CN110609476B

CN110609476B - 一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法

Info

Publication number: CN110609476B
Application number: CN201910889495.0A
Authority: CN
Inventors: 任密蜂; 张旭霞; 程兰; 续欣莹
Original assignee: Taiyuan University of Technology
Current assignee: Taiyuan University of Technology
Priority date: 2019-09-19
Filing date: 2019-09-19
Publication date: 2022-04-12
Anticipated expiration: 2039-09-19
Also published as: CN110609476A

Abstract

本发明一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法，属于多变量非线性动态***模型的预测控制技术领域；所要解决的技术问题为：提供一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法的改进；解决该技术问题采用的技术方案为：包括如下步骤：步骤一：建立外部动态PLS框架：步骤二：对输出数据进行预测，经过动态GP‑PLS模型的解耦后得到隐空间中的多个单输入单输出***；步骤三：使用动态GP‑PLS模型进行控制，设计每个单输入单输出子***中的模型预测控制器；步骤四：通过最小化目标函数，获得最佳控制动作；步骤五：将隐空间中的模型预测控制结果重构回原始空间，对原始空间进行控制；本发明应用于多变量非线性动态***模型。

Description

一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法

技术领域

本发明一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法，属于多变量非线性动态***模型的预测控制技术领域。

背景技术

随着工业与信息科学技术的快速发展，工业的生产规模越来越大，生产工艺以及生产流程变得越来越复杂，这对传统的机理建模与控制策略提出了重大的挑战，尤其在石油、化工、冶金、机械等行业进行应用。模型预测控制(MPC)作为一种先进的计算机控制算法，根据***当前以及过去的运行状态来预估、计算***在将来的状态优化序列的第一个输入值被用到***上，该计算过程在后续的控制时间内被重复进行。MPC不需要精确得到被控***的精确数学模型，而是通过滚动优化求得性能指标函数来最优化得到当前时刻的控制信号，最后通过反馈校正来修正预测模型的准确性，但模型的预测值不能有大的偏离，且模型的准确性在很大程度上决定预测控制是否能得到好的效果。在模型预测控制中，滚动优化是与传统的最优控制最大的区别，传统的最优控制是用一个性能函数来判断全局最优化，模型预测控制的优化不是一次离线完成，而是反复进行的，且是一个稳定的过程。因此该优化方法适用于动态特性变化和存在不确定因素的复杂工业过程。

在工业控制过程中，大部分均为带有噪声和延迟的非线性***，而通常线性的控制算法对非线性环节的忽略不计或用线性近似，仍被广泛的应用到非线性***中去，特别是近年来得到较大发展的线性反馈算法；但是当***参数不确定，或含有扰动和噪声信号时，这类算法不能保证***的鲁棒性，使得控制效果明显下降；在科学技术飞速发展的今天，***越来越复杂且带有的不确定性也随之提高，同时对***控制效果也有更高的要求，因此整个控制***也变得非常复杂，这类复杂***一般都具有非线性、多变量、含噪声、大滞后等特点。

非线性预测控制在工业生产控制中一直是研究的热点问题，但就目前的研究成果来说，仍然存在着以下的一些问题：

一、目前，在控制领域中，主要以RBF神经网络作为预测控制中的非线性预测模型，然而对于神经网络本身的结构设计仍然主要依靠经验，且优化参数较多，训练过程复杂，使得神经网络本身有诸多的限制；

二、在实施MPC之前，必须为该过程开发一个描述良好的模型，但准确的第一原理模型不仅难以获得，而且因为完整的过程知识往往是稀缺的，所以用于MPC设计时，通常首选从输入/输出数据中识别的数据驱动模型，然而当使用数据驱动模型实现MPC时，尤其是在从高度相关的数据构建良好描述的模型时，过程较为繁琐复杂；

三、对于大规模多输入多输出(MIMO)***，在MIMO处理中，控制动作的解决变得昂贵且耗时，而且过程变量的交叉耦合导致控制器设计困难，这对MPC在工业中的实时应用有很大限制；

四、对于维数较高的***，采用传统的MPC算法不仅会导致控制器的设计复杂，而且会使控制器的计算量增大，因此需要改进控制算法以克服传统模型预测控制中的缺点。

发明内容

本发明为了克服现有技术中存在的不足，所要解决的技术问题为：提供一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法的改进。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：一种基于高斯过程模型的多变量非线性动态***模型预测控制方法，包括如下步骤：

