准确地估计出稳定域：
max μ
约束条件如下：
Figure GDA0002939988980000154
Figure GDA0002939988980000155
Figure GDA0002939988980000156
将具体李雅普诺夫函数重新编写为平方和分解优化表达：
max μ
约束条件如下：
Figure GDA0002939988980000157
Figure GDA0002939988980000158
Figure GDA0002939988980000159
第三个约束
Figure GDA00029399889800001510
保证在稳定域Ωa＝{Va(x)≤1}的范围内严格满足条件
Figure GDA00029399889800001511
S42、以稳定边界最大为优化目标，对平方和分解约束和切换条件约束进行求解，得到在不同控制模式下，交直流混合电力***对应的多项式李雅普诺夫函数和稳定域。
其中，平方和分解约束和切换条件约束的求解过程如下：
(1)针对于所获得的初始李雅诺普夫函数，保持Va(x)恒定，同时确定L1(x)、L4(x)和L5(x)，利用二分法获得最大的μ；
(2)保持L4(x)和L5(x)恒定，搜索可行的Va(x)和L1(x)，利用二分法最大化μ。可行是指满足上述约束条件和优化目标。
(3)令p(x)(k+1)＝Va(x)(k)和μ(k+1)＝μ(k)；
(4)重复步骤(1)～(3)，直至μ值收敛；
通过步骤(4)得到的μ值，求解出对应的多项式李雅诺普夫函数及其所得的稳定域。也即是将μ代入平方和分解优化表达中，计算出多项式李雅诺普夫函数和确定出稳定域。
在本实施例中，交直流混合电力***为如图4所示的三机九节点单直流电力***，G1、G2、G3分别代表不同序号的发电机，本实施例以1号发电机(G1)为参考机组。所用的三阶发电机模型为：
Figure GDA0002939988980000161
其中，i是发电机，每个发电机有对应的母线；t是时间；δi是发动机功角；f是***频率；ωi是发电机的速度；M是转动惯量；Pmi是发电机的机械功率；Pei是发电机的电磁功率；D是阻尼系数；T′doi是d轴瞬态时间常数；E'qi是q轴瞬态电位；Efdi是励磁电势；Xdi和X'di是代表直轴同步电抗和直轴瞬时电抗；Vi是第i号母线电压幅值；θi是第i号母线电压相角；Xqi是交轴同步电抗。
三机九节点单直流电力***的详细参数设置如下表表1所示：
表1
Figure GDA0002939988980000162
潮流计算求得稳定平衡点为：
xs＝(0.78727,1,0.97858,0.67112,1,1.0679,1,0.92908,0.966)；
在使用泰勒级数将三阶发电机模型中含有cos(δi-θi)、sin(δi-θi)和sin2(δi-θi)部分转换为多项式过程中，泰勒展开级数越高，则转换后的新模型越精确。但是，随着阶数的增加，基于平方和分解算法计算合适的李雅普诺夫函数和稳定域的工作越来越困难。因此，考虑到泰勒展开序列对稳定区域边界估计的影响和工程要求，在上述***参数下，本实施例的泰勒级数扩展到第六级时，李雅普诺夫函数中高阶项的系数将小于10-3，故而本实施例泰勒级数扩展到第六级即可，原模型的六阶泰勒近似将***重铸为多项式矢量场。令x1＝δ2，x2＝ω2，x3＝E'q2，x4＝δ3，x5＝ω3，x6＝E'q3，x7＝Id，x8＝cosαr，x9＝cosγ，x1～x6代表发电机状态变量，x7～x9代表直流相关变量。则新模型具体如下：
f12＝f22＝0.010445x1 5+0.1759x1 4+0.01076x1 3-0.371204x1 2-0.374013x1-1.210-4；
f13＝f23＝-0.005883x1 5+0.03551x1 4+0.117654x1 3-0.4260765x1 2-0.70592x1-1.24624x3+8.01336·10-7；
f15＝f25＝0.049114x4 5-0.215066x4 4-0.13652x4 3-0.459678x4 2-0.449505x4-0.000024987；
f16＝f26＝-0.003946x4 5+0.03479x4 4+0.07892x4 3-0.417473x4 2-0.473513x4-1.2291x6-0.1096。
本实施例的阈值取为0.9V，当Vdr＜0.9时，直流换流器控制模式从第一控制模式切换到第二控制模式，对应的表征切换约束条件的切换方程如下：
g1＝-0.128438·x7+1.28938·x8+0.1695≥0；
