CN109557818B - 具有多故障的多智能体跟踪***的滑模容错控制方法 - Google Patents

具有多故障的多智能体跟踪***的滑模容错控制方法 Download PDF

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CN109557818B CN201910029681.7A CN201910029681A CN109557818B CN 109557818 B CN109557818 B CN 109557818B CN 201910029681 A CN201910029681 A CN 201910029681A CN 109557818 B CN109557818 B CN 109557818B
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Abstract

本发明公开了一种基于滑模控制的线性多智能体跟踪***的主动容错控制方法。考虑一般线性多智能体跟踪***的执行器故障、传感器故障、固有非线性以及领导者控制输入未知的问题，采用分布式观测器和滑模控制方法提出了一种分布式容错控制策略。首先针对每个跟随者建立状态跟踪误差***，将传感器故障信号作为辅助状态量建立了一个增广的跟踪误差***。为了同时对多种故障和领导者的未知控制输入进行估计，引入一个中间变量。基于邻集输出信息为增广跟踪误差***和中间变量设计分布式观测器，并证明了全局估计误差***是最终一致有界的。根据获得的观测信息为每个跟随者智能体的跟踪误差***设计了一种非线性滑模面，增强了***的鲁棒性，并证明了滑动模态的稳定性。根据故障观测信息和邻集输出信息提出了一种分布式滑模控制器，保证误差***状态能在有限时间到达并保持在滑模面，从而实现多智能体***的容错跟踪稳定性。本发明用于带有执行器故障和传感器故障的线性多智能体跟踪***的容错控制。

Description

具有多故障的多智能体跟踪***的滑模容错控制方法
本发明涉及一种基于滑模的线性多智能体跟踪***的主动容错控制方法，属于多智能体***控制领域。
背景技术
随着现代社会、工程以及通信网络的飞速发展，近些年，多智能体***得到不断发展和广泛应用，关于多智能体***控制技术的研究也吸引了众多控制领域学者的关注。相比于传统的单个***，多智能体***具有更广泛的任务领域、更高的效率等优点，可通过智能体之间的相互协作有效地完成单个智能体无法完成的复杂任务。目前，多智能体***已应用于众多领域，如编队飞行，传感器网络等。
在过去的近几年里，多智能体***的一致性和编队问题引起了广大学者的研究热情，也有了许多优秀的成果，但大部分文献都未考虑智能体发生故障的情况。然而，规模较大且结构复杂的多智能体***在长期运行时，智能体难免会发生执行器或传感器故障，导致全局任务的失败，造成严重的经济损失或人员伤亡。因此，关于多智能体***的容错控制研究具有极其重要的研究价值和实际意义。
目前，多智能体***的容错控制研究成果大部分都是采用被动容错控制方法，学者张旭等人针对一类具有执行器故障和外部干扰问题的多智能体跟踪***，设计了具有自适应增益的补偿控制律实现容错控制。邓超等人提出了一种自适应输出反馈控制方法解决了一类非线性多智能体***的执行器故障问题。关于多智能体***的主动容错控制在近两年才受到关注，相关研究成果也比较少。鉴于主动容错控制需要先获取故障信息，再进行控制结构和参数的调整，使得主动容错控制具有更有效的容错控制效果。杨蒲等人针对一类具有执行器故障的领导-跟随多智能体***，基于分布式观测器并依据相对输出信息提出了一种输出反馈容错控制策略。Khodabandeh S等考虑了多智能体***的执行器故障问题，通过龙伯格观测器设计了一种基于虚拟执行器的分布式容错控制方法。不同于现有的多智能体***主动容错控制研究成果，本发明同时考虑了智能体的执行器故障和传感器故障以及***的固有非线性问题，并运用分布式观测器和滑模控制方法实现多智能体***的容错控制。滑模控制是一类特殊的非线性控制，且具有响应快，对***的不确定参数不灵敏，物理实现简单，鲁棒性好的优点，因此非常适于多智能体***的容错控制研究。
发明内容
发明目的：针对一类线性多智能体跟踪***的执行器和传感器故障，基于分布式观测器，提出一种滑模容错控制方法，补偿故障对***的负面影响，确保***能够稳定运行。
