CN109766518B - 考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法，其将不确定理论(uncertainty theory)引入加速退化建模领域中，将加速退化数据中的认知不确定性细致的划分为了两个维度：时间维度的认知不确定性和样本维度的认知不确定性，并推导出了相应的可靠度与寿命评估函数。此外，还给出了用于所提出模型参数估计的不确定统计分析方法，基于最小二乘原则，最小化获取累积信度和假定不确定分布之差的平方和，并采用客观测度而非主观测度来量化时间维度和样本维度的认知不确定性。

Description

考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法

技术领域

本发明涉及加速性能退化试验可靠性分析的技术领域，尤其涉及一种考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法。

背景技术

现代社会中，随着经济和科技的发展，许多产品的可靠性与寿命水平都越来越高。而对这些高可靠长寿命产品，采用传统的基于失效数据的可靠性试验，几乎很难获得足够的失效数据来进行可靠性评估，因此，研究者们提出了加速退化试验(AcceleratedDegradation Testing,ADT)的方法。ADT通过施加严酷于正常工作的应力，ADT可以加速产品的退化过程，在有限的试验时间内获取加速退化数据，并进行正常应力下的可靠性与寿命评估。

通常来说，在加速退化数据中有两类导致不确定性的因素：1)时间维度的波动性，其来源于退化路径随时间的波动性；2)样本维度的个体间差异性，其来源于不同样本个体的内在异质性。目前常用的基于概率论的加速退化模型，包含退化路径模型(Josephlu C,Meeker W.Using Degradation Measures to Estimate a Time-to-FailureDistribution[J].Technometrics,1993,35(2):161-174.)和随机过程模型(Ye Z,XieM.Stochastic modelling and analysis of degradation for highly reliableproducts[J].Applied Stochastic Models in Business&Industry,2015,31(1):16-32.)，常常将这些不确定性作为随机不确定性(random uncertainty)来处理。由于随机过程模型能够更好的描述退化过程的随机性，所以得到了广泛的应用，但仍存在一些未解决的问题。

首先，随机过程模型对退化过程的解释存在一些不足。例如，维纳过程模型中，几乎所有的样本轨道都是连续但非Lipchitz的，这就会导致在有限的时间内，退化过程的退化增量可能是无限大。对于逆高斯过程模型，它甚至没有一个清晰的物理解释，其应用极大程度上仅仅因为在某些产品的退化过程拟合上效果更好。

其次，根据大数定律，基于概率的加速退化模型十分适用于有充足样本的情况下。然而，在实际应用中，大多数ADT并不能提供足够的样本，原因如下：在时间维度上，ADT数据的检测次数可能十分不足。由于测试手段和能力的限制，有些产品在ADT过程中很难搜集到足够的ADT数据，对于每一个试验样本，在有限的试验时间内，仅仅能够得到很少量的检测数据；在样本维度上，由于成本或试验资源的限制，ADT中试验样本的数量通常也很少，这会导致试验样本维度提供的信息也十分不足。这里时间维度的检测次数不足，以及样本维度的样本数量不足，统称为小样本问题。基于概率的加速退化模型将时间维度的波动性和样本维度个体间差异性导致的不确定性视为随机不确定性，然而，小样本问题会导致难以提供足够的信息来认知总体，从而导致认知不确定性(epistemic uncertainty)的产生。在这种情况下，基于大数定律的概率加速退化模型不再适用，而上述提到的两维度的不确定性应该被视为认知不确定性而非随机不确定性。

为了处理和应对上述提到的这些问题，本发明将不确定理论(uncertaintytheory)引入加速退化建模领域中，在当样本量很小而概率论不再适用的情况下，不确定理论通过建模信度(非频率)来度量事件发生的可能性。这是一个不同于概率论的理论，且在诸多领域得到了广泛应用(Liu B.不确定风险分析和不确定可靠性分析，Uncertain RiskAnalysis and Uncertain Reliability Analysis[J].Journal of Uncertain Systems,2010,4(3):163-170；Huang M,Ren L,Lee L H,et al.Model and algorithm for 4PLRPwith uncertain delivery time[J].Information Sciences An InternationalJournal,2016,330(C):211-225；Zhang Q,Kang R,Wen M.Belief reliability foruncertain random systems[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2018,PP(99):1-1.)。

