CN108681828A - 一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法，属于供应链管理及运筹学领域。该方法首先给出了库存管理者在随机需求和随机产量下的收益表达式，然后分别建立随机需求和随机产量下的最大化期望收益模型、最大化条件风险价值收益模型和最大化均值‑CVaR收益模型；分别对三个模型求解，得到不同情况下的初始库存水平临界值和最优订购量。本发明综合考虑了需求的不确定性和产量的不确定性，结合库存管理者的风险厌恶偏好，以条件风险价值作为度量，使库存决策更加符合库存管理的实际情况，有很强的实际应用价值。

Description

一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法

技术领域

本发明属于供应链管理及运筹学领域，特别涉及一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法。

背景技术

随着供应链运营和管理的全球化，许多企业都面临着来自需求与供应的不确定性所带来的风险。在日益激烈的市场竞争中，产量的可靠性扮演了重要的角色。许多行业，如电子、汽车工业、零部件制造或设备制造的生产过程通常都满足随机生产。产量的不确定性往往会使制造商的实际输出遭受随机短缺，不满意的客户可能会决定购买其他公司的替代产品，进而导致常规客户的流失，而这通常是由设备的不可靠、技术不足等引起的。在一定程度上，供应问题会阻碍企业利用市场需求做出正确的决策。Emmelhainz等人指出，制造商相对于竞争对手缺货可能会失去一半以上的客户，而零售商可能会失去14％的客户。

随机产量对于库存管理的影响早已引起了相关学者的关注与重视。在实际生产和生活中，供应链的各个环节都存在不确定性，如采购、生产、运输和仓储等。上述各环节中，即使控制管理得再严格、再精细，缺陷产品的出现也是在所难免的，例如塑料产品的正品率一般在50％左右，而半导体制造中的芯片生产的正品率更是低于50％。由于产量的不确定性可能会使下游企业收到的商品数量小于订购数量，导致供应短缺和商业信誉损失的发生，所以下游企业会提高订单水平以克服随机产量所带来的影响。与此同时，生产企业往往也会设置较高的生产水平进行应对，但这又会导致产量过剩，增加持有成本。

研究具有随机产量的库存风险优化问题可以提高供应链中各环节的管理质量和效率，为决策者提供更有效的决策支持。以往关于随机产量库存问题的研究大多是基于风险中性的假设。虽然也有研究者基于风险厌恶的假设探讨了随机产量下的库存管理问题，但却是以前景理论为基础进行研究的。

近年来将条件风险价值(CVaR)度量应用到库存风险优化问题中的研究逐渐增多，但大多是基于随机需求的假设展开的。基于随机需求假设的模型主要有以下几种:

1)最大化期望收益模型，表达式如下：

其中I和Q是决策变量，分别表示初始库存水平和库存管理者的订购量，π_c(I,Q)＝pmin(x,I+Q)-cQ-w(I+Q-x)⁺表示收益，E[π_c(I,Q)]表示期望收益,其表达式为：

其中，p表示价格，c表示购买成本，w表示持有成本，F(·)表示随机需求的分布，该模型说明库存管理者的决策是建立在最大化长期收益平均值的基础之上；

2)最大化CVaR模型，表达式如下：

其中，α∈(-∞,∞)，是任意实数，η∈(0,1]，表示库存管理者的风险厌恶程度，η越小，表示库存管理者的风险厌恶程度越大。该模型突出了库存管理者的风险厌恶偏好，以条件风险价值收益的最大化为目标进行决策。

3)最大化均值-CVaR模型，表达式如下：

其中，λ∈[0,1]，表示权重，刻画了期望收益相对于条件风险价值收益的重要性。该模型权衡了收益的长期效果和管理者的风险厌恶程度对风险库存优化决策的影响，并以长期均值收益和收益的条件风险价值的均衡最大化为目标进行了决策。

通过对上述模型求解，可以得到确定产量下库存管理者的决策。

对如式(1-1)所示的模型求解，可得确定产量和随机需求下最大化期望收益的最优初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

式(1-4)、(1-5)说明风险中性库存管理者在确定产量下的初始库存水平临界值和订购量都是既与销售价格、购买成本和持有成本有关，又与需求的分布有关，进一步地，式(1-5)表明订购量还与初始库存水平相关。

对如式(1-2)所示的模型求解，可得确定产量下具有风险厌恶偏好的库存管理者在最大化CVaR收益下的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

式(1-6)、(1-7)说明具有风险厌恶偏好的库存管理者在确定产量下的最优初始库存水平临界值和订购量既与风险中性库存管理者在确定产量下的最优初始库存水平临界值和订购量有相同的影响因素，又与库存管理者的风险厌恶程度相关。