技术方案：一种基于滑模的线性多智能体***的主动容错控制方法，其特征在于：考虑具有无向通讯拓扑结构的多智能体跟踪***中存在的执行器故障、传感器故障以及领导者控制输入非零且未知的问题，通过分布式观测器和滑模控制方法，提出一种分布式容错控制策略，使得多智能体***在发生故障的情况下仍能顺利完成跟踪任务，首先为每个跟随者建立增广的跟踪误差***并引入一个中间变量，基于智能体的邻集输出信息为跟踪***和中间变量设计分布式观测器，同时对多种故障和领导者的未知控制输入进行估计，根据获得的观测信息为跟踪误差***设计滑模面，增加***的鲁棒性，并设计了滑模容错控制器，使得多智能体***在发生故障后仍能够继续安全运行。包括如下具体步骤：
步骤1)获取多智能体跟踪***的控制模型、故障模型以及通讯拓扑结构：
步骤1.1)领导者控制模型如式(1)所示：
Figure GSB0000189514530000021
其中，x0(t)∈Rn和y0(t)∈Rp分别代表领导者智能体***的状态量和输出量，r0(t)∈Rm表示领导者***的控制输入，且r0(t)≠0；
步骤1.2)发生执行器和传感器故障的跟随者控制模型如式(2)所示：
Figure GSB0000189514530000022
其中，xi(t)∈Rn，ui(t)∈Rm和yi(t)∈Rp分别代表第i个智能体的状态量、控制输入及输出量；fai(t)∈Ra表示第i个跟随者的执行器故障；连续向量值函数gi(xi(t)，t)∈Rn表示跟随者***的固有非线性；fsi(t)∈Rs代表第i个跟随者的传感器故障；矩阵A，B，C，Fa和Fs是具有适当维数的***矩阵，且假设(A，B)是稳定的，(A，C)是可观测的，矩阵B，Fa和Fs列满秩，且满足rank([B，Fa])＝rank(B)；
步骤1.3)多智能体跟踪***的通讯拓扑结构：
考虑包含一个标记为0的领导者和N个标记为i＝1，2，...，N的跟随者的多智能体***，图G＝(V，E)表示包括领导者和跟随者在内的所有节点之间的通讯拓扑图，其中节点集合V＝{0，1，2，...，N}，节点之间的通讯链接集合为E＝V×V；图G的子图
Figure GSB0000189514530000031
是跟随者之间的通讯拓扑图，其中
Figure GSB0000189514530000032
表示图G的邻接矩阵；记L为图G的Laplacian矩阵，定义
Figure GSB0000189514530000033
其中
Figure GSB0000189514530000034
是由各节点的度组成的对角矩阵，则lij的定义如式(3)所示：
Figure GSB0000189514530000035
令G＝diag(g1，g2，...，gN)表示领导者与跟随者之间的邻接矩阵，如果领航者0与第i个跟随者之间有一条无向边，那么gi＝1，否则，gi＝0；定义
Figure GSB0000189514530000036
为第i个跟随者的邻集；
步骤2)定义zi(t)＝xi(t)-x0(t)为第i个跟随者的跟踪误差变量，根据式(1)和式(2)，建立如式(4)所示的跟踪误差***：
Figure GSB0000189514530000037
将传感器故障信号作为一个辅助状态量来构建如式(5)所示的增广跟踪误差***：
Figure GSB0000189514530000038
其中，
Figure GSB0000189514530000039
Figure GSB00001895145300000310
是传感器故障函数的导数，I，0分别是适当维数的单位矩阵和零矩阵；
由rank([B，Fa])＝rank(B)可知，存在一个矩阵
Figure GSB00001895145300000311
使得等式
Figure GSB00001895145300000312
成立，则式(5)可重写为
Figure GSB00001895145300000313
其中，
Figure GSB00001895145300000314
步骤3)引入一个中间变量mi(t)∈Rm：
Figure GSB0000189514530000041
其中，
Figure GSB0000189514530000042
α是一个可选择的正实数，则由式(5)和(6)可得：
Figure GSB0000189514530000043
步骤4)为跟踪误差***和中间变量设计分布式观测器：
Figure GSB0000189514530000044
其中，
Figure GSB0000189514530000045
和
Figure GSB0000189514530000046
