CN110000780A - 一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法，包括以下步骤：给定末端任务，采用双指标二次型优化对机械臂轨迹进行逆运动学解析，将机械臂最小转矩与角度偏移二范数平方的加权和指标的二次型优化方案转化为一个标准的二次规划问题，并利用连续时间周期节律神经网络求解此卡罗需‑库恩‑塔克最优化条件，得到连续时间模型，利用龙格库塔法得到离散周期节律神经网络，并用该神经网络求解得到原二次规划问题的离散解。最后，将结果传递给机械臂控制器，驱动机械臂跟踪轨迹。本发明设计的离散周期节律神经网络，具有抑制网络模型中周期性噪声的能力，并且能够消除机械臂的初始误差对运动规划的影响，成功规划机械臂运动。

Description

一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法

技术领域

本发明涉及机械臂的运动规划与控制技术领域，特别涉及一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法。

背景技术

冗余度机械臂是指主动关节数目大于末端绝对运动参数的一类特殊机械臂。由于结构上的特殊性,这类机器人具有灵活性高、躲避障碍物、克服奇异性和实现容错操作等优越性,在航天、医疗、危险材料处理以及焊接机器人领域已得到越来越广泛的应用。

由于冗余度机械臂的逆运动学映射方程具有非线性特性，因此很难在位置层通过运动学方程得到解析解。一种常用的方法是使用二次规划的方法，该方法具有很强的灵活性。在基于二次规划方法的框架中，神经网络求解器是一种常用的求解器，具有平行计算的优越性。但是，已有的基于二次规划的方法中的等式约束都是直接代入机器人的前向运动学方程的，这样的等式约束无法克服初始误差与误差积累问题。同时，若神经网络模型中具有噪声干扰时，可能会使数值解较大的偏离理想值，甚至无解以至于机械臂的运动规划失败。

为了解决这两个问题，需要提出一种方法，可以实现在噪声环境下能够克服初始误差与误差积累问题的机械臂逆运动学问题的求解。

发明内容

本发明的主要目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种机械臂的运动规划的离散神经网络方法，该方法能够抑制模型中周期性噪声，并能够克服初始误差与误差积累问题。

本发明的目的通过以下的技术方案实现。

一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法，包括以下步骤：

S1、给定机械臂末端任务，采用双指标的二次型优化模型对机械臂轨迹进行逆运动学解析；

S2、将步骤S1中二次型优化模型转化为二次规划问题；

S3、将步骤S2中的二次规划问题转化为卡罗需-库恩-塔克最优化条件的求解；

S4、在周期性噪声环境下使用连续时间周期节律神经网络动力学方程对步骤S3的卡罗需-库恩-塔克最优化条件求解得连续时间微分方程；

S5、利用线性单步法离散化步骤S4的连续时间微分方程，得到离散化周期节律神经网络并得到二次型优化模型的离散解；

S6、将步骤S5中求解得到的结果传递给机械臂控制器，驱动冗余度机械臂本体进行轨迹跟踪。

进一步的，步骤S1的二次型优化模型是在加速度层上以混合转矩与角度偏移二范数平方的加权和为优化指标的模型，其作用是对机械臂轨迹进行逆运动学解析，以减小机械臂跟踪过程中本体所受外力矩和关节角度偏移；

进一步的，机械臂的末端轨迹与机械臂的关节角满足以下关系：

r(t)＝f(θ(t))

其中t为时间，r(t)∈R^m表示冗余度机械臂末端执行器以时间为自变量的位置向量且为m维列向量，m为冗余度机械臂在笛卡尔坐标系下的工作空间维数，R^m为m维空间，f(·)为机械臂的前向运动学方程由机械臂自身结构决定且一般为光滑非线性方程；将上式对时间t求二阶导数：

其中为冗余度机械臂的雅可比矩阵，偏微分，表示冗余度机械臂末端执行器的加速度向量为m维列向量；θ(t)、分别表示冗余度机械臂以时间为自变量的关节角度向量和关节角加速度向量，且均为n维列向量，分别简写为θ和Rⁿ为n维空间，n表示机械臂关节空间的维度。

进一步的，所述二次型优化模型包括混合转矩与角度偏移二范数平方的加权和与受约束于机械臂末端执行器受反馈控制的加速度等式；加权和的公式如下：

其中t为时间，σ∈[0，1]为优化指标中转矩的权重，分别表示冗余度机械臂以时间为自变量的关节角速度向量，简写为Rⁿ为n维空间，n表示机械臂关节空间的维度，等价于角度偏移在加速度层上的优化指标，υ为转矩向量，表示向量的二范数；M(θ)为冗余度机械臂的惯性矩阵，为离心力或科式力转矩向量，g(θ)为重力转矩向量，α和β均为正系数，θ(0)表示机械臂的初始关节角度；