对如式(1-3)所示的模型求解，可得确定产量下具有风险厌恶偏好的库存管理者在最大化均值-CVaR收益的最优初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中表示时的初始库存水平临界值，表示时的初始库存水平临界值，并且是时的最优订购量，是时的最优订购量，是 时的最优订购量，是时的最优订购量，分别满足λ的含义同式(1-3)，表示期望收益相对于条件风险价值收益重要性的临界值。

式(1-8)、(1-9)说明当时，库存管理者的初始库存水平临界值和最优订购量不仅与需求的分布、初始库存水平、销售价格、购买成本和持有成本相关，还与期望收益相对于条件风险价值收益的重要性相关，此时它小于风险中性库存管理者在确定产量下的最优订购量，即当时，库存管理者的初始库存水平临界值和最优订购量除了与时有相同的影响因素外，还与库存管理者的风险厌恶程度相关，此时它大于风险厌恶库存管理者在确定产量下的最优订购量，即

由式(1-3)得到风险厌恶库存管理者在确定产量下基于均值-CVaR最大化的订购量介于与之间，这是对期望收益和条件风险价值收益均衡的结果。进一步地，当库存管理者将期望收益相对于条件风险价值收益的权重赋予较大值(即时)，最优库存订购量与库存管理者的风险厌恶程度无关，反之则相关。

由于库存管理需要面对的不确定性是多种多样的，除了需求的不确定性，还有产量的不确定性、提前期的不确定性、价格的不确定性等。在风险优化库存问题中只考虑需求的随机性不足以刻画实际环境中的不确定性对库存管理的影响，所以希望考虑更多的不确定性因素来优化风险库存管理问题。目前还没有学者在同时考虑随机需求和随机产量的情况下，将风险厌恶库存管理者的CVaR收益的最大化和均值-CVaR的最大化作为目标来研究库存风险优化决策问题。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足，提出了一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法。本发明综合考虑了需求的不确定性和产量的不确定性，结合库存管理者的风险厌恶偏好，以条件风险价值作为度量，使库存决策更加符合库存管理的实际情况，有很强的实际应用价值。

本发明提出一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)当给定实现的需求量是x，产量的正品比例是y时，库存管理者在随机产量下的收益表达式如下：

π_s(I,Q)＝pmin(x,I+yQ)-cyQ-w(I+yQ-x)⁺ (1)

其中，I表示初始库存水平，Q表示库存管理者的订购量，p表示价格，c表示购买成本，w表示持有成本，π_s(I,Q)表示随机产量下库存管理者的收益；

2)建立库存管理者在随机需求和随机产量下的决策模型；具体步骤如下：

2-1)建立随机产量下的最大化期望收益模型，目标函数如下：

其中，E[π_s(I,Q)]表示随机产量下库存管理者的期望收益，表达式如下：

其中，F(·)表示随机需求的分布，G(·)表示随机产量的正品的比例的分布；

2-2)建立随机产量下的最大化条件风险价值收益模型，目标函数如下：

其中，CVaR_η[π_s(I,Q)]表示风险厌恶库存管理者在随机产量下的收益条件风险价值，且

α∈(-∞,∞)，是任意实数，η∈(0,1]，表示库存管理者的风险厌恶程度；

2-3)建立随机产量下的最大化均值-CVaR收益模型；目标函数如下：

其中，λ∈[0,1]，表示权重；

3)对步骤2)建立的模型分别求解，得到不同情况下的初始库存水平临界值和最优订购量；具体步骤如下：

3-1)对如式(2)所示的模型求解，得到随机产量下最大化期望收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中，F^-1(·)是F(·)的反函数，μ是随机产量正品比例分布的均值；

3-2)对如式(4)所示的模型求解，得到随机产量下最大化CVaR收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

3-3)对如式(5)所示的模型求解，得到风险厌恶库存管理者在随机产量下均值-CVaR收益最大化的初始库存临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中表示时的初始库存水平临界值；表示μ+η-1＞0时的初始库存水平临界值，是时的最优订购量，是 时的最优订购量，分别满足：

其中，是随机产量下期望收益相对于条件风险价值的权重的临界值，由下述方程确定：

其中， 是使得成立的订购量。

本发明的特点及有益效果是：

本发明在随机需求和随机产量的环境下，考虑了具有风险厌恶偏好的库存管理者将条件风险价值度量应用于库存风险优化管理问题，建立了库存风险优化模型(包括期望收益模型、CVaR收益模型和均值-CVaR收益模型)，并得到了风险厌恶库存管理者的初始库存水平临界值以及相应的最优订购决策。本发明有助于库存管理者做决策时既考虑市场需求对决策的影响，同时又考虑供应商的随机产量和库存管理者自身的风险厌恶偏好对决策的影响，有助于库存管理者在众多的供应商中选择产量更可靠的供应商，降低库存管理的风险。通过本发明得到的库存管理的决策更合理、更准确，更具有实用性。