分别是变量
Figure GSB0000189514530000047
mi(t)和vi(t)的估计值；矩阵
Figure GSB0000189514530000048
为待设计得观测器增益矩阵，
Figure GSB0000189514530000049
为
Figure GSB00001895145300000410
的估计值；ξi(t)∈Rp是第i个跟随者的邻集输出跟踪误差，
Figure GSB00001895145300000420
代表ξi(t)的估计量，分别描述为：
Figure GSB00001895145300000411
Figure GSB00001895145300000412
其中，aij代表第i个跟随者和第j个跟随者之间的连接权重，gi代表第i个跟随者与领导者之间的连接权重，
Figure GSB00001895145300000413
代表第i个跟随者的邻集；
步骤5)根据以下线性矩阵不等式(12)获得分布式观测器增益矩阵
Figure GSB00001895145300000421
存在正定矩阵P1∈R(n+s)×(n+s)，P2∈Rm×m和矩阵N∈R(n+s)×(n+s)满足
Figure GSB00001895145300000414
其中，
Figure GSB00001895145300000415
Figure GSB00001895145300000416
步骤6)为每个跟随者的跟踪误差估计***设计如式(13)所示的滑模面：
Figure GSB00001895145300000417
其中，
Figure GSB00001895145300000418
是矩阵B的广义逆矩阵，
Figure GSB00001895145300000419
Figure GSB0000189514530000051
K∈Rn×n是待设计的矩阵；
步骤7)根据以下线性矩阵不等式(14)和等式(15)获得滑模面矩阵K，存在正定矩阵Q∈Rn×n以及矩阵
Figure GSB0000189514530000052
满足
Figure GSB0000189514530000053
Figure GSB0000189514530000054
其中，
Figure GSB0000189514530000055
步骤8)为每个跟随者设计如式(16)所示的分布式容错控制器：
Figure GSB0000189514530000056
其中，
Figure GSB0000189514530000057
γ为一正实数；
步骤9)根据步骤5)和7)，求得所需要得控制参数，通过式(16)所示的控制器实现多智能体***的跟踪容错控制。
有益效果：本发明提出的一种基于分布式观测器和滑模控制方法的线性多智能体***执行器和传感器故障的容错控制方法，考虑多智能体跟踪***中存在的执行器故障、传感器故障以及领导者控制输入非零且未知的问题，通过分布式观测器和滑模控制方法，提出一种分布式容错控制策略，使得多智能体***在发生故障的情况下仍能顺利完成跟踪任务。
具有如下优点：
(1)针对一般的线性多智能体***，同时考虑执行器、传感器故障和***的固有非线性问题；
(2)考虑了领导者控制输入非零且无法被任何跟随者获取的情况，具有一定的实际意义。
(3)根据智能体之间的通讯拓扑结构，基于智能体获取的邻集输出信息设计了分布式观测器，提高对故障的估计准确度；
(4)基于观测的故障信息设计了非线性滑模面和容错控制器，增强控制***的鲁棒性，使得多智能体***在发生故障的情况下，仍然能够完成跟踪任务，提高了***的容错能力。
本发明所用方法作为一种线性多智能体***执行器和传感器故障的的容错控制方法，有较好的鲁棒性和容错能力，灵活性强且易于实现，具有一定的实际应用价值，可广泛应用于多智能体***执行器和喜欢干起故障的容错控制领域。
附图说明
图1是本发明方法的流程图；
图2是Quanser公司的四旋翼飞行器Qball-X4及其姿态运动示意图；
图3是多四旋翼飞行器***的通讯拓扑结构图；
图4是多四旋翼飞行器***中每个飞行器***的容错控制原理框图；
图5是第1个跟随者飞行器执行器故障和领导者的未知输入信号的估计曲线；
图6是第1个跟随者飞行器传感器故障的估计曲线；
图7是第3个跟随者飞行器执行器故障和领导者的未知输入信号的估计曲线；
图8是第3个跟随者飞行器传感器故障的估计曲线；
图9是跟随者飞行器的X轴方向位移跟踪误差曲线；
图10是跟随者飞行器的X轴方向速度跟踪误差曲线；
具体实施方式
