CN110442020B - 一种新型的基于鲸鱼优化算法的容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种新型针对变时滞控制***执行器故障的滑模预测容错控制方法。针对于离散时滞不确定的四旋翼***的容错控制问题，设计了一种基于鲸鱼优化算法的滑模预测容错控制方法。利用全程滑模面作为预测模型，以保证全局鲁棒性，并且设计了一种带有故障补偿的幂次函数参考轨迹，在削弱抖振影响的同时，针对于不确定性和故障起到抑制效果。在滚动优化的过程中，考虑到寻优过程需要高精度快响应，采用鲸鱼优化算法，该算法寻优性能强，参数设置少，收敛速度快，精度高。本发明用于一类含有时变时滞的不确定离散***的鲁棒容错控制。

Description

一种新型的基于鲸鱼优化算法的容错控制方法

技术领域

本发明涉及一种针对变时滞控制***执行器故障设计基于鲸鱼优化算法的滑模预测容错控制方法，属于不确定离散控制***的鲁棒容错控制技术领域。

背景技术

随着科学技术的发展，现今社会很大程度上成为了一个由各种智能器械所驱动的社会。智能器械在长期运行，外部因素影响的情况下常常会发生一系列的故障。为了使得智能体在故障情况下能够安全运行，针对处理故障问题的容错控制技术正在蓬勃发展，并在处理实际问题上有了一些成果。容错控制大致发展为主动容错和被动容错两个方向，在处理执行器和传感器故障方面提出了众多出彩的策略。

四旋翼无人机，已经走进了日常生活，在农业，军工，运输，寻迹跟踪等方面展现了其不可或缺的价值。自动控制领域近年来，对于无人机编队飞行，寻迹避障，故障处理等方面提出了相当多的具有实际效用的控制策略，例如滑模控制，预测控制，自适应控制，滑模预测等等。在研究四旋翼离散***时，由于飞行时易受干扰，***建模时也存在着一定的误差，对控制***的复杂程度和控制策略的设计都有重大的影响。实际上，飞行过程中存在的故障，***中存在着的时间滞后更加剧了控制的难度。

离散控制***的研究已经成为了控制领域的重要组成，针对与离散***的故障诊断与容错控制具有极大的探索价值。在离散***中，滑模控制可以很好的处理***中存在的参数摄动、外部扰动等不确定性因素，并且具有很好的鲁棒性。滑模变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制，这种控制策略与其他控制方法的不同之处在于***可以在动态过程中，根据当前的状态有目的地不断变化，***的滑动模态是可以设计且与***的扰动无关，这使得SMC具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏以及物理实现简单等优势。因而目前在不确定离散***控制中得到了广泛的研究与应用。然而在实际的控制***中，时滞现象普遍存在。当***中出现时滞项时，单纯的滑模控制难以取得很好的控制效果，特别是时间滞后较大时，滑模控制难以满足***对快速性的要求，并且又可能出现失稳现象。然而，预测控制在消除时滞对离散***的影响上又很好的处理效果。预测控制在滚动优化过程中，控制序列的求解是时时刻刻在线进行的，不断的求解优化问题，这也是滚动优化的含义。也正因如此，滚动优化可以使得实际控制保持最优，进而，时滞问题可以得到很好的处理，降低其对***的影响。所以，本发明将滑模控制与预测控制的优势相结合，针对于时滞离散不确定性***设计滑模预测算法，充分利用滑模控制处理解决***的参数摄动和外部干扰，利用模型预测控制避免时滞的影响，进一步优化控制效果。

