CN109163735B - 一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉捷联惯性导航***初始对准领域,具体为一种晃动基座正向‑正向回溯原理的快速初始对准方法。首先获取传感器实时数据,利用传感器实时数据进行基于矢量观测的粗对准并存储中间变量,利用存储的中间变量,构建基于初始导航系的正向‑正向回溯初始对准,将正向‑正向回溯初始对准估计的初始姿态反馈,通过估计当前姿态角完成精对准。本发明采用基于矢量观测器的粗对准方法,并保存对准过程中的有效数据,采用基于初始导航系的***误差模型实现正向‑正向初始对准过程,减小了初始对准时间,从而实现了快速对准的目的。
Description
技术领域
本发明涉捷联惯性导航***初始对准领域,具体为一种晃动基座正向-正向回溯原理的快速初始对准方法。
背景技术
捷联惯性导航***初始对准技术是***正常导航定位的关键技术之一,采用陀螺仪和加速度计进行晃动基座上初始对准具有测姿精度高、可靠性好、自主性强等优点。当前,初始对准可以分为粗对准和精对准两个过程,其中粗对准主要实现粗略的姿态估计;精对准则是在粗对准的基础上进行姿态精估计。众多学者都对捷联惯导***初始对准技术进行了深入的研究,但是研究均有将粗对准和精对准分别研究的缺点,精对准过程没有充分利用粗对准过程的有效信息,导致对准时间较长,进而延长了捷联惯导准备时间,不利于***应用。
为克服传统方法对准时间较长的问题,采用一种基于回溯原理的快速初始对准方法。通过在粗对准过程中进行数据保存,并利用保存的数据进行精对准,从而实现了快速对准的目的。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种晃动基座正向-正向回溯原理的快速初始对准方法,提出了一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,其采用基于矢量观测器的粗对准方法,并保存对准过程中的有效数据,采用基于初始导航系的***误差模型实现正向-正向初始对准过程,减小了初始对准时间,实现了快速对准。
为了解决上述技术问题,本发明解决其技术问题所采用的技术方案是:
一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,包括以下几个步骤:
步骤1:获取传感器实时数据,所述传感器实时数据包括陀螺仪数据及加速度计数据;
步骤2:进行基于矢量观测的粗对准并存储中间变量,定义解算所需的参考坐标系如下:
b—载体坐标系,表示捷联惯性导航***三轴正交坐标系,其x轴、y轴和z轴分别指向载体的右-前-上;
n—导航坐标系,表示载体所在位置的地理坐标系,其三轴分别指向当地东向、北向和天向;
e—地球坐标系,表示原点在地心,x轴为地心指向本初子午线与赤道交点,z轴为地心指向北极点,y轴与x轴和z轴构成右手坐标系;
i—惯性坐标系,表示惯性空间非旋转坐标系;
b0—初始载体坐标系,表示惯导***开机运行时刻的载体坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
n0—初始导航坐标系,表示惯导***开机运行时刻的导航坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
e0—初始地球坐标系,表示惯导***开机运行时刻的地球坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
利用比力方程,可以得到晃动基座上矢量观测器构造方程,采用构造的矢量观测器,建立K矩阵,通过提取K矩阵最小特征值对应的特征矢量可以计算方向余弦,从而实现粗对准;
步骤3:利用存储的中间变量,构建基于初始导航系的正向-正向回溯初始对准;
(1)将步骤1中的陀螺仪数据导入姿态误差方程中进行更新计算姿态误差;
(2)将步骤1中的加速度计数据导入速度误差方程中进行更新计算速度误差,
(3)通过上述的速度误差方程和姿态误差方程可得***模型,对建立的***模型离散化;
(4)利用离散化之后的***模型得到Kalman滤波状态方程,更新计算Kalman滤波状态估计变量;
步骤4:将正向-正向回溯初始对准估计的初始姿态反馈,通过估计当前姿态角完成精对准;
步骤5:正向-正向回溯过程次数为M,若k=M,则输出估计的姿态结果,完成初始对准过程,若k<M,表示回溯过程未完成,则重复上述步骤三至步骤五,直至初始对准过程结束。
优选的,步骤二中的晃动基座上矢量观测器构造方程:
式中:表示量测比力在初始载体系上的映射;gn0表示当地重力矢量在初始导航系上的映射;表示待求的姿态方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示加速度计量测常值漂移误差;表示加速度计量测随机游走误差;εb表示陀螺仪量测常值漂移误差;t表示对准时间;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示加速度计量测。
优选的,步骤二中的K矩阵如下:
优选的,步骤三中的姿态误差方程
由粗对准可知:
由方向余弦误差方程可知:
式中,表示初始时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;
由上面推导可知:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
简化计算得到:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
由姿态误差方程可知:
式中,表示初始姿态误差的微分在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差的微分;εb表示陀螺仪量测常值漂移误差;表示陀螺仪量测随机游走误差;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;