下面结合附图对本发明做更进一步的解释。
如图1所示，考虑一类线性多智能体***的执行器和传感器故障及固有非线性问题，根据智能体的邻集输出信息设计分布式观测器，并基于获得的故障和领导者未知控制输入信息提出非线性滑模面和滑模容错控制器。具体步骤如下：
步骤1)获取多智能体跟踪***的控制模型、故障模型以及通讯拓扑结构：
步骤1.1)领导者控制模型如式(1)所示：
Figure GSB0000189514530000061
其中，x0(t)∈Rn和y0(t)∈Rp分别代表领导者智能体***的状态量和输出量，r0(t)∈Rm表示领导者***的控制输入，且r0(t)≠0；
步骤1.2)发生执行器和传感器故障的跟随者控制模型如式(2)所示：
Figure GSB0000189514530000062
其中，xi(t)∈Rn，ui(t)∈Rm和yi(t)∈Rp分别代表第i个智能体的状态量、控制输入及输出量；fai(t)∈Ra表示第i个跟随者的执行器故障；连续向量值函数gi(xi(t)，t)∈Rn表示跟随者***的固有非线性；fsi(t)∈Rs代表第i个跟随者的传感器故障；矩阵A，B，C，Fa和Fs是具有适当维数的***矩阵，且假设(A，B)是稳定的，(A，C)是可观测的，矩阵B，Fa和Fs列满秩，且满足rank([B，Fa])＝rank(B)；
步骤1.3)多智能体跟踪***的通讯拓扑结构：
考虑包含一个标记为0的领导者和N个标记为i＝1，2，...，N的跟随者的多智能体***，图G＝(V，E)表示包括领导者和跟随者在内的所有节点之间的通讯拓扑图，其中节点集合V＝{0，1，2，...，N}，节点之间的通讯链接集合为E＝V×V；图G的子图
Figure GSB0000189514530000071
是跟随者之间的通讯拓扑图，其中
Figure GSB0000189514530000072
表示图G的邻接矩阵；记L为图G的Laplacian矩阵，定义
Figure GSB0000189514530000073
其中
Figure GSB0000189514530000074
是由各节点的度组成的对角矩阵，则lij的定义如式(3)所示：
Figure GSB0000189514530000075
令G＝diag(g1，g2，...，gN)表示领导者与跟随者之间的邻接矩阵，如果领航者0与第i个跟随者之间有一条无向边，那么gi＝1，否则，gi＝0；定义
Figure GSB0000189514530000076
为第i个跟随者的邻集；
步骤2)定义zi(t)＝xi(t)-x0(t)为第i个跟随者的跟踪误差变量，根据式(1)和式(2)，建立如式(4)所示的跟踪误差***：
Figure GSB0000189514530000077
将传感器故障信号作为一个辅助状态量来构建如式(5)所示的增广跟踪误差***：
Figure GSB0000189514530000078
其中，
Figure GSB0000189514530000079
Figure GSB00001895145300000710
是传感器故障函数的导数，I，0分别是适当维数的单位矩阵和零矩阵；
由rank([B，Fa])＝rank(B)可知，存在一个矩阵
Figure GSB0000189514530000081
使得等式
Figure GSB0000189514530000082
成立，则式(5)可重写为
Figure GSB0000189514530000083
其中，
Figure GSB0000189514530000084
步骤3)引入一个中间变量mi(t)∈Rm：
Figure GSB0000189514530000085
其中，
Figure GSB0000189514530000086
α是一个可选择的正实数，则由式(5)和(6)可得：
Figure GSB0000189514530000087
步骤4)为跟踪误差***和中间变量设计分布式观测器：
Figure GSB0000189514530000088
其中，
Figure GSB0000189514530000089
和
Figure GSB00001895145300000810
分别是变量
Figure GSB00001895145300000811
mi(t)和vi(t)的估计值；矩阵
Figure GSB00001895145300000812
为待设计得观测器增益矩阵，
Figure GSB00001895145300000813
为
Figure GSB00001895145300000814