目前，对于滑模预测算法的研究越来越多，各种新颖的控制策略不断提出，但是，在处理时变时滞这类问题上很少进行深入研究和分析。

发明内容

发明目的：针对上述已有的处理方案，提出了一种针对于含有故障项的离散时滞不确定的四旋翼***的控制问题，设计了基于鲸鱼优化算法的滑模预测容错控制方法。利用全程滑模面作为预测模型，以保证全局鲁棒性，并且设计了一种带有故障补偿的幂次函数参考轨迹，在削弱抖振影响的同时，针对于不确定性和故障起到抑制效果。在滚动优化的过程中，考虑到寻优过程需要高精度快响应，采用鲸鱼优化算法，该算法寻优性能强，参数设置少，收敛速度快，精度高。从而使得带有执行器故障情况下的时变时滞不确定离散***保持鲁棒稳定，并且在快速性和准确性上获得很好的效果。

技术方案：一种针对变时滞控制***执行器故障的滑模预测容错控制方法，根据***的状态设计滑模预测模型，该模型为全程滑模切换函数，避免趋近过程失稳，保证了全局的鲁棒性；考虑时滞***同时受到内部参数摄动和外部扰动的影响，设计了带有故障和不确定性补偿的幂次函数参考轨迹，更大程度的削弱抖振的同时，又保证了收敛速度；在滚动优化问题上设计了鲸鱼优化算法进行寻优，相较于粒子群优化算法，该算法具有更快的收敛速度，更精确的求解精度，更少更简易的参数设置。针对一类含有时变时滞的不确定离散***的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确立离散***模型：

步骤1.1)ΔA，ΔB，ΔA_d分别为***的参数摄动，x(k)∈Rⁿ，u(k)∈R^p，y(k)∈R^q，分别为***的状态，输入，输出，w(k)∈Rⁿ为外部干扰，f(k)为故障函数，τ(k)为不确定时变时滞，但有其上下界[τ_l，τ_u]，A，B，C，E，A_d为适当维数的矩阵

步骤1.2)将***(1)改写为式(2)，其中，d(k)＝ΔAx(k)+ΔBu(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+v(k)+Ef(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；

步骤2)滑模预测模型设计：

步骤2.1)设计全程滑模切换函数，使***状态轨迹的初始状态就位于切换面上，消除了线性滑模面趋近过程，保障了***的全局鲁棒性；其中y(k)为***的实际输出，σ可以通过极点配置法则求解，x₀为***初始状态，y₀为初始状态时的输出，s(0)＝0，初始时刻***状态轨迹就位于切换面，省去了趋近过程；

s(k)＝σy(k)-α^kσy₀＝σCx(k)-α^kσCx₀ (3)

步骤2.2)k+1时刻滑模预测模型为(4)；

s(k+1)＝σCx(k+1)-α^k+1σCx₀ (4)

步骤2.3)根据标称***x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到滑模预测模型在(k+P)时刻的预测输出(5)及其向量表示(6)；

S_PM(k)＝ΩX(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)-ГX₀ (6)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P，控制量u(k+j)在M-1≤j≤P时保持u(k+M-1)不变，

S_PM(k)＝[s(k+1)，...，s(k+p)]^T

X(k)＝[x(k+1)，...，x(k+p)]^T

X₀＝[x₀，...，x₀]^T

U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(k+M-1)]^T

Ω＝[(σCA)^T，...，(σCA^p)^T]^T

Γ＝[α^k，α^k+1，...，α^k+P]^T

步骤3)参考轨迹设计：

步骤3.1)滑模预测控制中，参考轨迹的选取可以根据滑模趋近律构造，从而如何减小避免抖振的影响成为了选取时需要慎重考虑的问题；鉴于幂次函数在削弱抖振中的巨大作用，采用幂次函数作为参考轨迹，同时考虑到故障和不确定性的影响，在参考轨迹中嵌入了干扰抑制手段，最大限度地弥补故障和不确定性，设计如式(7)的参考轨迹：

其中

sgn()表示为符号函数，各参数的取值范围如下，0＜β＜1，0＜δ＜1，

补偿函数表示为：

定义ξ(k)为***的故障和不确定性函数，ξ_U为ξ(k)的上界，ξ_L为ξ(k)的下界；

步骤3.2)式(8)表示为通过一步延迟估计法近似求得

可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(9)；

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (9)