g2＝0.128438·x7-1.28938·x8-0.1695≥0。
考虑到计算维数和阶数的复杂性，本实施例主要对具有二阶且没有任何常数项的李雅普诺夫函数进行优化，稳定边界值设置为c＝1。
得到的在第一控制模式下的李雅普诺夫函数V1(x)和第二控制模式下的李雅普诺夫函数V2(x)分别如下：
V1(x)＝0.0000291x1 2-0.006718x1x2+0.003526x1x3-0.000002047x1x4-0.00023777x1x5+0.0002389x1x6+0.000003728x1x7-0.0000136x1x8+0.00007227x1x9+0.88045x2 2-0.9966x2x3-0.00011x2x4+0.08736x2x5-0.072105x2x6-0.0004415x2x7+0.000953x2x8-0.01767x2x9+0.28756x3 2+0.00004549x3x4-0.05123x3x5+0.04132x3x6+0.0003087x3x7-0.00104x3x8+0.01049x3x9+0.0000158x4 2-0.0007425x4x5+0.0000273x4x6+0.0000025408x4x7-0.000011136x4x8+0.000054153x4x9+0.01634x5 2-0.007212x5x6+0.000060384x5x7-0.000868x5x8-0.011913x5x9+0.002734x6 2+0.0000697x6x7-0.00002303x6x8+0.01218x6x9+17.07039x7 2+97.7852x7x8+33.7822x7x9+225.2611x8 2-246.7255x8x9+450.099x9 2；
V2(x)＝0.0001196x1 2-0.023171x1x2+0.0121829x1x3+0.00003356x1x4-0.001658x1x5+0.0018473x1x6+0.000026402x1x7+0.00035954x1x8-0.00108647x1x9+3.303742x2 2-3.6695x2x3-0.0017316x2x4+0.68247x2x5-0.6248x2x6-0.012024x2x7-0.015502x2x8+0.27303x2x9+1.0444x3 2+0.0007954x3x4-0.37223x3x5+0.35445x3x6+0.006652x3x7+0.003485x3x8-0.150234x3x9+0.00006694x4 2-0.002722x4x5+0.0007819x4x6+0.000008357x4x7-0.0023885x4x8-0.00019819x4x9+0.2073x5 2-0.29316x5x6-0.031635x5x7+0.06775x5x8+0.08826x5x9+0.140955x6 2+0.031688x6x7-0.07359x6x8-0.077696x6x9+93.35887x7 2+311.1477x7x8-283.9877x7x9+442.7280x8 2-527.7601x8x9+380.9814x9 2；
由于该三机九节点单直流电力***具有九个状态变量，并且稳定域是超平面，因此，本实施例选择与直流控制切换相关联的两个状态变量Id和cosα，利用MATLAB将李雅普诺夫函数投影在状态变量坐标对(Id,cosα)下的平面，以显示稳定边界局部情况，最终所求得的李雅普诺夫函数的三维投影如图5所示。其中上边界代表第二控制模式对应的李雅普诺夫函数，下边界代表第一控制模式对应的李雅普诺夫函数。
本实施例中获得的处于不同控制模式的稳定域边界在平面(Id,cosα)上的二维投影如图6(a)所示。在图4所示的母线5到母线7中间于1s时刻设置三相短路故障，临界清除时间为0.049s，并通过时域仿真，故障期间和故障后的轨迹分别参见图6(a)和图6(b)。图6(b)的箭头方向是表示***故障期间与故障后的运行轨迹在这两个变量形成的空间上的映射，箭头是指的变化方向和顺序。
故障清除瞬刻，我们可以看到该瞬刻***运行轨迹在该空间的映射下，恰好落在所求的两个子稳定域的边界处，虽然***运行轨迹点略超出此时***在第二控制模式下对应的稳定域边界，但考虑到本实施例方法的保守性，因此属于正常情况，稳定域边界是在实际边界之内。可见，时域仿真的结果作为物理表现，稳定域的结果作为数学表征，两者没有矛盾的地方，且能相互解释，时域仿真的结果与本实施例方法分析结果基本一致，因此验证了本实施例方法的有效性。
