CN109671029A - 基于伽马范数最小化的图像去噪算法 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字图像处理领域，涉及一种基于伽马范数最小化的图像去噪算法。该算法首先对噪声图像重叠分块，然后基于结构相似性指数自适应搜索与当前图像块最相似的若干非局部图像块以组成相似图像块矩阵，进而利用非凸伽马范数无偏近似矩阵秩函数以构建低秩去噪模型，最后基于奇异值分解对所得低秩去噪优化问题求解，并将去噪图像块重组为去噪图像。仿真结果表明，与现有PID，NLM，BM3D和NNM算法相比，本发明所提算法可有效消除高斯噪声，且可较好地恢复原始图像细节。

Description

基于伽马范数最小化的图像去噪算法

技术领域

本发明属于数字图像处理领域，具体涉及基于伽马范数最小化的图像去噪算法。

背景技术

数字图像在采集和传输过程中不可避免地受到噪声污染，从而造成图像细节丢失和质量下降，进而影响后续图像处理。图像去噪的目的则是从噪声图像y中尽可能准确地恢复原始图像x，并保留边缘、纹理等重要细节特征。去噪问题的退化模型可表示为：y＝x+v，其中，v通常被假设为均值为0，方差为σ_n ²的高斯白噪声。由于图像去噪问题的不适定性，利用表征图像统计特征的先验知识进行去噪显得尤为重要。

近年来，众多图像降噪算法相继被提出，其大致可分为以下两类：基于局部先验方法和基于非局部自相似(Nonlocal Self-Similarity，NSS)先验方法。基于局部先验方法主要包括基于小波收缩方法(Wavelet Shrinkage，WS)，全变分方法(Total Variation，TV)和基于退火算法的改进图像去噪方法(Progressive Image Denoising，PID)。然而，这些方法仅考虑局部先验知识，忽视非局部图像块间的相似性先验信息，从而导致算法去噪性能较差。图像非局部相似性先验是指：给定图像中某个局部图像块，利用该图像中非局部相似块间的线性相关特性，搜寻与给定图像块相似的大量图像块，实践表明NSS已成为图像恢复任务中非常有效的先验信息。基于此，Buades A等人提出一种非局部均值去噪(NonlocalMeans，NLM)算法，通过对相似图像块加权平均可获得较好去噪性能，但噪声等级较高时，由于相似图像块含大量噪声，从而导致去噪图像存在大面积模糊现象。针对此问题，Dabov K提出一种三维块匹配(Block Matching 3D Filtering，BM3D)算法，该算法将具有相似结构的2D图像块构造为三维数据，而后联合去噪以改善去噪性能，但较高时间复杂度限制了算法应用。基于此，Dong W等人提出一种非局部集中稀疏表示(Non-locally CentralizedSparse Representation，NCSR)算法，将相似图像块构造为矩阵，利用组稀疏方法改善去噪性能。然而，由该算法所获得去噪图像存在较强伪影现象及关键细节模糊等问题。针对以上问题，研究人员注意到：将非局部相似图像块以向量形式构造为矩阵，则该矩阵具有低秩特性且具有稀疏奇异值，因而可以考虑利用低秩先验信息提升去噪性能。基于此，Ji H等人提出一种核范数最小化(Nuclear Norm Minimization，NNM)算法，该算法利用核范数近似矩阵秩函数以构建低秩去噪模型，从而获得较好去噪性能。然而其均衡处理各个奇异值，忽视了各个奇异值不同程度地反映图像纹理、细节等先验知识，从而去噪性能提升有限。针对此问题，Gu S等人提出一种加权核范数最小化(Weighted Nuclear Norm Minimization，WNNM)算法，该算法利用加权核范数近似矩阵秩函数，通过对奇异值赋予不同权值以改善去噪性能。然而，利用核范数近似矩阵秩函数会过度惩罚较大奇异值，从而导致去噪问题只能获得次优解。