的估计值；ξi(t)∈Rp是第i个跟随者的邻集输出跟踪误差，
Figure GSB00001895145300000815
代表ξi(t)的估计量，分别描述为：
Figure GSB00001895145300000816
Figure GSB00001895145300000817
其中，aij代表第i个跟随者和第j个跟随者之间的连接权重，gi代表第i个跟随者与领导者之间的连接权重，
Figure GSB00001895145300000818
代表第i个跟随者的邻集；
步骤5)根据以下线性矩阵不等式(12)获得分布式观测器增益矩阵
Figure GSB00001895145300000819
存在正定矩阵P1∈R(n+s)×(n+s)，P2∈Rm×m和矩阵N∈R(n+s)×(n+s)满足
Figure GSB0000189514530000091
其中，
Figure GSB0000189514530000092
Figure GSB0000189514530000093
步骤6)为每个跟随者的跟踪误差估计***设计如式(13)所示的滑模面：
Figure GSB0000189514530000094
其中，
Figure GSB0000189514530000095
是矩阵B的广义逆矩阵，
Figure GSB0000189514530000096
Figure GSB0000189514530000097
K∈Rn×n是待设计的矩阵；
步骤7)根据以下线性矩阵不等式(14)和等式(15)获得滑模面矩阵K，存在正定矩阵Q∈Rn×n以及矩阵
Figure GSB0000189514530000098
满足
Figure GSB0000189514530000099
Figure GSB00001895145300000910
其中，
Figure GSB00001895145300000911
步骤8)为每个跟随者设计如式(16)所示的分布式容错控制器：
Figure GSB00001895145300000912
其中，
Figure GSB00001895145300000913
γ为一正实数；
步骤9)根据步骤5)和7)，求得所需要得控制参数，通过式(16)所示的控制器实现多智能体***的跟踪容错控制。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
下面以实际案例仿真说明实施方案的有效性。
采用加拿大quanser公司生产的四旋翼飞行器Qball-X4作为具体的算法实验仿真对象。图2是Quanser的四旋翼飞行器Qball-X4及其姿态运动示意图，由图2可以看出，四旋翼飞行器相对于地面存在六维度变量(X，Y，Z，ψ，θ，φ)，其中前三个变量为位置变量，即相对于惯性系中心的位置。后三个变量为四旋翼直升机的姿态欧拉角：偏航ψ，俯仰θ，滚转φ。不失一般性，这里选用X轴方向的位移，速度和执行器动态作为状态量对其进行仿真实验。
四旋翼飞行器X轴方向的状态空间模型如下：
Figure GSB0000189514530000101
写成如下标准形式的状态空间表达式：
Figure GSB0000189514530000102
其中，
Figure GSB0000189514530000103
为状态量，u(t)为控制输入，***输出y(t)为X轴方向位移。
该四旋翼飞行器的机体参数值如表1所示：
表1 机体参数数值表
参数 值·单位
K 120N
ω 15rad/sec
M 1.4kg
假设θ＝0.035rad，则可以得到标称***中各系数矩阵如下：
Figure GSB0000189514530000104
这里我们考虑由一个领导者和四个跟随者组成的多四旋翼飞行器跟踪控制***，其中，领导者标记为0，跟随者标记为i(i＝1，2，3，4)。领导者飞行器Qball-X4的***模型为：
Figure GSB0000189514530000105
考虑跟随者飞行器Qball-X4***存在执行器、传感器故障和固有非线性问题，其***模型为：
Figure GSB0000189514530000111
假设多四旋翼飞行器***的通讯拓扑结构如图3所示，则我们可以得到如下Laplacian矩阵L和邻接矩阵G：
Figure GSB0000189514530000112