步骤4)反馈校正设计：

步骤4.1)预测模型(10)表示k时刻之前p步对k时刻的预测输出，式(11)表示为k时刻实际输出与预测输出之间的误差；

e(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

步骤4.2)将式(11)所表示的误差作为校正加入到滑模预测模型中，可以得到P步预测输出及其向量形式分别为(12)，(13)；

其中，

j_p作为校正系数，随着预测步骤的递增，校正系数依次递减，j₁＝1，j₁＞j₂＞...＞j_p＞0；

步骤5)优化性能指标设计：

步骤5.1)设计优化性能指标如式(14)，其中λ_i为非负权系数，表示采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为正的权系数，用于约束控制输入；

步骤5.2)将优化性能指标表示为向量形式(15)；

其中，

步骤6)鲸鱼优化算法求解控制律

步骤6.1)取优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ，初始化鲸鱼种群，初始化各个参数

l，ρ。其中，

和

为系数向量，分别表示摆动因子和收敛因子，

随着迭代次数的增加从2线性递减到0，l为[-1，1]之间的随机数，常数ρ∈[0，1]且为均匀分布产生的随机数，且

和

可由如下公式计算得出；

其中，

为[0，1]之间的随机数；

步骤6.2)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取如下迭代公式计算最优值；

其中，

为个体与目标猎物之间的距离，当前迭代次数为t，

为迭代t次时的最优解的位置，

为t次迭代的鲸鱼个***置向量。

步骤6.3)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取随机搜寻的方法搜寻最优解，随机选择一个个体鲸鱼位置

并按照公式(18)进行寻优；

步骤6.4)当参数ρ＞0.5，鲸鱼优化算法采取bubble-net的寻优方式进行寻优，按照如下公式进行迭代；

步骤6.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。

有益效果：针对于含有故障项的离散时滞不确定的四旋翼***的控制问题，设计了基于鲸鱼优化算法的滑模预测容错控制方法。利用全程滑模面作为预测模型，以保证全局鲁棒性，并且设计了一种带有故障补偿的幂次函数参考轨迹，在削弱抖振影响的同时，针对于不确定性和故障起到抑制效果。在滚动优化的过程中，考虑到寻优过程需要高精度快响应，采用鲸鱼优化算法，该算法寻优性能强，参数设置少，收敛速度快，精度高。从而使得带有执行器故障情况下的时变时滞不确定离散***保持鲁棒稳定，并且在快速性和准确性上获得很好的效果。具有如下具体优点：

①根据***状态，设计全局滑模切换作为***的滑模预测模型，该模型具有时变特征，避免趋近过程失稳，保证了全局的鲁棒性，能够动态改善***的运动品质；

②考虑到离散时滞***带有的时滞问题和不确定性，设计了一种带有故障补偿的幂次函数参考轨迹，在削弱抖振影响的同时，针对于不确定性和故障起到抑制效果；

③利用鲸鱼算法改进的滚动优化过程，相较于传统的求导法和一般的优化，其求解速度和收敛精度都有很大的优势，并且其还具有参数设计少，操作简单的优势。

本发明所提方法作为一种针对含有时变状态时滞、执行器故障、***参数摄动和扰动的离散***的鲁棒容错控制方法，具有一定的实用价值，实现简易，实时性好，精确性高，能够有效提高控制***安全性且可操作性强，节省时间，效率更高，可广泛应用于不确定离散控制***的执行器故障容错控制中。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是Quanser公司研制的用以研究四旋翼直升机控制的实验装置Qball-X4四旋翼直升机；

