CN108681327A - 基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法，利用反步控制法将***拆分为两个子***，再分别用传统的反步控制方法和滑模控制方法对两个子***设计满足李亚普诺夫定理的子控制律；具体讲，反步控制法是为了继承其完整性和统一性，滑模控制方法是为了提高鲁棒性和抗干扰能力；本发明在使用滑模控制方法时又引入了分数阶饱和函数幂次切换律，用以提高控制器性能，并抑制抖颤，这样保证四旋翼无人机的飞行控制的快速响应，同时，通过调整饱和函数参数，还能改善控制器的非线性特性，滤除控制器输出中的抖颤，提升控制器的平滑性。

Description

基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法

技术领域

本发明属于四旋翼无人机技术领域，更为具体地讲，涉及一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼无人机飞行控制方法。

背景技术

随着人们对智能化设备的需求越来越大，以及航空航天技术的快速发展，无人机从最初的军事、生产活动，开始走进人们的生活中。其中四旋翼无人机结构简单，飞行灵活，成本较低，受到了普通群众的青睐，也符合普通家庭的消费水准。并且四旋翼无人机具有垂直起降的功能，大大削弱了飞行器起飞降、落对场地的严苛需求。因此，四旋翼无人机成为了无人机研究领域中的一大热点，吸引了一大批科研工作者的注意力，致力于提高其飞行性能，并扩大其应用范围。

四旋翼无人机是欠驱动非线性***，虽然机械结构相对简单，但由于各状态变量间较强的耦合性以及动力***输出方向固定等原因，使其控制方法相对复杂。与四旋翼无人机相关的控制技术已经发展了一段时间，提出的控制方法多种多样，控制效果各异。但每种控制方法都必然存在限制其进一步提高的瓶颈，如专利《基于分数阶控制算法的四旋翼无人机飞行控制方法》(专利号：201711432615.1)中，虽然分数阶微积分理论的引入使控制器的控制速度变快，但是随着控制器中分数阶参数的变大，控制器的输出会发生抖颤现象。这种抖颤的根源是滑模控制方法的符号函数，但分数阶参数会将其进行放大，对控制器造成极大的负担，产生不可忽视的负面效果，影响控制器的稳定性。这个问题给四旋翼无人机控制方法的研究留下了提升的空间，如在控制器中加入饱和函数。

饱和函数是一种分段函数，其作用机理是根据输入，调整输出值。且在输入值达到指定标准后，输出值不再变化。饱和函数没有固定表达式，需要根据需求进行具体设计。饱和函数是用于改善***非线性特性的常用工具，本发明将其与分数阶理论结合应用于提高无人机飞行控制器性能。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法，通过设计三个姿态角及高度控制器，来提高整数阶反步滑模控制器的性能。

为实现上述发明目的，本发明一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、基于牛顿-欧拉方程对无人机进行动力学分析，并建立相应的动力学模型。无人机动力学模型包括平移运动模型和旋转运动模型，其中，平移运动模型为：

其中，(x,y,z)为无人机在地坐标系下的位置坐标，分别为x,y,z的二阶导，γ,μ,ρ分别是描述无人机的三个姿态角，即滚转角、俯仰角和偏航角，为图1中方便描述，统一用A[γ,μ,ρ]表示，F_T是旋翼产生的总升力，m是无人机总质量，g是重力加速度；

旋转运动模型为：

其中，I_x,I_y,I_z是无人机在x,y,z三个方向上的转动惯量，N_x,N_y,N_z是无人机三个轴方向的力矩；

(2)、分别设计三个姿态角对应的控制器

(2.1)、对滚转角γ进行误差分析：设实际滚转角γ与期望值γ_d的误差为：E_γ1＝γ-γ_d；将E_γ1与滚转角误差阈值ζ比较，若E_γ1小于阈值ζ，则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤(2.2)；