发明内容

为改善高斯噪声条件下图像去噪性能，基于低秩理论，本发明提出一种基于伽马范数最小化的图像去噪算法。

本发明的基本思路是，首先将噪声图像重叠分块并采用基于SSIM的块匹配算法构造相似图像块矩阵，而后利用近乎无偏近似秩函数的非凸伽马范数构建低秩去噪模型，最后基于奇异值分解对所得非凸问题进行求解并将去噪图像块重组以获得去噪图像。本发明的技术方案是：

1、建立低秩去噪模型

低秩去噪方法是当前图像去噪领域研究热点之一，其原理可描述如下：将尺寸为M×N的噪声图像y重叠分为n个尺寸为的图像块y_i,i＝1,2,...,n。然后在尺寸为L×L的窗口中搜索与当前图像块y_i最相似的m个图像块，并将其以列向量形式构造为相似图像块矩阵Y_i∈R^d×m，即Y_i＝(y_i,1,y_i,2,...,y_i,m)，y_i,m表示当前图像块y_i的第m个相似图像块。基于此，低秩去噪问题可表示为如下优化问题：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，X_i为去噪相似图像块矩阵，||·||_F为Frobenius范数，rank(X_i)为矩阵X_i的秩，λ为正则化参数，用以平衡正则化项和保真项。

需要注意的是，上述秩最小化问题为NP-hard问题，直接求解非常困难。针对此问题，Gu S等人提出一种核范数最小化算法，利用核范数近似矩阵秩函数，将非凸优化问题转化为凸优化问题，从而使优化问题(1)易于求解，可表述如下：

其中，||X_i||_*为矩阵X_i的核范数。问题(2)的解可表示为：

其中，Y_i的奇异值分解为Y_i＝PΛQ^T，S_λ(Λ)是关于对角矩阵Λ和参数λ的软阈值算子，其定义为：

S_λ(Λ)_jj＝max(Λ_jj-λ,0) (4)

对各重叠图像块执行以上操作，并将所有图像块重组即可重建原始图像。然而，核范数为有偏估计量，用其近似矩阵秩函数可能过惩罚矩阵较大奇异值，从而导致核范数最小化问题无法获得最优解，进而降低去噪性能。针对此问题，本发明采用非凸伽马范数代替核范数以获得秩函数近乎无偏估计，进而改善低秩去噪模型性能。

2、自适应相似图像块搜索

传统基于欧氏距离的非局部相似图像块搜索方法未考虑图像块的结构相似性，从而导致非局部相似图像块搜索不准确。为提高相似图像块搜索准确度，本发明提出一种基于结构相似性指数的自适应相似图像块搜索方法。结构相似性指数(StructuralSimilarity Index，SSIM)是一种综合的图像相似性评价指标，其考虑图像间亮度，对比度和结构三个不同特性，可较好评价两幅图像的相似程度。给定两幅图像x和y，SSIM定义如式(5)所示：

其中，μ_x，μ_y，σ_x ²，σ_y ²分别为图像x，y的均值和方差，σ_xy为图像x，y的协方差。此外，C₁＝(k₁L)²，C₂＝(k₂L)²为确保分母不为零的常数，L＝255为像素最大值，k₁＝0.01，k₂＝0.03为默认常数。

自适应相似图像块搜索方法主要思想如下：给定当前图像块y_i和目标数据集，计算当前图像块与目标数据集各图像块的结构相似性指数，其值越大表示两个图像块更相似，进而搜索与当前图像块最相似的m个图像块。其中，相似图像块数m需根据噪声等级自适应确定。而后将各相似图像块转换为列向量，并按相似度降序自左向右依次排列以组成相似图像块矩阵Y_i，构建过程如图2所示。

综上所述，所提相似图像块搜索方法可充分利用图像非局部自相似先验信息以提高相似图像块搜索准确性。基于所获得的相似图像块矩阵Y_i，基于伽马范数最小化的图像去噪模型如下所述。

