CN109254321A - 一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，包括以下步骤：S1、采集得到已知地震激励下的地震输入和结构响应数据；S2、选择一个频域段并从步骤S1中数据的奇异值谱中获得固有频率的初始值，设定阻尼比的初始值；S3、通过最小化由贝叶斯公式得到的目标函数，得到固有频率和阻尼比的最优值；S4、通过固有频率和阻尼比的最优值得到模态贡献因子。与现有技术相比，本发明使用过程方便，只需要选择频域段，然后输入初始频率和阻尼比就可以直接进行计算，不需要专业人士进行经验分析，比传统方法计算速度快，通常完成分析只要几秒钟，可以直接在测试时使用。

Description

一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法

技术领域

本发明涉及地震激励下模态参数识别技术，尤其是涉及一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法。

背景技术

在地震激励下，基于采集到的结构振动响应进行模态参数识别时的参数主要包括结构的固有频率、阻尼比及振型。这三个参数由于是结构的固有属性，通常来说是基本保持不变的，如果出现变化，就意味着可能出现结构损伤，因此这些参数对结构模型修正，损伤识别及结构健康监测起到了重要作用。地震激励下的模态识别可以帮助了解结构在较大振动幅度下的耗能能力，同时也为振动台实验数据分析提供了有效的方法。

现有的技术有以下两个问题。第一个问题是目前的识别方法步骤比较繁琐，往往需要专业人士才能进行数据分析，计算过程比较缓慢，不能在测试现场及时进行数据分析。第二个问题是由于输入的地震激励是随机荷载，输出的模态参数必然存在一定的不确定性，然而目前并没有有效方法可以实现地震激励下模态参数的准确性评估，需要搭建框架，为模态参数评估提供平台。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，包括以下步骤：

S1、采集得到已知地震激励下的地震输入和结构响应数据；

S2、选择一个频域段并从步骤S1中数据的奇异值谱中获得固有频率的初始值，设定阻尼比的初始值；

S3、通过最小化由贝叶斯公式得到的目标函数，得到固有频率和阻尼比的最优值；

S4、通过固有频率和阻尼比的最优值得到模态贡献因子。

优选的，所述由贝叶斯公式得到的目标函数为：

其中，f_i表示第i阶模态的固有频率，ζ_i表示第i阶模态的阻尼比，表示第k个时域样本测得的加速度响应的快速傅里叶变换，k＝2,3,...,N_q，N_q＝int[N/2]+1，int[N/2]表示对N/2向下舍入为最接近的整数，N表示时域范围内测得样本的数目，表示的共轭转置，

其中，f_k＝(k-1)/NΔt，Δt表示采样点之间的时间间隔，F_g(f_k)表示已知地震激励的快速傅里叶变换，表示克罗内克积，Re表示对中括号中的向量取实部，I_n表示一个n×n单位矩阵，n表示测量得到的结构自由度的个数，R^nm×nm表示nm×nm阶实数矩阵，表示h_k的共轭转置，h_k为：

