CN109446473A - 基于分块的稳健张量主成分分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于分块的稳健张量主成分分析方法，通过引入级联运算，将整个张量分成若干个大小相同的块张量的级联，在一个更合适的尺寸的张量中进行图像去噪实验。交替方向乘子法将优化模型划分为两个子问题，即低秩成分逼近和稀疏成分逼近。迭代张量奇异值软阈值算子和迭代软阈值算子被用来解决这两个子问题。所得到的低秩成分为去噪声后的图像，稀疏成分为噪声。本发明用于提取多路数据的低秩成分和稀疏成分，通过引入分块思想，以及加入稀疏约束，在较小的块张量中提取低秩成分，能够获得更为准确清晰的细节。
Description
技术领域
本发明涉及图像处理领域，尤其涉及一种基于分块的张量低秩分解方法
背景技术
张量是多维数据，它是向量和矩阵数据的高阶泛化。基于张量数据的信号处理在广泛的应用中发挥了重要作用，如推荐***，数据挖掘，图像/视频去噪和修复等。然而，许多数据处理方法仅仅针对二维数据开发。将这些有效的方法扩展到张量领域已变得越来越重要。
主成分分析(PCA)，作为二维数据分析最常用的统计工具之一，可以提取数据中潜在的低秩结构。然而，PCA对大的噪声点或离群值非常敏感，其获得的估计值可以任意地远离真实值。因此，稳健主成分分析(RPCA)被提出。然而，RPCA方法的主要缺点是它仅仅能处理二维数据。然而，真实世界的数据，如彩色图像、视频和磁共振图像等，通常是多维的形式。当RPCA被用于多路数据时，数据必须被压平化或矢量化。在矩阵化或向量化过程中，信息丢失是不可避免的，数据的结构特征不能被充分利用。
为了利用张量数据中的多维结构信息，稳健张量主成分分析(RTPCA)被提出。给定一个被观察的张量其中表示实数域，上标为维度信息，即N1,N2,N3分别表示张量的第一，第二和第三维度，它可以被分解为低秩成分和稀疏成分：
其中表示张量的低秩成分，ε表示张量的稀疏成分。两种成分的所有元素值可以任意大。
问题(1)能够转化为以下凸优化问题:
其中，表示的张量核范数，‖ε‖1表示ε的张量的L1范数，λ是一个正数，是低秩成分与稀疏成分的权重因子。
目前RTPCA问题的处理方法通常针对整个张量直接进行处理，其所得结果通常很粗糙，这使一些应用中的细节变得模糊，例如，基于RTPCA的彩色图像去噪。于是，基于分块思想的RTPCA方法被提出，命名为IBTSVT。给定一个张量其可以分解为若干个块张量的级联其中表示级联运算，对于每一个块张量 它可以被分解为低秩成分和稀疏成分：
其中表示块张量的低秩成分，εp表示张量的稀疏成分。
为了提取每个块张量的低秩成分，IBTSVT方法处理每个块张量的张量核范数傅里叶域的奇异值软阈值可以被用来提取块张量的低秩成分。软阈值算子如下所示：
其中“()+”表示保留正数部分。
最后整个张量的低秩成分表示为稀疏成分表示为
IBTSVT方法对稀疏成分的处理太过于粗糙，其结果可能存在较大的噪声点或者异常点。
发明内容
本发明的发明目的在于：针对上述存在的问题，提供一种能够恢复细节的张量分解方法。本发明引入分块思想，加入稀疏约束，提出了一种稳健块张量主成分分析(RBTPCA)方法，实现在较小的块张量中提取低秩成分，以获得更为准确清晰的细节。
本发明的基于分块的稳健张量主成分分析方法，包括以下步骤：
输入待处理张量
初始化低秩成分稀疏成分ε、与ε的权重因子λ、对偶变量拉格朗日惩罚算子ρ、拉格朗日惩罚算子上限ρmax、收敛阈值∈、迭代系数k、以及取值大于零的调节因子φ，取值大于1的常数μ；
计算第k次迭代的低秩成分以及第k次迭代的稀疏成分εk：
对张量进行张量分解操作，将其划分为若干个相同大小的块张量的级联，得到每个块张量其中p为块标识符；例如用P表示张量分解操作得到的块张量数量，则可设定p＝1,…,P；
对每个块张量进行更新处理：首先对进行快速傅里叶变换得到张量分别对张量的各正面切片进行矩阵的奇异值分解，可以得到两个酉矩阵和一个正定对角矩阵；再计算各正面切片分解得到的正定对角矩阵的软阈值算子，其中，计算软阈值算子时的参数基于所有正面切片的正定对角矩阵的软阈值算子和两个酉矩阵，进行反傅里叶变换后得到更新后的块张量；
计算当前迭代的低秩成分其中符号表示级联运算；
以参数计算张量的软阈值算子，并将计算结果作为当前迭代的稀疏成分εk；