3、建立伽马范数最小化模型

伽马范数是非凸MCP函数的矩阵扩展，相比有偏估计的核范数，其可近乎无偏地近似秩函数。设矩阵X的奇异值分解为X＝UΣV^T，其中，U＝[u₁,u₂,...,u_n]，V＝[v₁,v₂,...,v_n]，Σ＝diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)，且λ₁≥λ₂≥...≥λ_n≥0，则伽马范数可定义如下：

其中，[x]₊＝max(x,0)。

基于伽马范数可近乎无偏地近似秩函数的特性，本发明用其替换式(1)中的低秩项，构建非凸伽马范数最小化去噪模型，可表述如下：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，为去噪相似图像块矩阵，||X_i||_γ为矩阵X_i的伽马范数。

4、所提非凸模型求解

为便于表述，令X＝X_i，Y＝Y_i，则优化问题(8)的解可推导如下：

经过简单矩阵运算，式(9)可重新表示为：

固定u_i和v_i，对y(X)关于λ_i求微分得：

令则式(11)可表示为：

整理得：

其中，S_λ,γ(·)为非凸软收缩算子。将代入式(10)可得：

令由于上式右端第一项与待优化变量X无关，则y(X)关于X的最小化问题等价于关于ξ_i的最小化问题。可重新表示如下：

其中，当λ＜ξ_i≤γ时，可表示为：

当ξ_i＞γ时，可表示为：

对关于ξ_i求微分得：

由于为使关于ξ_i取最小值，u_i和v_i应分别取矩阵Y最小奇异值对应的左、右奇异向量，则ξ_i＝σ_i。由此可得，伽马范数最小化问题(8)的最优解可表示如下：

其中，Y＝U₁Σ₁V₁ ^T是矩阵Y的奇异值分解，Σ₁＝diag(σ₁,σ₂,...,σ_n)，Σ_λ,γ＝diag(S_λ,γ(σ₁),S_λ,γ(σ₂),...,S_λ,γ(σ_n))为对角矩阵，其对角元素为：

对各重叠图像块依次求解上述优化问题，即可求得所有去噪相似图像块矩阵{X_i},i＝1,2,...,n，进而将各去噪图像块重构为去噪图像x。实际应用中，可重复迭代以上步骤以获得较好去噪性能。

所述的基于伽马范数最小化的图像去噪算法的流程为：

输入：噪声图像y

1：初始化：y⁽⁰⁾＝y

2：for k＝1:K

3：迭代正则化：

4：for y^(k)中各重叠图像块y_i

5：基于SSIM图像块搜索方法构建相似图像块矩阵Y_i

6：对Y_i奇异值分解：[U,Σ,V]＝SVD(Y_i)

7：基于式(8)模型求估计值：

8：end for

9：聚合X_i以重构去噪图像

10：end for

输出：去噪图像

其中，步骤3迭代正则化过程用以改善算法去噪性能。

本发明的有益效果是：本发明利用结构相似性指数搜索相似图像块以避免传统方法相似图像块搜索不准确的缺点，利用伽马范数近乎无偏地近似矩阵秩函数以构建低秩去噪模型，解决传统矩阵秩函数近似方法估计精度较差的问题，基于奇异值分解对此非凸问题进行求解。仿真结果表明，与现有PID，NLM，BM3D和NNM算法相比，所提算法可显著消除高斯噪声，可较好避免伪影及细节模糊现象，可以较高精度恢复原始图像细节。