发明内容

针对加速退化试验中存在的时间维度和样本维度小样本导致的认知不确定性问题，本发明提供了一种考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法，具体包括以下步骤：

1)基于不确定理论，对获得数据进行不确定加速退化建模

将不确定理论引入加速退化建模，并建立如下不确定加速退化模型：

X(s,t)＝e(s)Λ(t)+σC(Λ(t)),e(s)～N_u(μ_e(s),σ_e(s)),Λ(t)＝t^β (1)

β>0,σ>0,μ_e(s)>0,σ_e(s)>0

其中，s代表应力水平，t代表时间，X(s,t)代表性能退化过程，其与应力水平s和时间t相关，e(s)是漂移系数，服从均值为μ_e(s)，标准差为σ_e(s)的不确定正态分布，即e(s)～N_u(μ_e(s),σ_e(s)),μ_e(s)>0,σ_e(s)>0；Λ(t)＝t^β是时间尺度变换函数，是t的单调递增函数，当β＝1时，X(s,t)是线性退化过程，否则，X(s,t)就是一个非线性退化过程；σ是扩散系数；C(Λ(t))是服从不确定正态分布(N_u)的不确定过程，即C(Λ(t))～N_u(0,Λ(t))。

公式(1)中的漂移系数e(s)，在加速退化建模中作为退化速率，是一个与应力水平s相关的函数，即寿命-应力相关性模型，如下式所示：

e(s_l)＝exp(α₀+α₁s_l)＝aexp(bs_l),a>0,b>0 (2)

其中α₀和α₁是未知模型参数，而α＝exp(α₀)，b＝α₁。

由于e(s)服从不确定正态分布，因此假设在公式(2)中，未知参数a服从均值为μ_a，方差为

的不确定正态分布，即a～N_u(μ_a,σ_a),μ_a>0,σ_a>0，则公式(2)转化为μ_e和σ_e关于应力水平s的函数如下：

ln(μ_e)＝ln(μ_a)+bs_l,ln(σ_e)＝ln(σ_a)+bs_l, (3)

μ_e>0,μ_a>0,σ_e>0,σ_a>0

其中，s_l是第l个标准化加速应力水平，针对不同的加速应力类型，有不同的计算公式：

其中，S₀，S_l和S_H分别表示正常应力水平，第l个加速应力水平，以及最高应力水平。当加速应力为温度时，选用Arrhenius model；当加速应力为电应力时，选用Power lawmodel。

由此，得到公式(1)中的性能退化过程X(s,t)服从如下不确定正态分布,X(s,t)～N_u(μ_e(s)Λ(t),(σ_e(s)+σ)Λ(t))。其中，确定性的退化规律由公式(1)中X(s,t)的期望表征，即E(X(s,t))＝μ_e(s)Λ(t)，而时间维度的波动性和检测次数不足则由X(s,t)的标准差中的一部分，即σC(Λ(t))的标准差Std[σC(Λ(t))1＝σΛ(t)表征，而样本维度个体间差异性和样本数量不足则由X(s,t)的标准差中的另一部分，即e(s)Λ(t)的标准差Std[e(s)Λ(t)1＝σ_e(s)Λ(t)表征。则X(s,t)的不确定正态分布为：

其中Φ_t()代表不确定分布，X(s,t)是一个具有独立增量的不确定过程，其退化增量ΔX(s,t)服从如下不确定正态分布：ΔX(s,t)～N_u(μ_e(s)ΔΛ(t),ΔΛ(t)(σ_e(s)+σ))，其中ΔΛ(t)＝(t+Δt)^β-t^β，即

2)采用不确定统计分析方法，对所建立的不确定加速退化模型的未知参数进行估计

基于恒定应力加速退化试验(CSADT)或步进应力加速退化试验(SSADT)，采用不确定统计分析方法估计未知参数。

x_lij表示第l个加速应力水平下，第i个样本的第j个性能检测值，t_lij是对应的检测时间，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,n_l,j＝1,2,…,m_l。其中，k代表加速应力水平的个数；n_l第l个加速应力水平下的样本量，m_l表示第l个加速应力水平下，第i个样本的性能检测次数。设ΔΛ为不重合的时间间隔，即