受约束于机械臂末端执行器受反馈控制的加速度等式如下：

r(t)＝f(θ(t))

λ_a∈R和λ_b∈R分别为反馈控制系数，表示冗余度机械臂末端执行器的速度向量为m维列向量；

所述的二次型优化模型(包括加权和与约束方程)用于求得使关节角度偏移和转矩向量二范数的加权和最小化的关节角加速的解。

进一步的，步骤S2的转化方式如下：

x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)

Jx(t)＝y(t)

Q(t)＝(1-σ)I+σM^T(θ)M(θ)

其中x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)表示为性能指标函数，Jx(t)＝y(t)表示性能指标函数所受的约束函数，x(t)表示待求的关节角加速度向量T为矩阵转置，I∈R^n×n为单位矩阵，R^n×n表示n×n维空间，n表示机械臂关节空间的维度，J和θ分别表示J(θ)和θ(t)，M(θ)表示机械臂的转动惯量矩阵。

步骤S2将二次型优化模型转变为标准的二次规划问题形式。

进一步的，步骤S3是利用拉格朗日方程进行转化，转化过程是结合所述的约束函数和所述的性能指标函数得到如下的拉格朗日函数L(x(t)，λ(t)，t)为：

其中λ(t)为拉格朗日乘数向量，λ(t)∈R^m，根据卡罗需-库恩-塔克最优化条件：

其中，为偏微分符号。根据卡罗需-库恩-塔克最优化条件得到的上述偏导数方程组写为矩阵形式：

A(t)X(t)＝B(t)

其中，同时假定A(t)为非奇异矩阵，R^(n+m)×(n+m)表示(n+m)×(n+m)的空间；

进一步的，步骤S4的求解过程如下，设误差方程为：

∈(t)＝A(t)X(t)-B(t)

误差向量∈(t)表示A(t)X(t)与B(t)的差值，为得到待解的X(t)向量，利用周期节律神经网络使得∈(t)趋向零向量，周期节律神经网络动力学方程如下：

φ(t)＝φ(t-T)+ρ∈(t)

其中，表示∈(t)对时间的导数，γ为正实数，φ(t)和ω(t)分别为补偿矩阵和噪声向量，ω(t)∈R^(n+m)，ρ为正实数；该动力学方程使误差按超指数(指收敛形式为指数函数形式)的速率收敛，收敛速率由γ与ρ决定，能够促使误差从任意初始误差e₀随时间收敛为0，即意味着机器人的轨迹跟踪能够消除控制过程中遭受的扰动与误差，联立误差方程和动力学方程得连续时间微分方程：

其中，A，B，X分别为A(t)，B(t)，X(t)的简写，分为A，B，X对时间的一阶导数，A^-1为A的逆矩阵，可视为X的斜率或变化率。。

进一步的，步骤S5中的线性单步法为龙格库塔法，离散化步骤S4的连续时间微分方程后，得到如下的离散化周期节律神经网络：

其中，k为索引值，且k为非负整数，τ为步长，t＝k×τ；X_k表示X(t)在t＝kτ时刻的取值，下一时刻的值X_k+1由当前时刻的值X_k加上步长τ和一个估算的斜率(K₁+2K₂+2K₃+K₄)/6的乘积所决定；K₁表示X的斜率在t时刻的取值；K₂表示在时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，其中X通过欧拉法采用斜率K₁来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₁/2；K₃也表示时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，但其中X通过欧拉法采用斜率K₂来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₂/2；K₄表示X的斜率在t+τ时刻的取值，其X值用K₃决定；X在初始时刻的值为X₀即X(0)，X(0)为零向量。

迭代此离散化周期节律神经网络，任意索引时刻t＝kτ的解X_k为该索引时刻二次型优化模型的离散解。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

本发明通过设计离散化的周期节律神经网络，具有抑制神经网络模型中噪声的能力，并且能够消除机械臂的初始误差对运动规划的影响，成功规划机械臂得运动轨迹。

附图说明

图1为用于抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络求解设计思路的流程示意图；

图2为实施例的流程示意图；

图3为实施例中六叶花形末端任务的轨迹图；

图4为实施例中噪声向量曲线图；

图5为实施例中机械臂跟踪过程中实际轨迹与理想轨迹的随时间变化的在笛卡尔坐标系中的位置误差示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明的实施作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

