CN110082730B - 一种离散相位的mimo雷达波形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，该方法考虑了离散相位的场景，针对基于离散相位的MIMO雷达波形优化问题重新建模，并结合平面几何的基本理论，分析并设定离散相位的星座图，结合恒模约束和相似度约束，讨论该条件下优化变量的可行域，并引入凸包和凸包优化的相关理论，从而更好的解决离散相位的波形设计问题；相比于目前能够求解离散相位优化问题的SDR方法，采用本发明所获得的优化波形具有更高的SINR等性能。

Description

一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理领域，具体涉及一种离散相位的MIMO(Multiple inputmultiple output，多输入多输出)雷达波形设计方法。

背景技术

MIMO雷达是在MIMO理论、空时域编码理论应用于通信***并取得了重大突破的启示下被提出来的。此后，MIMO雷达就引起了全球学术界和工业界的高度关注和广泛研究，并在国际会议和权威期刊上涌现出大量高水平的研究成果。

与传统雷达***一样，MIMO雷达的发射波形对于MIMO雷达***的性能同样至关重要。因此，如何设计更加优良的发射波形，成为MIMO雷达信号处理的一项关键问题。对于MIMO雷达波形设计，由于其特殊的***结构和对信号进行集中处理的方式，为方便接收端的匹配滤波器对各通道的回波信号进行分离，通常设计具有正交特性的波形信号集。除此之外，为了提高MIMO雷达在复杂环境中的适应能力，还可以在波形设计时利用特定场景中目标和杂波的先验统计信息，以此来应对环境和目标的动态变化，并进而发展成为MIMO雷达的自适应波形设计技术。

在高斯白噪声的背景下，雷达的目标检测概率与接收机输出的SINR(Signal toInterference plus Noise Ratio，信干噪比)成正比，因此输出SINR是衡量雷达***性能的重要指标。以最大化输出SINR为优化准则，从而对MIMO雷达发射波形进行设计也成为一个重要的研究方向。在解决这些优化问题时，凸优化仍然是当今学术界的主流。考虑到恒模(Constant Modulus Constraint，CMC)及波形相似度(Similarity Constraint，SC)的约束条件，该优化问题成为一个无法在多项式时间内求解的NP(Non-DeterministicPolynomial)问题。而传统的半正定松弛(Semidefinite Relaxation，SDR)方法由于随机性的限制，导致只能求得局部最优解，并且求解过程往往时间开销巨大。此后，研究人员在研究彩色高斯噪声中带PAPR(Peak to Average Power Ratio，峰值平均功率比)和能量约束的MIMO雷达波形设计问题时，便基于SDR和随机化技术，分别为连续和离散相位两种情形提供了具有多项式时间计算复杂度的高质量次优解。随后，研究人员又考虑了杂波干扰和高斯白噪声同时存在的条件下，针对CMC和SC的MIMO雷达连续相位波形设计，提出了基于SDR的序列优化算法(Sequential Optimization Algorithm，SOA)，通过重复迭代并固定目标函数的策略，从而达到近似非线性目标函数的目的，最后获得了具有较高精度的解。针对该优化问题，此后又有学者开发了一种新的分析方法——序贯QCQP精细化方法(SuccessiveQCQP Refinement，SQR)，即将原非凸的优化问题，转换为一系列的凸QCQP(QuadraticallyConstrained Quadratic Programing)子问题，并迭代求解这些子问题，最终获得的最优波形比SOA算法具有更高的输出SINR和更佳的波速图样。

然而，目前针对该问题所提出的方法，大多数都是基于雷达能够发射任意相位波形的假设。实际工程中由于所使用的数字移相器只能提供量化的离散相位，导致上述波形设计方法在工程应用中不可避免出现相位误差，从而影响接收机输出SINR等性能。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，相比于目前能够求解离散相位优化问题的SDR方法，采用本发明方法所获得的优化波形具有更高的信干噪比。