有上面计算可知:
优选的,在步骤三中的速度误差方程
由惯性导航比力方程可知:
式中,表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示导航系速度微分;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;fb表示比力真值;表示地球自转角速度在导航系的映射;表示导航系相对于地球系的转动角速度在导航系上的映射;vn表示载体运动速度;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
当载体处于晃动条件下,载体运动速度为0。因此可得:
式中,表示导航系速度微分在初始导航系的映射;表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
因此,可得速度误差为:
式中,表示导航系速度误差微分在初始导航系的映射;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示加速度计量测;φn0表示姿态误差在初始导航系上的映射;表示加速度计量测常值漂移误差;表示加速度计量测随机游走误差;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵。
优选的,在步骤三中的Kalman滤波状态方程如下:
Pk|k=Pk|k-1-KkHkPk|k-1
式中,表示k-1时刻的最优状态估计;表示k时刻状态一步预测;Φk表示离散化***矩阵;Pk-1|k-1表示k-1时刻的状态误差协方差;Qk-1表示k-1时刻的过程噪声协方差;Pk|k-1表示k时刻一步预测状态误差协方差;Hk表示量测矩阵;Rk表示k时刻量测噪声协方差矩阵;Kk表示k时刻滤波增益矩阵;zk表示k时刻量测;表示k时刻的最优状态估计;Pk|k表示k时刻的状态误差协方差。
优选的,步骤2中,陀螺仪量测常值漂移误差为
εb=[0.02 0.02 0.02]To/h,陀螺仪量测随机游走误差为
优选的,步骤5中,M=4。
本发明的优点在于:
(1)本发明采用基于初始导航系的***误差模型,具有计算简便的优点;
(2)本发明估计姿态误差为初始时刻姿态,为实现正向-正向回溯过程提供了理论支撑;
(3)本发明采用正向-正向回溯计算,充分利用了计算机的计算效能,极大的加快了初始对准的时间。
附图说明
图1是正向-正向回溯对准结构图;
图2是回溯对准纵摇角误差图;
图3是回溯对准横摇角误差图;
图4是回溯对准航向角误差图;
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明,以使本领域的技术人员可以更好地理解本发明并能予以实施,但所举实施例不作为对本发明的限定。
参阅图1,本实施例将本发明提出的一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法通过Matlab仿真软件进行仿真验证,从而证明正向-正向回溯过程的快速性。仿真硬件环境均为Intel(R)Core(TM)T9600CPU 2.80GHz,4G RAM,Windows 7操作***。如图2和图3所示,为正向-正向回溯对准纵摇角误差图和横摇角误差图,一共进行四次回溯对准,对准过程中单次运行时间为1s,总对准时间为4s(不包括粗对准时间)。图4为正向-正向回溯对准航向角误差图,从图中可以看出,经过两次回溯之后,航向角对准误差小于0.1°,达到了极限对准精度。综合粗对准采集数据过程,仿真中为150s,整个对准过程持续时间为154s左右,相较于传统对准方法,在同样***指标的要求下大大提升了初始对准过程的速度。
一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,包括以下几个步骤:
步骤1:步骤1:获取传感器实时数据,所述传感器实时数据包括陀螺仪数据及加速度计数据;
步骤2:进行基于矢量观测的粗对准并存储中间变量;
步骤3:利用存储的中间变量,构建基于初始导航系的正向-正向回溯初始对准;
(1)将步骤1中的陀螺仪数据导入姿态误差方程中进行更新计算姿态误差;
(2)将步骤1中的加速度计数据导入速度误差方程中进行更新计算速度误差,
(3)通过上述的速度误差方程和姿态误差方程可得***模型,对建立的***模型离散化;
(4)利用离散化之后的***模型得到Kalman滤波状态方程,更新计算Kalman滤波状态估计变量;
步骤4:将正向-正向回溯初始对准估计的初始姿态反馈,通过估计当前姿态角完成精对准;
步骤5:正向-正向回溯过程次数为M,若k=M,则输出估计的姿态结果,完成初始对准过程,若k<M,表示回溯过程未完成,则重复上述步骤三至步骤五,直至初始对准过程结束。
本发明是一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,算法结构如图1所示,包括以下几个步骤:
步骤1:获取传感器实时数据,所述传感器实时数据包括陀螺仪数据及加速度计数据;
步骤2:进行基于矢量观测的粗对准并存储中间变量;定义解算所需的参考坐标系如下:
b—载体坐标系,表示捷联惯性导航***三轴正交坐标系,其x轴、y轴和z轴分别指向载体的右-前-上;
n—导航坐标系,表示载体所在位置的地理坐标系,其三轴分别指向当地东向、北向和天向;
e—地球坐标系,表示原点在地心,x轴为地心指向本初子午线与赤道交点,z轴为地心指向北极点,y轴与x轴和z轴构成右手坐标系;
i—惯性坐标系,表示惯性空间非旋转坐标系;
b0—初始载体坐标系,表示惯导***开机运行时刻的载体坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
n0—初始导航坐标系,表示惯导***开机运行时刻的导航坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