(2.2)、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是滚转角期望值的导数，c₁为正常数；

定义误差信号并设计滑模控制的滑模面：S_γ(t)＝k₁E_γ1+E_γ2，其中，k₁＞0；

对滑模面S_γ(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

(2.3)、设计基于分数阶饱和函数的切换控制律

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

(2.4)、根据等效控制律和基于分数阶饱和函数的切换控制律设计滚转角γ对应的控制器U_γ

(2.5)、同理，按照步骤(2.1)-(2.4)所述方法设计俯仰角和偏航角对应的控制器U_μ和U_ρ

(3)、设计高度方向控制器

(3.1)、对高度z进行误差分析：设实际高度z与期望值z_d的误差为：E_z1＝z-z_d；将E_z1与高度误差阈值比较，若E_z1小于阈值则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤(3.2)；

(3.2)、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是高度期望值的导数，c₄为正常数；定义误差信号设计滑模控制的滑模面：S_z(t)＝k₄E_z1+E_z2，其中，k₄＞0；

对滑模面S_z(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

(3.3)、设计基于分数阶饱和函数的切换控制律

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

(3.4)、根据等效控制律和基于分数阶饱和函数的切换控制律设计高度z对应的控制器U_z

(4)利用设计后的三个姿态角及高度对应的控制器重新跟踪滚转角、俯仰角、姿态角和高度，如果误差均小于其对应的阈值，则表明四旋翼无人机已进入稳定飞行状态，并用上述设计的控制器对四旋翼无人机进行飞行控制，保证无人机正常运行；反之则返回步骤(2)。

本发明的发明目的是这样实现的：

本发明基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法，控制器整体结构基于反步控制方法。反步控制方法将***拆分为两个子***，随后，分别用传统的反步控制方法和滑模控制方法对两个子***设计满足李亚普诺夫定理的子控制律。整体架构基于反步控制方法是为了继承其完整性和统一性，在第二次设计子***时使用滑模控制方法是为了提高鲁棒性和抗干扰能力。而本发明还在使用滑模控制方法设计第二个子***的时候，引入了分数阶饱和函数，用以提高控制器性能，并抑制抖颤。分数阶***具有更宽的稳定域以及更多的参数选取方案，使***在迭代调试时，能够选取到最合适的参数，使切换控制律的切换效果——当被控状态还未到达滑模面，或者因外界干扰等因素偏离滑模面时，控制器的介入程度和控制力度将会与状态与滑模面之间的距离成正比，即当状态离滑模面越远的时候，控制器的作用力度越大，介入程度越高，而越近时则相反——更加快速、稳定，极大地缓减传统滑模控制抖颤特性，以此保证无人机的飞行控制的快速响应。同时，通过调整饱和函数参数，还能改善控制器的非线性特性，滤除控制器输出中的抖颤，提升控制器的平滑性。

同时，本发明基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法还具有以下有益效果：

本发明设计的分数阶饱和函数切换控制律，可以加快被控对象从初始状态到达滑模面的收敛速度，并且保证该状态在滑模面上几乎不发生仍和抖颤。究其原因，有两点：

(1)、一方面，通过仿真实验证明，具有与sat(f(t))相同的符号切换功能，故保证了基本的功能性；

(2)、另一方面，在某些时刻，的绝对值明显能够大于1，而sgn(f(t))一般只能为0或1，因此，这种设计提高了控制器的性能，即加快了被控对象的收敛速度和精度，对控制器响应速度能够进行相对灵活地调节，便于选定更优的参数。与此同时，调整饱和函数参数δ，还能同时改变的绝对值和线性程度。

附图说明

图1是本发明基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法流程图；

图2是本发明中，分数阶饱和函数与分数阶符号函数在相同输入情况下的响应对比图；

图3是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数滚转角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，滚转角响应曲线；

图4是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数俯仰角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，俯仰角响应曲线；

图5是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数偏航角控制器进行的响应对比图任意姿态跟踪仿真实验中，偏航角响应曲线；

图6是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数高度控制器进行的任意高度跟踪仿真实验中，高度响应曲线；

图7是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数滚转角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，滚转角的滑模面变化曲线；

图8是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数俯仰角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，俯仰角的滑模面变化曲线；

图9是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数偏航角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，偏航角的滑模面变化曲线；

图10是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数高度控制器进行的任意高度跟踪仿真实验中，高度的滑模面变化曲线；

图11是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数滚转角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，滚转角控制器输出曲线；