而Δx_lij是对应的性能退化增量，即Δx_lij＝x_li(j+1)-x_lij。由公式(1)和(3)组成的不确定加速退化模型中，未知参数向量为9＝(μ_a,σ_a,b,σ,β),μ_a>0,σ_a>0,b>0,σ>0,β>0。

3)正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估

a)首穿时分布获取

产品性能退化过程的寿命t_ω定义为其退化过程首次穿越给定失效阈值ω的时间(First Hitting Time，FHT)，即

t_ω＝inf{t_ω≥0|X(s,t)＝ω} (7)

针对递增的不确定过程，其FHT的不确定分布如下：

其中γ(·)表示FHT的不确定分布，z代表时间。

b)可靠性与寿命评估

根据不确定理论中的极值定理，得到所提出模型对应寿命分布：

其确信可靠度分布为：

其中R_B(t)是不确定测度下的确信可靠度。

同时，还得到其确信可靠寿命(BL(α))的不确定分布入下：

进一步的，所述步骤2)中基于恒定应力加速退化试验(CSADT)的不确定统计分析方法如下：

a)构建信度

由公式(6)可知，第l个加速应力下的第j个退化增量变量，Δx_lj＝(Δx_li1,…,Δx_lij,…),i＝1,2,…,n_l是一个服从不确定正态分布的不确定变量，其中Δx_lij为Δx_lj在第i个样本下的观测值。根据获得的加速退化数据，计算Δx_lj的所有观测值Δx_lij。

从风险分析的角度，假设退化增量越大，其对应累积信度越大是合理的，因此，采用统计中常用的近似中位秩/平均秩公式来获取第i个应力下的第k个退化增量变量所有观测值Δx_lij的信度α_lij：

其中i代表第l个加速应力下的第j个退化增量变量的第i个不重复的观测值；N_lj代表不相等观测值的数量，其上限为n_l；A和B取不同的值，即可获得不同的近似中位秩/平均秩公式，如下：

F₁:α_lij＝i/(N_lj+1),i＝1,...,N_lj (13)

F₂:α_lij＝(i-0.5)/N_lj,i＝1,...,N_lj (14)

F₃:α_lij＝(i-0.3)/(N_lj+0.4),i＝1,...,N_lj (15)

F₄:α_lij＝(i-0.5)/(N_lj+0.25),i＝1,...,N_lj (16)

对于第l个加速应力下的第j个退化增量变量的所有观测值，若有两或多个大小相同，则其对应的信度也相同；在恒定应力加速退化试验(CSADT)中，每个应力水平下，样本数有可能不同。

b)估计未知参数

基于公式(13)-(16)获得各性能退化增量观测值的信度，采用最小二乘原则来进行参数估计，最小化假设分布与获得信度之差的平方和，即

其中，Q_p代表采用公式(13)-(16)获取信度后，对应的目标函数，θ_p代表对应的未知参数向量；α_lij代表性能退化增量对应的信度。

c)优化参数评估结果

根据公式(17)，Q_p越小，其对应获得的参数估计结果就越合适，若所计算的所有Q_p中，有满足如下公式的，即将其对应的参数估计结果作为最终的参数估计结果：

θ_final＝{θ|Q_final＝min{Q_p}},p＝1,2,3,4 (18)

其中，9_final代表最终参数估计结果，Q_final代表最小的目标函数Q。

进一步的，所述步骤2)中基于步进应力加速退化试验(SSADT)的不确定统计分析方法如下：

在步进应力加速退化试验(SSADT)中，各应力水平下样本数相同，即n1＝n2＝……＝n，所有的试验样本是从最低的加速应力开始，逐步增加到最高的加速应力，即S₁→S₂→…→S_k。

