CN110071514B - 一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法 - Google Patents

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CN110071514B CN201910401618.1A CN201910401618A CN110071514B CN 110071514 B CN110071514 B CN 110071514B CN 201910401618 A CN201910401618 A CN 201910401618A CN 110071514 B CN110071514 B CN 110071514B
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Abstract

本发明提出了一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法，用于孤岛微电网***，实现精确的有功和无功功率共享，同时保持频率恢复并保持平均电压达到额定值。在所提出的控制方案中，仅需要通过使用稀疏低带宽通信网络来交换邻域无功功率信息，而不是通过现有一致性方法中的通信链路来传递有功功率，无功功率和频率的信息。与现有的基于一致性的方法相比，传输数据和数据延迟显着降低，并且可以实现***的高可靠性。此外，即使在通信延时的情况下，也可以在负载和馈线阻抗的干扰下确保准确的有功/无功功率共享和电压频率恢复。最后给出了硬件在环的仿真结果，验证了所提控制方案的有效性。

Description

一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法
技术领域
本发明属于电力***中的微网技术领域，涉及一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法。
背景技术
近年来，孤岛式模式的微电网(Microgrid,MG)中，下垂控制方法已广泛用于建立***频率和总线电压，并在不使用关键通信的情况下同时在分布式发电(DistributedGeneration,DG)单元之间共享有功功率。然而，在这些方法中，由传统的下垂控制方法引起的电压和频率偏差是不可避免的，并且在不相等的馈线阻抗条件下无功功率共享很差。为了解决此类问题，典型的二次控制策略通常用于孤岛式微电网，以将电压和频率恢复到额定值，以补偿下垂机制的局限性。尽管二次控制策略可以消除电压和频率偏差，但微电网中央控制器(microgrid central controller,MGCC)需要连接每个分布式DG 单元，这会增加***复杂性并降低可扩展性和可靠性。近年来，多智能体控制理论已在 MG***中得到广泛研究，并且基于多智能体的一致性控制的主要目标是在网络中的所有代理之间实现一般协议，这仅需要临近DG之间的交互，这比起基于MGCC的集中控制模式可靠性更高。然而，至少相邻频率，电压，有功功率和无功功率信息需要在通信网络中传输以用于功率均分，在这种情况下，高密度数据将导致大规模微电网***的数据处理和分析的挑战。此外，一旦通信网络中存在较大的延迟或者通信链路出现故障，缺少任何所需的数据，整个***就会不稳定。
根据专利检索得知，中国发明专利201611074223.8提供了一种孤岛微电网的电压不平衡二次控制方法。通过二次控制对分布式电源的电压进行控制，对PCC点的不平衡电压进行了补偿，实现电流、电压的无静差控制。该方法不仅从全局的角度补偿PCC点的电压偏差，而且实现无功功率的精确分配。然而，这种方法没有考虑到由于下垂控制机制带来的电压频率的偏差。中国发明专利201710979119.1提出了一种基于MAS的低压微电网中虚拟电源的分布式协调控制方法，包含一次控制和二次控制，一次控制基于虚拟阻抗和虚拟电源的配合使用，一定程度上改善微源无功均分。二次控制基于一致性协议，通过微电网的稀疏通信网络进行微源间各虚拟电源电压信息的交互，协调各虚拟电源电压达到严格一致。但这种方法需要各DG之间交互大量的数据信息，通信链路一旦发生故障或是存在通信延时，微电网的稳定性容易受到影响。
综上所述，现有的普通的二次控制和一致性控制都能实现有功/无功的均分，但二次控制往往依赖中央控制器，增加***的复杂度和大大降低***的可靠性；而普通一致性控制则需要交互高密度的数据才能实现良好的控制效果，如果各DG单元交互数据出现延时现象也会造成控制的不佳，再者现有一致性控制方法缺乏下垂机制，多个DG的性能和***的稳定性也会受到影响。因此，有必要研究一种高可靠性的功率均分控制方法，且能在线路阻抗不相同等复杂电网情况下实现精确的有功/无功功率均分的同时保证电压频率维持在额定值。
发明内容
本发明的目的在于克服微电网中各分布式电源(DG)由于线路阻抗不同和负载扰动情况下的有功/无功平均分配的同时消除电压/频率偏离额定值问题，提出一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法，所提方法结合一致性控制算法和下垂控制算法的优点，实现各DG功率均分的同时保证电压频率维持在额定值。