跟随者飞行器***考虑的执行器和传感器故障分布矩阵分别为Fa＝[0 0 15]T，Fs＝0.2，固有非线性函数为gi(xi3，t)＝[0 0 0.33sin(xi3)]T。领导者飞行器的控制输入设为r0(t)＝0.3sin(2t)，且领导者的控制输入信息不能被任何跟随者飞行器获取。每个飞行器***的初始状态设置为x0(t)＝[0.5 1 0.15]T，x1(t)＝[-1.5 2 0.2]T，x2(t)＝[-0.5 0.40.35]T，x3(t)＝[2 -0.2 0.15]T，x4(t)＝[0.2 0.3 0.1]T。
考虑跟随者飞行器1和3在飞行过程中发生执行器和传感器故障，故障形式描述为：
fa1(t)＝0.7sin(t)，fs1(t)＝sin(2t)，t≥10
fa3(t)＝0.8sin(2t)，fs1(t)＝0.5sin(t)，t≥10
选择设计参数α＝0.8，ε＝1，通过MATLAB LMI工具箱求得如下观测器和控制器增益矩阵：
Figure GSB0000189514530000113
根据本发明方法，对存在执行器、传感器故障和固有非线性的的多四旋翼飞行器***进行容错控制，图5-6分别是是第1个跟随者飞行器执行器故障和领导者未知输入的结合信号以及传感器故障的估计曲线；图7-8分别是是第3个跟随者飞行器执行器故障和领导者未知输入的结合信号以及传感器故障的估计曲线；图9-10分别是跟随者飞行器X轴方向的位置和跟踪跟踪误差曲线。
由图5-图10可知，本发明中的分布式观测器可对故障和领导者未知输入信号进行快速准确地估计。且在本发明的容错控制策略下，跟随者飞行器的X轴位置和速度跟踪误差均能在故障发生后的较短时间内再次趋于零，进而说明当***发生故障后，多飞行器***仍然能够顺利完成全局跟踪任务，避免事故的发生以及任务的失败。

Claims (1)

1.一种基于分布式观测器和滑模控制的线性多智能体***容错跟踪控制方法，其特征在于：考虑具有无向通讯拓扑结构的多智能体跟踪***中存在的执行器故障、传感器故障以及领导者控制输入非零且未知的问题，通过分布式观测器和滑模控制方法，提出一种分布式容错控制策略，使得多智能体***在发生故障的情况下仍能顺利完成跟踪任务，首先为每个跟随者建立增广的跟踪误差***并引入一个中间变量，基于智能体的邻集输出信息为跟踪***和中间变量设计分布式观测器，同时对多种故障和领导者的未知控制输入进行估计，根据获得的观测信息为跟踪误差***设计滑模面，增加***的鲁棒性，并设计了分布式滑模容错控制器，具体步骤如下：
步骤1)获取多智能体跟踪***的控制模型、故障模型以及通讯拓扑结构：
步骤1.1)领导者控制模型如式(1)所示：
Figure FSB0000189514520000011
其中，x0(t)∈Rn和y0(t)∈Rp分别代表领导者智能体***的状态量和输出量，r0(t)∈Rm表示领导者***的控制输入，且r0(t)≠0；
步骤1.2)发生执行器和传感器故障的跟随者控制模型如式(2)所示：
Figure FSB0000189514520000012
其中，xi(t)∈Rn，ui(t)∈Rm和yi(t)∈Rp分别代表第i个智能体的状态量、控制输入及输出量；fai(t)∈Ra表示第i个跟随者的执行器故障；连续向量值函数gi(xi(t)，t)∈Rn表示跟随者***的固有非线性；fsi(t)∈Rs代表第i个跟随者的传感器故障；矩阵A，B，C，Fa和Fs是具有适当维数的***矩阵，且假设(A，B)是稳定的，(A，C)是可观测的，矩阵B，Fa和Fs列满秩，且满足rank([B，Fa])＝rank(B)；
步骤1.3)多智能体跟踪***的通讯拓扑结构：
考虑包含一个标记为0的领导者和N个标记为i＝1，2，...，N的跟随者的多智能体***，图G＝(V，E)表示包括领导者和跟随者在内的所有节点之间的通讯拓扑图，其中节点集合V＝{0，1，2，...，N}，节点之间的通讯链接集合为E＝V×V；图G的子图
Figure FSB0000189514520000013
是跟随者之间的通讯拓扑图，其中
Figure FSB0000189514520000014
表示图G的邻接矩阵；记L为图G的Laplacian矩阵，定义
Figure FSB0000189514520000015
其中
Figure FSB0000189514520000021
是由各节点的度组成的对角矩阵，则lij的定义如式(3)所示：
Figure FSB0000189514520000022
令G＝diag(g1，g2，...，gN)表示领导者与跟随者之间的邻接矩阵，如果领航者0与第i个跟随者之间有一条无向边，那么gi＝1，否则，gi＝0；定义