SSADT中的性能退化过程表示如下：

其中[t_l-1,t_l)代表第l个加速应力下，试验样本进行试验的时间区。

a)按应力水平将SSADT数据分为几组

b)将SSADT数据转化为CSADT数据

根据公式(6)，对于第l个加速应力水平下的第i个样本，

服从均值为

标准差为

的不确定正态分布，即

其中

μ_el和σ_el分别是第l个加速应力水平下，退化率e_l的均值和标准差。此时，x′_lij就是CSADT数据，而

就是对应的转换时间。

c)参数估计

将SSADT数据转化为CSADT数据后，采用与恒定应力加速退化试验(CSADT)相同的不确定统计分析方法，即可获得所建立模型在SSADT下的参数估计结果。

本发明与现有技术相比所具有的有益效果：

1.依据认知不确定的来源，本发明将加速退化数据中的认知不确定性细致的划分为了两个维度：时间维度的认知不确定性和样本维度的认知不确定性。

2.基于不确定理论，本发明构建了一种新的不确定加速退化模型，推导出了相应的可靠度与寿命评估函数。在所提出的不确定加速退化模型中，时间维度和样本维度的认知不确定性都通过不同的变量予以清晰的量化。

3.本发明还给出了用于所提出模型参数估计的不确定统计分析方法，基于最小二乘原则，最小化获取累积信度和假定不确定分布之差的平方和，并采用客观测度而非主观测度来量化时间维度和样本维度的认知不确定性。

附图说明

图1是本发明建立的不确定加速退化建模与评估方法流程图。

图2是本发明建立的恒定应力加速退化试验下的不确定统计分析方法流程图。

图3是本发明实施例1中某连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验数据图。

图4是本发明实施例1中某连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验案例中的确定性退化规律研究-退化率随应力水平变化趋势图。

图5是本发明实施例1中某连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验案例中的不确定性研究-实际数据VS仿真数据图。

图6是本发明实施例1中某连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验案例中的确定性退化规律研究-时间VS应力水平VS应力松弛变化趋势图。

图7是本发明实施例1中某连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验案例中，正常工作应力下的确信可靠度与确信可靠寿命曲线图。

图8是本发明实施例2中某LED的光强度步进应力加速退化试验数据图。

图9是本发明实施例2中某LED的光强度步进应力加速退化试验案例中的确定性退化规律研究-退化率随应力水平变化趋势图。

图10是本发明实施例2中某LED的光强度步进应力加速退化试验案例中的不确定性研究-实际数据VS仿真数据图。

图11是本发明实施例2中某LED的光强度步进应力加速退化试验案例中的确定性退化规律研究-时间VS应力水平VS应力松弛变化趋势图。

图12是本发明实施例2中某LED的光强度步进应力加速退化试验案例中，正常工作应力下的确信可靠度与确信可靠寿命曲线图。

具体实施方式

以某电连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验数据和某LED的光强度步进应力加速退化试验数据为实际案例，开展对确定性退化规律，不确定性量化以及可靠性与寿命评估的工作，对上述提出的实施技术方案进行阐述和说明。

实施例1

某电连接器的应力松弛恒定应力加速退化试验(SR CSADT Case)

该SR CSADT Case的数据如图3所示，其试验基本信息，如下表1所示。

表格1 SR CSADT Case基本信息

由表1和图3可知，在该案例中，各加速应力下的检测次数和样本量分别为12，11，11以及6，6，6个，在时间维度和样本维度都具有小样本问题导致的认知不确定性，因此适合采用所提出的方法进行建模与评估。

具体步骤如下：

1.基于不确定理论，对获得数据进行不确定加速退化建模

由上一段分析可知，该案例获得的CSADT数据，适合由公式(1)和(3)组成的不确定加速退化模型进行确定性退化规律以及不确定性建模。由于加速应力是温度应力，所以在应力-寿命相关性模型中，选用Arrenhius model作为表征性能退化过程与加速应力之间关系的公式，其中温度的单位为开尔文(K)。

2.采用不确定统计分析方法，对所建立的不确定加速退化模型的未知参数进行估计

该案例为CSADT下，所以可以直接根据图2进行模型参数的估计。

a)构建信度

首先，计算所有性能退化增量，将第l个加速应力下的第j个退化增量变量，Δx_lj＝(Δx_li1,…,Δx_lij,…),i＝1,2,…,n_l进行从小到大排序，然后根据F₁–F₄(公式(13)–(16))获取其信度。例如，当l＝1，j＝1时，N_lj＝6，采用F₁–F₄，获取的信度分别为：

表格2性能退化增量对应信度获取

b)未知参数估计

依据上述获得信度以及公式(17)，获得参数估计结果如下：

表格3 SR CSADT Case参数估计结果

c)参数估计结果最优化

由表3可知，采用F₁获取信度对应的参数估计是得到的目标函数Q最小，即Q_final＝min{Q_l}＝Q₁，因此其对应的参数估计结果作为最终的参数估计结果，即θ_final＝θ₁。