e0—初始地球坐标系,表示惯导***开机运行时刻的地球坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
利用比力方程,可以得到晃动基座上矢量观测器构造方程:
式中:表示量测比力在初始载体系上的映射;gn0表示当地重力矢量在初始导航系上的映射;表示待求的姿态方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示加速度计量测常值漂移误差;表示加速度计量测随机游走误差;εb表示陀螺仪量测常值漂移误差;t表示对准时间;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示加速度计量测;
采用构造的矢量观测器,建立K矩阵如下:
步骤3:利用存储的中间变量,构建基于初始导航系的正向-正向回溯初始对准;
(1)姿态误差方程
由粗对准可知:
由方向余弦误差方程可知:
式中,表示初始时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;
由上面推导可知:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
简化计算得到:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
由姿态误差方程可知:
式中,表示初始姿态误差的微分在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差的微分;εb表示陀螺仪量测常值漂移误差;表示陀螺仪量测随机游走误差;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;
有上面计算可知:
优选的,在步骤三中的速度误差方程
由惯性导航比力方程可知:
式中,表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示导航系速度微分;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;fb表示比力真值;表示地球自转角速度在导航系的映射;表示导航系相对于地球系的转动角速度在导航系上的映射;vn表示载体运动速度;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
当载体处于晃动条件下,载体运动速度为0。因此可得:
式中,表示导航系速度微分在初始导航系的映射;表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
因此,可得速度误差为:
式中,表示导航系速度误差微分在初始导航系的映射;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示加速度计量测;φn0表示姿态误差在初始导航系上的映射;表示加速度计量测常值漂移误差;表示加速度计量测随机游走误差;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;
(2)速度误差方程
由惯性导航比力方程可知:
式中,表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示导航系速度微分;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;fb表示比力真值;表示地球自转角速度在导航系的映射;表示导航系相对于地球系的转动角速度在导航系上的映射;vn表示载体运动速度;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
当载体处于晃动条件下,载体运动速度为0。因此可得:
式中,表示导航系速度微分在初始导航系的映射;表示初始导航系与初航系之间的方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
因此,可得速度误差为:
式中,表示导航系速度误差微分在初始导航系的映射;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示加速度计量测;φn0表示姿态误差在初始导航系上的映射;表示加速度计量测常值漂移误差;表示加速度计量测随机游走误差;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;
(3)***模型
由速度误差方程和姿态误差方程可得***模型为:
H=[0 I3 0 0 0]
***模型离散化之后表示为:
式中,k表示离散化时刻;Φk表示离散化***矩阵;xk+1和xk表示k+1时刻和k时刻***状态;zk表示k时刻量测;Hk表示量测矩阵;Wk表示k时刻过程噪声;Vk表示k时刻量测噪声;
(4)Kalman滤波
利用离散化之后的***模型得到Kalman滤波如下:
Pk|k=Pk|k-1-KkHkPk|k-1
式中,表示k-1时刻的最优状态估计;表示k时刻状态一步预测;Φk表示离散化***矩阵;Rk-1|k-1表示k-1时刻的状态误差协方差;Qk-1表示k-1时刻的过程噪声协方差;Pk|k-1表示k时刻一步预测状态误差协方差;Hk表示量测矩阵;Rk表示k时刻量测噪声协方差矩阵;Kk表示k时刻滤波增益矩阵;zk表示k时刻量测;表示k时刻的最优状态估计;Pk|k表示k时刻的状态误差协方差。
对本发明的有益效果说明如下:
(1)本发明采用基于初始导航系的***误差模型,具有计算简便的优点;
(2)本发明估计姿态误差为初始时刻姿态,为实现正向-正向回溯过程提供了理论支撑;
(3)本发明采用正向-正向回溯计算,充分利用了计算机的计算效能,极大的加快了初始对准的时间。
(4)可以有效地消除杆臂效应的影响,能够在晃动基座存在大方位失准的情况下实现快速高精度对准;由于速度误差和姿态误差的有效提取能够大幅降低Kalman滤波状态方程的误差,使晃动基座对初始对准精度和速度的影响得到有效抑制;从而实现了实时对晃动基座快速、精确的初始对准。