图3是Qball-X4四旋翼直升机X轴位置曲线图；

图4是Qball-X4四旋翼直升机执行器动态曲线图；

图5是控制律曲线图；

图6是部分放大的控制律曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示考虑到一般滑模算法设计的线性滑模面存在趋近过程，而趋近过程易出现失稳现象，针对此情况在滑模预测模型方面设计全程滑模切换函数，避免趋近过程失稳，保证了全局的鲁棒性。考虑***存在故障，干扰和时滞等诸多影响***控制性能的因素，设计了带有故障和不确定性补偿的幂次函数参考轨迹，而设计幂次函数参考轨迹是考虑到更大程度的削弱滑模自带的抖振问题。在滚动优化问题上设计了鲸鱼优化算法进行寻优，该算法参数设置少，求解方便，又能快速精准的求解出控制律，相较于粒子群优化算法，该算法具有更快的收敛速度，更精确的求解精度。针对一类含有时变时滞的不确定离散***的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确立离散***模型：

步骤1.1)ΔA，ΔB，ΔA_d分别为***的参数摄动，x(k)∈Rⁿ，u(k)∈R^p，y(k)∈R^q，分别为***的状态，输入，输出，w(k)∈Rⁿ为外部干扰，f(k)为故障函数，τ(k)为不确定时变时滞，但有其上下界[τ_l，τ_u]，A，B，C，E，A_d为适当维数的矩阵

步骤1.2)将***(1)改写为式(2)，其中，d(k)＝ΔAx(k)+ΔBu(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+v(k)+Ef(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；

步骤2)滑模预测模型设计：

步骤2.1)设计全程滑模切换函数，使***状态轨迹的初始状态就位于切换面上，消除了线性滑模面趋近过程，保障了***的全局鲁棒性；其中y(k)为***的实际输出，σ可以通过极点配置法则求解，x₀为***初始状态，y₀为初始状态时的输出。s(0)＝0，初始时刻***状态轨迹就位于切换面，省去了趋近过程；

s(k)＝σy(k)-α^kσy₀＝σCx(k)-α^kσCx₀ (3)

步骤2.2)k+1时刻滑模预测模型为(4)；

s(k+1)＝σCx(k+1)-α^k+1σCx₀ (4)

步骤2.3)根据标称***x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到滑模预测模型在(k+P)时刻的预测输出(5)及其向量表示(6)；

S_PM(k)＝ΩX(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)-ΓX₀ (6)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P，控制量u(k+j)在M-1≤j≤P时保持u(k+M-1)不变，

S_PM(k)＝[s(k+1)，...，s(k+p)]^T

X(k)＝[x(k+1)，...，x(k+p)]^T

X₀＝[x₀，...，x₀]^T

U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(k+M-1)]^T

Ω＝[(σCA)^T，...，(σCA^P)^T]^T

Γ＝[α^k，α^k+1，...，α^k+P]^T

步骤3)参考轨迹设计：

步骤3.1)滑模预测控制中，参考轨迹的选取可以根据滑模趋近率构造，从而如何减小避免抖振的影响成为了选取时需要慎重考虑的问题。鉴于幂次函数在削弱抖振中的巨大作用，采用幂次函数作为参考轨迹，同时考虑到故障和不确定性的影响，在参考轨迹中嵌入了干扰抑制手段，最大限度地弥补故障和不确定性.设计如式(7)的参考轨迹：

其中

sgn()表示为符号函数。各参数的取值范围如下，0＜β＜1，0＜δ＜1，

补偿函数表示为：

定义ξ(k)为***的故障和不确定性函数，ξ_U为ξ(k)的上界，ξ_L为ξ(k)的下界；

步骤3.2)式(8)表示为通过一步延迟估计法近似求得

可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(9)；

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (9)

步骤4)反馈校正设计：

步骤4.1)预测模型(10)表示k时刻之前p步对k时刻的预测输出，式(11)表示为k时刻实际输出与预测输出之间的误差；

e(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

步骤4.2)将式(11)所表示的误差作为校正加入到滑模预测模型中，可以得到P步预测输出及其向量形式分别为(12)，(13)；

其中，

j_p作为校正系数，随着预测步骤的递增，校正系数依次递减，j₁＝1，j₁＞j₂＞...＞j_p＞0；

步骤5)优化性能指标设计：

步骤5.1)设计优化性能指标如式(14)，其中λ_i为非负权系数，表示采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为正的权系数，用于约束控制输入；