实现本发明的技术方案如下：

一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，包括以下步骤：

步骤1：在恒模约束和相似度约束的条件下，以接收端输出信号SINR的表达式x^HΦ(x)x为目标函数，构造最大化SINR的连续波形优化问题模型；

步骤2、基于上述优化问题模型，对连续相位发射波形x的相位进行量化，记作q，得到离散相位的优化问题，在仅有恒模约束的条件下，针对q的任一维度，预设雷达发射波形在该维度复平面上的相位星座图；

步骤3、在所述相位星座图上叠加相似度约束，并结合平面几何的基础理论，得到该离散相位优化问题在任一复平面相位星座图中可行点集合Γ_η(k)；

步骤4、针对任一复平面，结合凸包理论依次连接复平面上的可行点，得到该复平面可行点集合的凸包，最终对所有复平面的凸包取并集；

步骤5、针对目标函数中的二次型矩阵Φ(x)，为x赋值，从而将Φ(x)固定为Φ，得到简化后的目标函数x^HΦx，并以所有复平面凸包的并集作为约束条件求解该二次规划问题，所得解记作x_opt，其第k维变量记作x_opt(k)；

步骤6、在每一维度复平面上，将可行点集合Γ_η(k)中与x_opt(k)欧氏距离最近的点记作q^*(k)，进而求得离散相位优化问题的解q^*；

步骤7、循环步骤5-6的操作，每次循环都将当前求得的q^*作为下一次循环中Φ(x)中x的值，直至q^*HΦq^*收敛，将当前的q^*作为离散相位的优化波形输出。

进一步地，雷达发射波形在任一维度复平面上的相位星座图具有Ω个均匀分布的相位星座点。

进一步地，相位星座点q_ρ在复平面上的位置为：

其中，ρ＝1,2,…,Ω，τ＝2π/Ω，N_T为发射天线数量，N为每根天线辐射的信号长度。

进一步地，可行点集合Γ_η(k)的数学表达式为：

Γ_η(k)＝{p₁(k),...,p_η/2+1(k),...,p_η+1(k)}

其中，

μ＝1,...,η+1，η表示离散波形q和离散参考波形q₀之间的相似范围，γ_k表示p₁(k)在复平面上的弧度，k表示相位星座图的维度，N_T为发射天线数量，N为每根天线辐射的信号长度。

有益效果：

1、本发明方法通过为变量赋值简化了目标函数，并在每次迭代中基于预先设定的离散相位星座图，推导出迭代问题的可行点集合及其凸包的数学表达式，并将离散问题近似为连续的二次规划问题，再将连续问题的解依据最短欧氏距离原则映射到可行点集合中，进而获得优化波形。通过本方法所设计的离散相位发射波形，相比于传统的SDR方法，具有更佳的输出SINR和干扰抑制性能。

2、本发明基于星座点均匀分布的相位星座图，引入正偶数η来表征优化波形q和离散的参考波形q₀之间的相似程度，以便统一表达相位星座图中参考波形q₀顺时针和逆时针两个方向上与之相似的各η/2个星座点。

3、本发明基于所有可行点集合的凸包，将离散优化问题近似为连续的二次规划问题，该连续优化问题属于常规问题，因此更加容易求解。

4、本发明基于最短欧氏距离原则将连续问题的解映射到可行点集合，从而获得近似解，结果表明该近似解效能表现优良。

附图说明

图1是当Ω＝32时任意第k维空间中复平面

上的相位星座图。

图2是当Ω＝32，η＝12时任意第k维空间中复平面

上的可行点及其凸包示意图，其中连接所有可行点，围成阴影部分所示的区域即为对应的凸包。x_opt(k)为QP问题在该维度上的解。

图3(a)是Ω＝32、η＝6时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的接收机输出SINR；图3(b)是Ω＝32、η＝6时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的波速图样。

图4(a)是Ω＝32、η＝12时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的接收机输出SINR；图4(b)是Ω＝32、η＝12时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的波速图样。

图5(a)是Ω＝32、η＝18时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的波速图样；图5(b)是Ω＝32、η＝18时通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的接收机输出SINR。

