CN111062139A - 城市地下排水管网水流态势的估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种城市地下排水管网水流态势的估计方法。各种复杂因素都给城市地下排水***的水流态势估计带来了很大困难。本发明方法首先建立城市地下排水管网的水流态势估计***的状态空间模型，然后构造地下排水管网水流态势的估计器模型，求解城市地下排水管网***的水流态势估计器，得到估计器的增益矩阵。本发明方法利用状态饱和复杂网络对地下排水管网进行刻画，同时考虑了测量数据传输中的随机时延效应，通过排水管网水流态势估计***的有限时间均方有界性和干扰抑制性能分析，利用线性矩阵不等式方法进行估计器的求解，实现城市地下排水管网水流态势的及时准确估计，满足实际地下排水***安全运行要求。

Description

城市地下排水管网水流态势的估计方法

技术领域

本发明属于自动化领域，涉及一种城市地下排水管网的水流态势估计方法，该方法基于状态饱和复杂网络模型进行城市地下排水管网的水流态势估计，可用于现代城市的排水行业。

背景技术

城市地下排水***的安全有效运行是工业生产和城市居民安全健康生活的重要保障。城市地下排水***流量受居民行为、工业行为、降水以及管道泄漏诸多因素影响，地下排水管道直径有限，水流状态测量的受到较大的外部干扰且测量的滞后性具有随机性。为了能够减少管道污水溢出，实现对城市地下排水***溢流的控制，需要建立有效的排水管网***的实时估计，并基于此进行有效控制，达到减小溢流的目的。

目前，我国城市地下排水***自动化程度较低、监控不当、污水泵站高耗能运行以及缺乏对极端气候的应变处理能力，这些都极易造成污水泄漏、道路积水和城市内涝，给城市环境、健康生活和人身安全带来严重的影响。此外，由于现代城市地下排水管网非常复杂，水流状态的测量数据传输到监控中心易产生时延，而且时延的发生具有不确定性，以及水位高度、流速和流量这些状态值会呈现明显的饱和现象，上述这些复杂因素都给城市地下排水***的水流态势估计(即水位高度、流速和流量的估计)带来了很大困难。因此，急需对城市地下排水管网的水流态势进行实时估计。

发明内容

本发明的目的是针对目前我国城市地下排水管网的水流态势难以及时准确地进行估计的问题，提供一种基于状态饱和复杂网络的水流态势估计方法。

现代城市地下排水***由成千上万条排水管道构成了错综复杂的排水管网。把城市地下排水管道某个位置选为一个节点，则该城市地下排水管网构成了一个典型的复杂网络。通过地下排水管网的水流态势分析，可建立复杂网络的拓扑结构。通过布置大量的传感器可以对地下排水管网的水流态势进行测量，但是地下排水管网环境恶劣，信号传输途径不理想，因此测量信息不够准确。城市地下排水***流量受居民行为、工业行为、降水以及管道泄漏因素影响，测量数据在传输过程中存在时延，而且时延受到各种随机因素的影响，存在显著的随机性。当水位高度、水流量以及水流速快速变化时，无法对水流态势做出准确的估计。同时，城市地下排水管道的管径也有一定的限制，所以当水流量较大，水位高度达到一定的高度时，会形成溢流。因此，为了预防排水管网溢流，本发明方法提出基于状态饱和复杂网络的状态估计方法，保证排水管网水流态势估计***有限时间均方有界，通过求解线性矩阵不等式来设计估计器，从而为城市地下排水管网提供一种有效的水流态势估计方法。