更新以及更新ρ＝min(μρ,ρmax)；
判断是否满足迭代收敛条件，若是，则更新ε＝εk，输出待处理张量的低秩成分和稀疏成分ε；
否则，更新ε＝εk，再更新k＝k+1后，继续计算低秩成分和稀疏成分εk；
所述迭代收敛条件为：‖εk-ε‖∞≤∈和同时满足。
综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：对于待处理的一个张量与现有的直接在整个大张量上操作的方法的参数设置应该是根据N1和N2之间的差距进行调整以获得良好的结果相比，本发明所提出的分析方法中，块张量的一维和二维尺寸相等，参数设置更容易，从而使得本发明比现有的方式更加鲁棒。本发明通过引入分块思想，以及加入稀疏约束，在较小的块张量中提取低秩成分，能够获得更为准确清晰的细节。
附图说明
图1是t-SVD示意图；
图2是本发明的级联运算示意图；
图3稳健块张量主成分分析模型；
图4是本发明方法与现有方法的彩色图像去噪结果示意图，其中(a)列表示原始图像； (b)列表示噪声图像；列(c)和(d)，(e)分别是现有的RTPCA，IBTSVT，以及本发明的RBTPCA的恢复结果示意图；
图5是本发明方法与现有方法对50张彩色图像去噪实验的RSE和PSNR值的比较，其中图(5-a)为RSE值的比较；图(5-b)为PSNR值的比较。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合实施方式和附图，对本发明作进一步地详细描述。
本发明基于分块思想，提出了一种稳健块张量主成分分析(RBTPCA)方法，用于提取数据的低秩成分和稀疏成分。
为了便于理解，对符号的注释，以及张量的相关定义如下：
(1)符号注释
a,A,分别表示向量，矩阵和张量。ai,j,k表示张量的第(i,j,k)个元素。表示第(i,j)个管纤维。和分别表示第i个水平，第j个侧面，第k个正面切片。第k个正面切片也可以表示为
一些常用范数的定义为和本具体实施方式中，使用表示沿着张量的第三个维度的快速傅里叶变换 (FFT)。同理，能根据通过反傅里叶变换(IFFT)计算
(2)定义注释：
定义1(t-product)：和的t-product是一个N1×N4×N3的张量其中
其中·表示两个管纤维之间的循环卷积。
定义2(共轭转置):给定一个大小为N1×N2×N3的张量首先共轭转置的每个正面切片，再反转转置后的第2至第N3个正面切片的顺序。所得到的是一个大小为N2×N1×N3的张量
定义3(正交张量):一个张量是正交的当且仅当其满足：
其中表示单位张量，其第一个正面切片为单位矩阵，其他正面切片均为0矩阵，即符号“()T”表示转置。
定义4(f-对角张量):当一个张量的每个正面切片都是一个对角矩阵时，该张量被称为f-对角张量。
定义5(t-SVD):对于张量的张量奇异值分解(t-SVD)为：
其中和分别为大小N1×N1×N3和N2×N2×N3的正交矩阵，是一个大小为 N1×N2×N3的f-对角张量。
即，在对张量进行奇异值分解时，利用了傅里叶域的矩阵奇异值分解(SVD)，参见图1，其具体分解处理过程为：
步骤S11：对待分解的张量沿着第三个维度做快速傅里叶变换，并将变换结果记录为张量
步骤S12：初始化参数n3＝1；
步骤S13：对张量的第n3个正面切片进行SVD分解，得到分解结果[U,S,V]，即其中U、V为对应的酉矩阵，S为正定对角矩阵，符号“()*”表示共轭转置；
并令
步骤S14：判断n3是否等于N3，若否，则参数n3自增1后，继续执行步骤S13；若是，则执行步骤S15；
步骤S15：由得到由得到由得到
再分别对进行反傅里叶变换，得到
定义6(张量核范数：TNN)：对于张量的张量核范数等价于的矩阵核范数，其中是一个块对角张量，定义为
其中是的第i个正面切片，i＝1,2,...,N3。
基于上述符号注释，以及定义，本发明的RBTPCA方法的原理为：
首先，本发明可以被表示为以下优化模型：
其中表示级联运算，级联运算示意图如图2所示，即包括上下，和左右两个方向的级联。其中，对于上下级联的两个块张量，第二和第三维度相等；对于左右级联的两个块张量，第一维度和第三维度相等。
RBTPCA模型如图3所示，其中黑点表示稀疏成分。
定义低秩成分为用符号表示张量分解操作，即可以采用交替方向乘子法(ADMM)解决式(9)所示的RBTPCA问题，将其转化为以下迭代问题：