本发明的具体技术方案为：针对孤岛微电网***，提出一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法，具体包括结合普通一致性算法和下垂控制优点的一致性下垂控制器，能实现精确的有功/无功功率共享，并将每个DG的频率保持在额定值而无需邻域电压、频率和有功信息。此外，考虑到DG单元的能力，所提控制器可用于共享无功功率，同时将MG的平均电压调节到额定值；电压电流控制器则保证每个DG自身电压电流的稳定性。通过本发明提出的控制方法，可以确保孤岛微电网在线路阻抗不同和负载扰动等复杂工况下实现有功/无功功率的均分，电压和频率恢复到额定值，增强了微电网***的快速性和稳定性
本发明包括如下步骤：
S1、本发明采用如下的无需通信的下垂控制技术表示微电网输出电压幅值和运行角频率与对应的无功功率和有功功率关系：
Figure GDA0003851414040000021
式中式中，Ei和ωi分别为微电网实际运行的电压幅值和角频率。Ei *和ωi *分别为微电网运行的额定电压幅值和额定角频率，mi和ni分别是频率和幅度下垂系数，Pi和Qi分别是测量的平均有功功率值与无功功率值。然而，由下垂控制引起的电压和频率偏差是不可避免的，并且在该方法中不能共享无功功率。
进而引入一致性算法并且结合下垂控制算法，建立可实现功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制器，等效一致性下垂控制器的具体表达式如下：
Figure GDA0003851414040000031
其中，s代表拉普拉斯算子，αij代表节点i与节点j的通信关系，pi是瞬时有功功率，ωi和Ei代表输出电压的频率和幅度，ωh和ωc分别表示改进的频率控制器的上限和下限截止频率，Pi和Qi分别是测量的平均有功功率和无功功率值，Qj代表j节点的平均无功功率；mi，kp，ki和b是正增益，ωi *和Ei *分别是额定角频率和电压，χi和χj是考虑DGi容量的加权系数，可以设定为等于DGi的下垂系数的导数。
如(2)所示改进的频率下垂控制器可用于实现精确的有功功率共享，并将每个DG的频率保持在额定值而无需邻域DG的电压和频率信息。此外，考虑到DG单元的能力，基于一致性的无功功率控制器可用于均分无功功率，同时将MG的平均电压调节到额定值。
S2、进一步地，对一致性下垂控制方法进行稳态性能分析。首先对无功功率均分作进一步分析，在时域中，无功功率/电压一致方程可以重写如下：
Figure GDA0003851414040000032
通过取每个DG单元输出电压相对于时间的导数，无功功率一致控制的动态可表示为：
Figure GDA0003851414040000033
考虑到稳态时输出电压的导数等于零，可得出以下矩阵：
Figure GDA0003851414040000034
注意到，本发明中公式推导过程中加粗的黑体变量均表示矩阵或向量，其中拉普拉斯矩阵用
Figure GDA0003851414040000035
表示，对角矩阵
Figure GDA0003851414040000036
定义为
Figure GDA0003851414040000037
和列向量
Figure GDA0003851414040000038
分别表示为
Figure GDA0003851414040000039
和
Figure GDA00038514140400000310
根据图理论中两个重要定理：①如果一个图
Figure GDA00038514140400000311
包含一个根节点，则表示它具有生成树，其中至少存在到每个其他节点的直接路径。②
Figure GDA0003851414040000041
是对称正半定矩阵，零是一个具有右特征向量
Figure GDA0003851414040000042
的简单特征值，并且当且仅当
Figure GDA0003851414040000043
具有有向生成树时，所有非零特征值都具有正实部，即
Figure GDA0003851414040000044
n代表第n个网络节点。所以只有对
Figure GDA0003851414040000045
的非零解是
Figure GDA0003851414040000046
和k>0，(5)的解可以得到如下：
Figure GDA0003851414040000047
由此可知，无功功率均分可以通过一致性下垂控制器实现。
S3、进一步地，对平均电压调节做相应稳态性能的分析。考虑到
Figure GDA0003851414040000048
(5)式中通过乘以
Figure GDA0003851414040000049
可以得到下面的等式：
Figure GDA00038514140400000410
然后(7)可以简化为：
Figure GDA00038514140400000411
此外，每个DG单元的输出电压可写成：
Figure GDA00038514140400000412