MATLAB仿真实验,在以下的仿真条件下,对该方法进行仿真实验:
陀螺仪量测常值漂移误差为εb=[0.02 0.02 0.02 ]To/h,陀螺仪量测随机游走误差为输出频率为200Hz;加速度计量测常值漂移误差为陀螺仪量测随机游走误差为输出频率为200Hz。Kalman滤波参数初值为P0|0=diag([0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0.02e3 500e3])2,e3=[1 1 1]。步骤5中,M=4。
以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例,本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换,均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。
Claims (9)
1.一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,其特征在于,包括以下几个步骤:
步骤1:获取传感器实时数据,所述传感器实时数据包括陀螺仪数据及加速度计数据;
步骤2:进行基于矢量观测的粗对准并存储中间变量,定义解算所需的参考坐标系如下:
b—载体坐标系,表示捷联惯性导航***三轴正交坐标系,其x轴、y轴和z轴分别指向载体的右-前-上;
n—导航坐标系,表示载体所在位置的地理坐标系,其三轴分别指向当地东向、北向和天向;
e—地球坐标系,表示原点在地心,x轴为地心指向本初子午线与赤道交点,z轴为地心指向北极点,y轴与x轴和z轴构成右手坐标系;
i—惯性坐标系,表示惯性空间非旋转坐标系;
b0—初始载体坐标系,表示惯性导航***开机运行时刻的载体坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
n0—初始导航坐标系,表示惯性导航***开机运行时刻的导航坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
e0—初始地球坐标系,表示惯性导航***开机运行时刻的地球坐标系,并在整个对准过程中相对于惯性空间保持静止;
利用比力方程,得到晃动基座上矢量观测器构造方程,采用构造的矢量观测器,建立K矩阵,通过提取K矩阵最小特征值对应的特征矢量计算方向余弦,从而实现粗对准;
步骤3:利用存储的中间变量,构建基于初始导航系的正向-正向回溯初始对准;
(1)将步骤1中的陀螺仪数据导入姿态误差方程中进行更新计算姿态误差;
(2)将步骤1中的加速度计数据导入速度误差方程中进行更新计算速度误差,
(3)通过上述的速度误差方程和姿态误差方程得***模型,对建立的***模型离散化;
(4)利用离散化之后的***模型得到Kalman滤波状态方程,更新计算Kalman滤波状态估计变量;
姿态误差方程
由粗对准知:
由方向余弦误差方程知:
式中,表示初始时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示陀螺量测造成的姿态更新误差;
由上面推导知:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差在b0系下的映射;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
简化计算得到:
式中,表示粗对准结束时刻方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;表示初始姿态误差在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差在n0系下的映射;I3表示3维单位矩阵;[·×]表示矢量转换成斜对称矩阵;表示导航系与初始导航系之间的方向余弦矩阵;
由姿态误差方程知:
式中,表示初始姿态误差的微分在初始导航系上的映射;表示陀螺量测造成的姿态更新误差的微分;εb表示陀螺仪量测常值漂移误差;表示陀螺仪量测随机游走误差;表示初始时刻方向余弦矩阵;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵;
由上面计算知:
步骤4:将正向-正向回溯初始对准估计的初始姿态反馈,通过估计当前姿态角完成精对准;
步骤5:正向-正向回溯过程次数为M,若k=M,则输出估计的姿态结果,完成初始对准过程,若k<M,表示回溯过程未完成,则重复上述步骤3至步骤5,直至初始对准过程结束。
5.根据权利要求1所述的一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,其特征在于,在步骤3中的速度误差方程
由惯性导航比力方程知:
式中,表示初始导航系与导航系之间的方向余弦矩阵,表示导航系速度微分;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;fb表示比力真值;表示地球自转角速度在导航系的映射;表示导航系相对于地球系的转动角速度在导航系上的映射;vn表示载体运动速度;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
当载体处于晃动条件下,载体运动速度为0,因此得:
式中,表示导航系速度微分在初始导航系的映射;表示初始导航系与导航系之间的方向余弦矩阵;表示初始时刻方向余弦矩阵真值;表示载体系相对于初始载体系变化的方向余弦矩阵真值;gn表示重力矢量在导航系上的映射;
因此,得速度误差为:
9.根据权利要求1所述的一种晃动基座正向-正向回溯初始对准方法,其特征在于,步骤5中,M=4。
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