如图1和图2所示的一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法，包括以下步骤：

S1、给定末端任务，二次型优化模型是在加速度层上以混合转矩与角度偏移二范数平方的加权和为优化指标，其作用为减小机械臂跟踪过程中本体所受外力矩和关节角度偏移，对机械臂轨迹进行逆运动学解析，加权和的公式如下：

其中t为时间，σ＝0.8为优化指标中转矩的权重，θ(t)、分别表示冗余度机械臂以时间为自变量的关节角度向量、关节角速度向量和关节角加速度向量为六维列向量，分别简写为θ、和R⁶为六维空间，机械臂关节空间的维度为六， 等价于角度偏移在加速度层上的优化指标，υ为转矩向量，表示向量的二范数；M(θ)为冗余度机械臂的惯性矩阵，为离心力或科式力转矩向量，g(θ)为重力转矩向量，α＝100，β＝2500为系数，θ(0)表示机械臂的初始关节角度；

受约束于机械臂末端执行器受反馈控制的加速度等式如下：

r(t)＝f(θ(t))

其中，λ_a＝λ_b＝20分别为反馈控制系数；其中t为时间，r(t)，分别表示冗余度机械臂末端执行器以时间为自变量的位置向量，速度向量和加速度向量且为三维列向量，冗余度机械臂在笛卡尔坐标系下的工作空间维数为三，R³为三维空间，f(·)为机械臂的前向运动学方程由机械臂自身结构决定且一般为光滑非线性方程；其中为冗余度机械臂的雅可比矩阵，为偏微分符号；

S2、将步骤S1中的二次型优化模型转化为一个标准的二次规划问题；

转化方式如下：

x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)

Jx(t)＝y(t)

Q(t)＝(1-σ)I+σM^T(θ)M(θ)

其中x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)表示为性能指标函数，Jx(t)＝y(t)表示性能指标函数所受的约束函数，x(t)表示待求的关节角加速度向量T为矩阵转置，I∈R^6×6为单位矩阵，R^6×6表示6×6维空间，机械臂关节空间的维度为六，J和θ分别表示J(θ)和θ(t)，M(θ)表示机械臂的转动惯量矩阵，Q(t)表示海森矩阵为半正定矩阵，μ(t)表示二次规划一次项系数向量。

S3、将步骤S2中机械臂的二次规划问题转化为卡罗需-库恩-塔克最优化条件的求解，具体是利用拉格朗日方程进行转化，转化过程为：

结合约束函数和性能指标函数得拉格朗日函数L(x(t)，λ(t)，t)为：L(x(t)，λ(t)，t)＝x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)+λ^T(t)(Jx(t)-y(t))

其中，λ(t)为拉格朗日乘数向量，λ(t)∈R^m，根据卡罗需-库恩-塔克最优化条件：

将偏导数方程写为矩阵形式：

A(t)X(t)＝B(t)

其中，同时假定A(t)为非奇异矩阵，R^9×9表示9×9维空间，X(t)表示待解的机械臂关节角加速度向量和拉格朗日乘数向量的组合向量。

S4、在周期性噪声环境下，使用连续时间周期节律神经网络对步骤S3的卡罗需-库恩-塔克最优化条件求解得连续时间微分方程；求解过程如下，设误差方程为：

∈(t)＝A(t)X(t)-B(t)

误差向量∈(t)表示A(t)X(t)与B(t)的差值，为得到待解的X(t)向量，利用周期节律神经网络使得∈(t)趋向零向量，构造周期节律神经网络动力学方程：

φ(t)＝φ(t-T)+ρ∈(t)

其中，φ(t)和ω(t)分别为补偿矩阵和噪声向量，ω(t)∈R⁹，γ＝1，ρ＝50；该动力学方程使误差按超指数的速率收敛，收敛速率由γ与ρ决定，能够促使误差从任意初始误差e₀随时间收敛为0，即意味着机器人的轨迹跟踪能够消除控制过程中遭受的扰动与误差。噪声向量中第i个元素为ω_i＝p*ζ_i*f_T(10πt)+q*Ψ(t)；p＝200，q＝20，ζ_i为在九个维度上按照高斯分布的随机数，f_T(10πt)表示sin(10πt)或coe(10πt)，Ψ(t)为一在不同时刻下的按照高斯分布的随机数。

