CN110942495A - 一种基于分析字典学习的cs-mri图像重构方法 - Google Patents

一种基于分析字典学习的cs-mri图像重构方法 Download PDF

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CN110942495A CN201911276763.8A CN201911276763A CN110942495A CN 110942495 A CN110942495 A CN 110942495A CN 201911276763 A CN201911276763 A CN 201911276763A CN 110942495 A CN110942495 A CN 110942495A
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刘书君
蒲宁杰
曹建鑫
卢宏伟
张奎
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Abstract

本发明公开了一种基于分析字典学习的CS‑MRI图像重构方法，属于数字图像处理技术领域。它是一种利用分析字典学习提高对图像稀疏表示能力的方法，以解决传统固定变换自适应性不足的问题，且不会增加稀疏编码的复杂度。首先建立基于紧框架约束下过完备分析字典学习模型，再以图像块系数为对象建立MRI的重构模型，最后采用交替方向乘子法求解模型。本发明采用交替方向乘子法求解模型时，使分析字典、稀疏系数、重构图像获得持续更新，重构出的图像保留了大量细节信息，获得了较高的重构性能，因此可用于医学图像的恢复以解决传统固定变换自适应性差的问题。

Description

一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法
技术领域
本发明属于数字图像处理技术领域，它特别涉及利用分析字典学习实现CS-MRI图像重构，并提升图像的重构质量。
背景技术
压缩感知(CS)作为一种新兴的采样理论与传统的奈奎斯特采样定理相比，可以从更少的随机测量中精确重构出稀疏信号。由于磁共振成像(MRI)需要较长的扫描时间来获取图像频谱即K空间数据，不仅增加了患者不适的风险，而且运动伪影现象可能会出现在生成的图像中。因此，为缩短扫描时间，将CS理论应用于MRI中可利用随机欠采样的K空间数据重建图像，从而加快成像速度。
传统的CS-MRI重构方法利用了整图在固定变换下系数的稀疏性，并采用l1范数作为稀疏正则项，虽然可以恢复出特定的图像纹理结构，但由于固定变换难以适应于多样化的图像特征，因此极大限制了MRI图像重构的性能。为克服该缺陷，基于图像块的学习字典稀疏表示被用于CS-MRI重构中。在重构过程中，从目标重构图像中的图像块训练得到的学习字典能够自适应的稀疏表示重构图像中的特征结构，实现较低的稀疏表示误差，因此提高了MRI图像重构的性能。尽管学习字典相比固定变换更具有自适应性，但也会导致字典训练过程和相应的稀疏编码的复杂度较高，字典原子间存在较大相关性等缺点。
发明内容
本发明的目的在于利用学习字典对图像的自适应性，提出一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法。该方法可以提高字典对图像的表达能力，且不会增加稀疏编码复杂度；本发明首先建立基于分析字典学习的图像重构模型，然后采用交替方向乘子法有效地求解该模型。具体包括以下步骤：
(1)建立基于紧框架约束下过完备分析字典的学习模型：
Figure BDA0002315769520000011
其中
Figure BDA0002315769520000012
是待训练的过完备分析字典，
Figure BDA0002315769520000013
是傅里叶编码矩阵，
Figure BDA0002315769520000014
是欠采样矩阵，
Figure BDA0002315769520000015
是傅里叶变换矩阵，
Figure BDA0002315769520000016
代表复数空间，K是分析字典的基底数，n是图像块包含的像素点个数，M是编码后的频点数，N是整张图像包含的像素点个数，x为待重构的图像，
Figure BDA0002315769520000021
表示图像块提取矩阵，λ是正则化参数，
Figure BDA0002315769520000022
表示向量的二范数的平方，||·||1表示向量的一范数，ΨH是Ψ的共轭转置，I是单位阵；
(2)引入图像块系数αi＝ΨRix，建立关于图像块系数αi的图像重构模型
Figure BDA0002315769520000023
Figure BDA0002315769520000024
对上述重构模型采用交替方向乘子法进行求解，先建立重构模型对应的增广拉格朗日函数
Figure BDA0002315769520000025
其中
Figure BDA0002315769520000026
是拉格朗日乘子，
Figure BDA0002315769520000027
是bi的共轭转置，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数，可转化为以下求解步骤：