图6本发明方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，该方法考虑离散相位的场景，针对基于离散相位的MIMO雷达波形优化问题重新建模，并结合平面几何的基本理论，分析并设定离散相位的星座图。结合恒模约束和相似度约束，讨论该条件下优化变量的可行域，并引入凸包和凸包优化的相关理论，从而更好的解决离散相位的波形设计问题。相比于目前能够求解离散相位优化问题的SDR方法，采用本发明所获得的优化波形具有更高的SINR等性能。

如图6所示，本发明方法的具体步骤如下：

步骤1：以最大化SINR为设计准则，推导接收端输出SINR的数学表达式，以该表达式作为优化问题的目标函数，同时考虑恒模及相似度的约束条件，进而构造该优化问题的模型：

设MIMO雷达的收发阵列都是均匀线性阵列，且天线之间的距离为雷达波长的一半。发射天线数量为N_T，接收天线数量为N_R，每根天线辐射的信号长度为N。则发射信号矩阵可以表示为：

其中，矩阵X的第n列可以看作N_T根发射天线的第n个采样信号，记作矢量x(n)，其中n＝1,...,N，并令x＝[x^T(1),x^T(2),…,x^T(N)]^T。

考虑同时存在与回波信号无关的干扰源和加性高斯白噪声的场景。不失一般性，假设在接收端配置有限脉冲响应(Finite Impulse Response，FIR)的匹配滤波器w，则接收端的输出信号可表示为：

其中，α₀和α_m分别代表目标回波信号和第m个干扰源的功率，M表示干扰源的数量；v表示均值为0、协方差矩阵为

的循环复高斯白噪声矢量；(·)^H表示矩阵的共轭转置。

为导向矩阵，其中I_N为N×N的单位矩阵，发射导向矢量a_t和接收导向矢量a_r分别为：

因此输出信号的SINR可表示为：

其中，信噪比

E[·]表示期望；

第m个干扰信号的干噪比

再考虑恒模及相似度约束条件，若记参考波形为x₀，则该优化问题可以表示为：

arg x(k)∈[γ_k,γ_k+δ]

其中，第一项约束表示归一化的恒模约束，第二项约束表示相似度约束。并且γ_k＝arg x₀(k)-arccos(1-ε²/2)，δ＝2arccos(1-ε²/2)，其中ε表示相似度约束参数，即||x-x₀||_∞≤ε，其中||x||_∞表示x的无穷范数，且ε的取值范围是0≤ε≤2。特别地，当ε＝0时，所设计波形即为参考波形；当ε＝2时，相似度约束将不存在，此时只有恒模约束。通过一系列的数学运算，上述优化问题又可以转换为如下一元优化问题：

arg x(k)∈[γ_k,γ_k+δ]

步骤2：基于1的优化问题，考虑量化后的离散相位，进而获得离散相位的优化问题，同时在仅考虑恒模约束的条件下，预设雷达发射波形的相位星座图，该相位星座图具有Ω个均匀分布的相位星座点：

假设列向量

为x的相位的量化，是具有离散相位的雷达发射波形，q(k)的第k个元素。那么上述连续相位的波形优化问题就可以量化为如下离散相位的优化问题：

其中，

表示N_TN维所有离散相位可行点的集合。

考虑上述优化问题的一种极端情况——只有恒模约束，没有相似度约束。则原连续相位发射波形x的任意第k维变量在复平面

上的可行域为整个圆周。对于离散相位的情况，我们在该圆周上构建具有Ω个点的相位星座图(即点q₁,...,q_ρ,...,q_Ω)，且任意相邻两点之间所对应的相位差都等于：τ＝2π/Ω。如图1所示，每个星座点在