本发明方法的具体步骤是：

步骤(1).建立城市地下排水管网的水流态势估计***的状态空间模型；

基于水力学原理中的圣维南方程组，建立城市地下排水管网***水流态势的状态空间模型：

其中：

x_i(k)＝[x_i1 ^T(k),x_i2 ^T(k),x_i3 ^T(k)]^T∈R³，

表示k时刻节点i的水流态势的状态向量，正整数N表示构成复杂网络的节点数，符号

表示n₀维列向量，上标T表示矩阵的转置；x_i1(k)、x_i2(k)、x_i3(k)分别表示节点i的水位高度值、水流速度值和水流量值；

y_i(k)＝[y_i1 ^T(k)y_i2 ^T(k)]^T∈R²，表示k时刻节点i的水流态势的测量输出值；y_i1(k)、y_i2(k)分别表示节点i的水位高度测量值和水流速度测量值；

z_i(k)∈R¹，表示k时刻节点i待估计的输出信号；

v(k)∈R¹表示能量有界的外部干扰且满足

其中θ为已知标量，T_M是正整数，表示给定的有界时间区间上限；

x_i(0)为给定的初始值；

正整数d＞0，表示测量时出现的时延；

Γ＝diag{γ₁,γ₂,γ₃}，表示复杂网络模型的内部耦合矩阵，diag{·}表示对角矩阵，γ₁≥0、γ₂≥0、γ₃≥0，表示节点i的内部耦合系数；

w_ij表示节点i与节点j之间的连接情况：w_ij＞0时，表示节点i与节点j之间相通；w_ij＝0时，表示节点i与节点j之间不相通；

αi(k)为服从伯努利分布的随机变量，满足

和

P{·}表示事件发生的概率；α_i(k)均值记为

方差记为

E{·}表示随机变量的数学期望，其中

和

均为已知标量；A_i∈R^3×3，B_i∈R^3×1，C_i∈R^2×3，D_i∈R^2×1，E_i∈R^2×3和F_i∈R^1×3为已知的常数矩阵，R^m×n表示m×n维矩阵；

σ(·)∈R³为饱和函数，对于任意向量μ∈R³，其饱和函数为：σ(μ)＝[σ₁(μ₁)σ₂(μ₂)σ₃(μ₃)]^T；式中，σ_s(μ_s)＝sign(μ_s)min{1,|μ_s|}(s＝1,2,3)，μ_s表示向量μ的第s个元素；

步骤(2).构造地下排水管网水流态势的估计器模型：

式中，

表示k时刻网络节点i水流态势状态向量x_i(k)的估计值，

分别表示节点i的水位高度估计值、水流速度估计值和水流量估计值；

表示估计器i在k时刻的估计输出信号；K_i∈R^3×2,表示待设计的估计器增益矩阵；

定义增广向量

和状态估计误差向量

则得到动态增广***：

其中，

S＝[I 0]，

A＝diag{A₁,A₂,…,A_N}；K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}；

E＝diag{E₁,E₂,…,E_N}；F＝diag{F₁,F₂,…,F_N}；

α(k)＝diag{α₁(k)I,α₂(k)I,…,α_N(k)I}；

表示矩阵W和Γ的Kronecker积；W＝[w_ij]_N×N是耦合配置矩阵，W＝[w_ij]_N×N表示N×N维矩阵W的第i行第j列的元素为w_ij，

w_ij≥0且不全为0，i≠j；W是对称矩阵且满足

步骤(3).城市地下排水管网***水流态势估计器的求解；

(3-1).动态增广***的有限时间均方有界性分析：

定义李雅普诺夫函数：

其中，

P＝diag{P₁,P₂}＞0，P₂＝diag{P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1}，Q＝diag{Q₁,Q₂}＞0，P₁，P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1，Q₁,Q₂为待求解的正定对角矩阵；

假设扰动向量v(k)＝0，标量β≥1，定义差分的数学期望E{ΔV(k)}＝E{V(k+1)-βV(k)}，计算如下：

其中，

I表示单位矩阵；

将状态饱和***约束在凸多面体co{H_ε(Ax(k)+φ)+H_ε ^-Gx(k)}中，φ为任意向量且φ∈R^3N，引入自由矩阵G∈R^3N×3N，使其满足||G||_∞≤1，co{·}表示集合的凸多面体；设Υ为对角元素为1或0的3N×3N维对角矩阵的集合，则Υ中含有2^3N个元素，其第ε个元素用H_ε表示，ε∈Ψ，其中集合Ψ＝{1,2,3，…，2^3N}；令H_ε ^-＝I-H_ε，定义