步骤5.2)将优化性能指标表示为向量形式(15)；

其中，

步骤6)鲸鱼优化算法求解控制律

步骤6.1)取优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ，初始化鲸鱼种群，初始化各个参数

l，ρ。其中，

和

为系数向量，分别表示摆动因子和收敛因子，

随着迭代次数的增加从2线性递减到0，l为[-1，1]之间的随机数，常数ρ∈[0，1]且为均匀分布产生的随机数，且

和

可由如下公式计算得出；

其中，

为[0，1]之间的随机数。

步骤6.2)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取如下迭代公式计算最优值；

其中，

为个体与目标猎物之间的距离，当前迭代次数为t，

为迭代t次时的最优解的位置，

为t次迭代的鲸鱼个***置向量；

步骤6.3)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取随机搜寻的方法搜寻最优解，随机选择一个个体鲸鱼位置

并按照公式(18)进行寻优；

步骤6.4)当参数ρ＞0.5，鲸鱼优化算法采取bubble-net的寻优方式进行寻优，按照如下公式进行迭代；

步骤6.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。

采用由加拿大Quanser公司研制的Qball-X4四旋翼直升机飞行控制***执行器作为应用研究对象。Qball-X4实验主体如图2。Qball-X4四旋翼直升机，***存在六维度变量即(X，Y，Z，ψ，θ，φ)，其中X，Y，Z为位置变量，ψ为偏航角，θ为俯仰角，φ为滚转角。本案例仿真选择X轴前进方向通道信号作为研究对象。

首先，为了方便建立模型对Q-ball做出如下假设：

(1)四旋翼飞行器整体视为不会发生弹性形变的刚体，可以使用牛顿-欧拉公式；

(2)机体结构几何对称、质量分布均匀，机体的质心正好在机体坐标系的原点上，且与重心重合；

(3)整个飞行实验中，由于地面对四旋翼的影响微乎其微，故忽略空气摩擦、陀螺效应以及空气阻力扭矩等；

(4)忽略地球曲率对四旋翼飞行运动的影响，假设重力加速度保持不变，将地面坐标系视为惯性坐标系；

(5)四旋翼在做线运动时，机体姿态角(偏航ψ，俯仰θ，滚转φ)的变化不超过±5°。

四旋翼直升机动力来源于四个旋翼旋转所产生的推力，改变四个旋翼的转速，即改变了四旋翼的飞行状态，推力模型如下所示：

其中F_i为旋翼推力，K为正值增益，ω为执行器带宽，u_i为执行器输入。

飞行器沿X方向飞行时，偏航角ψ为0，滚转角φ很小可以近似为0，则X方向位置的动态模型可以简化为：

其中m为机体总质量，θ为俯仰角，

为X方向加速度，F为升力。

执行器动态v_i：

在X轴位置控制模型中，俯仰角θ是与其相耦合的，整体的控制可以分为两个阶段，一个是俯仰角控制阶段，等俯仰角控制到预设值之后，就进入第二阶段——位置控制阶段。在位置到达设定位置时，通过俯仰角控制通道将俯仰角θ归零。在θ较小的情况下，通过线性化得到在不含外界扰动、参数摄动以及时变时滞的理想情况下的X轴方向的模型为：

假设在X轴位置控制阶段，俯仰角已经定在2°≈0.035rad，考虑外界扰动、参数摄动、网络延迟及执行器故障，引入执行器动态相关的扰动、摄动、时滞与故障，***(1)中各矩阵的取值如下：

C＝[1 0 0]，

ΔA＝0.1A，ΔB＝0.1B，ΔA_d＝0.1A_d，x(0)＝[1 1 1]^T，f(k)＝1.5+[0.3sin(6k) 0 0.2sin(2k)]x(k)，w(k)中的元素取均值为零的高斯白噪声，滑模面系数矩阵σ取为σ＝[1 1 1]。鲸鱼优化算法参数设置，种群规模取30，最大迭代次数取50次，常数b＝1，