附图说明

图1为本发明实现的流程图；

图2为相似图像块矩阵构建过程；

图3为六幅测试图像；

图4为不同算法对House图像的去噪结果(σ_n＝50)。(a)噪声图像(b)PID(c)NLM(d)BM3D(e)NNM(f)所提算法；

图5为不同算法对Boats图像的去噪结果(σ_n＝100)。(a)噪声图像(b)PID(c)NLM(d)BM3D(e)NNM(f)所提算法。

具体实施方式

以下结合附图和具体的实施方式对本发明作进一步的说明。

实现本发明的基于伽马范数最小化的图像去噪算法的具体步骤为：

1、建立低秩去噪模型

低秩去噪方法的原理可描述如下：将尺寸为M×N的噪声图像y重叠分为n个尺寸为的图像块y_i,i＝1,2,...,n。然后在尺寸为L×L的窗口中搜索与当前图像块y_i最相似的m个图像块，并将其以列向量形式构造为相似图像块矩阵Y_i∈R^d×m，即Y_i＝(y_i,1,y_i,2,...,y_i,m)，y_i,m表示当前图像块y_i的第m个相似图像块。基于此，低秩去噪问题可表示为如下优化问题：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，X_i为去噪相似图像块矩阵，||·||_F为Frobenius范数，rank(X_i)为矩阵X_i的秩，λ为正则化参数，用以平衡正则化项和保真项。

2、自适应相似图像块搜索

结构相似性指数(Structural Similarity Index，SSIM)是一种综合的图像相似性评价指标，其考虑图像间亮度，对比度和结构三个不同特性，可评价两幅图像的相似程度，给定两幅图像x和y，SSIM定义如式(5)所示：

其中，μ_x，μ_y，σ_x ²，σ_y ²分别为图像x，y的均值和方差，σ_xy为图像x，y的协方差。此外，C₁＝(k₁L)²，C₂＝(k₂L)²为确保分母不为零的常数，L＝255为像素最大值，k₁＝0.01，k₂＝0.03为默认常数。

自适应相似图像块搜索的主要方案为：给定当前图像块y_i和目标数据集，计算当前图像块与目标数据集各图像块的结构相似性指数，其值越大表示两个图像块更相似，进而搜索与当前图像块最相似的m个图像块。其中，相似图像块数m需根据噪声等级自适应确定。而后将各相似图像块转换为列向量，并按相似度降序自左向右依次排列以组成相似图像块矩阵Y_i，构建过程如图2所示。

3、建立伽马范数最小化模型

伽马范数是非凸MCP函数的矩阵扩展，相比有偏估计的核范数，其可近乎无偏地近似秩函数。设矩阵X的奇异值分解为X＝UΣV^T，其中，U＝[u₁,u₂,...,u_n]，V＝[v₁,v₂,...,v_n]，Σ＝diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)，且λ₁≥λ₂≥...≥λ_n≥0，则伽马范数可定义如下：

其中，[x]₊＝max(x,0)。

基于伽马范数可近乎无偏地近似秩函数的特性，本发明用其替换式(1)中的低秩项，构建非凸伽马范数最小化去噪模型，可表述如下：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，为去噪相似图像块矩阵，||X_i||_γ为矩阵X_i的伽马范数。

4、所提非凸模型求解

为便于表述，令X＝X_i，Y＝Y_i，则优化问题(8)的解可推导如下：

经过简单矩阵运算，式(9)可重新表示为：

固定u_i和v_i，对y(X)关于λ_i求微分得：

令则式(11)可表示为：

整理得：

其中，S_λ,γ(·)为非凸软收缩算子。将代入式(10)可得：

令由于上式右端第一项与待优化变量X无关，则y(X)关于X的最小化问题等价于关于ξ_i的最小化问题。可重新表示如下：

其中，当λ＜ξ_i≤γ时，可表示为：

当ξ_i＞γ时，可表示为：

对关于ξ_i求微分得：

由于为使关于ξ_i取最小值，u_i和v_i应分别取矩阵Y最小奇异值对应的左、右奇异向量，则ξ_i＝σ_i。由此可得，伽马范数最小化问题(8)的最优解可表示如下：

其中，是矩阵Y的奇异值分解，Σ₁＝diag(σ₁,σ₂,...,σ_n)，Σ_λ,γ＝diag(S_λ,γ(σ₁),S_λ,γ(σ₂),...,S_λ,γ(σ_n))为对角矩阵，其对角元素为：

