CN109978259A - 基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测方法及*** - Google Patents

基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测方法及*** Download PDF

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Abstract

本发明提供一种基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测方法及***,包括如下步骤：(1)估计各个样本数据的失效概率；(2)基于轮廓误差函数计算q型威布尔分布参数的点估计；(3)根据q型威布尔分布参数的点估计预测产品的剩余寿命。通过将q型威布尔分布的分布函数线性化，再根据分布拟合的思想定义误差函数，进一步化简变量个数，将误差函数降维为轮廓误差函数，而后通过拟牛顿法求解无约束优化模型，给出各个分布参数的点估计，最后结合产品剩余寿命的期望，得到产品剩余寿命的预测值。本发明通过上述步骤很好地解决了基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测问题，且步骤简单，易于计算。本发明应用于可靠性评估领域。

Description

基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测方法及***
技术领域
本发明涉及可靠性评估领域，尤其涉及一种基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法及***。
背景技术
在可靠性评估领域，常常涉及到产品可靠性的评估问题，其中剩余寿命是常见的可靠性指标之一，表示产品在当前时刻之后的剩余正常工作时间。预测产品剩余寿命的关键是利用产品寿命试验的样本数据估计产品寿命所服从分布中的参数，继而再结合产品的寿命分布对剩余寿命进行预测。
现有研究表明，如图1所示，产品在全寿命周期的失效规律满足“浴盆曲线”，即由3段曲线组成，分别代表产品的早期失效、偶然失效和耗损失效[参考文献：茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计.北京:高等教育出版社,2008]。当前通常采用威布尔分布描述产品的寿命T，其中威布尔分布的概率密度函数是
f(t)＝λβtβ-1exp(-λtβ),t＞0 (1)
其中β＞0和λ＞0分别为威布尔分布的形状参数及尺度参数。但威布尔分布只能描述“浴盆曲线”3段失效曲线中的1段曲线，但不能同时描述“浴盆曲线”3段失效曲线中的2段或3段曲线。为此，有学者通过改进威布尔分布提出了q型威布尔分布，并指出该分布可以同时描述“浴盆曲线”3段失效曲线中的2段或3段，因而在产品寿命的描述中适用性更广泛[参考文献：Xu M,Droguett E,Lins I.On the q-weibull distribution for reliabilityapplications:an adaptive hybrid artificial bee colony algorithm for parameterestimation.Reliability Engineering and System Safety,2017,158:93–105]。q型威布尔分布的概率密度函数为
其中β＞0、q＜2为形状参数，λ＞0为尺度参数，且t的取值范围为
此外，当q＝1时，由于
因而可知公式(1)中的威布尔分布是q型威布尔分布的特殊形式。
由于q型威布尔分布的广泛适用性，利用q型威布尔分布描述产品的寿命进而预测产品的剩余寿命具有重要的意义。根据上文的分析可知，利用q型威布尔分布预测产品剩余寿命的关键是估计q型威布尔分布的分布参数。现有文献[参考文献：Xu M,Droguett E,Lins I.On the q-weibull distribution for reliability applications:an adaptivehybrid artificial bee colony algorithm for parameter estimation.ReliabilityEngineering and System Safety,2017,158:93–105]采用了极大似然估计的方法对q型威布尔分布的分布参数进行估计，其基本思想是分布参数的估计令样本数据的似然函数最大。但由于公式(2)中q型威布尔分布的概率密度函数的数学形式非常复杂，该文献利用混合人工蜂群(HybridArtificial Bee Colony)算法进行求解，计算过程非常复杂，运算量十分庞大，不便于工程实践。此外，在计算得到分布参数的估计后，如何进一步对产品的剩余寿命进行预测，目前还未有相关公开技术。
发明内容
针对现有技术中采用极大似然估计的方法对q型威布尔分布的分布参数进行估计，造成计算过程非常复杂，运算量十分庞大，不便于工程实践的问题，同时针对现有技术中对产品的剩余寿命进行预测技术缺乏的问题，本发明的目的是提供一种基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法及***。
为了实现上述发明目的，参考图2，本发明提供一种基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，包括如下步骤：
随机抽取n个样本产品进行寿命试验，在寿命试验中观测各样本产品的工作状态，若某一时刻开始某一样本不能继续工作，则该时刻即为该样本产品的失效时间。本发明中的通过寿命试验获得的样本产品的样本数据即样本产品的失效时间。
(1)估计各个样本数据(即样本产品的失效时间)的失效概率：
记经寿命试验获得的n(n≥3)个样本产品的样本数据为t1,…,tn，设t1≤…≤tn，称i为样本数据ti的秩，根据式(4)估计样本数据ti的失效概率：
为了简便，后续将简记为
(2)基于轮廓误差函数计算q型威布尔分布参数的点估计，具体包括：
(a)线性化q型威布尔分布的分布函数：
根据q型威布尔分布的概率密度函数，可得q型威布尔分布的分布函数为