初值取2，终值取0。优化时域P应当覆盖被控对象动态影响的主要部分，所以本案例仿真选择兼顾快速性和稳定性的预测时域P＝4，仿真控制时域选为M＝2。仿真时域取k＝500，其中，机体参数取值为K＝120N，ω＝15rad/s，M＝1.4kg。控制输入PWM可能带来的时滞，以及进而影响到垂直方向加速度动态而产生的时滞。由于时滞大小是不确定的，本案例仿真时变时滞取[0，5]之间的随机整数。

此案例仿真结果表明，本发明所设计的基于鲸鱼优化算法的滑模预测容错控制算法在处理带有时滞和带有执行器故障的离散不确定***具有很强的鲁棒性，并且同时具有快速性和收敛的精确性。与一般传统的处理时滞离散不确定性***的算法相比，四旋翼直升机机体在本案例仿真所设计的控制方法的作用下，由图3-图4，可以清楚的得到，位置曲线，执行器动态曲线，更为平缓，并且收敛的速度有明显的提升，表明飞行过程更为平滑，且更快速到达预定的位置。同时，控制律收敛后，虽然依然存在一定的抖振抖振明显减小，抖振的幅值有明显的降低，如图6。总体而言，对于含有参数摄动、外部扰动和时变时滞的执行器故障***，本案例仿真的控制方法是行之有效的。

Claims (1)

1.一种新型针对变时滞控制***执行器故障的滑模预测容错控制方法，其特点在于：考虑到一般滑模算法设计的线性滑模面存在趋近过程，而趋近过程易出现失稳现象，针对此情况在滑模预测模型方面设计全程滑模切换函数，避免趋近过程失稳，保证了全局的鲁棒性,考虑***存在故障，干扰和时滞等诸多影响***控制性能的因素，设计了带有故障和不确定性补偿的幂次函数参考轨迹，而设计幂次函数参考轨迹是考虑到更大程度的削弱滑模自带的抖振问题,在滚动优化问题上设计了鲸鱼优化算法进行寻优，该算法参数设置少，求解方便，又能快速精准的求解出控制律，相较于粒子群优化算法，该算法具有更快的收敛速度，更精确的求解精度,针对一类含有时变时滞的不确定离散***的鲁棒容错控制，包括如下具体步骤：

步骤1)确立离散***模型：

步骤1.1)ΔA，ΔB，ΔA_d分别为***的参数摄动，x(k)∈Rⁿ，u(k)∈R^p，y(k)∈R^q，分别为***的状态，输入，输出；w(k)∈Rⁿ为外部干扰，f(k)为故障函数，τ(k)为不确定时变时滞，但有其上下界[τ_l，τ_u]。A，B，C，E，A_d为适当维数的矩阵

步骤1.2)将***(1)改写为式(2)，其中，d(k)＝ΔAx(k)+ΔBu(k)+ΔA_dx(k-τ(k))+v(k)+Ef(k)，并且d(k)满足|d(k)-d(k-1)|≤d₀和d_L≤|d(k)|≤d_U；

步骤2)滑模预测模型设计：

步骤2.1)设计全程滑模切换函数，使***状态轨迹的初始状态就位于切换面上，消除了线性滑模面趋近过程，保障了***的全局鲁棒性；其中y(k)为***的实际输出，σ可以通过极点配置法则求解，x₀为***初始状态，y₀为初始状态时的输出，s(0)＝0，初始时刻***状态轨迹就位于切换面，省去了趋近过程,

s(k)＝σy(k)-α^kσy₀＝σCx(k)-α^kσCx₀ (3)

步骤2.2)k+1时刻滑模预测模型为(4)；

s(k+1)＝σCx(k+1)-α^k+1σCx₀ (4)