注意到，微电网配电线的平均电压描述如下：
Figure GDA00038514140400000413
因此，结合(8)-(10)，平均电压幅值可写为：
Figure GDA00038514140400000414
其中n代表第n个网络节点，Ei d是初始电幅值，可根据实际应用灵活调节，即Ei d设定为额定电压幅值，E*和ki等于1，平均电压可调节为：
Figure GDA00038514140400000415
因此，可以得出结论，平均电压可以等于额定值，如(12)所示。
S4、进一步地，对有功功率均分和频率恢复做相应稳态性能的分析。每个DG的有功功率由一致性下垂控制器中的频率下垂控制器调节，无需邻域DG的有功和频率信息。通过使用一致性下垂控制和二次控制之间的等价，可以将等式(2)重写为(13)：
Figure GDA0003851414040000051
其中kp,ωi和ki,ωi是DGi的正增益，Δω是用于频率补偿的控制变量，P是通过低通滤波器测量的平均有功功率。
此外，(13)的矩阵形式可推导为：
Figure GDA0003851414040000052
其中
Figure GDA0003851414040000053
kpωi和kiωi是DGi的正增益。
Figure GDA0003851414040000054
Figure GDA0003851414040000055
在稳态条件下，(14)可改写为：
Figure GDA0003851414040000056
式中，
Figure GDA0003851414040000057
和
Figure GDA0003851414040000058
分别表示
Figure GDA0003851414040000059
和
Figure GDA00038514140400000510
的稳态值，
Figure GDA00038514140400000511
和
Figure GDA00038514140400000512
分别是
Figure GDA00038514140400000513
的比例系数和积分系数。考虑到(15)的时间相关部分在稳态中等于零，可以获得
Figure GDA00038514140400000514
Figure GDA00038514140400000515
是增益向量，t代表时间变量，t0代表初始时间。注意到，频率是一个全局变量，可以通过基于下垂的机制确保有功功率共享。因此，可以实现有功功率的均分，同时将任何任何DG单元的频率保持在额定值。
本发明的有益效果是：
1、若是采用已有的一致性控制策略，实现孤岛MG***的功率均分，需要交换每个DG单元的有功信息、无功功率信息、电压和频率信息，如果缺少上述信息的任何一种或通信线路断开，***的功率均分将会失败。本发明提出的一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法只需要DG之间的无功功率信息，即可实现功率均分。在具有大量分布式电源的孤岛式MG***中(即需要在DG单元之间交换大量信息的情况)，所提出的控制方法可以有效地降低***通信压力，提高***可靠性。
2、在通信故障的情况下，在现有的一致性控制策略下，***不能在DG之间交换任何信息，自然也不能实现功率均分。在相同的条件下，虽然***不能通过一致性下垂控制方法实现无功功率共享，但仍然可以实现有功功率共享。此外，频率仍能稳定在额定值，表明***不受通信故障的影响。
附图说明
图1为本发明实施例中孤岛微电网的并联DG单元电路结构。
图2为孤岛微电网采用一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法的控制原理图。
图3为传统下垂控制策略下孤岛微电网的动态响应效果图。
图4为一致性下垂控制策略控制下孤岛微电网的动态响应效果图。
图5为存在延时情况下一致性下垂控制策略下孤岛微电网的动态响应效果图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的实施例作详细说明：本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
图1为本发明实施例中孤岛微电网的并联DG单元电路结构，由4台DG和3个负载组成，每个DG单元中通过PCC点连接至微电网，包括线路阻抗、负载单元和静态开关，其中，各DG单元由三相全桥逆变器、LCL滤波器和DG单元的本地控制器构成。此外，还考虑了不相等的馈线阻抗和DG单元的不同额定功率，DG1和DG2的额定功率是DG3 和DG4额定容量的两倍，完整的参数在表I中给出。
表I
Figure GDA0003851414040000061
本发明包括如下步骤：
S1、本发明采用如下的无需通信的下垂控制技术表示微电网输出电压幅值和运行角频率与对应的无功功率和有功功率关系：
Figure GDA0003851414040000062