3.确定性退化规律与不确定性分析

基于所提出的不确定加速退化模型以及所获得的参数估计结果，对该实际案例数据的确定性退化规律以及其中蕴含的不确定性进行分析。

针对确定性退化规律，可以采用公式(1)中的μ_e(s)Λ(t)以及公式(3)来表示，结果如图4和图5所示。而对于不确定性研究，采用提出的不确定加速退化模型以及获得的参数评估结果，在每个加速应力下进行了500次仿真，并将这些仿真数据同图3所示的实际数据放到同一个图中，如图6所示。由图4-6的结果可以看出，所提出不确定加速退化模型适用于在小样本情况下对该案例的确定性退化规律以及不确定性研究。

4.正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估

基于获得的参数评估结果，以及公式(10)和(11)，得到该案例在正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估，结果如图7所示。

实施例2

某LED的光强度步进应力加速退化试验(LED SSADT Case)

该LED SSADT Case数据如图8所示，其试验基本信息，如下表4所示。

表格4 LED SSADT Case基本信息

由表4和图8可知，在该案例中，各加速应力下的检测次数和样本量分别为7，4，2以及5个，在时间维度和样本维度都具有小样本问题导致的认知不确定性，因此适合采用所提出的方法进行建模与评估。

具体步骤如下：

1.确定理论，对获得数据进行不确定加速退化建模

由上一段分析可知，该实施例获得的SSADT数据，适合由公式(1)和(3)组成的不确定加速退化模型进行确定性退化规律以及不确定性建模。由于加速应力是温度应力，所以在应力-寿命相关性模型中，选用Arrenhius model作为表征性能退化过程与加速应力之间关系的公式，其中温度的单位为开尔文(K)。

2.采用不确定统计分析方法，对所建立的不确定加速退化模型的未知参数进行估计

该案例为SSADT下，所以首先将SSADT数据转化为CSADT数据，然后根据图2进行模型参数的估计。

a)将SSADT数据转化为CSADT数据

按照

和

的方式，将将SSADT数据转化为CSADT数据。

b)构建信度

计算所有性能退化增量，将第l个加速应力下的第j个退化增量变量，Δx_lj＝(Δx_li1,…,Δx_lij,…),i＝1,2,…,n_l进行从小到大排序，然后根据F₁–F₄(公式(11)-(16))获取其信度。例如，当l＝1，j＝1时，N_lj＝3，采用F₁–F₄，获取的信度分别为：

表格5性能退化增量对应信度获取

c)未知参数估计

依据上述获得信度以及公式(17)，获得参数估计结果如下：

表格6 LED SSADT Case参数估计结果

d)参数估计结果最优化

由表6可知，采用F₁获取信度是，对应的参数估计是得到的目标函数Q最小，即Q_final＝min{Q_l}＝Q₁，因此其对应的参数估计结果作为最终的参数估计结果，即θ_final＝θ₁。

3.确定性退化规律与不确定性分析

基于所提出的不确定加速退化模型以及所获得的参数估计结果，对该实际案例数据的确定性退化规律以及其中蕴含的不确定性进行分析。

针对确定性退化规律，可以采用公式(1)中的μ_e(s)Λ(t)以及公式(3)来表示，结果如图9以及图10所示。而对于不确定性研究，采用提出的不确定加速退化模型以及获得的参数评估结果，在每个加速应力下进行了500次仿真，并将这些仿真数据同图8所示的实际数据放到同一个图中，见图11所示。由图9–图11的结果可以看出，所提出不确定加速退化模型适用于在小样本情况下对该案例的确定性退化规律以及不确定性研究。

4.正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估

基于获得的参数评估结果，以及公式(10)和(11)，得到该案例在正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估，结果如图12所示。

尽管为了说明的目的，已描述了本发明的示例性实施方式，但是本领域的技术人员将理解，不脱离所附权利要求中公开的发明的范围和精神的情况下，可以在形式和细节上进行各种修改、添加和替换等的改变，而所有这些改变都应属于本发明所附权利要求的保护范围，并且本发明要求保护的产品各个部门和方法中的各个步骤，可以以任意组合的形式组合在一起。因此，对本发明中所公开的实施方式的描述并非为了限制本发明的范围，而是用于描述本发明。相应地，本发明的范围不受以上实施方式的限制，而是由权利要求或其等同物进行限定。