步骤一：建立外部动态PLS框架：

步骤1.1：设两个缩放的数据集U和Y，其中：U为一个输入数据矩阵，大小为nxm，Y为一个输出数据矩阵，大小为nxl；

对数据集U和Y都进行标准化处理(均值为0，方差为1)，得到缩放矩阵W_x和W_y；

步骤1.2：由上述PLS外部模型得到数据集U的得分矩阵T和负载矩阵P，数据集Y的得分矩阵V和负载矩阵Q；

步骤1.3：设t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量，求t_i与v_i的内部关系，用v_i＝f_GP(t_i)建立GP过程非线性内部模型，表示输入潜变量和输出潜变量之间的代数关系，其中f(t_i)指得分向量t_i和v_i的代数关系；

步骤1.4：分别计算数据集U和Y的负载向量：

和

公式由非线性迭代偏最小二乘算法得到，其中：

和

分别是加载矩阵P和Q的第i个向量的转置，i表示回路数；

t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量；

和

分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量的转置；

步骤1.5：计算残差矩阵E_a+1和F_a+1，如残差满足收敛条件或主元数达到设定值，结束算法，得到GP-PLS预测模型，如不满足则转至步骤1.1；

步骤二：根据上述算法获得GP-PLS预测模型后，对输出数据进行预测，原始空间中的多变量***经过动态GP-PLS模型的解耦后得到隐空间中的多个单输入单输出***；

步骤三：使用动态GP-PLS模型进行控制，设计每个单输入单输出子***中的模型预测控制器；

步骤四：通过最小化目标函数J_ik，获得最佳控制动作；

步骤五：通过原始空间与隐空间之间的相关性，将隐空间中的模型预测控制结果重构回原始空间，对原始空间进行控制。

本发明相对于现有技术具备以下的有益效果：

一、本发明使用模型预测控制，其使用滚动优化的方法是与传统的最优控制最大的区别，传统的最优控制是用一个性能函数来判断全局最优化，模型预测控制的优化不是一次离线完成，而是反复进行的，且是一个稳定的过程，因此更适合用于动态特性变化和存在不确定因素的复杂工业过程；

二、本发明建立了动态的GP-PLS模型，通过PLS框架来提取动态过程的特征信息，消除数据的共线性，并减小输入变量的维数。然后通过GP建立输入得分向量t_i和输出得分向量v_i的关系，提高了内部模型的非线性处理能力，动态GP-PLS结合了PLS和GP的优点，即GP的特征提取和其他非线性处理能力和PLS方法的鲁棒性，而且GP非线性内部模型参数更少，参数优化更容易，方差信息可以表示预测的置信度，是其他方法不具备的特点；

三、原始空间的模型预测控制相对而言比较困难，优化参数较多，解耦到隐空间下，本发明方法将MIMO问题转化为了多个SISO问题，使控制问题变得既省时又简单。

附图说明

下面结合附图对本发明做进一步说明：

图1是本发明的预测控制示意图；

图2是本发明应用于多变量非线性动态***的模型预测控制方法流程框图；

图3是本发明应用于连续搅拌反应釜的结构示意图；

图4是本发明第一对潜变量动态GP-PLS模型的预测结果示意图；

图5是本发明第二对潜变量动态GP-PLS模型的预测结果示意图；

图6是本发明连续搅拌反应釜生成物A的浓度与时间变化曲线图；

图7是本发明连续搅拌反应釜反应器的温度T与时间变化曲线图。

具体实施方式

如图1至图7所示，本发明在动态偏最小二乘(PLS)框架下，提出了一种基于高斯过程(GP)模型的模型预测控制(MPC)方案，应用于多变量非线性动态***；本发明以高斯过程为非线性预测模型，其不但建模简单，参数少，超参数的训练更容易，还能够得到预测的输出值的同时，方差信息也反映预测的精度。而且以单步预测为基础的多步预测，方法简单，并且能得到较好的预测效果的同时可降低预测模型训练的时间复杂度；对于多输入多输出(MIMO)***，为了消除过程变量的交叉耦合，避免解耦控制和环路配对，减少计算量的复杂性，通过动态PLS结构将多输入多输出(MIMO)***解耦成单个回路，在隐空间下对SISO分别进行模型预测控制，采用简单的控制器设计和较少的计算时间实现控制目标。

本发明方法主要包括动态GP-PLS建模阶段和控制阶段。

步骤一：首先对动态GP-PLS预测模型进行建立：

(1)外部动态PLS框架：

首先考虑两个缩放的数据集U(一个输入(预测器)数据矩阵，大小为nxm)和Y(一个输出(预测)数据矩阵，大小为nxl)，n、m、l其中分别表示观测数量，操纵变量和过程变量。

数据集U和Y分别表示为：

上述数据集U和Y的具体关系是：

t_i＝[t_i,k,t_i,k-1,…,t_i,k-n+1]^T，p_i＝[p_i,1,p_i,2,…,p_i,m]^T (2)

v_i＝[v_i,k,v_i,k-1,…,v_i,k-n+1]^T，q_i＝[q_i,1,q_i,2,…,q_i,l]^T (4)