由图5、图6(a)和图6(b)可得，直流换流器不同控制模式确实会对交直流混合电力***的稳定域产生很大影响，不可忽略。此外，在多项式李雅普诺夫函数中，直流相关变量(x7、x8、x9)的系数比发电机状态变量(x1～x6)系数大得多，故而可以推测本实施例中直流***动态特性对暂态稳定域边界的影响更大。并且，在将本实施例中估计的稳定域在其他平面(如(δ2,E'q2)平面)与时域仿真结果进行比较时，直流***状态变量更接近稳定边界，而发电机变量则远离边界较多。因此，在本实施例三机九节点单直流电力***中，该故障下的直流动态特性***的暂态稳定性更相关。由此可见，根据本实施例的***稳定域分析方法可以准确分析和评估暂态稳定性的影响因素，有利于对电力***的暂态控制和参数优化。
可通过各种手段实施本发明描述的技术。举例来说，这些技术可实施在硬件、固件、软件或其组合中。对于硬件实施方案，处理模块可实施在一个或一个以上专用集成电路(ASIC)、数字信号处理器(DSP)、可编程逻辑装置(PLD)、现场可编辑逻辑门阵列(FPGA)、处理器、控制器、微控制器、电子装置、其他经设计以执行本发明所描述的功能的电子单元或其组合内。
对于固件和/或软件实施方案，可用执行本文描述的功能的模块(例如，过程、步骤、流程等)来实施所述技术。固件和/或软件代码可存储在存储器中并由处理器执行。存储器可实施在处理器内或处理器外部。
本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部分步骤可以通过程序指令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储在一计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，执行包括上述方法实施例的步骤；而前述的存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、考虑直流换流器控制状态切换特性，建立用于暂态稳定性分析的交直流混合电力***数学模型；
S2、利用潮流计算求解的稳定平衡点，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；
S3、将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，以适用于平方和分解优化算法；
S4、根据李雅普诺夫稳定性理论和交直流混合电力***数学模型，利用平方和分解优化算法求得交直流混合电力***在各个控制模式下的稳定域：
S41、提出满足李雅普诺夫稳定性理论的平方和分解约束以及交直流混合电力***数学模型的切换条件约束，过程具体如下：
(1)根据李雅普诺夫稳定性理论，对满足
Figure FDA0003064118020000011
的切换***，其中x是状态变量向量集，当在x的定义域U内存在稳定平衡点，在不同控制模式下位于稳定平衡点处的李雅普诺夫函数Va(xs)＝0满足：
Va(0)＝0；
Figure FDA0003064118020000012
Figure FDA0003064118020000013
表征切换规则的切换***满足：
Figure FDA0003064118020000014
其含义为：切换***的每个状态变量在a种控制模式下都有对应的控制方程
Figure FDA0003064118020000015
Rn是一个n维向量空间的数学描述；a表示在不同的切换约束条件ga对应的控制模式序号；ga是第a种***状态方程运行所需的切换约束条件；b表示切换***的状态变量集合[x1,x2,...,xb],(b＝1,2,...,n)中的状态变量序号；fa为第a种控制模式下***动态模型的数学方程集；fab是在第a种控制模式下的状态变量xb的控制方程；
其中，
Figure FDA0003064118020000021
V(x)∈{Va(x):x∈U}时，V(x)为切换***的李雅普诺夫函数；
在上式中，Va(x)是控制模式a下的子李雅普诺夫函数；
Figure FDA0003064118020000022
是Va(x)对时间的微分；
Figure FDA0003064118020000023
是控制模式a所对应***状态模型求得的子李雅普诺夫函数对变量x的微分；{Va(x):x∈U}的含义是：一个由各个控制模式下得到的子李雅普诺夫函数构成的向量集合；
根据李雅普诺夫函数，可以确定该函数所得的稳定域Ω为：Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}；