分别将图4的九个子图加入至待解的向量方程A(t)X(t)-B(t)，九个维度作噪声干扰，其中，噪声向量为一个以时间为自变量的向量，其维度为九维，九个子图分别为噪声向量中九个维度的曲线图，该图的横坐标为时间，纵坐标为噪声大小。

联立误差方程和动力学方程得连续时间微分方程：

其中，A，B，X分别为A(t)，B(t)，X(t)的简写，分为A，B，X对时间的一阶导数，A^-1为A的逆矩阵。

S5、利用线性单步法离散化步骤S4的连续时间微分方程，得到二次规划问题的解；所述线性单步法为龙格库塔法，离散化步骤S4的连续时间微分方程后，得到如下的离散化周期节律神经网络：

其中，k为索引值，且k为非负整数，τ＝0.001为步长，t＝k×τ；X_k表示X(t)在t＝kτ时刻的取值，下一时刻的值X_k+1由当前时刻的值X_k加上步长τ和一个估算的斜率(K₁+2K₂+2K₃+K₄)/6的乘积所决定；K₁表示X的斜率在t时刻的取值；K₂表示在时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，其中X通过欧拉法采用斜率K₁来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₁/2；K₃也表示时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，但其中X通过欧拉法采用斜率K₂来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₂/2；K₄表示X的斜率在t+τ时刻的取值，其X值用K₃决定；X在初始时刻的值为X₀即X(0)，X(0)为零向量，且由该离散化周期节律神经网络可知，该离散化方程可以自启动。

循环迭代此离散化周期节律神经网络至t＝N，其中N为一次运动跟踪的时间，本实施例设定完成一次运动跟踪的时间N为8秒。任意索引时刻t＝kτ的解X_k为在该索引时刻性能指标函数的离散解，此过程见图2中的循环部分。

r_z＝0

其中，表示在极坐标系下角度与时间的关系，给出末端轨迹为六叶花形的任务空间位置的表达式同时其速度与加速度对时间的参数表达式分别为

假设每一步时的角加速度为恒定值，计算出每一步的关节角速度与关节角度，最后得到如图3所示的六叶花形末端任务的轨迹图；图5为机械臂跟踪过程中实际轨迹与理想轨迹的随时间变化的在笛卡尔坐标系中的位置误差，该实例中，横坐标为时间(单位为秒)，纵坐标为误差(单位为米)。

S6、将步骤S5中求解得到的结果传递给机械臂控制器，驱动冗余度机械臂本体进行轨迹跟踪。最后将通过上述离散化周期节律神经网络求解器求解得到的关节角度传送给机械臂控制器，进而对冗余度机械臂本体进行控制，实现末端执行器的轨迹跟踪功能，实现本实施例的方法。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种能抵抗周期噪声的龙格库塔型周期节律神经网络方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、给定机械臂末端任务，采用双指标的二次型优化模型对机械臂轨迹进行解析；

S2、将步骤S1中二次型优化模型转化为二次规划问题；

S3、将步骤S2中的二次规划问题转化为卡罗需-库恩-塔克最优化条件的求解；

S4、在周期性噪声环境下使用连续时间周期节律神经网络动力学方程对步骤S3的卡罗需-库恩-塔克最优化条件求解得连续时间微分方程；

S5、利用线性单步法离散化步骤S4的连续时间微分方程，得到离散化周期节律神经网络并得到二次型优化模型的离散解；

S6、将步骤S5中求解得到的结果传递给机械臂控制器，驱动冗余度机械臂本体进行轨迹跟踪。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S1的二次型优化模型是在加速度层上以混合转矩与角度偏移二范数平方的加权和为优化指标的模型，其作用是对机械臂轨迹进行逆运动学解析，以减小机械臂跟踪过程中本体所受外力矩和关节角度偏移。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，机械臂的末端轨迹与机械臂的关节角满足以下关系：

r(t)＝f(θ(t))

其中t为时间，r(t)∈R^m表示冗余度机械臂末端执行器以时间为自变量的位置向量且为m维列向量，m为冗余度机械臂在笛卡尔坐标系下的工作空间维数，R^m为m维空间；f(·)为机械臂的前向运动学方程，由机械臂自身结构决定且一般为光滑非线性方程；将上式对时间t求二阶导数：

其中为冗余度机械臂的雅可比矩阵，偏微分，表示冗余度机械臂末端执行器的加速度向量为m维列向量；θ(t)、分别表示冗余度机械臂以时间为自变量的关节角度向量和关节角加速度向量，且均为n维列向量，分别简写为θ和Rⁿ为n维空间，n表示机械臂关节空间的维度。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述二次型优化模型包括混合转矩与角度偏移二范数平方的加权和公式与受约束于机械臂末端执行器受反馈控制的加速度等式；所述加权和的公式如下：