上的位置可表示为：

其中，ρ＝1,2,…,Ω。这个星座图中的Ω个点也就是离散相位波形第k维变量q(k)的可行点，为方便表示，我们将其记作：

近一步地，我们将N_TN维的相位星座图的集合记作：

其中，⊙表示笛卡尔积。显然有q∈Λ_Ω，q(k)∈Γ_Ω。

步骤3：在满足恒模约束的相位星座图的基础上，叠加相似度约束，并结合平面几何的基础理论，推导出该离散优化问题在相位星座图中可行点集合的数学表达式：

为方便描述，我们引入一个正偶数η来表征优化波形q和离散的参考波形q₀之间的相似程度。并记：

γ_k＝arg q₀(k)-ητ/2，

其中，q₀(k)表示q₀的第k个元素；η表示第k维相位星座图上紧邻q₀(k)的可行点个数，显然η＜Ω；

表示所有可行点在圆周上张开的弧度，那么实际的相似度约束参数为：

因此，该η+1个可行点的集合可以通过枚举的方式给出：

Γ_η(k)＝{p₁(k),...,p_η/2+1(k),...,p_η+1(k)}

其中，p₁(k)在复平面上的弧度即为γ_k，p_η/2+1(k)即为q₀(k)，p_η+1(k)是p₁(k)关于q₀(k)的镜像。注意到上述可行点都位于相位星座图上，即

因此上述可行点的数学表达式可写为：

其中，μ＝1,...,η+1。更近一步地，我们将N_TN维的离散可行点的集合记作：

Λ_η＝Γ_η(1)⊙…⊙Γ_η(k)⊙…⊙Γ_η(N_TN)

显然有

特别地，当只考虑恒模约束时，η＝Ω，则Λ_η＝Λ_Ω。

步骤4：引入凸包的概念，并推导4中可行点集合的凸包的数学表达式，最后对所有复平面的凸包取并集；

依次连接任意第k维空间中相邻的可行点，即可得到可行点集合Γ_η(k)的凸包，并记作H_η(k)，如图2所示。下面我们将给出第k维凸包H_η(k)的数学表达式，为方便表示，我们将省略维数下标k。对于凸包H_η(k)的η+1条边界，现将每条边界所在的直线分别记作：

(L₁:p₁p₂),...,(L_μ:p_μp_μ+1),...,(L_η:p_ηp_η+1),(L_η+1:p_η+1p₁)。

令线段p_ηp_η+1的中点为m_μ＝(p_μ+p_μ+1)/2,μ＝1,...,η，根据平面几何理论，对于复平面上任意给定一点

则直线L_μ的方程可表示为：

其中，μ＝1,...,η。特别地，对于第η+1条边界p_η+1p₁，令其中点为：

m_η+1＝(p_η+1+p₁)/²。

则其所对应的直线方程为：

依据上述η+1条边界所在的直线方程，凸包H_η(k)所代表的区域可以分两种情况表示如下：

a)如果

即0≤η＜Ω/2，则H_η(k)为：

b)如果

即Ω/2≤η≤Ω，则H_η(k)为：

其中，直线方程取等表示凸包所在的区域包含直线上的点。

对N_TN维空间中所有凸包取并集：Δ＝H_η(1)⊙…⊙H_η(k)⊙…⊙H_η(N_TN)。

步骤5：针对步骤1中优化问题的二次型矩阵Φ(x)关于x的非线性，取定x，从而获得固定的Φ＝Φ(x)，达到简化近似目标函数的效果：

基于步骤4将上述离散的可行点集合近似为连续的可行域，从而将离散优化问题近似为连续的二次规划问题，并利用CVX凸优化工具箱进行求解：

将每一维空间的可行点集合Γ_η(k)松弛为其所对应的凸包以获得连续的可行域，于是该离散优化问题可近似为如下连续的二次规划(Quadratic Programming，QP)问题：

s.t.x∈Δ

其中：Δ是N_TN维空间中所有凸包的并集。显然上述QP问题是凸的，可以用CVX直接求解，并将最优解记作x_opt，其第k维变量记作x_opt(k)。

步骤6：对于每一维空间的复平面，在可行点集合Γ_η(k)中选择与x_opt(k)欧氏距离最近的点作为q^*(k)，进而求得原离散优化问题的解q^*。

步骤7：循环步骤5-6的操作，每次循环都将当前求得的q^*作为下一次循环Φ(x)中x的值，直至量化后的目标函数q^HΦq收敛，得到离散相位的优化波形

在第i次迭代过程中，我们首先计算矩阵Φ(x_i-1)，其中x_i-1表示第i-1次迭代过程中所求解的发射波形。

在数值仿真的参数设置方面，发射天线数量为N_T＝6，接收天线数量为N_R＝12，每根天线辐射的符号数量为N＝16。目标回波信号的空间方位角和功率大小分别为θ₀＝20°和|α₀|²＝15dB。假设干扰源数量M＝4，且其空间方位角和功率大小分别为θ₁＝-60°,θ₂＝-30°,θ₃＝0°,θ₄＝50°和|α₁|²＝|α₂|²＝|α₃|²＝|α₄|²＝30dB。空间中的加性高斯白噪声的协方差为