式中式中，Ei和ωi分别为微电网实际运行的电压幅值和角频率。Ei *和ωi *分别为微电网运行的额定电压幅值和额定角频率，mi和ni分别是频率和幅度下垂系数，Pi和Qi分别是测量的平均有功功率值与无功功率值。然而，由下垂控制引起的电压和频率偏差是不可避免的，并且在该方法中不能共享无功功率。因此，本发明提出了一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方案，如图2所示，其中建立了包括电压和电流控制器在内的基于VSI的MG内环，在保持***稳定性的同时调节输出电压和电流。可以看到，电压控制回路的参考是由所提出一致性下垂控制器生成的。
由于下垂控制器的不足，进而引入一致性算法并且结合下垂控制算法，建立可实现功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制器，等效一致性下垂控制器的具体表达式如下：
Figure GDA0003851414040000071
其中pi是瞬时有功功率，ωi和Ei代表输出电压的频率和幅度，ωh和ωc分别表示改进的频率控制器的上限和下限截止频率，Pi和Qi分别是测量的平均有功功率和无功功率值。mi，kp，ki和b是正增益，ωi *和Ei *分别是额定角频率和电压，χi和χj是考虑DGi容量的加权系数，可以设定为等于DGi的下垂系数的导数。
如图2和(2)所示，所示改进的频率下垂控制器可用于实现精确的有功功率共享，并将每个DG的频率保持在额定值而无需邻域DG的电压和频率信息。此外，考虑到DG 单元的能力，基于一致性的无功功率控制器可用于均分无功功率，同时将MG的平均电压调节到额定值。
S2、进一步地，对一致性下垂控制方法进行稳态性能分析。首先对无功功率均分作进一步分析，在时域中，无功功率/电压一致方程可以重写如下：
Figure GDA0003851414040000072
通过取每个DG单元输出电压相对于时间的导数，无功功率一致控制的动态可表示为：
Figure GDA0003851414040000073
考虑到稳态时输出电压的导数等于零，可得出以下矩阵：
Figure GDA0003851414040000081
其中拉普拉斯矩阵用
Figure GDA0003851414040000082
表示，对角矩阵
Figure GDA0003851414040000083
定义为
Figure GDA0003851414040000084
和列向量
Figure GDA0003851414040000085
分别表示为
Figure GDA0003851414040000086
和
Figure GDA0003851414040000087
根据图理论中两个重要定理：①如果一个图
Figure GDA0003851414040000088
包含一个根节点，则表示它具有生成树，其中至少存在到每个其他节点的直接路径。②
Figure GDA0003851414040000089
是对称正半定矩阵，零是一个具有右特征向量
Figure GDA00038514140400000810
的简单特征值，并且当且仅当
Figure GDA00038514140400000811
具有有向生成树时，所有非零特征值都具有正实部，即
Figure GDA00038514140400000812
所以只有对
Figure GDA00038514140400000813
的非零解是
Figure GDA00038514140400000814
和k>0，(5)的解可以得到如下：
Figure GDA00038514140400000815
由此可知，无功功率均分可以通过一致性下垂控制器实现。
进一步地，对平均电压调节做相应稳态性能的分析。考虑到
Figure GDA00038514140400000816
(5)式中通过乘以
Figure GDA00038514140400000817
可以得到下面的等式：
Figure GDA00038514140400000818
然后(7)可以简化为：
Figure GDA00038514140400000819
此外，每个DG单元的输出电压可写如下：
Figure GDA00038514140400000820
注意到，微电网配电线的平均电压描述如下：
Figure GDA00038514140400000821
因此，结合(8)-(10)，平均电压幅值可写为：
Figure GDA00038514140400000822
其中Ei d是初始电压幅值，可根据实际应用灵活调节，即Ei d设定为额定电压幅值，E*和ki等于1，平均电压可调节为：
Figure GDA0003851414040000091
因此，可以得出结论，平均电压可以等于额定值，如(12)所示。
进一步地，对有功功率均分和频率恢复做相应稳态性能的分析。每个DG的有功功率由一致性下垂控制器中的频率下垂控制器调节，无需邻域DG的有功和频率信息。通过使用一致性下垂控制和二次控制之间的等价，可以将等式(2)重写为(13)：
Figure GDA0003851414040000092
其中kp,ωi和ki,ωi是DGi的正增益，Δω是用于频率补偿的控制变量，P是通过低通滤波器测量的平均有功功率。
此外，(13)的矩阵形式可推导为：