图12是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数俯仰角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，俯仰角控制器输出曲线；

图13是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数偏航角控制器进行的任意姿态跟踪仿真实验中，偏航角控制器输出曲线；

图14是分数阶符号函数与不同参数下分数阶饱和函数高度控制器进行的任意高度跟踪仿真实验中，高度控制器输出曲线；

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

实施例

图1是本发明基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法流程图。

在本实施例中，如图1所示，本发明提出一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼无人机飞行控制方法，包括以下步骤：

S1、基于牛顿-欧拉原理对无人机进行动力学分析，包括力学分析和力矩分析，建立无人机动力学模型，无人机动力学模型包括平移运动模型和旋转运动模型，其中，平移运动模型为：

其中，(x,y,z)为无人机在地坐标系下的位置坐标，分别为x,y,z的二阶导，γ,μ,ρ分别是描述无人机的三个姿态角，即滚转角、俯仰角和偏航角，F_T是旋翼产生的总升力，m是无人机总质量，g是重力加速度；

旋转运动模型为：

其中，I_x,I_y,I_z是无人机在x,y,z三个方向上的转动惯量，N_x,N_y,N_z是无人机三个轴方向的力矩；

S2、分别设计三个姿态角对应的控制器

为了描述更清晰明了，控制器的设计以滚转角γ为例，另外两个姿态角(俯仰角、偏航角)类似；

S2.1、对滚转角γ进行第一步反步控制分析：设实际滚转角γ与期望值γ_d的误差为：E_γ1＝γ-γ_d，将E_γ1与滚转角误差阈值ζ比较，若E_γ1小于阈值ζ，则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤S2.2；

S2.2、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是滚转角期望值的导数，c₁为正常数；

对滚转角γ进行第二步反步控制分析，定义误差信号设计滑模控制的滑模面：S_γ(t)＝k₁E_γ1+E_γ2，其中，k₁＞0；

对滑模面S_γ(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

S2.3、设计基于分数阶理论的切换控制律

切换控制律的目的是使被控状态始终在滑模面上，或者在滑模面小范围内来回震荡，此处改进的空间在于状态逼近滑模面的速度以及震荡的范围。根据分数阶理论，该发明提出一种基于分数阶饱和函数的滑模控制切换控制律为:

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

明显在该分数阶饱和函数切换控制律能够保证一般切换函数的功能性，而不同的是，的绝对值明显能够大于1，而sgn(S_γ(t))一般只能为0或1，这种设计是提高被控对象收敛速度、收敛精度，并抑制***抖颤的关键；

S2.4、综上，将等效控制律与分数阶切换控制律相加，得到最终的滚转角γ控制器U_γ为

下面我们来验证该控制律满足李亚普诺夫稳定理论。设李亚普诺夫函数为：

由此可得其导数为：

明显第一项则只需考虑剩余项，将控制器N_x代入可得：

根据第2.3步中的符号性质可知而S_γ(t)E_γ1符号未知，故需重新构造N_x，即设计滚转角γ最终对应的控制器U_γ：

此时再代入即得

故即满足李亚普诺夫定理稳定条件。

S2.5、同理，按照步骤S2.1-S2.4所述方法设计俯仰角和偏航角对应的控制器U_μ和U_ρ

S3、设计高度方向控制器，由于其流程与姿态控制器一致，只是公式的表达略有区别，因此在图1中就统一以姿态角中的滚转角为例。

S3.1、对高度z进行误差分析：设实际高度z与期望值z_d的误差为：E_z1＝z-z_d；将E_z1与高度误差阈值比较，若E_z1小于阈值则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤S3.2；

S3.2、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是高度期望值的导数，c₄为正常数；定义误差信号E_Z2＝dz/dt-C₄，并设计滑模控制的滑模面：S_z(t)＝k₄E_z1+E_z2，其中，k₄＞0；

对滑模面S_z(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

S3.3、设计基于分数阶饱和函数的切换控制律

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

S3.4、根据等效控制律和基于分数阶饱和函数的切换控制律设计高度z对应的控制器U_z

此处的验证与步骤S2.4相同，在此不再赘述。

S4、利用设计后的三个姿态角及高度对应的控制器对四旋翼无人机进行飞行控制，当高度、滚转角、俯仰角和姿态角的误差均小于阈值(一极小正常数)时，说明无人机已进入稳定飞行状态；反之则重新迭代进行步骤S2和S3。