每个维度的相位星座图点数取Ω＝32，相当于5位的数字移相器。依然选择正交LFM作为参考波形，其连续相位的波形矢量

所对应的发射波形矩阵

可由下式计算得出：

再根据上述约定的相位星座图，将该波形量化为离散相位的参考波形q₀。

图3、图4、图5分别是Ω＝32时，η＝6,η＝12,η＝18三种情况下通过CAM算法和传统SDR算法获得的离散相位优化波形的接收机输出SINR，相当于实际相似度约束参数分别为：ε≈0.58,ε≈1.11,ε≈1.55。其中SDR算法的随机次数L＝20000，由于随机性的因素，SDR算法所计算的SINR不能有效收敛。并且可以看出CAM算法在输出SINR性能上明显优于SDR算法。并且通过比较两者的波速图样，CAM算法所获得的波形在干扰抑制方面也更具性能优势。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：在恒模约束和相似度约束的条件下，以接收端输出信号SINR的表达式x^HΦ(x)x为目标函数，构造最大化SINR的连续波形优化问题模型；其中，x^H表示矩阵x的共轭转置；

步骤2、基于上述优化问题模型，对连续相位发射波形x的相位进行量化，记作q，得到离散相位的优化问题，在仅有恒模约束的条件下，针对q的任一维度，预设雷达发射波形在该维度复平面上的相位星座图；

步骤3、在所述相位星座图上叠加相似度约束，并结合平面几何的基础理论，得到该离散相位优化问题在任一复平面相位星座图中可行点集合Γ_η(k)；

步骤4、针对任一复平面，结合凸包理论依次连接复平面上的可行点，得到该复平面可行点集合的凸包，最终对所有复平面的凸包取并集；

步骤5、针对目标函数中的二次型矩阵Φ(x)，为x赋值，从而将Φ(x)固定为Φ，得到简化后的目标函数x^HΦx，并以所有复平面凸包的并集作为约束条件求解该二次规划问题，所得解记作x_opt，其第k维变量记作x_opt(k)；

步骤6、在每一维度复平面上，将可行点集合Γ_η(k)中与x_opt(k)欧氏距离最近的点记作q^*(k)，进而求得离散相位优化问题的解q^*；

步骤7、循环步骤5-6的操作，每次循环都将当前求得的q^*作为下一次循环中Φ(x)中x的值，直至q^*HΦq^*收敛，将当前的q^*作为离散相位的优化波形输出。

2.如权利要求1所述的一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，其特征在于，雷达发射波形在任一维度复平面上的相位星座图具有Ω个均匀分布的相位星座点，其中，Ω表示弧度空间中均匀离散角度的个数，其取值范围为正整数集。

3.如权利要求2所述的一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，其特征在于，相位星座点q_ρ在复平面上的位置为：

其中，ρ＝1,2,…,Ω，τ＝2π/Ω，N_T为发射天线数量，N为每根天线辐射的信号长度。

4.如权利要求1所述的一种离散相位的MIMO雷达波形设计方法，其特征在于，可行点集合Γ_η(k)的数学表达式为：

Γ_η(k)＝{p₁(k),…,p_η/2+1(k),…,p_η+1(k)}

其中，

μ＝1,…,η+1，η表示离散波形q和离散参考波形q₀之间的相似范围，τ＝2π/Ω，γ_k表示p₁(k)在复平面上的弧度，k表示相位星座图的维度，N_T为发射天线数量，N为每根天线辐射的信号长度。

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