对各重叠图像块依次求解上述优化问题，即可求得所有去噪相似图像块矩阵{X_i},i＝1,2,...,n，进而将各去噪图像块重构为去噪图像x。实际应用中，可重复迭代以上步骤以获得较好去噪性能。

所述的基于伽马范数最小化的图像去噪算法的流程为：

输入：噪声图像_y

1：初始化：y⁽⁰⁾＝y

2：for k＝1:K

3：迭代正则化：

4：for y^(k)中各重叠图像块y_i

5：基于SSIM图像块搜索方法构建相似图像块矩阵Y_i

6：对Y_i奇异值分解：[U,Σ,V]＝SVD(Y_i)

7：基于式(8)模型求估计值：

8：end for

9：聚合X_i以重构去噪图像

10：end for

输出：去噪图像

其中，步骤3迭代正则化过程用以改善算法去噪性能。

本发明的有益效果可通过以下实验进一步说明：

实验条件：

为验证所提算法去噪性能，实验选取标准图像库中的六幅图像进行测试，其分别为256×256Monarch、720×576Boats、512×512Lena、512×512Pepper、256×256House和720×576Barbara图像，如图3所示。采用PID，NLM，BM3D和NNM算法作为对比算法，分别从去噪性能和运行时间两方面与所提算法对比。实验环境为：处理器Intel Core i7-7700，主频3.60GHz，内存8GB，操作***为64位Windows 10，仿真软件Matlab R2014a。

为定量评估所提算法去噪性能，本发明采用Ghanbari M等人定义的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作为评价指标。给定两幅图像x和y，PSNR定义如式(38)所示：

其中，MSE表示均方误差(Mean Square Error)，M×N为两幅图像的尺寸。

依据试验，搜索窗口尺寸L×L设为30×30，图像块尺寸相似图像块数m及算法迭代次数K需根据噪声等级自适应确定。对于噪声方差σ_n≤20，20＜σ_n≤40，40＜σ_n≤60和σ_n＞60的噪声图像，图像块尺寸分别设为6×6，7×7，8×8和9×9，相似图像块数m分别设为70，90，120和140。相应地，迭代次数K分别设为8，12，14和14。参数δ，λ和γ分别设为0.1，0.001和100。

实验内容：

实验1：对六幅测试图像分别添加零均值高斯白噪声以生成噪声图像。由于篇幅限制，本发明只显示四个噪声等级算法的去噪结果。其中，对于噪声方差σ_n＝10，σ_n＝30，σ_n＝50和σ_n＝100的高斯白噪声，不同算法去噪结果如表1所示，各实验最高PSNR用粗体表示。由表1可知，NLM算法去噪性能不明显，而所提算法几乎每种情况皆可获得较高的PSNR。相比PID，NLM，BM3D和NNM算法，所提算法PSNR分别平均提高0.32dB，2.76dB，0.35dB和1.99dB，且随着噪声等级提高，PSNR改善更为显著。上述现象是因为所提算法利用SSIM进行块匹配提高了相似图像块搜索准确度，且基于非凸伽马范数改善了矩阵秩函数近似精度。由此可知，相比其它四种算法，所提算法在不同噪声等级下均有较好去噪性能。