Ω＝{x∈Rn:V(x)≤c}的含义是：稳定域Ω为李雅普诺夫函数集V(x)小于或者等于一个值c所包括的范围，且该稳定域是定义于状态变量集x的一个n维向量空间上的；c是正实数；
(2)在李雅诺普夫稳定性理论的约束下构造一个使得稳定边界最大的李雅普诺夫函数V(x)，以对李雅普诺夫函数进行优化，具体如下：
切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为以下空条件：
Figure FDA0003064118020000024
Figure FDA0003064118020000025
Figure FDA0003064118020000026
如果仅对于x＝0n，p(x)∈PSOS为0，其中0n表示n维空间上的原点，PSOS是可以分解为平方和分解形式的多项式函数集，则p(x)为能反映稳定性的多项式函数并用
Figure FDA0003064118020000027
表示；
使得稳定边界最大，具体是：
增加μ以对稳定域Ωa＝{Va(x)≤c}，Ω∈{Ωa}进行扩展；μ是一个设定的实数；
在保证稳定域
Figure FDA0003064118020000028
的约束下，增加实数c以对域
Figure FDA0003064118020000029
进行扩大；
(3)基于高层正点定理和平方和分解，在使得稳定边界最大，切换***的李雅普诺夫稳定性理论的约束条件表示为：
Figure FDA0003064118020000031
Figure FDA0003064118020000032
Figure FDA0003064118020000033
其中，L1(x),L2(x),…,L6(x)均是能进行平方和分解的多项式；l1和l2是自行设置的系数乘上状态变量平方和的多项式；
根据如上约束条件，得到稳定平衡点处的初始李雅普诺夫函数；
(4)通过约束最大化μ的优化算法，找出不同控制模式下的具体李雅普诺夫函数，以便更准确地估计出稳定域：
max μ
约束条件如下：
Figure FDA0003064118020000034
Figure FDA0003064118020000035
Figure FDA0003064118020000036
将具体李雅普诺夫函数重新编写为平方和分解优化表达：
max μ
约束条件如下：
Figure FDA0003064118020000037
Figure FDA0003064118020000038
Figure FDA0003064118020000039
第三个约束
Figure FDA00030641180200000310
保证在稳定域Ωa＝{Va(x)≤1}的范围内严格满足条件
Figure FDA00030641180200000311
S42、以稳定边界最大为优化目标，对平方和分解约束和切换条件约束进行求解，得到在不同控制模式下，交直流混合电力***对应的多项式李雅普诺夫函数和稳定域。
2.根据权利要求1所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，在步骤S1中，交直流混合电力***数学模型的建立过程具体为：
考虑直流动态特性，将直流线路动态特性建模为动态RL电路，动态RL电路具体如下：
Figure FDA0003064118020000041
其中，Id是直流电流；t是时间；Ld是直流线电感；Rd是直流线电阻；Vdr是直流整流器的直流电压，Vdi是直流逆变器的直流电压，分别定义为：
Figure FDA0003064118020000042
Figure FDA0003064118020000043
其中，mr是将直流整流器连接到交流电网的变压器的抽头比；Vr是整流侧交流母线电压；Vi是逆变侧交流母线电压；mi是将直流逆变器连接到交流电网的变压器的抽头比；Xr是直流整流器的变压器电抗；Xi是直流逆变器的变压器电抗；α是触发角；β是超前角；γ表示熄弧角；
针对于交直流混合电力***的多种不同控制模式，分别构建对应的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程；
所构建的动态RL电路、不同控制模式下的直流换流器控制方程和交流网络部分动态方程共同构成交直流混合电力***数学模型。
3.根据权利要求2所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，直流换流器包括直流整流器与直流逆变器，直流换流器控制方程包括直流整流器的控制方程和直流逆变器的控制方程；
不同控制模式包括第一控制模式和第二控制模式，其中，