具体实施方式

本发明提出了一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法，下面结合具体实施例对本发明的技术方案作进一步的详细说明。

本发明在同时考虑随机需求和随机产量的情况下，分别将风险厌恶库存管理者收益的期望最大化、CVaR最大化和均值-CVaR最大化作为目标函数来研究库存风险优化管理决策问题。

本发明提出一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法，包括以下步骤：

1)当给定实现的需求量是x，产量的正品比例是y时，库存管理者在随机产量下的收益表达式如下：

π_s(I,Q)＝pmin(x,I+yQ)-cyQ-w(I+yQ-x)⁺ (1)

其中，I和Q是决策变量，I表示初始库存水平，Q表示库存管理者的订购量，p表示价格，c表示购买成本，w表示持有成本，π_s(I,Q)表示随机产量下库存管理者的收益。

2)建立库存管理者在随机需求和随机产量下的决策模型；具体步骤如下：

2-1)建立随机产量下的最大化期望收益模型，目标函数如下：

其中，E[π_s(I,Q)]表示随机产量下库存管理者的期望收益，表达式如下：

F(·)表示随机需求的分布，G(·)表示产量正品比例的分布，该模型适用于需求和产量均随机，且库存管理者在风险厌恶程度为1(即风险中性)时进行库存优化决策。

2-2)建立随机产量下的最大化CVaR收益模型，目标函数如下：

其中，CVaR_η[π_s(I,Q)]表示风险厌恶库存管理者在随机产量下的收益条件风险价值，且

α∈(-∞,∞)，是任意实数，η∈(0,1]，表示库存管理者的风险厌恶程度，η越小，表示库存管理者的风险厌恶程度越大，该模型适用于需求和产量均随机，且存库管理者的风险厌恶程度介于0与1之间时进行库存优化决策。

2-3)建立随机产量下的最大化均值-CVaR收益模型；

风险厌恶库存管理者基于随机产量的期望收益和CVaR收益分别是E[π_s(I,Q)]和CVaR_η[π_s(I,Q)]，则随机产量下的最大化均值-CVaR收益模型的目标函数表达式如下：

其中，λ∈[0,1]，λ越大，则风险厌恶库存管理者赋予期望收益的权重越大，即期望收益相较于条件风险价值收益越重要。如果λ＝1，说明库存管理者是风险中性的，此时目标函数就是最大化期望收益模型的目标函数；如果λ＝0，则说明库存管理者是风险厌恶的，此时目标函数就是最大化条件风险价值收益模型的目标函数；如果λ＝0.3，说明库存管理者认为期望收益相对于条件风险价值收益的重要性是3：7，此时库存管理者的风险厌恶程度对决策产生的影响较大；如果λ＝0.7，说明库存管理者认为期望收益相对于条件风险价值收益的重要性是7：3，此时长期的均值收益效果对于库存管理者的决策影响较大，而库存管理者的风险厌恶程度对决策产生的影响较弱。该模型适用于需求和产量均随机，且存库管理者同时兼顾期望收益和CVaR收益均衡时进行库存优化决策。

3)对步骤2)建立的模型分别求解，得到不同情况下的初始库存水平临界值和最优订购量；具体步骤如下：

通过对步骤2)建立模型的目标函数进行分析可知E[π_s(I,Q)]、CVaR_η[π_s(I,Q)]、λE[π_s(I,Q)]+(1-λ)CVaR_η[π_s(I,Q)]都是关于(I,Q)的凹函数，所以相应的模型均存在唯一的最优解。通过对上述模型求解，可以得到随机产量下库存管理者的最优决策。

3-1)对如式(2)所示的模型求解，得到随机产量下最大化期望收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中，F^-1(·)是F(·)的反函数，μ是产量的正品比例分布的均值；

式(6)和(7)说明风险中性库存管理者在随机产量下的初始库存水平临界值和订购量与销售价格、购买成本、持有成本和初始库存水平相关，进一步地，订购量还与需求分布和产量的正品比例分布相关。

3-2)对如式(4)所示的模型求解，得到随机产量下最大化CVaR收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

式(8)和(9)说明，在随机产量下，当库存管理者的风险厌恶程度和产量的正品比例均值满足μ+η＞1时，存在唯一的初始库存水平临界值且当初始库存水平低于时，风险厌恶库存管理者进行订购，否则不进行订购。由此可以看出风险厌恶库存管理者在随机产量下的订购量依赖于初始库存水平临界值。当风险厌恶库存管理者进行订购时，容易发现订至点水平通常不是常数，所以这个最优订购策略不是一个订至点策略。进一步地，风险厌恶库存管理者的最优订购量关于初始库存水平I单调递减，且当时，