Figure FSB0000189514520000023
为第i个跟随者的邻集；
步骤2)定义zi(t)＝xi(t)-x0(t)为第i个跟随者的跟踪误差变量，根据式(1)和式(2)，建立如式(4)所示的跟踪误差***：
Figure FSB0000189514520000024
将传感器故障信号作为一个辅助状态量来构建如式(5)所示的增广跟踪误差***：
Figure FSB0000189514520000025
其中，
Figure FSB0000189514520000026
Figure FSB0000189514520000027
是传感器故障函数的导数，I，0分别是适当维数的单位矩阵和零矩阵；
由rank([B，Fa])＝rank(B)可知，存在一个矩阵
Figure FSB0000189514520000028
使得等式
Figure FSB0000189514520000029
成立，则式(5)可重写为
Figure FSB00001895145200000210
其中，
Figure FSB00001895145200000211
步骤3)引入一个中间变量mi(t)∈Rm：
Figure FSB00001895145200000212
其中，
Figure FSB0000189514520000031
α是一个可选择的正实数，则由式(5)和(6)可得：
Figure FSB0000189514520000032
步骤4)为跟踪误差***和中间变量设计分布式观测器：
Figure FSB0000189514520000033
其中，
Figure FSB0000189514520000034
和
Figure FSB0000189514520000035
分别是变量
Figure FSB0000189514520000036
mi(t)和vi(t)的估计值；矩阵
Figure FSB0000189514520000037
为待设计得观测器增益矩阵，
Figure FSB0000189514520000038
为
Figure FSB0000189514520000039
的估计值；ξi(t)∈Rp是第i个跟随者的邻集输出跟踪误差，
Figure FSB00001895145200000310
代表ξi(t)的估计量，分别描述为：
Figure FSB00001895145200000311
Figure FSB00001895145200000312
其中，aij代表第i个跟随者和第j个跟随者之间的连接权重，gi代表第i个跟随者与领导者之间的连接权重，
Figure FSB00001895145200000313
代表第i个跟随者的邻集；
步骤5)根据以下线性矩阵不等式(12)获得分布式观测器增益矩阵
Figure FSB00001895145200000314
存在正定矩阵P1∈R(n+s)×(n+s)，P2∈Rm×m和矩阵N∈R(n+s)×(n+s)满足
Figure FSB00001895145200000315
其中，
Figure FSB00001895145200000316
Figure FSB00001895145200000317
步骤6)为每个跟随者的跟踪误差估计***设计如式(13)所示的滑模面：
Figure FSB00001895145200000318
其中，
Figure FSB00001895145200000319
BT是矩阵B的广义逆矩阵，
Figure FSB00001895145200000320
Figure FSB0000189514520000041
K∈Rn×n是待设计的矩阵；
步骤7)根据以下线性矩阵不等式(14)和等式(15)获得滑模面矩阵K，存在正定矩阵Q∈Rn×n以及矩阵
Figure FSB0000189514520000042
满足
Figure FSB0000189514520000043
Figure FSB0000189514520000044
其中，
Figure FSB0000189514520000045
步骤8)为每个跟随者设计如式(16)所示的分布式容错控制器：
Figure FSB0000189514520000046
其中，
Figure FSB0000189514520000047
γ为一正实数；
步骤9)根据步骤5)和7)，求得所需要得控制参数，通过式(16)所示的控制器实现多智能体***的跟踪容错控制。
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