Claims (3)

1.一种考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法，具体包括以下步骤：

1)基于不确定理论，对获得数据进行不确定加速退化建模

将不确定理论引入加速退化建模，并建立如下不确定加速退化模型：

其中，s代表应力水平，t代表时间，X(s,t)代表性能退化过程，其与应力水平s和时间t相关，e(s)是漂移系数，服从均值为μ_e(s)，标准差为σ_e(s)的不确定正态分布，即e(s)～N_u(μ_e(s),σ_e(s)),μ_e(s)>0,σ_e(s)>0；Λ(t)＝t^β是时间尺度变换函数，是t的单调递增函数，当β＝1时，X(s,t)是线性退化过程，否则，X(s,t)就是一个非线性退化过程，σ是扩散系数，C(Λ(t))是服从不确定正态分布(N_u)的不确定过程，即C(Λ(t))～N_u(0,Λ(t))；

公式(1)中的漂移系数e(s)，在加速退化建模中作为退化速率，是一个与应力水平s相关的函数，即寿命-应力相关性模型，如下式所示：

e(s_l)＝exp(α₀+α₁s_l)＝aexp(bs_l),a>0,b>0 (2)

其中α₀和α₁是未知模型参数，而a＝exp(α₀)，b＝α₁；

由于e(s)服从不确定正态分布，因此假设在公式(2)中，未知参数a服从均值为μ_a，方差为

的不确定正态分布，即a～N_u(μ_a,σ_a),μ_a>0,σ_a>0，则公式(2)转化为μ_e和σ_e关于应力水平s的函数如下：

其中，s_l是第l个标准化加速应力水平，针对不同的加速应力类型，有不同的计算公式：

其中，S₀，S_l和S_H分别表示正常应力水平，第l个加速应力水平，以及最高应力水平；当加速应力为温度时，选用Arrhenius model；当加速应力为电应力时，选用Powerlaw model；

由此，得到公式(1)中的性能退化过程X(s,t)服从如下不确定正态分布，X(s,t)～N_u(μ_e(s)Λ(t),(σ_e(s)+σ)Λ(t))，其中，确定性的退化规律由公式(1)中X(s,t)的期望表征，即E(X(s,t))＝μ_e(s)Λ(t)，而时间维度的波动性和检测次数不足则由X(s,t)的标准差中的一部分，即σC(Λ(t))的标准差Std[σC(Λ(t))]＝σΛ(t)表征，而样本维度个体间差异性和样本数量不足则由X(s,t)的标准差中的另一部分，即e(s)Λ(t)的标准差Std[e(s)Λ(t)]＝σ_e(s)Λ(t)表征，则X(s,t)的不确定正态分布为：

其中Φ_t()代表不确定分布，X(s,t)是一个具有独立增量的不确定过程，其退化增量ΔX(s,t)服从如下不确定正态分布：ΔX(s,t)～N_u(μ_e(s)ΔΛ(t),ΔΛ(t)(σ_e(s)+σ))，其中ΔΛ(t)＝(t+Δt)^β-t^β，即

2)采用不确定统计分析方法，对所建立的不确定加速退化模型的未知参数进行估计

基于恒定应力加速退化试验CSADT或步进应力加速退化试验SSADT，采用不确定统计分析方法估计未知参数；

x_lij表示第l个加速应力水平下，第i个样本的第j个性能检测值，t_lij是对应的检测时间，l＝1,2,…,k,i＝1,2,…,n_l,j＝1,2,…,m_l，其中，k代表加速应力水平的个数，n_l第l个加速应力水平下的样本量，m_l表示第l个加速应力水平下，第i个样本的性能检测次数；设ΔΛ为不重合的时间间隔，即

而Δx_lij是对应的性能退化增量，即Δx_lij＝x_li(j+1)-x_lij；由公式(1)和(3)组成的不确定加速退化模型中，未知参数向量为θ＝(μ_a,σ_a,b,σ,β),μ_a>0,σ_a>0,b>0,σ>0,β>0；