(2a)为求解t+1次迭代中分析字典Ψ(t+1)，可将第t次迭代中所获得的图像块系数
Figure BDA0002315769520000028
图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA0002315769520000029
代入增广拉格朗日函数，即
Figure BDA00023157695200000210
(2b)为求解t+1次迭代中图像块系数
Figure BDA00023157695200000211
可将第t+1次迭代中所获得的分析字典Ψ(t+1)和第t次迭代中获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA00023157695200000212
代入增广拉格朗日函数，即
Figure BDA00023157695200000213
(2c)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得的分析字典Ψ(t+1)、图像块系数
Figure BDA00023157695200000214
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure BDA00023157695200000215
代入增广拉格朗日函数，即
Figure BDA00023157695200000216
(2d)更新拉格朗日乘子
Figure BDA00023157695200000217
如下：
Figure BDA00023157695200000218
(2e)更新惩罚参数μ(t+1)如下：
μ(t+1)＝ρμ(t)
其中，ρ＞1是μ的增大因子。
(2f)重复步骤(2a)～(2e)，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
本发明的创新点是为了利用学习字典自适应稀疏表示优势，建立了一个基于过完备分析字典学习的CS-MRI重构模型。该模型可以针对不同的目标重构图像训练出合适的分析字典，并且采用紧框架约束有效抑制了学习分析字典中基底间的相关性。这样既提高了稀疏表示的精度和图像系数的稀疏性，同时给重构图像的质量带了极大的改善。最后，针对提出的重构模型，采用了交替方向乘子法进行有效求解。
本发明的有益效果：从图像块中学***凡解且抑制了字典中基底间相关性；采用交替方向乘子法对重构模型进行求解，实现分析字典、稀疏系数、重构图像的持续快速更新。因此最终输出的重构图像保留了较多纹理结构，较好的去除平滑区伪影，具有较高的重构性能。
本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB8.0上验证正确。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是本发明仿真中使用的人体大脑MRI原图；
图3是采用不同方法对采样率为30％的人体大脑MRI图像的重构结果；
图4是对应于不同方法对采样率为30％的人体大脑MRI图像的重构结果的误差。
具体实施方式
参照图1，本发明是一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，具体步骤如下：
步骤1，建立基于分析字典学习的CS-MRI图像重构模型。
(1a)建立基于紧框架约束下过完备分析字典的学习模型：
Figure BDA0002315769520000041
式(1)中，
Figure BDA0002315769520000042
是待训练的过完备分析字典，
Figure BDA0002315769520000043
是傅里叶编码矩阵，
Figure BDA0002315769520000044
是欠采样矩阵，
Figure BDA0002315769520000045
是傅里叶变换矩阵，
Figure BDA0002315769520000046
代表复数空间，K是分析字典的基底数，n是图像块像素点个数，M是编码后的频点数，N是整张图像包含的像素点个数，x是待重构图像，
Figure BDA0002315769520000047
是图像块提取矩阵，λ是正则化参数，
Figure BDA00023157695200000417
表示向量的二范数的平方，||·||1表示向量的一范数，ΨH是Ψ的共轭转置，I是单位阵。
(1b)引入图像块系数αi＝ΨRix，建立关于图像块系数αi的图像重构模型：
Figure BDA0002315769520000048
步骤2，采用交替方向乘子法求解式(2)中重构模型。
(2a)建立式(2)中重构模型的增广拉格朗日函数：
Figure BDA0002315769520000049
式(3)中，
Figure BDA00023157695200000410
是拉格朗日乘子，
Figure BDA00023157695200000411
是bi的共轭转置，μ＞0是惩罚参数，交替求解各变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数。