在式(8)和(9)中，令η＝1，即库存管理者无风险偏好时，可知存在唯一的初始库存水平临界值满足式(6)，且最优订购量满足式(7)。

显然当库存管理者是风险中性时，随机产量下的初始库存水平临界值仅依赖于需求的分布，不受随机产量的影响。

在式(9)中，令y＝1，即产量是确定的，可知存在唯一的初始库存水平临界值满足式(1-6)，且最优订购量满足式(1-7)。

在式(8)和(9)中，令η＝1，y＝1，即产量确定且库存管理者无风险偏好时，可知存在唯一的初始库存水平临界值满足式(1-4)，且最优订购量满足式(1-5)。

由上述分析可知，风险中性库存管理者的初始库存水平临界值在随机产量与确定产量下是一致的，这意味着库存管理者的初始库存水平临界值仅依赖于需求的分布，不受产量的影响。对于风险厌恶库存管理者而言，初始库存水平临界值在确定产量下仅依赖于需求的分布，而在随机产量下还依赖于产量正品比例的分布，这说明随机产量对风险厌恶库存管理者的初始库存水平临界值是有影响的。进一步地，无论在确定产量还是随机产量下，风险中性库存管理者的初始库存水平临界值都要大于风险厌恶库存管理者。

3-3)对如式(5)所示的模型求解，得到风险厌恶库存管理者在随机产量下均值-CVaR收益最大化的初始库存临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中 是时的初始库存水平临界值，是μ+η-1＞0时的初始库存水平临界值，是时的最优订购量，是时的最优订购量，分别满足：

λ的含义同式(1-5)，是随机产量下期望收益相对于条件风险价值的重要性(权重)的临界值，由下述方程确定：

其中， 是使得成立的订购量。

上述结论是风险厌恶管理者在随机产量下基于均值-CVaR最大化得到的，由此得到的订购量是库存管理者对期望收益和条件风险价值收益权衡的结果，它介于由均值最大化和CVaR最大化得到的订购量之间。该结论说明在随机产量下，当时，风险厌恶管理者在均值-CVaR最大化下的最优订购量是它除了与风险厌恶管理者在确定产量下的均值-CVaR最大化下的最优订购量有相同的影响因素之外，还与产量正品比例的分布相关，此时它小于风险中性库存管理者在随机产量下的最优订购量即当时，风险厌恶库存管理者的最优订购量是它除了与有相同的影响因素之外，还与库存管理者的风险厌恶程度相关，此时它大于风险厌恶管理者在随机产量下的最优订购量即在上述结论中令y＝1，可以得到风险厌恶库存管理者在确定产量下基于均值-CVaR最大化的最优订购量，所以本发明提出的随机产量下基于均值-CVaR最大化模型得到的结论更具有一般性和普适性。

Claims (1)

1.一种基于随机需求和随机产量的库存风险优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)当给定实现的需求量是x，产量的正品比例是y时，库存管理者在随机产量下的收益表达式如下：

π_s(I,Q)＝pmin(x,I+yQ)-cyQ-w(I+yQ-x)⁺(1)

其中，I表示初始库存水平，Q表示库存管理者的订购量，p表示价格，c表示购买成本，w表示持有成本，π_s(I,Q)表示随机产量下库存管理者的收益；

2)建立库存管理者在随机需求和随机产量下的决策模型；具体步骤如下：

2-1)建立随机产量下的最大化期望收益模型，目标函数如下：

其中，E[π_s(I,Q)]表示随机产量下库存管理者的期望收益，表达式如下：

其中，F(·)表示随机需求的分布，G(·)表示随机产量的正品的比例的分布；

2-2)建立随机产量下的最大化条件风险价值收益模型，目标函数如下：

其中，CVaR_η[π_s(I,Q)]表示风险厌恶库存管理者在随机产量下的收益条件风险价值，且

α∈(-∞,∞)，是任意实数，η∈(0,1]，表示库存管理者的风险厌恶程度；

2-3)建立随机产量下的最大化均值-CVaR收益模型；目标函数如下：

其中，λ∈[0,1]，表示权重；

3)对步骤2)建立的模型分别求解，得到不同情况下的初始库存水平临界值和最优订购量；具体步骤如下：

3-1)对如式(2)所示的模型求解，得到随机产量下最大化期望收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中，F^-1(·)是F(·)的反函数，μ是随机产量正品比例分布的均值；

3-2)对如式(4)所示的模型求解，得到随机产量下最大化CVaR收益的初始库存水平临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

3-3)对如式(5)所示的模型求解，得到风险厌恶库存管理者在随机产量下均值-CVaR收益最大化的初始库存临界值和最优订购量分别满足如下表达式：

其中表示时的初始库存水平临界值；表示μ+η-1＞0时的初始库存水平临界值， 是时的最优订购量，是 时的最优订购量， 分别满足：

其中，是随机产量下期望收益相对于条件风险价值的权重的临界值，由下述方程确定：

其中， 是使得成立的订购量。