χ^ε表示第ε个向量，对饱和函数进行如下处理：

式中，max表示取最大值。

由此得到：

其中，

ξ(k)＝[η^T(k)η^T(k-d)]^T；

当外部扰动向量v(k)≠0且

时，对于标量β≥1，得到：

其中，

当

时，得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}；

令

是给定的正定矩阵R的平方根

的逆矩阵，则：

其中，

λ_max{·}表示矩阵的最大特征值；

由李雅普诺夫函数的定义，

得到：

其中，

λ_min{·}表示矩阵的最小特征值；

根据有限时间均方有界性定义，前述动态增广***是有限时间均方有界的；

(3-2).l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

对于任意的扰动向量v(k)≠0，计算李雅普诺夫函数的差分的数学期望：

根据(3-1)中相同的处理方法，得到：

其中，

进行l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

通过对***的有限时间均方有界性分析得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}；

对上式应用数学迭代法，则：

在零初始条件V(0)＝0下，有：

||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数；

对于标量

当

时，有：

其中，

当0≤k≤T_M，得到：

sup{·}表示数学中的上确界；

因此，动态增广***具有指定的l₂-l_∞干扰抑制水平γ＞0；

(3-3).估计器增益的求解：

利用Schur补引理，并令X＝P₂K，可将

等价展开为：

其中，

选择G使其满足||G||_∞≤1，求解上述线性矩阵不等式

和

同时使得所求结果满足

则得到未知矩阵X和P₂的值；再由X＝P₂K，计算得到矩阵K＝P₂ ^-1X的值；最后根据K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}，得到城市地下排水管网***水流态势估计器的增益矩阵K_i，

本发明方法针对目前我国城市地下排水管网水流态势无法进行及时准确地估计，提出了基于状态饱和复杂网络模型的状态估计方法。本发明考虑了地下排水管网相互耦合及管径大小有限，利用状态饱和复杂网络对地下排水管网进行刻画，同时考虑了测量数据传输中的随机时延效应。通过排水管网水流态势估计***的有限时间均方有界性和干扰抑制性能分析，利用线性矩阵不等式方法进行估计器的求解，实现城市地下排水管网水流态势的及时准确估计，满足实际地下排水***安全运行的要求。

具体实施方式

城市地下排水管网水流态势的估计方法，具体步骤是：

步骤(1).建立城市地下排水管网的水流态势估计***的状态空间模型。

基于水力学原理中的圣维南方程组，建立城市地下排水管网***水流态势的状态空间模型：

其中：

x_i(k)＝[x_i1 ^T(k),x_i2 ^T(k),x_i3 ^T(k)]^T∈R³，

表示k时刻节点i的水流态势的状态向量，正整数N表示构成复杂网络的节点数，符号

表示n₀维列向量，上标T表示矩阵的转置；x_i1(k)、x_i2(k)、x_i3(k)分别表示节点i的水位高度值、水流速度值和水流量值；

y_i(k)＝[y_i1 ^T(k)y_i2 ^T(k)]^T∈R²，表示k时刻节点i的水流态势的测量输出值；y_i1(k)、y_i2(k)分别表示节点i的水位高度测量值和水流速度测量值。