Figure GDA0003851414040000093
其中
Figure GDA0003851414040000094
kpωi和kiωi是DGi的正增益。
Figure GDA0003851414040000095
Figure GDA0003851414040000096
在稳态条件下，(14)可改写为：
Figure GDA0003851414040000097
式中，
Figure GDA0003851414040000098
和
Figure GDA0003851414040000099
分别表示
Figure GDA00038514140400000910
和
Figure GDA00038514140400000911
的稳态值，
Figure GDA00038514140400000912
和
Figure GDA00038514140400000913
分别是
Figure GDA00038514140400000914
的比例系数和积分系数。考虑到(15)的时间相关部分在稳态中等于零，可以获得
Figure GDA00038514140400000915
Figure GDA00038514140400000916
是增益向量。注意到，频率是一个全局变量，可以通过基于下垂的机制确保有功功率共享。因此，可以实现有功功率的均分，同时将任何任何DG单元的频率保持在额定值。
为了验证所提出的一致性下垂控制策略在复杂工况下的准确性，图3和图4分别为孤岛微电网在传统下垂控制下和一致性下垂控制策略下的动态响应效果图，图5为存在延时情况下一致性下垂控制策略下孤岛微电网的动态响应效果图。图3、图4和图5中(a)、(b)、(c)和(d)分别表示微电网各个DG的有功功率、无功功率。电压和频率动态响应情况。
基于上述图3、图4和图5运行条件的介绍后，下面分别对图3、图4和图5的动态效果进行详细的说明。
如图3(a)所示，最初负载连接到MG***，每个DG的稳态有功功率分别为1000W、1000W、500W和500W。当t＝1.5s时，负载1与MG***断开，各DG的有功功率分别降至750W、750W、380W和380W。有功功率波动最大的是30W左右，在馈线和负载的干扰条件下，***能在较短的调节时间(约0.3s)内稳定运行。在t＝3.5s时，重新连接负载 1，在小波动和短调节时间内，有功功率恢复到正常值，表明***可以通过传统下垂控制实现在负荷扰动下有功功率的均分。然而，由于传统下垂控制的固有缺陷，如图3(b) -(d)所示，在稳态条件下，无功功率、电压和频率偏差分别下降31.527var、0.913v和 0.158hz，说明传统下垂控制下的孤岛微电网的稳定性不好。
本发明中提出的带负载扰动的一致性下垂控制器的动态响应如图4所示。在这种情况下，有功和无功功率可以按比例分配，同时将平均电压调节到额定值，如图4(a)和 (b)所示。注意到，在馈线和负载的扰动情况下，无功功率(小于15.517var)只有很小的动态波动，如图4(b)所示。建议单个母线电压应略微偏离额定值(小于5％)，以实现每个DG单元的准确无功功率分配。如图4(c)所示，当均分孤岛式MG***的有功和无功功率时，最大电压差小于0.09V(约为额定电压幅度的0.15％)。此外，图4(d) 表明，在没有领域DG单元的电压和频率信息的情况下，频率可以恢复到额定值。与图3 传统控制策略相比，图4中的波动更小(约0.028Hz)，调节时间更短(约0.51s)。
此外，还研究了通信延迟对所提出的控制方法的影响，并在***的DG低带宽稀疏通信网络中加入了一个连续的400毫秒延迟。改进后的一致性下垂控制器不受时间延迟的影响，因为该方案不需要邻域有功功率，频率和电压信息。因此，在通信延迟甚至通信***崩溃的情况下，可以实现准确的无功功率分配和频率恢复。因此，从图5(a)和 5(d)可以看出，***的有功功率均分和频率恢复与没有通信延迟的动态相应相同(如图4(a)和4(d))。虽然在图5(c)中可以看到输出电压的约为0.2V左右的微小波动，但可以在短时间内(小于1s)进行调整。如图5(b)所示，即使在通信延迟的情况下，也不影响准确的无功功率分配，无功功率分配结果与无延迟情况基本相同，表明MG***的可靠性较高。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种用于功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、采用如下的无需通信的下垂控制技术表示微电网输出电压幅值和运行角频率与对应的无功功率和有功功率关系：
Figure FDA0003851414030000011
式中，Ei和ωi分别为微电网实际运行的电压幅值和角频率；Ei *和ωi *分别为微电网运行的额定电压幅值和额定角频率；mi和ni分别是频率和幅度下垂系数；Pi和Qi分别是测量的平均有功功率值与无功功率值；然而，由下垂控制引起的电压和频率偏差是不可避免的，并且在该方法中不能共享无功功率；
进而引入一致性算法并且结合下垂控制算法，建立可实现功率分配和电压频率恢复的一致性下垂控制器，等效一致性下垂控制器的具体表达式如下：