(2b)为求解t+1次迭代中分析字典Ψ(t+1)，可将第t次迭代中所获得的图像块系数
Figure BDA00023157695200000412
图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA00023157695200000413
代入式(3)中，即：
Figure BDA00023157695200000414
可以采用奇异值分解法求解式(4)，为简化表达，在以下求解步骤中将式(4)中迭代上标省略：
(2b1)该子问题为含有等式约束条件的优化问题，其拉格朗日函数为
Figure BDA00023157695200000415
其中，
Figure BDA00023157695200000416
为拉格朗日乘子，由于等式约束条件ΨHΨ＝I为埃尔米特矩阵方程，因此Ω必须为埃尔米特矩阵，即Ω＝ΩH。根据Karush-Kuhn-Tucker条件，该子问题最优解应满足以下条件：
Figure BDA0002315769520000051
其中，
Figure BDA0002315769520000052
为拉格朗日函数
Figure BDA0002315769520000053
关于Ψ的梯度，(Rix)H是Rix的共轭转置，对式(6)中第一个等式左乘ΨH，并代入第二个等式ΨHΨ＝I，可得
Figure BDA0002315769520000054
将式(7)代入式(6)并增加约束条件Ω＝ΩH，化简可得以下条件：
Figure BDA0002315769520000055
(2b2)计算式(8)中第一个等式右边矩阵的奇异值分解，可以得到：
Figure BDA0002315769520000056
其中，
Figure BDA0002315769520000057
和
Figure BDA0002315769520000058
为奇异值分解后对应的酉矩阵，PH是P的共轭转置，VH是V的共轭转置，
Figure BDA0002315769520000059
是奇异值矩阵。将该奇异值分解结果代入式(8)中第三个等式，可以得到：
ΨHPΔVH＝VΔPHΨ 式(10)
当ΨHP＝V或ΨHP＝0时式(10)成立。再将该奇异值分解结果代入式(8)中第一个等式，可以得到：
ΨΨHP＝P 式(11)
由于P为非零矩阵，因此ΨHP＝0不成立，即只有ΨHP＝V能使式(10)和(11)同时成立，将其代入式(11)得到的Ψ闭合解形式如下：
Ψ＝PVH 式(12)
由于P和V为酉矩阵，因此ΨHΨ＝VPHPVH＝I，即式(8)中三个条件都得到满足。
(2c)为求解t+1次迭代中图像块系数
Figure BDA00023157695200000510
可将第t+1次迭代中获得的分析字典Ψ(t+1)和第t次迭代中获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA00023157695200000511
代入式(3)，即：
Figure BDA0002315769520000061
可采用软阈值法对式(13)中的子问题求解，为简化表达，在以下求解步骤中将式(13)中迭代上标省略：
(2c1)该子问题为无约束凸优化问题，其一阶优化条件为
Figure BDA0002315769520000062
其中，
Figure BDA0002315769520000063
为αi一范数的次微分，其第k维元素可表示为
Figure BDA0002315769520000064
其中，[-1,1]表示当(αi)k＝0，该次微分的第k维元素可取-1到1之间任意数；
(2c2)根据式(14)的一阶优化条件及
Figure BDA0002315769520000065
的特性，αi的解为对向量ΨRix-bi/μ的各维元素做阈值为1/μ的软阈值操作，αi解的形式如下：
Figure BDA0002315769520000066
其中，max(·,·)是最大值函数。
(2d)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中获得的分析字典Ψ(t+1)，图像块系数
Figure BDA0002315769520000067
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure BDA0002315769520000068
代入式(3)，即：
Figure BDA0002315769520000069
式(17)是一个最小二乘问题，为简化表达，在以下求解步骤中将式(17)中迭代上标省略：
(2d1)该子问题最优解可通过求解以下正规方程获得：
Figure BDA00023157695200000610
其中，
Figure BDA00023157695200000611
是Fu的共轭转置，
Figure BDA00023157695200000612
是Ri，j的共轭转置；
(2d2)可按周期边界条件提取图像块，以满足
Figure BDA00023157695200000613
的简化条件，x的闭合解可表示为：
Figure BDA0002315769520000071
式(19)中，FH是F的共轭转置，UH是U的共轭转置，c＞0为重叠因子。