引入函数
将式(5)中q型威布尔分布的分布函数转化为 (7)；
对式(7)两边同时进行取对数变换得
可得q型威布尔分布的分布函数的线性表达式y＝βx+lnλ+ln(2-q)(8)；其中x＝lnt，t为产品的寿命，β、q、λ为q型威布尔分布的3个分布参数，β、q为形状参数，λ为尺度参数。
(b)建立关于q型威布尔分布参数的点估计的多变量有约束优化模型：
令xi＝lnti，其中yi(q)表示是关于分布参数q的函数，是由式(4)求得的ti时刻处的失效概率，根据式(8)可构建基于分布拟合的误差函数
要求式(9)中的误差函数S最小，即建立多变量有约束优化模型
(c)计算q型威布尔分布参数的点估计：
根据函数极小值的必要性条件[参考文献:甘应爱，田丰等.运筹学(第3版).北京：清华大学出版社,2005.]可知，当式(10)中误差函数S最小时，误差函数S关于未知参数β和λ的一阶偏导数为0，即
经过化简可得
即分布参数β和λ的点估计都是关于分布参数q的函数；
再将式(11)代入式(9)中，将误差函数S转化为只与分布参数q有关的轮廓误差函数
基于轮廓误差函数，将式(12)中的多变量有约束优化模型降维为单变量有约束优化模型
通过求解式(13)，可给出分布参数q的点估计。但由现有优化技术[参考文献:甘应爱，田丰等.运筹学(第3版).北京：清华大学出版社,2005.]可知，求解一个无约束优化模型，往往比求解一个有约束优化模型更容易，为此引入一个新的变量w＝ln(2-q)，显然新变量w的取值范围是全体实数，故根据
q＝2-exp(w) (14)
将式(13)中关于未知参数q的有约束优化模型转化为关于变量w的无约束优化模型
根据式(15)中的无约束优化模型，采用拟牛顿法[参考文献:甘应爱，田丰等.运筹学(第3版).北京：清华大学出版社,2005.]进行求解，可得未知变量w的求解结果再依次根据式(11)和式(14)求得分布参数q，β和λ的点估计和
(3)根据q型威布尔分布参数的点估计预测产品的剩余寿命：
基于公式(2)中q型威布尔分布的概率密度函数，结合剩余寿命的定义，可得产品在时刻τ后剩余寿命L的概率密度函数为
其中，l表示剩余寿命定义域内的具体时刻，根据式(16)中剩余寿命L的概率密度函数，结合寿命的取值范围进一步计算剩余寿命L的期望E(L)；
当1＜q＜2时，可得
当q＜1时，可得
其中为不完全贝塔函数；
若则将分布参数点估计和代入式(17)可得产品在时刻τ后剩余寿命L的预测值为
若则将和代入式(18)可得产品在时刻τ后剩余寿命L的预测值为
本发明的另一方面在于提供一种基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测***，包括存储器和处理器，其中存储器存储有计算机程序，处理器执行所存储的计算机程序，且可以实现上述方法的所有步骤。
本发明的有益技术效果：
如上所述，本发明首先将q型威布尔分布的分布函数线性化，再根据分布拟合的思想定义误差函数，进一步化简变量个数，将误差函数降维为轮廓误差函数，而后通过拟牛顿法求解无约束优化模型，给出各个分布参数的点估计，最后结合产品剩余寿命的期望，得到产品剩余寿命的预测值。本发明通过上述步骤很好地解决了基于q型威布尔分布的产品剩余寿命预测问题，且步骤简单，易于计算。
附图说明
图1是背景技术中提到的描述产品失效规律的浴盆曲线；
图2是本发明中方法的流程示意图。
具体实施方式
为了使本公开发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，下面结合具体实施例，并根据附图，对本发明进一步详细说明。需要说明的是，在附图或说明书描述中，未描述的内容以及部分英文简写为所属技术领域中普通技术人员所熟知的内容。本实施例中给定的一些特定参数仅作为示范，在不同的实时方式中该值可以相应地改变为合适的值。
本实例利用现有文献[参考文献：Xu M,Droguett E,Lins I.On the q-weibulldistribution for reliability applications:an adaptive hybrid artificial beecolony algorithm forparameter estimation.Reliability Engineering and SystemSafety,2017,158:93–105]中的算例数据，该算例是500兆瓦发电机这一产品的36个失效时间数据，具体数据为0.058，0.070，0.090，0.105，0.113，0.121，0.153，0.159，0.224，0.421，0.570，0.596，0.618，0.834，1.019，1.104，1.497，2.027，2.234，2.372，2.433，2.505，2.690，2.877，2.879，3.166，3.455，3.551，4.378，4.872，5.085，5.272，5.341，8.952，9.188和11.399，时间单位是Kh(1000小时)。本发明的具体方法如下：
第一步，将这36个失效时间数据按照升序排列。接着，根据式(4)计算各失效时间数据相应的失效概率估计值。
第二步，根据其中i＝1,…,36，再结合式(13)及式(15)，确定公式中的无约束优化模型，利用拟牛顿法给出分布参数q的点估计为继而根据式(11)确定分布参数β和λ的点估计为和
第三步，由于根据公式(20)预测发电机在1000小时后的剩余寿命为70873.85小时。
通过以上本发明所提出的基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，能够在q型威布尔分布场合，利用轮廓误差函数估计q型威布尔分布的分布参数，继而预测产品的剩余寿命。综上所述，本发明所提出的基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法易于操作，且结果准确。
以上包含了本发明优选实施例的说明，这是为了详细说明本发明的技术特征，并不是想要将发明内容限制在实施例所描述的具体形式中，依据本发明内容主旨进行的其他修改和变型也受本专利保护。本发明内容的主旨是由权利要求书所界定，而非由实施例的具体描述所界定。