h_k＝[h_1k,h_2k,...,h_mk]∈R^1×m

其中，h_ik表示在频率f_k的第i阶模态的转换方程，1≤i≤m，m表示贡献的模态数量，

其中，表示F_g(f_k)的共轭矩阵，R^nm表示nm×1阶实数矩阵。

优选的，所述模态贡献因子为：

γ_i＝||Φ_γ(i)||

其中，||Φ_γ(i)||表示正则化为1的Φ_γ(i)，Φ_γ(i)通过从(Φ_γ:)的最优值中提取得到，其中：

所述(Φ_γ:)的最优值通过P和Q的最优值和得到。

优选的，所述(Φ_γ:)的最优值为：

其中，分别为目标函数最小化时的P和Q。

优选的，所述第k个时域样本测得的加速度响应的快速傅里叶变换为：

其中，F_k(θ)表示加速度响应理论值的快速傅里叶变换，F_ek是预测误差的快速傅里叶变换：

其中，S_e表示预测误差的功率谱密度的幅值，Z_1k和Z_2k表示两个标准的高斯实向量，i²＝-1。

优选的，所述在频率f_k的第i阶模态的转换方程h_ik为：

h_ik＝[(β_ik ²-1)+i(2ζ_iβ_ik)]^-1

其中，β_ik＝f_i/f_k，i²＝-1。与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1、使用过程方便，只需要选择频域段，然后输入初始频率和阻尼比就可以直接进行计算，不需要专业人士进行经验分析，比传统方法计算速度快，通常完成分析只要几秒钟，可以直接在测试时使用。

2、可以同时分析振动台实验数据和真实结构测得的地震响应下的数据，具有较好的鲁棒性。

3、基于本方法提出的框架，为模态参数评估提供平台，可以实现现有技术做不到的模态参数的不确定性评估。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

本申请提出了一种在贝叶斯理论框架下，基于已知地震激励和结构响应进行快速模态参数识别的方法。首先基于采集到的结构振动响应和输入的地震动，包括加速度、速度、位移等，根据结构动力学基本原理，构建贝叶斯框架下的似然函数，先验概率密度函数，构建后验概率密度函数，最后得到负对数似然函数，通过对负对数似然函数求导及迭代优化算法，可以快速的识别模态参数最优值。本方法发展的贝叶斯框架亦可以为后期模态参数评估提供平台。

实施例

如图1所示，一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，包括以下步骤：

S1、采集得到已知地震激励下的地震输入和结构响应数据；

S2、选择一个频域段并从步骤S1中数据的奇异值谱中获得固有频率f_i的初始值，设定阻尼比ζ_i的初始值，可设为1％，在频域段内可以选择单个模态也可以选择多个模态；

S3、通过最小化由贝叶斯公式得到的目标函数，得到固有频率和阻尼比的最优值；

S4、通过固有频率和阻尼比的最优值得到模态贡献因子。

步骤S1测量得到的结构n个自由度的加速度响应用来表示，这里N表示时域范围内测得样本的数目，为了方便，简化为第j个测得的加速度响应可以表示为：

式中是加速度响应的理论值，e_j∈Rⁿ是预测误差，表示加速度测量值和理论值的区别，由模型误差、噪音等组成。

在频域范围内，的快速傅里叶变换(FFT)可以定义为：

式中，i²＝-1；Δt表示采样点之间的时间间隔；k＝2,3,...,N_q，对应于频率f_k＝(k-1)/NΔt的FFT数据，N_q＝int[N/2]+1。只有在一个选择的频段内的FFT数据会用来进行模态识别。

对方程(1)两边进行傅里叶变换，的傅里叶变换可以被表示为：

其中，F_k(θ)表示加速度响应理论值的FFT，F_ek是预测误差的FFT。通常来讲，预测误差可以被模拟为高斯白噪声，因此，预测误差的功率谱密度可以被假设为在一个选择的频域段内为常数，幅值为S_e，F_ek可以表示为：

其中，Z_1k和Z_2k表示两个标准的高斯实向量，它们里面的值是独立的。

由贝叶斯公式得到目标函数的过程如下：

考虑一个在已知地震激励下的结构，其地震激励被表示为假设由于地震激励产生的结构响应占主导地位，环境激励产生的响应可以被模拟为预测误差。假设经典阻尼，一个线性结构的加速度响应可以表示为：

其中，m表示贡献的模态数量；Φ_i∈Rⁿ表示对应于测试自由度的振型向量；表示第i阶模态的模态响应，其满足以下方程：

式中ω_i＝2πf_i，f_i表示第i阶模态的固有频率；ζ_i表示第i阶阻尼比；p_i(t)表示第i阶模态力，在地震激励下，其可以表示为：

其中，表示包含结构所有自由度的振型；M为质量矩阵；1表示n×1向量，其里面所有元素都等于1。定义：

为模态贡献因子，然后可以得到：

对公式(9)进行傅里叶变换，并重新整理，模态加速度响应的FFT可以表示为：

其可以通过以下两个关系代入得到：

式中，F_g(f_k)是的FFT；和分别是和η_i(t)的FFT；并且

h_ik＝[(β_ik ²-1)+i(2ζ_iβ_ik)]^-1 (13)