其中ρ＞0是拉格朗日惩罚算子，是对偶变量，k是迭代系数，εk分别表示第k次迭代时的对偶变量、稀疏成分，εk+1分别表示第k+1次迭代时的对偶变量、低秩成分、稀疏成分。
式(10)所示的低秩成分逼近问题可以转化为式(13)：
其中，即其中分别表示张量进行t-SVD分解得到的两个正交张量，其中和表示张量进行t-SVD分解时得到的傅里叶域的f-对角张量，ifft(·)表示反傅里叶变换，表示张量的软阈值算子。
则，式(13)可以通过迭代块张量的奇异值阈值算子求解，如下所示：
其中块张量应该满足以下条件：
至于稀疏成分ε，其能够通过式(16)解决：
其中，sthτ(X)和分别表示矩阵X和张量的软阈值算子，其意味着对于矩阵或张量中的任意元素x满足：
sthτ(x)＝sign(x)·max(|x|-τ) (17)
其中，符号函数sign(·)用于返回参数的正负号。
对给定的待分析对象本发明的RBTPCA方法的具体实现过程如下：
步骤S21：初始化低秩成分稀疏成分ε、对偶变量拉格朗日惩罚算子ρ、调节因子φ(φ＞0)，常数μ(μ＞1)，拉格朗日惩罚算子上限ρmax、收敛阈值∈、迭代系数k；
其中，ρmax的通常取值范围为103＜ρmax＜105，∈的通常取值范围为10-5＜∈＜10-3；
本具体实施方式中，上述参数的优选取值分别为：
ε＝0，φ＝1.1，ρ＝0.7，μ＝1.2，ρmax＝105，∈＝10-5，k＝1；
步骤S22：计算块张量其中ε0＝0，即ε0为ε的初始值；
再分别对每个块张量进行更新处理：
首先对各块张量进行快速傅里叶变换得到然后分别对各块张量的N3个正面切片进行矩阵的奇异值分解：其中 为当前对应的酉矩阵，为正定对角矩阵，其中块标识符p＝1,…,P，切片标识符n3＝1,2,…,N3；
再对N3个正定对角矩阵分别计算软阈值算子，得到
最后，基于N3个和分别得到和然后对其分别进行反傅里叶变换得到和从而可以得到更新后的块张量即更新后的块张量其中“*”表示t-product(见定义1)，简记为
步骤S23：计算当前迭代的低秩成分
计算当前迭代的稀疏成分其中sthτ(·)表示括号中的张量的软阈值算子，即其中
更新以及更新ρ＝min(μρ,ρmax)；
步骤S24：判断是否满足迭代收敛条件，若是，则更新ε＝εk，输出张量的低秩成分和稀疏成分ε；否则，否则，更新k＝k+1，并继续执行步骤S22；
所述迭代收敛条件为：‖εk-εk-1‖∞≤∈和同时满足，其中ε0分别为ε的初始值。
实施例
为了验证本发明的有效性，本发明进行了彩色图像去噪实验。其运行平台为MatLab R2016a，处理器为Intel 2.60GB i5-3230M,RMB为8GB，Windows 10***的笔记本。
对空间大小为N1×N2的RGB彩色图像，该RGB彩色图像实质上是一个3维张量彩色图像的每一个通道都可以被看作是的一个正面切片。图像可以通过一个低阶矩阵来近似地重建。考虑到t-SVD是SVD的多线性扩展，本实施例中，使用一个低的管秩张量来近似于彩色图像。
将本发明的RBTPCA方法应用到彩色图像去噪处理中，并与现有IBTSVT方法、RTPCA方法进行性能比对：
随机抽取50个彩色图像进行试验。对于每一个颜色图像，随机选择10％的像素点，其在区间[0,255]随机取值。对于本发明的RBTPCA方法，选择块的大小24×24×3，并设置参数
对于现有IBTSVT算法，选择块的大小24×24×3，并设置参数
对于没有分块操作的RTPCA，选择参数
本实施例中，采用相对平方误差(RSE)和峰值信噪比(PSNR)来评价恢复图像的质量。恢复出来的图像和原始无噪声图像的RSE被定义为：
以及PSNR被定义为：
更高的PSNR值和更低的RSE值意味着更好的性能。图4展示了50张彩色图像的RSE和 PSNR值。由图可知，本发明所提出的RBTPCA方法提供了最好的去噪性能。
图5中给出了一些包含大量纹理信息的例子。它们是鸟、人、昆虫、船、房子和马的图像。结果显示：RTPCA恢复出来的彩色图像是相当模糊的。IBTSVT方法恢复出来的彩色图像虽然保留了原来图像的细节信息，但是仍然残留了许多大的噪声点；然而，本发明的RBTPCA 方法的结果不仅在细节上非常清晰，而且成功去除了噪声。例如，鸟嘴和船的轮廓是非常明显和清晰的。