Claims (9)

1.基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)估计各个样本数据的失效概率；
(2)基于轮廓误差函数计算q型威布尔分布参数的点估计；
(3)根据q型威布尔分布参数的点估计预测产品的剩余寿命。
2.根据权利要求1所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(1)的实现方法为：
记经寿命试验获得的n个样本产品的样本数据为t1,…,tn，设t1≤…≤tn，称i为样本数据ti的秩，i＝1,…,n；根据式(4)估计样本数据ti的失效概率：
3.根据权利要求2所述的基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(2)具体包括：
(a)线性化q型威布尔分布的分布函数；
(b)建立关于q型威布尔分布参数的点估计的多变量有约束优化模型；
(c)计算q型威布尔分布参数的点估计。
4.根据权利要求3所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(a)的实现方法为：
根据q型威布尔分布的概率密度函数，可得q型威布尔分布的分布函数为
引入函数
将式(5)中q型威布尔分布的分布函数转化为
对式(7)两边同时进行取对数变换得
可得q型威布尔分布的分布函数的线性表达式y＝βx+lnλ+ln(2-q) (8)；
其中x＝lnt，t为产品的寿命，β、q、λ为q型威布尔分布的3个分布参数，β、q为形状参数，λ为尺度参数。
5.根据权利要求4所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(b)的实现方法为：
令xi＝lnti，其中yi(q)表示是关于分布参数q的函数，是由式(4)求得的ti时刻处的失效概率，根据式(8)可构建基于分布拟合的误差函数
要求式(9)中的误差函数S最小，即建立多变量有约束优化模型
6.根据权利要求5所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(c)的实现方法为：
当式(10)中误差函数S最小时，误差函数S关于未知参数β和λ的一阶偏导数为0，即
经过化简可得
即分布参数β和λ的点估计都是关于分布参数q的函数；
再将式(11)代入式(9)中，将误差函数S转化为只与分布参数q有关的轮廓误差函数
基于轮廓误差函数，将式(10)中的多变量有约束优化模型降维为单变量有约束优化模型
令q＝2-exp(w) (14)，其中w＝ln(2-q)；将式(13)中关于未知参数q的有约束优化模型转化为关于变量w的无约束优化模型
根据式(15)中的无约束优化模型，采用拟牛顿法进行求解，可得未知变量w的求解结果再依次根据式(11)和式(14)求得分布参数q，β和λ的点估计和
7.根据权利要求6所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(3)的实现方法为：
基于q型威布尔分布的概率密度函数，结合剩余寿命的定义，可得产品在时刻τ后剩余寿命L的概率密度函数为
其中，l表示剩余寿命定义域内的具体时刻，根据式(16)中剩余寿命L的概率密度函数，结合寿命的取值范围进一步计算剩余寿命L的期望E(L)；
当1＜q＜2时，可得
当q＜1时，可得
其中为不完全贝塔函数；
若则将分布参数点估计和代入式(17)可得产品在时刻τ后剩余寿命L的预测值为
若则将和代入式(18)可得产品在时刻τ后剩余寿命L的预测值为
8.根据权利要求2至7任一项所述基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤(1)中，样本产品数据量n≥3。
9.一种基于q型威布尔分布和轮廓误差函数的产品剩余寿命预测***，其特征在于，该***包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，所述处理器执行所存储的计算机程序时可实现权利要求1至8中任一项所述方法的步骤。
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