是一个复数，它表示在频率f_k的第i阶模态的转换方程，β_ik＝f_i/f_k表示频率的比值。

将公式(10)代入(5)，模态响应的FFT可以表示为：

让D表示在一个选择的频域段内的FFT数据，其包含了我们感兴趣的模态。基于贝叶斯理论，需要识别的模态参数θ的后验概率密度函数可以表示为：

式中p(θ)是先验概率密度函数；p(D|θ)表示似然函数；p(D)可以被看成一个常数。

跟p(θ)相比，由于数据D的影响，p(D|θ)变化较快。因此，假设单一先验信息，后验概率密度函数跟似然函数成正比，也就是说，

p(θ|D)∝p(D|θ) (16)

似然函数p(D|θ)可以通过下面的推导来构建。

定义为由FFT数据的实部和虚部组成的一个向量；包括选择频域段内的FFT数据。可以证明对于大的N和小的Δt，在不同频率是独立的，并且服从高斯分布。基于这个事实，似然函数p(D|θ)可以表示为：

式中C_k表示的协方差矩阵；det(·)表示行列式；μ_k＝[ReF_k(θ)+ImF_k(θ)]是的理论值，这里F_k(θ)是一个复向量，可以表示为：

F_k(θ)＝ReF_k(θ)+iImF_k(θ) (18)

ReF_k(θ)和ImF_k(θ)分别表示F_k(θ)的实部和虚部。

根据公式(4)，的方差等于S_e/2，因此似然函数可以表示为：

同时：

因此，上述方程可以写成：

其中字符上标的“*”表示对应字符的共轭转置。

为了优化方便，我们用负对数似然函数将最大值问题转化为最小值问题，如下：

p(θ|D)∝exp(-L(θ)) (22)

上式中

根据公式(23)，理论上模态参数的最优值可以通过最小化负对数似然函数来实现。然而，直接进行优化将非常耗时，计算效率将随着测试的自由度的数目和选择频域段内的模态数目大幅降低。为了改进计算效率，一些参数可以通过解析解得到，把他们表示为其他模态参数的函数，剩余的模态参数可以通过优化得到。

在公式(23)中，S_e跟其他模态参数是相互独立的，定义参数集合θ＝{f_i,ζ_i,γ_i,Φ(i):i＝1,...,m}，这里γ_i∈R，Φ(i)∈Rⁿ；θ不包括S_e。定义目标函数：

因此：

其中，terms that do not depend on S_e表示与S_e无关的参数，因为alnx+b/x的形式在x＝b/a有唯一的最小值，S_e的最优值可以从下式中得到：

在公式(25)中，当J(θ)达到其最小值，L(θ)也将达到最小值。因此，由于J(θ)不依赖于S_e，θ的最优值可以通过最小化J(θ)得到。

对于θ里面的振型，通常需要规范化约束，也就是说||Φ_i||＝1。当进行优化时，也要合理的考虑这些约束。在公式(14)中，γ_i总是跟Φ_i一起出现，因此定义一个新变量：

Φ_γ(i)＝γ_iΦ_i (27)

这是一个无约束向量。从而公式(14)可以被写成：

由于Φ_γ(i)是一个n×m矩阵，当m＞1时，J(θ)对Φ_γ(i)的导数求解将非常困难。为了解决这个问题，公式(28)可以被重构为：

式中，I_n表示一个n×n单位矩阵，表示克罗内克积，

h_k＝[h_1k,h_2k,...,h_mk]∈R^1×m (30)

