CN110826197A - 一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，首先，根据水平平稳风速场模拟点的给定功率谱计算得到相应的功率谱矩阵；再将对功率谱矩阵的Cholesky分解转化为对相干矩阵的分解，得到闭合解表达式；然后，由闭合解表达式以及平稳模拟公式得到模拟样本；接着将闭合解从水平风速场推广到垂直与倾斜风速场；最后将改进的闭合解进一步应用到非平稳风速场的模拟。本发明可以考虑沿水平轴任意分布的模拟点，各个点的自谱可以不同，还可以考虑行波效应；在极小的近似下，此闭合解也拓展到了竖向和斜向的风速场，对实际中的模拟计算有了更深的意义。此外，基于对相干矩阵的分解，该方法也可被用于非平稳风速场模拟和随机振动分析。

Description

一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法

技术领域

本发明涉及随机信号模拟技术领域，具体为一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法。

背景技术

风速场的模拟已经被广泛应用于结构的抗风设计中，尤其是在考虑结构非线性和气动非线性时。在各种模拟方法中，谱表示法(SRM)因其准确性和直接性，成为风场模拟中最受欢迎的一种方法。Yang通过引入快速傅立叶变换(FFT)实现对三角函数项的叠加，显著提高了平稳风场的模拟效率(Yang,J.N.(1972).“Simulation of random envelopeprocesses.”J.Sound Vib.,21(1),73-85.)。此外，FFT的应用也已经被扩展到非平稳风场模拟(Zhao,N.,and Huang,G.(2017).“Fast simulation of multivariatenonstationary process and its application to extreme winds.”J.Wind.Eng.Ind.Aerodyn.,170,118-127.)。

尽管取得了这些进步，但仍然有必要提高模拟效率，特别是对于大型结构。比如，已经修建完成的明石海峡大桥和计划中的墨西拿海峡大桥的主跨分别为1991和3300米；多跨输电线的长度通常可达数千米。在这些情况下，往往需要数百个甚至更多的模拟点来模拟时域响应分析中的风速场。

为了进一步加速模拟，大多数努力都集中在谱矩阵的Cholesky分解上。Yang等人(Yang,W.W.,Chang,T.Y.P.,and Chang,C.C.(1997).“An efficient wind fieldsimulation technique for bridges.”J.Wind.Eng.Ind.Aerodyn.,67,697-708.)以及Yang和Chang(Yang,W.W.,and Chang,T.Y.P.(1998).“Numerical simulation ofturbulent fluctuations along the axis of a bridge.”Eng.Struct.,20(9),837-848.)提出了一种Cholesky分解的闭合解，用于模拟沿水平轴均匀分布的风速场，该方法要求各模拟点具有相同自功率谱密度(PSD)和达文波特相干特性。虽然Cholesky分解的闭合公式非常有吸引力，但它受到一个主要限制：模拟点必须沿水平轴均匀分布。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的在于提供一种可以用于模拟水平、垂直甚至倾斜轴线上的风速场，具有重要的工程应用价值的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法。技术方案如下：

一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，包括以下步骤：

步骤1：根据水平平稳风速场模拟点的给定功率谱计算得到相应的功率谱矩阵；

步骤2：将对功率谱矩阵的Cholesky分解转化为对相干矩阵的分解，得到闭合解表达式；

步骤3：由闭合解表达式以及平稳模拟公式得到模拟样本；

步骤4：将闭合解从水平风速场推广到垂直与倾斜风速场；

步骤5：将改进的闭合解进一步应用到非平稳风速场的模拟。

进一步的，所述步骤1中的功率谱矩阵表示为：

S(ω)＝D(ω)Γ(ω)D^T(ω) (1)

其中

式中，D(ω)表示一个与自谱相关的对角矩阵；S_jj(ω)表示第j个模拟点的自功率谱函数；Γ(ω)表示相干矩阵，为非负定的Hermite矩阵，γ_jk(ω)表示模拟点j与k之间的相干函数；j＝1,2,…,n；k＝1,2,…,n。

更进一步的，所述步骤2具体包括：

将相干矩阵Γ(ω)分解为

Γ(ω)＝B(ω)B^T*(ω) (4)

式中B(ω)是下三角矩阵，表示为

式中，β_jk(ω)表示下三角矩阵B(ω)的对应元素；j＝1,2,…,n；j≥k；

相应地，获得以下关系

H(ω)＝D(ω)B(ω) (6)