(2e)更新拉格朗日乘子和惩罚参数：
Figure BDA0002315769520000072
式(20)中，ρ＞1是μ的增大因子。
步骤3，重复(2b)～(2e)的过程，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：
一、实验条件和内容
实验条件：实验使用随机采样矩阵；实验图像采用真实的人体大脑MRI图像如图2所示；实验结果评价指标采用峰值信噪比(PSNR)，其定义为：
Figure BDA0002315769520000073
式(21)中，x和
Figure BDA0002315769520000074
分别是全采样图像和重建图像，其值越高表示重构图像的性能越好。另一个评价指标采用结构相似度(SSIM)，定义为：
Figure BDA0002315769520000075
式(22)中，x和
Figure BDA0002315769520000076
分别是全采样图像和重构后的图像，μx和
Figure BDA0002315769520000077
分别表示x和
Figure BDA0002315769520000078
的均值，σx和
Figure BDA0002315769520000079
分别表示x和
Figure BDA00023157695200000712
的标准差，
Figure BDA00023157695200000710
是x和
Figure BDA00023157695200000711
的协方差，C1和C2是两个避免不稳定性的常量。SSIM值越高表明图像的重构质量越高。
实验内容：在上述条件下，采用在MRI重构领域目前处于领先水平的RecPF方法、DLMRI方法、PBDW方法与本发明方法进行对比。
实验1：用本发明方法与RecPF方法、DLMRI方法和PBDW方法分别对图2所示的MRI图像在相同条件下进行重构。其中RecPF方法将小波和全变分正则项相结合并采用算子分离算法求解模型，其重构结果如图3(a)，重构误差如图4(a)；DLMRI方法则是一个典型的综合字典学习方法，使用K-SVD方法对图像块学习一个冗余的综合字典，其重构结果为图3(b)，重构误差为图4(b)；PBDW方法则是对图像块训练方向小波和采用小波系数l1范数最小化的方法，其重构结果为图3(c)，重构误差为图4(c)；实验中对所有方法设置图像块大小n＝8×8，保真项正则化参数为λ＝106，对RecPF中全变分正则化参数设置为10-2，对PBDW和本方法的重叠因子设置为c＝64，对DLMRI方法和本方法设置字典原子或基底数量为K＝128，对本发明方法设置的其他参数为μ(0)＝128，ρ＝1.2，本方法最终重构结果如图3(d)，重构误差如图4(d)。
图3中小方块中图像为选择的被放大区域，大方块中为其放大图像。从图3的重构结果及局部放大图可以看出，RecPF方法的重构结果存在较为严重的伪影现象；DLMRI方法在放大区域纹理结构模糊不清，细节信息损失较为严重；PBDW方法在放大区域出现明显的块状伪影；而从本方法的重构结果可以看出，其细节信息对比度和整体重构效果都优于其他重构方法。从图4的重构误差结果可以得到同样的结论，本方法的重构误差要明显小于RecPF方法、DLMRI方法和PBDW方法，所以本方法的重构效果最好。
表1不同重构方法的PSNR指标
图像 RecPF方法 DLMRI方法 PBDW方法 本发明方法
人脑图 27.43 31.58 31.67 33.27
表1给出了各方法重构结果的PSNR指标情况，由表可见本发明方法的PSNR值比其他方法均有较大提高，说明本发明方法的重构性能最高，此结果与重构效果图相吻合。
表2不同重构方法的SSIM指标
图像 RecPF方法 DLMRI方法 PBDW方法 本发明方法
人脑图 0.5559 0.6972 0.8507 0.8574
表2给出了各方法重构结果的SSIM情况，可见本发明方法对应的SSIM值最高，说明图像信息保护完整，此结果与重构效果图相吻合。
上述实验表明，本发明所获得的重构图像不仅细节信息完整，而且视觉效果及客观评价指标都较好，由此可见本发明对医学图像重构是有效的。

Claims (4)

1.一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，包括以下步骤：
(1)建立基于紧框架约束下过完备分析字典的学习模型
Figure FDA0002315769510000011
其中
Figure FDA0002315769510000012
是待训练的过完备分析字典，
Figure FDA0002315769510000013
是傅里叶编码矩阵，
Figure FDA0002315769510000014
是欠采样矩阵，
Figure FDA0002315769510000015
是傅里叶变换矩阵，
Figure FDA0002315769510000016
代表复数空间，K是分析字典的基底数，n是图像块包含的像素点个数，M是编码后的频点数，N是整张图像包含的像素点个数，x为待重构的图像，
Figure FDA0002315769510000017
表示图像块提取矩阵，λ是正则化参数，