其中t为时间，σ∈[0，1]为优化指标中转矩的权重，分别表示冗余度机械臂以时间为自变量的关节角速度向量，简写为Rⁿ为n维空间，n表示机械臂关节空间的维度，等价于角度偏移在加速度层上的优化指标，υ为转矩向量，表示向量的二范数；M(θ)为冗余度机械臂的惯性矩阵，为离心力或科式力转矩向量，g(θ)为重力转矩向量，α和β均为正系数，θ(0)表示机械臂的初始关节角度；

所述受约束于机械臂末端执行器受反馈控制的加速度等式如下：

r(t)＝f(θ(t))

其中λ_a∈R和λ_b∈R分别为反馈控制系数，表示冗余度机械臂末端执行器的速度向量为m维列向量。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S2的转化方式如下：

x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)

Jx(t)＝y(t)

Q(t)＝(1-σ)I+σM^T(θ)M(θ)

其中，x^T(t)Q(t)x(t)/2+μ^T(t)x(t)表示为性能指标函数，Jx(t)＝y(t)表示性能指标函数所受的约束函数，x(t)表示待求的关节角加速度向量T为矩阵转置，I∈R^n×n为单位矩阵，R^n×n表示n×n维空间，n表示机械臂关节空间的维度，J和θ分别表示J(θ)和θ(t)，M(θ)表示机械臂的转动惯量矩阵，Q(t)表示海森矩阵为半正定矩阵，μ(t)表示二次规划一次项系数向量。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S3是利用拉格朗日方程进行转化，转化过程是结合所述的约束函数和所述的性能指标函数得到如下的拉格朗日函数L(x(t)，λ(t)，t)：

其中λ(t)为拉格朗日乘数向量，λ(t)∈R^m，根据卡罗需-库恩-塔克最优化条件：

其中，为偏微分符号；根据卡罗需-库恩-塔克最优化条件得到的上述偏导数方程组写为矩阵形式：

A(t)X(t)＝B(t)

其中，同时假定A(t)为非奇异矩阵，R^(n+m)×(n+m)表示(n+m)×(n+m)的空间，X(t)表示待解的机械臂关节角加速度向量和拉格朗日乘数向量的组合向量。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S4的求解过程如下：

设误差方程为：

∈(t)＝A(t)X(t)-B(t)

误差向量∈(t)表示A(t)X(t)与B(t)的差值，为得到待解的X(t)向量，利用周期节律神经网络使得∈(t)趋向零向量，周期节律神经网络动力学方程如下：

φ(t)＝φ(t-T)+ρ∈(t)

其中，表示∈(t)对时间的导数，γ为正实数，φ(t)和ω(t)分别为补偿矩阵和噪声向量，ω(t)∈R^(n+m)，ρ为正实数；该动力学方程使误差按超指数的速率收敛，收敛速率由γ与ρ决定，能够促使误差从任意初始误差e₀随时间收敛为0，即意味着机器人的轨迹跟踪能够消除控制过程中遭受的扰动与误差；

联立误差方程和动力学方程得连续时间微分方程：

其中，A，B，X分别为A(t)，B(t)，X(t)的简写，和分别为A，B和X对时间的一阶导数，A^-1为A的逆矩阵，可视为X的斜率或变化率。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤S5中的线性单步法为龙格库塔法，离散化步骤S4的连续时间微分方程后，得到如下的离散化周期节律神经网络：

其中，k为索引值，且k为非负整数，τ为步长，t＝k×τ；X_k表示X(t)在t＝kτ时刻的取值，下一时刻的值X_k+1由当前时刻的值X_k加上步长τ和一个估算的斜率(K₁+2K₂+2K₃+K₄)/6的乘积所决定；K₁表示X的斜率在t时刻的取值；K₂表示在时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，其中X通过欧拉法采用斜率K₁来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₁/2；K₃也表示时间段[t，t+τ]中点的斜率取值，但其中X通过欧拉法采用斜率K₂来决定在点(t+τ/2)的值即X＝X_k+τK₂/2；K₄表示X的斜率在t+τ时刻的取值，其X值用K₃决定；X在初始时刻的值为X₀即X(0)，X(0)为零向量；

迭代此离散化周期节律神经网络，任意索引时刻t＝kτ的解X_k为该索引时刻二次型优化模型的离散解。