同时，可以从图2中看到，当参考信号输入为正弦函数f(t)＝3sin(t)时，整数阶符号函数和分数阶饱和函数的响应曲线。图中说明了前文所述的本发明的两个有点。其一是分数阶饱和函数具有符号切换的功能；其二是，当输入信号的符号发生变化时，分数阶饱和函数会产生一个较大的幅值，即前文所述的在某些时刻分数阶饱和函数的绝对值远大于1，此时其控制作用力将远远大于整数阶符号函数，使控制速度更快，使被控状态以更快的速度到达滑模面。而随着时间的推移，分数阶饱和函数的响应曲线逐渐减小且小于1。说明在控制后期，当状态靠近滑模面时，控制力度会随之减小，保证***不会产生过大抖颤，也说明分数阶饱和函数切换控制律这种控制方法更加灵活。

实例

为了从更加直观地看到分数阶饱和函数切换控制律引入后，对飞行控制器性能的提高，接下来以一个仿真实验为例来进行说明。仿真实验中，状态量：高度、滚转角、俯仰角和偏航角度初始值均为0，期望值则分别为8米、0.2、0.1和0.3弧度。实验结果图中，图2-5是状态响应曲线，图6-9是对应状态的滑模面变化曲线，图10-13是对应状态的控制器输出曲线。在每幅图中，又包含了曲线a——分数阶反步滑模控制器(q＝0.2,δ＝0)、曲线b——分数阶饱和函数反步滑模控制器(q＝0.2，δ＝0.01)和曲线c——分数阶饱和函数反步滑模控制器(q＝0.5，δ＝0.01)的性能对比。其中每幅图的曲线a都是在专利《基于分数阶控制算法的四旋翼无人机飞行控制方法》(专利号：201711432615.1)中控制器作用下的曲线。

图3-6分别是滚转角、俯仰角、偏航角和高度的状态响应曲线。从响应曲线的总体趋势来看，三种情况(a、b、c)时的状态响应曲线均能在2-3秒内跟踪到期望状态，并保持稳定。这说明三种情况下控制器均能对被控状态实施有效的控制作用。但是从各幅图中的细节图可以看到，曲线c超调更小，更加平稳，且收敛速度总是最快的，曲线b的速度略慢于曲线a。从这四幅图以及对应控制器参数的比较中，可以得到结论，分数阶参数相同时，分数阶饱和函数控制器的控制速度略慢于分数阶符号函数控制器，但通过提高分数阶参数，可以实现控制速度的提升。

图7-10分别是滚转角、俯仰角、偏航角和高度对应的滑模面变化曲线。滑模面变化曲线是滑模控制中用来判断***稳定的独有指标，当滑模面与其导数之积非正时，***稳定。从滑模面变化曲线的总体趋势来看，三种情况(a、b、c)时的滑模面变化曲线均能在2-3秒内收敛到0，并保持稳定，此时，滑模面与其导数之积必然非正，故***稳定。同时，与图2-5中对应的状态响应曲线一一对比，状态响应曲线跟踪上期望值的时刻与滑模面收敛到0的时间几乎完全一致，这说明三种情况下控制器均能使***进入稳定状态。但是从各幅图中的细节图可以看到，曲线c超调更小，更加平稳，且使***达到稳定状态的速度总是最快的，曲线a的效果次之，曲线b稍慢于a。因此，从这四幅图的比较中，可以得到结论，增加分数阶饱和函数反步滑模控制器中的分数阶参数q能使***进入稳定状态的速度更快，但当分数阶参数相同的情况下，分数阶饱和函数反步滑模控制器的控制速度会略慢于分数阶符号函数反步滑模控制器。