Figure FDA0002315769510000018
表示向量的二范数的平方，||·||1表示向量的一范数，ΨH是Ψ的共轭转置，I是单位阵；
(2)引入图像块系数αi＝ΨRix，建立关于图像块系数αi的图像重构模型：
Figure FDA0002315769510000019
Figure FDA00023157695100000110
对上述重构模型采用交替方向乘子法进行求解，先建立重构模型对应的增广拉格朗日函数
Figure FDA00023157695100000111
其中
Figure FDA00023157695100000112
是拉格朗日乘子，
Figure FDA00023157695100000113
是bi的共轭转置，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数，可转化为以下求解步骤：
(2a)为求解t+1次迭代中分析字典Ψ(t+1)，将第t次迭代中所获得的图像块系数
Figure FDA00023157695100000114
图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure FDA00023157695100000115
代入增广拉格朗日函数，即
Figure FDA00023157695100000116
(2b)为求解t+1次迭代中图像块系数
Figure FDA00023157695100000117
可将第t+1次迭代中所获得的分析字典Ψ(t+1)和第t次迭代中获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure FDA00023157695100000118
代入增广拉格朗日函数，即
Figure FDA00023157695100000119
(2c)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得的分析字典Ψ(t+1)，图像块系数
Figure FDA0002315769510000021
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure FDA0002315769510000022
代入增广拉格朗日函数，即
Figure FDA0002315769510000023
(2d)更新拉格朗日乘子
Figure FDA0002315769510000024
如下
Figure FDA0002315769510000025
(2e)更新惩罚参数μ(t+1)如下
μ(t+1)＝ρμ(t)
其中，ρ＞1是μ的增大因子；
(2f)重复步骤(2a)～(2e)，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
2.根据权利要求1所述的一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，其主要特征在于，步骤(2a)中关于分析字典Ψ的子问题可采用奇异值分解法求解，为简化表达，在以下求解步骤中将(2a)中迭代上标省略，该子问题的闭合解形式为
Ψ＝PVH
其中
Figure FDA0002315769510000026
和
Figure FDA0002315769510000027
为以下奇异值分解后对应的酉矩阵
Figure FDA0002315769510000028
其中
Figure FDA0002315769510000029
是奇异值矩阵，因为P和V为酉矩阵，因此ΨHΨ＝VPHPVH＝Ι，PH是P的共轭转置，VH是V的共轭转置，即Ψ的解满足紧框架条件。
3.根据权利要求1所述的一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，其主要特征在于，可利用软阈值法对(2b)中关于图像块系数
Figure FDA00023157695100000210
的子问题求解，为简化表达，在以下求解步骤中将(2b)中迭代上标省略，该子问题解的形式如下
Figure FDA00023157695100000211
其中，max(·,·)是最大值函数。
4.根据权利要求1所述的一种基于分析字典学习的CS-MRI图像重构方法，其主要特征在于(2c)中关于图像x的子问题为一个最小二乘问题，为简化表达，在以下求解步骤中将(2c)中迭代上标省略
(2c1)该子问题的最优解可通过求解以下正规方程获得：
Figure FDA0002315769510000031
其中，
Figure FDA0002315769510000032
是Fu的共轭转置，
Figure FDA0002315769510000033
是Ri，j的共轭转置。
(2c2)为简化计算，可按周期边界条件提取图像块，以满足
Figure FDA0002315769510000034
的简化条件，其中c为重叠因子，图像x的闭合解可表示为：
Figure FDA0002315769510000035
其中，FH是F的共轭转置，UH是U的共轭转置。
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