Figure FDA0003851414030000012
其中，s代表拉普拉斯算子，αij代表节点i与节点j的通信关系，pi是瞬时有功功率；ωi和Ei代表输出电压的频率和幅度；ωh和ωc分别表示改进的频率控制器的上限和下限截止频率；Pi和Qi分别是测量的平均有功功率和无功功率值；Qj代表j节点的平均无功功率；mi，kp，ki和b是正增益；ωi *和Ei *分别是额定角频率和电压；χi和χj是考虑DGi容量的加权系数，可以设定为等于DGi的下垂系数的导数；
如(2)所示改进的频率下垂控制器可用于实现精确的有功功率共享，并将每个DG的频率保持在额定值而无需邻域DG的电压和频率信息；此外，考虑到DG单元的能力，基于一致性的无功功率控制器可用于均分无功功率，同时将MG的平均电压调节到额定值；
S2、进一步地，对一致性下垂控制方法进行稳态性能分析；首先对无功功率均分作进一步分析，在时域中，无功功率/电压一致方程可以重写如下：
Figure FDA0003851414030000013
通过取每个DG单元输出电压相对于时间的导数，无功功率一致控制的动态可表示为：
Figure FDA0003851414030000021
考虑到稳态时输出电压的导数等于零，可得出以下矩阵：
Figure FDA0003851414030000022
注意到，本发明中公式推导过程中加粗的黑体变量均表示矩阵或向量，其中拉普拉斯矩阵用L表示，对角矩阵K定义为K＝diag{k1,k2,..,kN}和列向量
Figure FDA0003851414030000023
Q/χ分别表示为
Figure FDA0003851414030000024
和Qχ-1＝[Q1/χ1,Q2/χ2,…,QN/χN]T；
根据图理论中两个重要定理：①如果一个图
Figure FDA0003851414030000025
包含一个根节点，则表示它具有生成树，其中至少存在到每个其他节点的直接路径；②L是对称正半定矩阵；零是一个具有右特征向量1的简单特征值，并且当且仅当
Figure FDA00038514140300000210
具有有向生成树时，所有非零特征值都具有正实部，即L1 n＝0 n,1 T nL＝0 T n，n代表第n个网络节点；所以只有对L X＝0的非零解是X＝k1和k>0，(5)的解可以得到如下：
Q＝k(χ)-11，k＞0 (6)
由此可知，无功功率均分可以通过一致性下垂控制器实现；
S3、进一步地，对平均电压调节做相应稳态性能的分析；考虑到1 T nL＝0 T n，(5)式中通过乘以1 T nK-1可以得到下面的等式：
Figure FDA0003851414030000026
然后(7)可以简化为：
Figure FDA0003851414030000027
此外，每个DG单元的输出电压可写如下：
Figure FDA0003851414030000028
注意到，微电网配电线的平均电压描述如下：
Figure FDA0003851414030000029
因此，结合(8)-(10)，平均电压幅值可写为：
Figure FDA0003851414030000031
其中n代表第n个网络节点，
Figure FDA0003851414030000032
是初始电压幅值，可根据实际应用灵活调节，即
Figure FDA0003851414030000033
设定为额定电压幅值，E*和ki等于1，平均电压可调节为：
Figure FDA0003851414030000034
因此，可以得出结论，平均电压可以等于额定值，如(12)所示；
S4、进一步地，对有功功率均分和频率恢复做相应稳态性能的分析；每个DG的有功功率由一致性下垂控制器中的频率下垂控制器调节，无需邻域DG的有功和频率信息；通过使用一致性下垂控制和二次控制之间的等价，可以将等式(2)重写为(13)：
Figure FDA0003851414030000035
其中kp,ωi和ki,ωi是DGi的正增益，Δω是用于频率补偿的控制变量，P是通过低通滤波器测量的平均有功功率；
此外，(13)的矩阵形式可推导为：
ω＝ω*-mP+J(ω*-ω) (14)
其中J＝diag{kpωi+kiωi/s},i∈[1,N]，kpωi和kiωi是DGi的正增益；ω*＝ω* 1,ω＝[ω1,ω2,…,ωN]T,m＝diag{mi}，P＝[P1,P2…PN]T；
在稳态条件下，(14)可改写为：
ωs＝ωs,*-nPs+Jp(ωs,*-ωs)+JI(ωs,*-ωs)(t-t0)+Kω(t0) (15)
式中，ωs，ωs,*和Ps分别表示ω、ω*和P的稳态值；Jp和JI分别是J的比例系数和积分系数，Kω是增益向量，t代表时间变量，t0代表初始时间；考虑到(15)的时间相关部分在稳态中等于零，可以获得ωs＝ωs,*；注意到，频率是一个全局变量，可以通过基于下垂的机制确保有功功率均分；因此，可以实现有功功率的共享，同时将任何DG单元的频率保持在额定值。
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