z_i(k)∈R¹，表示k时刻节点i待估计的输出信号；

v(k)∈R¹表示能量有界的外部干扰且满足

其中θ为已知标量，T_M是正整数，表示给定的有界时间区间上限，∑表示数学中的求和运算符号；

x_i(0)为给定的初始值；

正整数d＞0表示测量时出现的时延,

表示数学中的任意符号；

Γ＝diag{γ₁,γ₂,γ₃}，表示复杂网络模型的内部耦合矩阵，diag{·}表示对角矩阵，γ₁≥0、γ₂≥0、γ₃≥0，表示节点i的内部耦合系数；

w_ij表示节点i与节点j之间的连接情况：w_ij＞0时，表示节点i与节点j之间相通；w_ij＝0时，表示节点i与节点j之间不相通；

α_i(k)为服从伯努利分布的随机变量，用来描述网络节点i在测量数据传输时出现的随机时延现象，满足

和

P{·}表示事件发生的概率；随机变量α_i(k)均值记为

方差记为

E{·}表示随机变量的数学期望，其中

和

均为已知标量；A_i∈R^3×3，B_i∈R^3×1，C_i∈R^2×3，D_i∈R^2×1，E_i∈R^{2 ×3}和F_i∈R^1×3为已知的常数矩阵，R^m×n表示m×n维矩阵；

σ(·)∈R³为饱和函数，对于任意的向量μ∈R³，其饱和函数为σ(μ)＝[σ₁(μ₁)σ₂(μ₂)σ₃(μ₃)]^T；式中，σ_s(μ_s)＝sign(μ_s)min{1,|μ_s|}(s＝1,2,3)，sign表示数学中的符号函数，min{1,|μ_s|}表示取1和|μ_s|中的最小值，μ_s表示向量μ的第s个元素。

步骤(2).构造地下排水管网水流态势的估计器模型：

式中，

表示k时刻网络节点i水流态势状态向量x_i(k)的估计值，

分别表示节点i的水位高度估计值、水流速度估计值和水流量估计值；

表示估计器i在k时刻的估计输出信号；K_i∈R^3×2表示待设计的估计器增益矩阵。

定义增广向量

和状态估计误差向量

则得到动态增广***：

其中，

S＝[I 0]，

A＝diag{A₁,A₂,…,A_N}；K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}；

E＝diag{E₁,E₂,…,E_N}；F＝diag{F₁,F₂,…,F_N}；

α(k)＝diag{α₁(k)I,α₂(k)I,…,α_N(k)I}；

表示矩阵W和Γ的Kronecker积。W＝[w_ij]_N×N是耦合配置矩阵，W＝[w_ij]_N×N表示N×N维矩阵W的第i行第j列的元素为w_ij，

w_ij≥0(i≠j)且不全为0，W是对称矩阵且满足

步骤(3).城市地下排水管网***水流态势估计器的求解。

(3-1).动态增广***的有限时间均方有界性分析：

定义李雅普诺夫函数：

其中，

P＝diag{P₁,P₂}＞0，P₂＝diag{P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1}，Q＝diag{Q₁,Q₂}＞0，P₁，P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1，Q₁,Q₂为待求解的正定对角矩阵。

假设扰动向量v(k)＝0，标量β≥1，定义差分的数学期望E{ΔV(k)}＝E{V(k+1)-βV(k)}，计算如下：

其中，

I表示维数适当的单位矩阵，

表示数学中的平方根运算。

为了能够将状态饱和***约束在凸多面体

中，φ为任意向量且φ∈R^3N，引入自由矩阵G∈R^3N×3N，使其满足||G||_∞≤1，co{·}表示集合的凸多面体。设Υ为对角元素为1或0的3N×3N维对角矩阵的集合，则Υ中含有2^3N个元素，其第ε个元素用H_ε表示，ε∈Ψ，其中集合Ψ＝{1,2,3，…，2^3N}。令H_ε ^-＝I-H_ε，定义