综上，本发明通过引入分块思想，以及加入稀疏约束，在较小的块张量中提取低秩成分，能够获得更为准确清晰的细节。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，本说明书中所公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换；所公开的所有特征、或所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以任何方式组合。
Claims (7)
1.基于分块的稳健张量主成分分析方法，其特征在于，包括下列步骤：
输入待处理张量
初始化低秩成分稀疏成分ε、与ε的权重因子λ、对偶变量拉格朗日惩罚算子ρ、拉格朗日惩罚算子上限ρmax、收敛阈值∈、迭代系数k、以及取值大于零的调节因子φ，取值大于1的常数μ；
计算第k次迭代的低秩成分以及第k次迭代的稀疏成分εk：
对张量进行张量分解操作，将其划分为若干个相同大小的块张量的级联，得到每个块张量其中p为块标识符；
对每个块张量进行更新处理：首先对进行快速傅里叶变换得到张量再分别对张量的各正面切片进行矩阵的奇异值分解，得到两个酉矩阵和一个正定对角矩阵；再计算各正面切片分解得到的正定对角矩阵的软阈值算子，其中，计算软阈值算子时的参数基于所有正面切片的正定对角矩阵的软阈值算子和两个酉矩阵，进行反傅里叶变换后得到更新后的块张量；
级联更新后的块张量，得到当前迭代的低秩成分
以参数计算张量的软阈值算子，并将计算结果作为当前迭代的稀疏成分εk；
更新以及更新ρ＝min(μρ,ρmax)；
判断是否满足迭代收敛条件，若是，则更新输出待处理张量的低秩成分和稀疏成分ε；
否则，更新ε＝εk，再更新k＝k+1后，继续计算低秩成分和稀疏成分εk；
所述迭代收敛条件为：‖εk-ε‖∞≤∈和同时满足。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，拉格朗日惩罚算子上限ρmax的优选取值范围为103＜ρmax＜105。
3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，收敛阈值∈的优选取值范围为10-5＜∈＜10-3。
4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，调节因子φ的优选取值为1.1。
5.如权利要求1所述的方法，其特征在于，常数μ的优选取值为1.2。
6.如权利要求1所述的方法，其特征在于，拉格朗日惩罚算子ρ的初始值为0.7。
7.如权利要求1所述的方法，其特征在于，低秩成分稀疏成分ε的优选初始值均为0。
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN111369457A (zh) * | 2020-02-28 | 2020-07-03 | 西南电子技术研究所（中国电子科技集团公司第十研究所） | 稀疏判别张量鲁棒性pca的遥感图像去噪方法 |
| CN111369457B (zh) * | 2020-02-28 | 2022-05-17 | 西南电子技术研究所（中国电子科技集团公司第十研究所） | 稀疏判别张量鲁棒性pca的遥感图像去噪方法 |
| US11553139B2 (en) | 2020-09-29 | 2023-01-10 | International Business Machines Corporation | Video frame synthesis using tensor neural networks |
| CN113349795A (zh) * | 2021-06-15 | 2021-09-07 | 杭州电子科技大学 | 基于稀疏低秩张量分解的抑郁症脑电分析方法 |
| CN113349795B (zh) * | 2021-06-15 | 2022-04-08 | 杭州电子科技大学 | 基于稀疏低秩张量分解的抑郁症脑电分析方法 |
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| CN109446473B (zh) | 2021-04-30 |
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