其中主成分的数量a可以通过统计技术来确定，例如交叉验证或启发式技术，正如

(Y的预测值)中保留的方差百分比。T和V都表示得分矩阵，而且P和Q分别是T和V的加载矩阵。此外，t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量，并且p_i和q_i分别是加载矩阵P和Q的第i个向量。E_a+1和F_a+1分别是X和Y的残差矩阵。

考虑到非线性迭代偏最小二乘(NIPALS)算法，可以得到以下关系：

t_i＝Xw_i (6)

其中，w_i是权重向量。

在内部模型中，用最小二乘法得到了输入和输出潜变量之间的代数关系。

v_i＝f(t_i)+e_i (7)

其中f(t_i)指的是得分向量t_i和v_i的代数关系，e_i指的是残差向量。

然后基于内部GP模型来改进模型的不确定性。

对于每个回路，使用GP模型来表征输入t_i,k(i＝1,2,…,a)和输出v_i,k(i＝1,2,…,a)潜在变量之间关系的动态关系。

一个GP模型是具有联合分布的随机变量的集合：

对于任何输入Z_i＝{z_i,1,…,z_i,k}和输出v_i＝{v_i,k,…,v_i,k-n+1}的集合，，平均向量μ_i和Z_i分别指的是高斯过程模型的输入向量，而不是受控变量。

对于动态建模，z_i,k可以分别包含过去的操纵潜在变量和过去的输出潜在变量，如下：

z_i，k＝[t_i，k-1，…，t_i，k-b+1，v_i，k-1，…，v_i，k-d+1]^T (9)

其中下标b和d分别指的是过去b个操纵潜在变量和过去d个输出潜在变量。L_i是一个合适的归一化常数。C_i是由参数化协方差函数

定义的数据的协方差矩阵。

给出数据集D_i＝(Z_i,v_i)，由于联合密度P(v_i,k+1,v_i)也是高斯的，因此可以很容易推理出v_i,k+1；通过贝叶斯定理，得到条件分布是：

它也是高斯的，进而得出后验分布为：

最后，求出GP模型的预测均值和预测方差，分别为：

其中，g^T(z_i,k+1)＝[C(z_i,k+1,z_i,1)…C(z_i,k+1,z_i,k)]，μ_i,k+1是v_i,k+1的预测均值，

是预测的标准方差。

向量g^T(z_i,k+1)C^-1可以被视为平滑项，其对训练输出进行加权以对新输入矢量z_i,k+1进行预测。预测的标准方差提供模型预测的置信水平，因为较高的方差表示输入矢量的区域包含很少的被噪声破坏的数据。

最后选择协方差函数并对其参数进行优化。

协方差函数非常重要，常见的选择是：

其中a_i0、a_i1、w_i,s、q_i和ν_i0是被定义的超参数，

超参数ν_i0控制局部相关的整体尺度，

a_i1允许每个输入维度中的不同距离测量，

s和q_i是噪声方差的估计值。

δ_i是一个Kronecker delta参数，如果r₁＝r₂，δ_i的值为1，否则δ_i的值为0。

在高斯过程模型下，先验是高斯分布，可以通过最大化对数似然函数来估计超参数：

其中θ_i＝[a_i0,a_i1,w_is,q_i,ν_i0]。

最大化对数似然函数可以使用对数似然函数对超参数的导数来解决：

可以得到v_i,k+1，

的协方差函数。

动态GP-PLS模型的建立。

GP-DPLS方法与传统PLS方法的根本区别在于使用非线性GP模型而不是线性回归建立动态PLS的内部模型，动态GP-PLS方法通过PLS提取动态过程的特征信息，消除数据的共线性，并减小输入变量的维数，然后针对每个步骤分解获得得分向量，并且通过GP建立输入得分向量t_i和输出得分向量v_i的关系，非线性内部模型提高了内部模型的非线性处理能力。

显然，GP-DPLS方法继承了PLS和GP的优点，即PLS方法的鲁棒性，GP的特征提取和其他非线性处理能力。与使用非线性函数(如神经网络)建立PLS内部模型的其他非线性PLS方法相比，GP-PLS模型中的GP非线性内部模型参数明显更少，参数优化更容易。

步骤二、模型预测控制：

考虑一个单输入单输出的***，***过去的输出轨迹用y_t表示，对***将来的预测值用y_p表示。在离散采样k时刻，***此时的输入值y_k用表示，此时对将来的时刻k+j的***预测值为y_p(k+j|k)。