图11-14分别是滚转角、俯仰角、偏航角和高度对应的控制器输出曲线。控制器输出曲线的合理性是判断控制***是否合理的重要检验标准。从控制器输出曲线的总体趋势来看，三种情况(a、b、c)时的控制器输出曲线均能在2-3秒内进入稳定或相对稳定的控制状态，说明控制器已经完成了对各状态的调整和控制，并使***进入了稳定状态。但是从各图的细节图中可以明显地看到，分数阶符号函数反步滑模控制器的输出产生了明显、密集的抖颤现象，不管抖颤的幅值大或小，如此密集的抖颤在控制器的长时间运行中，必然会对***的鲁棒性、稳定性造成不良影响，这在对平稳性要求极高的飞行器控制***中是不能容忍的。曲线a和b的区别仅为后者引入了饱和函数，虽然在之前的对比中得到结论b对应控制器的控制速度略慢于a，但是b中几乎不会产生任何抖颤现象，平稳性良好。且增大分数阶饱和函数反步滑模控制器中的分数阶参数q后，不仅控制速度更快，并且仍然没有产生任何抖颤。

综上，相对于分数阶符号函数反步滑模控制器，分数阶饱和函数切换控制律的使用，能够通过调整分数阶参数q和饱和函数参数δ，提高控制器性能，并极好地抑制滑模控制带来的控制器输出抖颤问题。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种基于分数阶饱和函数切换控制律的四旋翼飞行控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、基于牛顿-欧拉方程对无人机进行动力学分析，并建立相应的动力学模型。无人机动力学模型包括平移运动模型和旋转运动模型，其中，平移运动模型为：

其中，(x,y,z)为无人机在地坐标系下的位置坐标，分别为x,y,z的二阶导，γ,μ,ρ分别是描述无人机的三个姿态角，即滚转角、俯仰角和偏航角，F_T是旋翼产生的总升力，m是无人机总质量，g是重力加速度；

旋转运动模型为：

其中，I_x,I_y,I_z是无人机在x,y,z三个方向上的转动惯量，N_x,N_y,N_z是无人机三个轴方向的力矩；

(2)、分别设计三个姿态角对应的控制器

(2.1)、对滚转角γ进行误差分析：设实际滚转角γ与期望值γ_d的误差为：E_γ1＝γ-γ_d；将与滚转角误差阈值ζ比较，若E_γ1小于阈值ζ，则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤(2.2)；

(2.2)、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是滚转角期望值的导数，c₁为正常数；

定义误差信号并设计滑模控制的滑模面：S_γ(t)＝k₁E_γ1+E_γ2，其中，k₁＞0；

对滑模面S_γ(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

(2.3)、设计基于分数阶饱和函数的切换控制律

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

(2.4)、根据等效控制律和基于分数阶饱和函数的切换控制律设计滚转角γ对应的控制器U_γ

(2.5)、同理，按照步骤(2.1)-(2.4)所述方法设计俯仰角和偏航角对应的控制器U_μ和U_ρ

(3)、设计高度方向控制器

(3.1)、对高度z进行误差分析：设实际高度z与期望值z_d的误差为：E_z1＝z-z_d；将E_z1与高度高度误差阈值比较，若E_z1小于阈值则表示四旋翼无人机飞行***稳定，并结束；反之则进入步骤(3.2)；

(3.2)、设计等效控制律

取虚拟控制变量其中，是高度期望值的导数，c₄为正常数；定义误差信号设计滑模控制的滑模面：S_z(t)＝k₄E_z1+E_z2，其中，k₄＞0；

对滑模面S_z(t)求导，得：

根据滑模控制稳定性理论，令得到等效控制律：

(3.3)、设计基于分数阶饱和函数的切换控制律

其中，ε_γ＞0，k_γ＞0，0≤q＜1，δ∈R，Γ(·)是伽玛函数，f(t)泛指函数，饱和函数且

(3.4)、根据等效控制律和基于分数阶饱和函数的切换控制律设计高度z对应的控制器U_z

(4)利用设计后的三个姿态角及高度对应的控制器重新跟踪滚转角、俯仰角、姿态角和高度，如果误差均小于其对应的阈值，则表明四旋翼无人机已进入稳定飞行状态，并用上述设计的控制器对四旋翼无人机进行飞行控制，保证无人机正常运行；反之则返回步骤(2)。