3)正常工作应力下的产品可靠性与寿命评估

a)首穿时分布获取

产品性能退化过程的寿命t_ω定义为其退化过程首次穿越给定失效阈值ω的时间FHT，即

t_ω＝inf{t_ω≥0|X(s,t)＝ω} (7)

针对递增的不确定过程，其FHT的不确定分布如下：

其中Υ(·)表示FHT的不确定分布，z代表时间；

b)可靠性与寿命评估

根据不确定理论中的极值定理，得到所提出模型对应寿命分布：

其确信可靠度分布为：

其中R_B(t)是不确定测度下的确信可靠度，

同时，还得到其确信可靠寿命BL(α)的不确定分布如下：

其中α表示信度水平。

2.根据权利要求1所述的考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法，其特征在于，所述步骤2)中基于恒定应力加速退化试验CSADT的不确定统计分析方法如下：

a)构建信度

由公式(6)可知，第l个加速应力下的第j个退化增量变量，Δx_lj＝(Δx_li1,…,Δx_lij,…),i＝1,2,…,n_l是一个服从不确定正态分布的不确定变量，其中Δx_lij为Δx_lj在第i个样本下的观测值，根据获得的加速退化数据，计算Δx_lj的所有观测值Δx_lij；

从风险分析的角度，假设退化增量越大，其对应累积信度越大是合理的，因此，采用统计中常用的近似中位秩/平均秩公式来获取第i个应力下的第k个退化增量变量所有观测值Δx_lij的信度α_lij：

其中i代表第l个加速应力下的第j个退化增量变量的第i个不重复的观测值，N_lj代表不相等观测值的数量，其上限为n_l，A和B取不同的值，即可获得不同的近似中位秩/平均秩公式，如下：

F₁:α_lij＝i/(N_lj+1),i＝1,...,N_lj (13)

F₂:α_lij＝(i-0.5)/N_lj,i＝1,...,N_lj (14)

F₃:α_lij＝(i-0.3)/(N_lj+0.4),i＝1,...,N_lj (15)

F₄:α_lij＝(i-0.5)/(N_lj+0.25),i＝1,...,N_lj (16)

对于第l个加速应力下的第j个退化增量变量的所有观测值，若有两或多个大小相同，则其对应的信度也相同，在恒定应力加速退化试验CSADT中，每个应力水平下，样本数有可能不同；

b)估计未知参数

基于公式(13)-(16)获得各性能退化增量观测值的信度，采用最小二乘原则来进行参数估计，最小化假设分布与获得信度之差的平方和，即

其中，Q_p代表采用公式(13)-(16)获取信度后，对应的目标函数，θ_p代表对应的未知参数向量，α_lij代表性能退化增量对应的信度；

c)优化参数评估结果

根据公式(17)，Q_p越小，其对应获得的参数估计结果就越合适，若所计算的所有Q_p中，有满足如下公式的，即将其对应的参数估计结果作为最终的参数估计结果：

θ_final＝{θ|Q_final＝min{Q_p}},p＝1,2,3,4 (18)

其中，θ_final代表最终参数估计结果，Q_final代表最小的目标函数Q。

3.根据权利要求1所述的考虑样本个体差异的不确定加速退化建模和分析方法，其特征在于，所述步骤2)中基于步进应力加速退化试验SSADT的不确定统计分析方法如下：

在步进应力加速退化试验SSADT中，各应力水平下样本数相同，即n1＝n2＝……＝n，所有的试验样本是从最低的加速应力开始，逐步增加到最高的加速应力，即S₁→S₂→…→S_k；

SSADT中的性能退化过程表示如下：

其中[t_l-1,t_l)代表第l个加速应力下，试验样本进行试验的时间区；

a)按应力水平将SSADT数据分为几组；

b)将SSADT数据转化为CSADT数据；

根据公式(6)，对于第l个加速应力水平下的第i个样本，

服从均值为

标准差为

的不确定正态分布，即

其中

μ_el和σ_el分别是第l个加速应力水平下，退化率e_l的均值和标准差，此时，x′_lij就是CSADT数据，而

就是对应的转换时间；

c)参数估计

将SSADT数据转化为CSADT数据后，采用与恒定应力加速退化试验CSADT相同的不确定统计分析方法，即可获得所建立模型在SSADT下的参数估计结果。

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