χ^ε表示第ε个向量，对饱和函数进行如下处理：

式中，max表示取最大值。由此得到：

其中，

ξ(k)＝[η^T(k)η^T(k-d)]^T；

考虑***的随机有限时间有界性，即当外部扰动v(k)≠0且满足

(标量θ＞0)时，存在标量0＜ε₁≤ε₂，正整数T_M和正定矩阵R＞0，如果初始条件满足η^T(0)Rη(0)≤ε₁，则对于给定的θ有

当外部扰动向量v(k)≠0且

时，对于标量β≥1，得到：

其中，

当

时，得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}。

令

其中

是给定的正定矩阵R的平方根

的逆矩阵，应用数学迭代法，有：

其中，

λ_max{·}表示矩阵的最大特征值。

由李雅普诺夫函数的定义，

得到：

其中，

λ_min{·}表示矩阵的最小特征值；

根据有限时间均方有界性定义，前述动态增广***是有限时间均方有界的。

(3-2).l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

对于任意的扰动向量v(k)≠0，计算李雅普诺夫函数的差分的数学期望：

根据(3-1)中相同的处理方法，得到：

其中，

进行l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

通过对***的有限时间均方有界性分析得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}。

对上式应用数学迭代法，则：

在零初始条件V(0)＝0下，有：

式中，||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数。

对于标量

当

时，有：

其中，

当0≤k≤T_M，得到：

式中，sup{·}表示数学中的上确界。

因此，动态增广***具有指定的l₂-l_∞干扰抑制水平γ＞0。

(3-3).估计器增益的求解：

利用Schur补引理，并令X＝P₂K，可将

等价展开为：

其中，

选择G使其满足||G||_∞≤1，利用MATLAB软件中的线性矩阵不等式(LMIs)工具箱，求解上述线性矩阵不等式

和

同时使得所求结果满足

则得到未知矩阵X和P₂的值；再由X＝P₂K，计算得到矩阵K＝P₂ ^-1X的值；最后，根据K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}得到本发明城市地下排水管网***水流态势估计器的增益矩阵K_i，

Claims (1)

1.城市地下排水管网水流态势的估计方法，其特征在于，该方法的具体步骤是：

步骤(1).建立城市地下排水管网的水流态势估计***的状态空间模型；

基于水力学原理中的圣维南方程组，建立城市地下排水管网***水流态势的状态空间模型：

其中：

表示k时刻节点i的水流态势的状态向量，正整数N表示构成复杂网络的节点数，符号

表示n₀维列向量，上标T表示矩阵的转置；x_i1(k)、x_i2(k)、x_i3(k)分别表示节点i的水位高度值、水流速度值和水流量值；

y_i(k)＝[y_i1 ^T(k)y_i2 ^T(k)]^T∈R²，表示k时刻节点i的水流态势的测量输出值；y_i1(k)、y_i2(k)分别表示节点i的水位高度测量值和水流速度测量值；

z_i(k)∈R¹，表示k时刻节点i待估计的输出信号；

v(k)∈R¹表示能量有界的外部干扰且满足

其中θ为已知标量，T_M是正整数，表示给定的有界时间区间上限；

x_i(0)为给定的初始值；

正整数d＞0，表示测量时出现的时延；

Γ＝diag{γ₁,γ₂,γ₃}，表示复杂网络模型的内部耦合矩阵，diag{·}表示对角矩阵，γ₁≥0、γ₂≥0、γ₃≥0，表示节点i的内部耦合系数；

w_ij表示节点i与节点j之间的连接情况：w_ij＞0时，表示节点i与节点j之间相通；w_ij＝0时，表示节点i与节点j之间不相通；

α_i(k)为服从伯努利分布的随机变量，满足

和

P{·}表示事件发生的概率；α_i(k)均值记为

方差记为

E{·}表示随机变量的数学期望，其中

和

均为已知标量；A_i∈R^3×3，B_i∈R^3×1，C_i∈R^{2 ×3}，D_i∈R^2×1，E_i∈R^2×3和F_i∈R^1×3为已知的常数矩阵，R^m×n表示m×n维矩阵；

σ(·)∈R³为饱和函数，对于任意向量μ∈R³，其饱和函数为：σ(μ)＝[σ₁(μ₁) σ₂(μ₂) σ₃(μ₃)]^T；式中，σ_s(μ_s)＝sign(μ_s)min{1,|μ_s|}(s＝1,2,3)，μ_s表示向量μ的第s个元素；