表1不同去噪算法PSNR对比

实验2：对于噪声方差σ_n＝50的House图像和噪声方差σ_n＝100的Boats图像，不同算法去噪结果分别如图4，5所示。由图可知，NLM算法去噪图像存在大面积模糊现象，去噪效果较差，这是由于其搜索相似图像块中存在大量噪声，且仅利用加权平均相似图像块去噪的缘故。NNM算法利用矩阵低秩先验可有效避免图像大面积模糊现象，但其均衡处理各个奇异值，导致去噪图像存在关键细节模糊和丢失等问题，比如图5(e)中船只部分桅杆明显缺失。PID算法利用空域和频域联合处理及退火算法，从而有效解决去噪图像关键细节丢失问题，但仍存在细节模糊现象。BM3D算法利用联合滤波方法，获得了较好去噪效果，但去噪图像存在较强伪影现象。所提算法则采用基于结构相似性指数的相似图像块搜索方法并利用非凸伽马范数近乎无偏近似矩阵秩函数以克服上述缺点，进而改善算法去噪性能。由图4(f)和图5(f)可知，所提算法去噪图像伪影现象较弱，且可较好恢复边缘、纹理等关键细节特征。综上所述，在不同等级高斯噪声条件下，所提算法去噪性能相比其它四种算法改善显著，其不仅可有效避免去噪图像模糊及伪影现象，且可较好恢复原始图像关键细节信息。

实验3：时间复杂度是评价算法运行速度的重要指标。由理论分析可得，PID算法的时间复杂度为其中，σ_s为空域高斯函数的标准差；NLM算法的时间复杂度为O(MNL²d)；BM3D算法的时间复杂度为NNM和所提算法的时间复杂度为O(K(MNL²d+MN²))。由上述分析可知，NNM和所提算法因奇异值分解和多次迭代操作相比其它三种算法较为耗时。实验选取标准图像库中的六幅测试图像以在上述计算平台评估不同算法的平均运行时间，测试结果如表2所示。由此表可知，BM3D算法运行速度远快于其它四种算法，平均耗时较短。其主要原因在于PID算法采用的频域离散傅里叶变换操作，NLM，NNM和所提算法采用的图像块提取及相似图像块搜索操作较为耗时，且NNM和所提算法因对相似图像块矩阵做奇异值分解及多次迭代去噪操作，因而算法运行时间较长。然而，BM3D算法虽然包含图像块提取及相似图像块搜索操作，但由于代码经过优化使得算法运行速度显著加快。此外，所提算法与NNM算法运行时间相近，但由于采用基于结构相似性指数的相似图像块搜索方法，平均耗时相对NNM算法较长。然而，牺牲运算速度所换来的收益是所提算法不同噪声等级下去噪性能突出，不仅可较好消除高斯噪声，且可较好避免伪影及细节模糊现象。

表2不同算法平均运行时间对比

算法	PID	NLM	BM3D	NNM	所提算法
						平均时间(s)	307	132	3	462	473

综上所述，本发明针对高斯噪声条件下去噪图像存在伪影及细节模糊问题，基于可近乎无偏近似秩函数的非凸伽马范数及低秩去噪模型，提出一种基于伽马范数最小化的图像去噪算法。首先，将噪声图像重叠分块并采用基于SSIM的块匹配算法构造相似图像块矩阵，从而避免传统方法相似图像块搜索不准确的缺点。而后，利用近乎无偏近似秩函数的非凸伽马范数构建低秩去噪模型，从而解决传统秩函数近似方法估计精度较差的问题。最后，基于奇异值分解对所得非凸问题进行求解并将去噪图像块重组以获得去噪图像。仿真结果表明，与现有主流算法相比，所提算法可较好消除高斯噪声，且可较好避免伪影及细节模糊现象。

Claims (2)

1.基于伽马范数最小化的图像去噪算法，其特征在于，包括如下步骤：

一、建立低秩去噪模型

低秩去噪方法的原理可描述如下：将尺寸为M×N的噪声图像y重叠分为n个尺寸为的图像块y_i,i＝1,2,...,n，然后在尺寸为L×L的窗口中搜索与当前图像块y_i最相似的m个图像块，并将其以列向量形式构造为相似图像块矩阵Y_i∈R^d×m，即Y_i＝(y_i,1,y_i,2,…,y_i,m)，y_i,m表示当前图像块y_i的第m个相似图像块，

基于此，低秩去噪问题可表示为如下优化问题：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，X_i为去噪相似图像块矩阵，||·||_F为Frobenius范数，rank(X_i)为矩阵X_i的秩，λ为正则化参数，用以平衡正则化项和保真项；