并且：

将公式(29)代入公式(24)中的J(θ)，可以得到：

式中，

其中，R^nm×nm表示nm×nm阶实数矩阵，表示h_k的共轭转置，Re表示对中括号中的向量取实部，表示地震激励的快速傅里叶变换的共轭转置，R^nm表示表示nm×1阶实数矩阵。

将J(θ)对(Φ_γ:)一次求导并使导数等于零，可以得到(Φ_γ:)的最优值：

其中，分别为P和Q的最优值，因为P和Q只依赖于{f_i,ζ_i}，因此(Φ_γ:)也是这样，将其代入公式(32)，目标函数可以表示为：

表示的共轭转置。

{f_i,ζ_i}的最优值可以通过最小化J({f_i,ζ_i})得到，一旦得到之后，可以得到 (Φ_γ:)也可以通过公式(35)得。步骤S4中，Φ_γ(i)可以从(Φ_γ:)中提取得到，所以模态贡献因子γ_i＝||Φ_γ(i)||可以通过设置Φ_i正则化为1得到。

对于大量的数据，通常来说优化过程是可以全局可识别的。对于不是全局可以识别的问题，一些更高级的工具，比如马尔科夫链蒙特卡洛(MCMC)可以用来解决这些问题，这不在本发明保护范围之内。

Claims (6)

1.一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、采集得到已知地震激励下的地震输入和结构响应数据；

S2、选择一个频域段并从步骤S1中数据的奇异值谱中获得固有频率的初始值，设定阻尼比的初始值；

S3、通过最小化由贝叶斯公式得到的目标函数，得到固有频率和阻尼比的最优值；

S4、通过固有频率和阻尼比的最优值得到模态贡献因子。

2.根据权利要求1所述的一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，所述由贝叶斯公式得到的目标函数为：

其中，f_i表示第i阶模态的固有频率，ζ_i表示第i阶模态的阻尼比，表示第k个时域样本测得的加速度响应的快速傅里叶变换，k＝2,3,...,N_q，N_q＝int[N/2]+1，int[N/2]表示对N/2向下舍入为最接近的整数，N表示时域范围内测得样本的数目，表示的共轭转置，

其中，f_k＝(k-1)/NΔt，Δt表示采样点之间的时间间隔，F_g(f_k)表示已知地震激励的快速傅里叶变换，表示克罗内克积，Re表示对中括号中的向量取实部，I_n表示一个n×n单位矩阵，n表示测量得到的结构自由度的个数，R^nm×nm表示nm×nm阶实数矩阵，表示h_k的共轭转置，h_k为：

h_k＝[h_1k,h_2k,...,h_mk]∈R^1×m

其中，h_ik表示在频率f_k的第i阶模态的转换方程，1≤i≤m，m表示贡献的模态数量，

其中，表示F_g(f_k)的共轭矩阵，R^nm表示nm×1阶实数矩阵。

3.根据权利要求2所述的一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，所述模态贡献因子为：

γ_i＝||Φ_γ(i)||

其中，||Φ_γ(i)||表示正则化为1的Φ_γ(i)，Φ_γ(i)通过从(Φ_γ:)的最优值中提取得到，其中：

所述(Φ_γ:)的最优值通过P和Q的最优值和得到。

4.根据权利要求3所述的一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，所述(Φ_γ:)的最优值为：

其中，分别为目标函数最小化时的P和Q。

5.根据权利要求2所述的一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，所述第k个时域样本测得的加速度响应的快速傅里叶变换为：

其中，F_k(θ)表示加速度响应理论值的快速傅里叶变换，F_ek是预测误差的快速傅里叶变换：

其中，S_e表示预测误差的功率谱密度的幅值，Z_1k和Z_2k表示两个标准的高斯实向量，i²＝-1。

6.根据权利要求2所述的一种地震激励下快速贝叶斯模态参数识别方法，其特征在于，所述在频率f_k的第i阶模态的转换方程h_ik为：

h_ik＝[(β_ik ²-1)+i(2ζ_iβ_ik)]^-1

其中，β_ik＝f_i/f_k，i²＝-1。