步骤(2).构造地下排水管网水流态势的估计器模型：

式中，

表示k时刻网络节点i水流态势状态向量x_i(k)的估计值，

分别表示节点i的水位高度估计值、水流速度估计值和水流量估计值；

表示估计器i在k时刻的估计输出信号；K_i∈R^3×2,表示待设计的估计器增益矩阵；

定义增广向量

和状态估计误差向量

则得到动态增广***：

其中，

S＝[I 0]，

A＝diag{A₁,A₂,…,A_N}；K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}；

E＝diag{E₁,E₂,…,E_N}；F＝diag{F₁,F₂,…,F_N}；

α(k)＝diag{α₁(k)I,α₂(k)I,…,α_N(k)I}；

表示矩阵W和Γ的Kronecker积；W＝[w_ij]_N×N是耦合配置矩阵，W＝[w_ij]_N×N表示N×N维矩阵W的第i行第j列的元素为w_ij，

w_ij≥0且不全为0，i≠j；W是对称矩阵且满足

步骤(3).城市地下排水管网***水流态势估计器的求解；

(3-1).动态增广***的有限时间均方有界性分析：

定义李雅普诺夫函数：

其中，

P＝diag{P₁,P₂}＞0，P₂＝diag{P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1}，Q＝diag{Q₁,Q₂}＞0，P₁，P₂₂,P₂₃,…,P_2N+1，Q₁,Q₂为待求解的正定对角矩阵；

假设扰动向量v(k)＝0，标量β≥1，定义差分的数学期望

E{ΔV(k)}＝E{V(k+1)-βV(k)}，计算如下：

其中，

I表示单位矩阵；

将状态饱和***约束在凸多面体

中，φ为任意向量且φ∈R^3N，引入自由矩阵G∈R^3N×3N，使其满足||G||_∞≤1，co{·}表示集合的凸多面体；设Υ为对角元素为1或0的3N×3N维对角矩阵的集合，则Υ中含有2^3N个元素，其第ε个元素用H_ε表示，ε∈Ψ，其中集合Ψ＝{1,2,3，…，2^3N}；令H_ε ^-＝I-H_ε，定义

χ^ε表示第ε个向量，对饱和函数进行如下处理：

式中，max表示取最大值；

由此得到：

其中，

ξ(k)＝[η^T(k)η^T(k-d)]^T；

当外部扰动向量v(k)≠0且

时，对于标量β≥1，得到：

其中，

当

时，得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}；

令

是给定的正定矩阵R的平方根

的逆矩阵，则：

其中，

λ_max{·}表示矩阵的最大特征值；

由李雅普诺夫函数的定义，

得到：

其中，

λ_min{·}表示矩阵的最小特征值；

根据有限时间均方有界性定义，前述动态增广***是有限时间均方有界的；

(3-2).l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

对于任意的扰动向量v(k)≠0，计算李雅普诺夫函数的差分的数学期望：

根据(3-1)中相同的处理方法，得到：

其中，

进行l₂-l_∞扰动抑制性能分析：

通过对***的有限时间均方有界性分析得到：E{V(k+1)}≤E{βV(k)+ν^T(k)ν(k)}；

对上式应用数学迭代法，则：

在零初始条件V(0)＝0下，有：

||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数；

对于标量

当

时，有：

其中，

当0≤k≤T_M，得到：

sup{·}表示数学中的上确界；

因此，动态增广***具有指定的l₂-l_∞干扰抑制水平γ＞0；

(3-3).估计器增益的求解：

利用Schur补引理，并令X＝P₂K，可将

等价展开为：

其中，

选择G使其满足||G||_∞≤1，求解上述线性矩阵不等式

和

同时使得所求结果满足

则得到未知矩阵X和P₂的值；再由X＝P₂K，计算得到矩阵K＝P₂ ^-1X的值；最后根据K＝diag{K₁,K₂,…,K_N}，得到城市地下排水管网***水流态势估计器的增益矩阵K_i，