二、自适应相似图像块搜索

结构相似性指数(Structural Similarity Index，SSIM)是一种综合的图像相似性评价指标，其考虑图像间亮度，对比度和结构三个不同特性，可评价两幅图像的相似程度，给定两幅图像x和y，SSIM定义如式(5)所示：

其中，μ_x，μ_y，σ_x ²，σ_y ²分别为图像x，y的均值和方差，σ_xy为图像x，y的协方差，此外，C₁＝(k₁L)²，C₂＝(k₂L)²为确保分母不为零的常数，L＝255为像素最大值，k₁＝0.01，k₂＝0.03为默认常数；

自适应相似图像块搜索的主要方案为：给定当前图像块y_i和目标数据集，计算当前图像块与目标数据集各图像块的结构相似性指数，其值越大表示两个图像块更相似，进而搜索与当前图像块最相似的m个图像块，其中，相似图像块数m需根据噪声等级自适应确定，而后将各相似图像块转换为列向量，并按相似度降序自左向右依次排列以组成相似图像块矩阵Y_i；

三、建立伽马范数最小化模型

伽马范数是非凸MCP函数的矩阵扩展，相比有偏估计的核范数，其可近乎无偏地近似秩函数，设矩阵X的奇异值分解为X＝UΣV^T，其中，U＝[u₁,u₂,…,u_n]，V＝[v₁,v₂,...,v_n]，Σ＝diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)，且λ₁≥λ₂≥...≥λ_n≥0，则伽马范数可定义如下：

其中，[x]₊＝max(x,0)；

基于伽马范数可近乎无偏地近似秩函数的特性，用其替换式(1)中的低秩项，构建非凸伽马范数最小化去噪模型，可表述如下：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，为去噪相似图像块矩阵，||X_i||_γ为矩阵X_i的伽马范数；

四、所提非凸模型求解

为便于表述，令X＝X_i，Y＝Y_i，则优化问题(5)的解可推导如下：

经过简单矩阵运算，式(6)可重新表示为：

固定u_i和v_i，对y(X)关于λ_i求微分得：

令则式(8)可表示为：

整理得：

其中，S_λ,γ(·)为非凸软收缩算子，将代入式(7)可得：

令由于上式右端第一项与待优化变量X无关，则y(X)关于X的最小化问题等价于关于ξ_i的最小化问题，可重新表示如下：

其中，当λ＜ξ_i≤γ时，可表示为：

当ξ_i＞γ时，可表示为：

对关于ξ_i求微分得：

由于为使关于ξ_i取最小值，u_i和v_i应分别取矩阵Y最小奇异值对应的左、右奇异向量，则ξ_i＝σ_i，

由此可得，伽马范数最小化问题(5)的最优解可表示如下：

其中，Y＝U₁Σ₁V₁ ^T是矩阵Y的奇异值分解，Σ₁＝diag(σ₁,σ₂,...,σ_n)，Σ_λ,γ＝diag(S_λ,γ(σ₁),S_λ,γ(σ₂),...,S_λ,γ(σ_n))为对角矩阵，其对角元素为：

对各重叠图像块依次求解上述优化问题，即可求得所有去噪相似图像块矩阵{X_i},i＝1,2,...,n，进而将各去噪图像块重构为去噪图像x，实际应用中，可重复迭代以上步骤。

2.根据权利要求1所述的基于伽马范数最小化的图像去噪算法，其特征在于，其算法流程为：

输入：噪声图像y

1：初始化：

2：for k＝1:K

3：迭代正则化：

4：for y^(k)中各重叠图像块y_i

5：基于SSIM图像块搜索方法构建相似图像块矩阵Y_i

6：对Y_i奇异值分解：[U,Σ,V]＝SVD(Y_i)

7：基于式(5)模型求估计值：

8：end for

9：聚合X_i以重构去噪图像

10：end for

输出：去噪图像

其中，步骤3迭代正则化过程用以改善算法去噪性能。