图1中，L表示预测时域，C表示控制时域，一般C<＝L。此外，图中还有两条轨迹：y_w和

其中

表示***输出的设定值，y_w则表示跟踪轨迹，其意义在于当出现扰动时，***应该按照轨迹y_w最终回到设定轨迹

从这两条轨线的作用可以看出，控制***的最终目的是使***的输出跟踪指定的轨迹

因此

是必须存在的，否则控制***失去了控制优化的意义。

步骤三、在动态PLS框架中，利用GP模型实现多变量MPC滚动优化策略。

在传统的控制器设计当中，控制器的输出通常是离线一次完成，即根据***的模型以及控制目标一次计算，这种控制方法的好处是只需要进行一次计算，便可以得到***在各个时刻的控制量，而模型预测控制则是采用滚动式的优化方法，即在线重复进行。在某个控制周期内，控制器根据控制目标计算这一个周期内的最优控制量，最常见控制目标的是由预测性能的二范数测度的最小值确定的。如果MPC控制器是在原始空间中设计的，典型的目标函数是：

其中

y_k+j和Δu_k+j-1分别是设定点输出、过程输出和输入增量，P是预测时域的长度，而M是控制时域的长度，通过最小化目标函数，可以获得最佳控制动作。

如果MPC是在原空间中设计的，则用上式描述目标函数，使用PLS模型，原始目标函数与潜在可变空间目标函数之间的相关性为：

原始空间中的目标函数略小于潜在变量空间中的目标函数的总和，这意味着可以牺牲潜在可变空间中的控制性能，实际上，因为PLS对***进行降维和解耦，从而对MPC技术的优化产生潜在的影响。

识别出的GP模型可以直接应用于MPC控制器设计，GP模型的预测方差可以提供不确定性信息，对于第i个单回路，本次仿真中所使用的目标函数如下：

其中Δt_i是在每个时刻点，通过最小化性能指标函数求解出来的，这里应用梯度下降法，来让性能指标函数最小，预测的方差考虑到模型不确定性，而优化过程考虑了这种方差信息，从而产生了鲁棒性更好的控制***，具体步骤如下：

其中η为梯度下降法的步长，为了容易理解，这里说明修订后的期望输出与预测输出的差值的表达式：

上面方程中的偏导数项可以扩展如下：

由GP模型可得到如下偏导数：

此外，协方差函数的导数是：

如果

则

得到：

可以得到用梯度下降求解Δt_i的表达式：

最后，对于MPC控制器的相互独立的a个回路，总的目标函数是：

通过估计最小化目标函数的最优控制动作来使输出跟踪设定值，这样可以直接应用于控制过程以实现期望的过程变量，即可实现多变量MPC控制策略。

采用上述控制方法对具体的工业生产进行控制，实验内容及数据如下：

连续搅拌反应釜(CSTR)是实现聚合反应的一种广泛使用的化学反应器，在石油、医药、试剂、食品以及合成材料等工业生产过程中占有相当重要的地位，是过程工业中典型的高度非线性强耦合的化学反应***；为了验证本发明方法的可行性，以下将应用上述方法对CSTR***进行仿真研究。

CSTR特性可由以下连续时间的非线性微分方程组来表示：

式中,C_a为产品的平衡浓度；

T为反应温度；

C_af为进料浓度；

q为物料流量；

T_f和T_cf分别为物料温度和冷却剂温度；

V,p,p_c,hA为化学反应的系数保持常数。

上述一个二输入二输出、严重关联和严重非线性的多变量***。

在实验过程中，对***采样个数100，采样间隔0.1s，作为工业控制***，给***的输出加入高斯噪声以模拟实际情况，离线建立动态的GP-PLS预测模型并进行训练，主元个数为2(由交叉验证得出)，前80个样本点为训练集，后20个样本点为测试集，将GP-PLS预测模型生成的预测值与实际输出值进行对比。在隐空间下建立GP-PLS预测模型之后，分别对第一对潜变量和第二对潜变量进行模型预测控制，预测时域P＝10，控制时域M＝2，实验结果如图3，4，5，6所示。

实验结果表明，对于严重关联的二输入二输出非线性***，GP-PLS预测模型的训练效果较好，这一点从预测方差的值可以看出，方差越小，表明模型的拟合效果越好，即GP模型可以提现模型的置信度，这一点是别的非线性模型没有的特点。

然后在隐空间下分别对两个回路进行MPC控制，再重构回原空间，可以看到，当某一输出的给定变化时，其相应的被控量能很好地跟随其给定值，而对另一被控量来说，仅相当于加入了一个干扰作用，很快被克服并稳定在其给定值上，使CSTR的Ca和T这两个输出都获得良好的控制。预测模型的输出值能很好地跟踪设定值，且与原空间相比，控制器设计更加简单，计算时间更少，在得到较好的预测效果的同时也降低预测模型训练的复杂度。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。