以上过程将功率谱矩阵的分解替换为相干矩阵的分解，如公式(4)所示；则在应用改进的闭合解时，每个模拟点的自PSD可以是不同的；

考虑行波效应，一种广义的相干函数如下

式中v_app是波速；C_y为水平指数衰减因子；y_j为j点水平坐标值；y_k为k点水平坐标值；ω为圆频率；

为平均风速值；

对于沿水平轴任意分布的模拟点，由相干函数组成的相干矩阵的Cholesky分解用以下闭合公式计算

更进一步的，所述步骤3具体包括：

根据步骤2得到的闭合公式，把相应元素代入以下公式得到模拟样本：

式中，N为离散点数；ω_l为第l个离散频率；△ω为频率步长；θ_jk为相位角；φ_kl为随机相位角。

更进一步的，所述步骤4具体包括：

垂直风速场的相干函数以及相应的闭合解表示如下：

式中，C_z为竖向指数衰减因子；z_j为j点高度值；z_k为k点高度值；α为与地面粗糙度有关的幂指数；U(10)为10m高度处的平均风速；

为γ_k,k-1(ω)的共轭；

倾斜风速场相干函数表示如下：

式中，κ为斜率。对应相干矩阵分解的闭合解同为式(12)。

更进一步的，所述步骤5具体包括：

通过对演化功率谱矩阵进行Cholesky分解，沿任一轴的非平稳风速场的相应模拟公式获得为：

式中，

是第j项非平稳随机过程；|H_jk(ω,t)|和θ_jk(ω,t)分别是H_jk(ω,t)的模和复相位角；H_jk(ω,t)是分解后矩阵的元素；H_jk(ω,t)由下式计算：

式中，S_jj(ω,t)j＝1,2,…,n是

的自演化功率谱(EPSD)；β_jk(ω)可由前述的改进闭合解公式确定。

本发明的有益效果是：本发明风场的高效模拟方法在结构风振响应分析中具有重要意义；可以用于模拟水平、垂直甚至倾斜轴线上的风速场；模拟点可以任意分布，不同点的自谱可以不同，可以考虑行波效应；本发明还可以加快非平稳风速场模拟。通过对水平和垂直方向上的两个平稳风速场的模拟，表明所提出的方法表现很好。

附图说明

图1是本发明的一个模拟点分布示意图。

图2是算例得到的模拟点样本相关函数示意图；点1,2处模拟风速的相关函数。

图3是算例得到的模拟点样本相关函数示意图；点1和51处模拟风速的相关函数。

图4是算例得到的模拟点样本功率谱对比图；(a)点1和(b)点51处模拟风速的PSD。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。本发明一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法。主要包括：

步骤1：根据水平平稳风速场模拟点的给定功率谱计算得到相应的功率谱矩阵。

S(ω)＝D(ω)Γ(ω)D^T(ω) (17)

其中

步骤2：将对功率谱矩阵的Cholesky分解转化为对相干矩阵的分解，得到闭合解表达式；

相干矩阵Γ(ω)也是一个非负定的Hermitian矩阵，可以分解为

Γ(ω)＝B(ω)B^T*(ω) (20)

式中B(ω)是一个下三角矩阵，表示为

相应地，可以获得以下关系

H(ω)＝D(ω)B(ω) (22)

可以看到，谱矩阵的分解可以替换为相干矩阵的分解，如公式(20)所示。因此，每个模拟点的自PSD可以是不同的。

为了考虑行波效应，一种广义的相干函数被给出如下

式中，v_app是波速。

对于沿水平轴任意分布的模拟点，可以证明由相干函数组成的相干矩阵的Cholesky分解可用以下闭合公式计算

步骤3：由闭合解表达式以及平稳模拟公式得到模拟样本；

根据得到的以上闭合公式，把相应元素代入以下公式得到模拟样本：

步骤4：将闭合解从水平风速场推广到垂直与倾斜风速场；

当将水平风速场推广到垂直风速场与倾斜风速场时，垂直风速场的相干函数以及闭合解表示如下：

倾斜风速场相干函数表示如下：

其余计算同水平风速场类似。

步骤5：将改进的闭合解进一步应用到非平稳风速场的模拟。

当将平稳风速场推广到非平稳风速场时，与平稳模拟类似，通过对演化功率谱矩阵进行Cholesky分解，沿任一轴的非平稳风速场的相应模拟公式可以获得为：

式中

是第j项非平稳随机过程；|H_jk(ω,t)|和θ_jk(ω,t)分别是H_jk(ω,t)的模和复相位角；H_jk(ω,t)是分解后矩阵的元素。明显地，H_jk(ω,t)可以使用所提方法显式计算：

式中S_jj(ω,t)j＝1,2,…,n是

的自EPSD；β_jk(ω)由闭合解公式确定。

为了核实所提出Cholesky分解的增强闭合解算法的效率和精度，模拟了水平方向平稳风速场。通过数值算例，可以得出此方法表现良好的结论。

假定主跨为1000m、两边跨为500m的大跨度悬索桥桥面风速场需要被模拟。为了简单起见，仅考虑垂直于桥轴线的纵向风速分量。边跨和主跨两个相邻模拟点之间的距离分别设为10m和20m。因此，将模拟具有151个模拟点的风速场，如图1所示。