步骤2.3)根据标称***x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+A_dx(k-τ(k))可以得到滑模预测模型在(k+P)时刻的预测输出(5)及其向量表示(6)；

S_PM(k)＝ΩX(k)+ΞU(k)+ΨX_d(k)-ΓX₀ (6)

其中，P为预测时域，M为控制时域，且满足M≤P，控制量u(k+j)在M-1≤j≤P时保持u(k+M-1)不变，

S_PM(k)＝[s(k+1)，...，s(k+p)]^T

X(k)＝[x(k+1)，...，x(k+p)]^T

X₀＝[x₀，...，x₀]^T

U(k)＝[u(k)，u(k+1)，...，u(k+M-1)]^T

Ω＝[(σCA)^T，...，(σCA^P)^T]^T

Γ＝[α^k，α^k+1，...，α^k+P]^T

步骤3)参考轨迹设计：

步骤3.1)滑模预测控制中，参考轨迹的选取可以根据滑模趋近率构造，从而如何减小避免抖振的影响成为了选取时需要慎重考虑的问题；鉴于幂次函数在削弱抖振中的巨大作用，采用幂次函数作为参考轨迹，同时考虑到故障和不确定性的影响，在参考轨迹中嵌入了干扰抑制手段，最大限度地弥补故障和不确定性.设计如式(7)的参考轨迹：

其中

sgn( )表示为符号函数，各参数的取值范围如下，0＜β＜1，0＜δ＜1，

补偿函数表示为：

定义ξ(k)为***的故障和不确定性函数，ξ_U为ξ(k)的上界，ξ_L为ξ(k)的下界；

步骤3.2)式(8)表示为通过一步延迟估计法近似求得

可以在d(k)未知的情况下完成对s_ref(k+1)的求解，s_ref(k+1)的向量形式满足(9)；

S_ref(k)＝[s_ref(k+1)，s_ref(k+2)，...，s_ref(k+P)]^T (9)

步骤4)反馈校正设计：

步骤4.1)预测模型(10)表示k时刻之前p步对k时刻的预测输出，式(11)表示为k时刻实际输出与预测输出之间的误差；

e(k)＝s(k)-s(k|k-P) (11)

步骤4.2)将式(11)所表示的误差作为校正加入到滑模预测模型中，可以得到P步预测输出及其向量形式分别为(12)，(13)；

其中，

j_p作为校正系数，随着预测步骤的递增，校正系数依次递减，j₁＝1，j₁＞j₂＞…＞j_p＞0；

步骤5)优化性能指标设计：

步骤5.1)设计优化性能指标如式(14)，其中λ₁为非负权系数，表示采样时刻误差在性能指标中所占的比重；γ_l为正的权系数，用于约束控制输入；

步骤5.2)将优化性能指标表示为向量形式(15)；

其中，

步骤6)鲸鱼优化算法求解控制律：

步骤6.1)取优化性能指标J(k)作为适应值函数Ψ，初始化鲸鱼种群，初始化各个参数

l，ρ；其中，

和

为系数向量，分别表示摆动因子和收敛因子，

随着迭代次数的增加从2线性递减到0，l为[-1，1]之间的随机数，常数ρ∈[0，1]且为均匀分布产生的随机数，且

和

可由如下公式计算得出；

其中，

为[0，1]之间的随机数；

步骤6.2)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取如下迭代公式计算最优值；

其中，

为个体与目标猎物之间的距离，当前迭代次数为t，

为迭代t次时的最优解的位置，

为t次迭代的鲸鱼个***置向量；

步骤6.3)当参数ρ＜0.5，并且

时，鲸鱼优化算法采取随机搜寻的方法搜寻最优解，随机选择一个个体鲸鱼位置

并按照公式(18)进行寻优；

步骤6.4)当参数ρ＞0.5，鲸鱼优化算法采取bubble-net的寻优方式进行寻优，按照如下公式进行迭代；

步骤6.5)当达到最大迭代次数时，寻优结束，实施当前控制量，并令k+1→k返回步骤2)。

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