第一控制模式为交直流混合电力***的正常运行模式，当直流整流器的直流电压或者交流电压下降到阈值以下，则交直流混合电力***从第一控制模式切换为第二控制模式。
4.根据权利要求3所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，第一控制模式具体是指直流整流器的定直流电流控制和直流逆变器的定熄弧角控制，其中，
(11)在第一控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：
Figure FDA0003064118020000051
Figure FDA0003064118020000052
Figure FDA0003064118020000053
其中，X1是用于直流整流器的控制器输入信号；t是时间；KIr是整流器控制环节的积分增益；Idref是参考电流；Id是直流电流；αmax是触发角的最大值；αmin是触发角的最小值；KPr是整流器控制环节的比例增益；
(12)在第一控制模式下，直流逆变器的控制方程为定熄弧角控制方程，具体如下：
Figure FDA0003064118020000054
Figure FDA0003064118020000055
Figure FDA0003064118020000056
其中，X2是直流逆变器的控制器输入信号；
Figure FDA0003064118020000057
是逆变器控制环节的积分增益；γ是熄弧角；γref是参考熄弧角；β是超前角；βmax是超前角的最大值；
Figure FDA0003064118020000058
是逆变器控制环节的比例增益；
第二控制模式具体是直流整流器和直流逆变器的定直流电流控制，其中，
(21)在第二控制模式下，直流整流器的控制方程为定直流电流控制方程，其与第一控制模式下的直流整流器的控制方程相同；
(22)在第二控制模式下，直流逆变器的控制方程为定直流电流控制方程，具体如下：
Figure FDA0003064118020000061
Figure FDA0003064118020000062
Figure FDA0003064118020000063
其中，X3是直流逆变器的控制器输入信号；
Figure FDA0003064118020000064
是逆变器控制环节的积分增益；γmin是熄弧角的最小值；
Figure FDA0003064118020000065
是逆变器控制环节的比例增益。
5.根据权利要求1所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，在步骤S2中，通过将状态变量x更改为x+xs，将交直流混合电力***数学模型的稳定平衡点转换至原点；xs是状态变量在稳定平衡点处的值。
6.根据权利要求1所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，在步骤S3中，将交直流混合电力***数学模型中的三角函数变换成多项式，具体是采用泰勒级数将数学模型中的三角函数展开为多项式的形式，得到三角函数的估计值。
7.根据权利要求1所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，在步骤S42中，平方和分解约束和切换条件约束的求解过程如下：
(1)针对于所获得的初始李雅诺普夫函数，保持Va(x)恒定，同时确定L1(x)、L4(x)和L5(x)，利用二分法获得最大的μ；
(2)保持L4(x)和L5(x)恒定，搜索可行的Va(x)和L1(x)，利用二分法最大化μ；
(3)令p(x)(k+1)＝Va(x)(k)和μ(k+1)＝μ(k)；
(4)重复步骤(1)～(3)，直至μ值收敛；
通过步骤(4)得到的μ值，求解出对应的多项式李雅诺普夫函数及其所得的稳定域。
8.根据权利要求1所述的基于平方和分解优化算法的交直流***稳定域分析方法，其特征在于，交直流混合电力***所用的三阶发电机模型为：
Figure FDA0003064118020000071
其中，i是发电机，每个发电机有对应的母线；t是时间；δi是发电机的转子角；f是***频率；ωi是发电机的速度；M是转动惯量；Pmi是发电机的机械功率；Pei是发电机的电磁功率；D是阻尼系数；T'doi是d轴瞬态时间常数；E'qi是q轴瞬态电位；Efdi是励磁电势；Xdi和X'di是代表直轴同步电抗和直轴瞬时电抗；Vi是第i号母线电压幅值；δi是发动机功角；θi是第i号母线电压相角；Xqi是交轴同步电抗。
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