卡曼的双边谱被用作主跨模拟点的目标功率谱，给出如下

式中桥面离地高度为z＝60m；桥面的平均风速为U(z)＝40m/s；切向速度为u*＝kU(z)/ln(z/z₀)且k＝0.4，地面粗糙度为z₀＝0.01m；边跨模拟点的功率谱被假定为上述卡曼谱的0.8倍。相干函数中C_y＝10和v_app＝10m/s，被用来表征各模拟点的相关性。

为了模拟各态历经的风速场，此次模拟中的时间和频率参数给出为：截止频率ω_u＝4πrad/s；离散频率点数N＝2048；时间步长△t＝0.25s；周期为154624s。

图2显示了1、2点模拟风速的估计自相关函数和目标自相关函数，1和51点的互相关函数和目标互相关函数。结果表明，模拟风速的估计自相关函数与目标自相关函数有较好的一致性，互相关函数也有较好的一致性。此外，将点1和点51的模拟风速的估计PSD也与目标PSD进行比较，如图3所示。可以观察到令人满意的一致性。因此，所提出的方法对水平风速场的模拟具有良好的表现。

Claims (6)

1.一种基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特点在于，包括以下步骤：

步骤1：根据水平平稳风速场模拟点的给定功率谱计算得到相应的功率谱矩阵；

步骤2：将对功率谱矩阵的Cholesky分解转化为对相干矩阵的分解，得到闭合解表达式；

步骤3：由闭合解表达式以及平稳模拟公式得到模拟样本；

步骤4：将闭合解从水平风速场推广到垂直与倾斜风速场；

步骤5：将改进的闭合解进一步应用到非平稳风速场的模拟。

2.根据权利要求1所述的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特征在于，所述步骤1中的功率谱矩阵表示为：

S(ω)＝D(ω)Γ(ω)D^T(ω) (1)

其中

式中，D(ω)表示一个与自谱相关的对角矩阵；S_jj(ω)表示第j个模拟点的自功率谱函数；

Γ(ω)表示相干矩阵，为非负定的Hermite矩阵，γ_jk(ω)是模拟点j与k之间的相干函数；

j＝1,2,…,n；k＝1,2,…,n。

3.根据权利要求2所述的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特征在于，所述步骤2具体包括：

将相干矩阵Γ(ω)分解为

Γ(ω)＝B(ω)B^T*(ω) (4)

式中B(ω)是下三角矩阵，表示为

式中，β_jk(ω)表示下三角矩阵B(ω)的对应元素；j＝1,2,…,n；j≥k；

相应地，获得以下关系

H(ω)＝D(ω)B(ω) (6)

将功率谱矩阵的分解替换为相干矩阵的分解，如公式(4)所示；则在应用改进的闭合解时，每个模拟点的自功率谱可以是不同的；

考虑行波效应，一种广义的相干函数如下

式中v_app是波速；C_y为水平指数衰减因子；y_j为j点水平坐标值；y_k为k点水平坐标值；

ω为圆频率；

为平均风速值；

对于沿水平轴任意分布的模拟点，由相干函数组成的相干矩阵的Cholesky分解用以下闭合公式计算

4.根据权利要求3所述的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特征在于，所述步骤3具体包括：

根据步骤2得到的闭合公式，把相应元素代入以下公式得到模拟样本：

式中，N为离散点数；ω_l为第l个离散频率；△ω为频率步长；θ_jk为相位角；φ_kl为随机相位角。

5.根据权利要求4所述的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特征在于，所述步骤4具体包括：

垂直风速场的相干函数以及相应的闭合解表示如下：

式中，C_z为竖向指数衰减因子；z_j为j点高度值；z_k为k点高度值；α为与地面粗糙度有关的幂指数；U(10)为10m高度处的平均风速；

为γ_k,k-1(ω)的共轭；

倾斜风速场相干函数表示如下：

式中，κ为斜率。

6.根据权利要求5所述的基于改进Cholesky分解闭合解的风速场模拟方法，其特征在于，所述步骤5具体包括：

通过对演化功率谱矩阵进行Cholesky分解，沿任一轴的非平稳风速场的相应模拟公式获得为：

式中，是第j项非平稳随机过程；|H_jk(ω,t)|和θ_jk(ω,t)分别是H_jk(ω,t)的模和复相位角；H_jk(ω,t)是分解后矩阵的元素；H_jk(ω,t)由下式计算：

式中，S_jj(ω,t)j＝1,2,…,n是

的自演化功率谱；β_jk(ω)可由前述的改进闭合解公式确定。

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