CN108536096A - 基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法及装置 - Google Patents

基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法及装置 Download PDF

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Abstract

本公开提出一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法，包括以下步骤：在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程；根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；基于前馈补偿反馈，设置比例‑微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。本公开的有益效果为：通过坐标变换至新任务极坐标系的方式，将三维轮廓误差控制问题降维为一个二维解耦控制问题，从而获得简化三维轮廓控制器的设计难度和控制器参数调节的复杂度，有效提高三维轮廓的控制精度的技术效果。

Description

基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法及装置
技术领域
本公开涉及伺服***的三维轮廓控制方法，尤其涉及一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法，以及基于上述方法的装置。
背景技术
通常来说跟踪控制的目的是为了减少实际位置和目标位置之间的跟踪误差，从而使得对象跟随一条预规划的轨迹运动。然而，在衡量机械加工零件表面被加工的质量时，轮廓误差往往被更普遍地使用。直接基于跟踪误差的跟踪控制往往不能在机械加工零件表面上获得较好的轮廓误差。为了满足机械加工零件表面被加工的质量，基于轮廓误差的跟踪控制是很有必要的。
目前有两类主流的轮廓控制方法。一类方法是交叉耦合的控制方法，另一类是基于世界笛卡尔坐标系的控制方法。
前者通过计算并估计在加工过程中的轮廓误差，从而控制每个轴控制器的增益，进而控制机床的加工过程。由于实现上述方法的装置结构简单，所以上述方法较为普遍。例如公开号为CN101114166A的发明专利《一种复杂轨迹的轮廓控制方法》和公开号为CN102854840A的发明专利《基于预测控制和交叉耦合的直驱XY平台轮廓控制方法》分别针对两轴伺服***使用交叉耦合的控制方法，从而在单轴控制的基础上直接补偿***的轮廓误差，以提高加工精度。然而，对于传统的单轴跟踪控制结构，轮廓误差仅仅是一种补偿，并且该方法没有考虑***动力学模型。
后者是在世界坐标系下针对轮廓性能控制。具体地，这类基于坐标系变换的方法对加工中的轨迹进给运动(沿着参考轮廓轨迹进行运动)和轮廓跟踪运动(与轨迹跟踪运动方向垂直的运动)解耦，当作两个独立的控制量分别进行控制。上述方法并没有直接针对轮廓误差进行控制，而是在控制中引入了任务坐标系这个概念以便于直接估计控制误差并进行轮廓控制，从而控制性能上大有提高。例如，对于二维轮廓加工，公开号为CN103760816A的发明专利《基于任务极坐标系的伺服***轮廓控制方法》通过在期望轨迹处的密切圆建立一个任务极坐标系，并针对密切圆估算出当前实际位置到密切圆的最短位置，将密切圆的径向作为轮廓性能指标，将密切圆的跟踪角度作为进给性能指标，从而将轮廓性能和进给性能进行解耦控制。然而，前述发明专利中所使用方法都是针对XY轴运动控制***进行二维轮廓控制的。对于二维轮廓控制，由于轮廓误差和跟踪误差都在密切平面内，可以很方便地实现轮廓性能和进给性能的解耦，但是对于三维轮廓控制，轮廓误差往往不在密切平面内；所以对于三维轮廓控制，要实现轮廓性能和进给性能的解耦就需要在三维坐标系的每一个坐标方向进行控制，也就是需要对三组参数进行调节。由于参数调节繁琐，所以这增加了三维轮廓控制方法的应用难度。
发明内容
本公开的目的是解决现有技术在三维轮廓控制应用中参数调节过多且繁琐的不足，提供一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法及装置。在该新任务极坐标系下，上述方案能够获得只需要调节两组控制参数即可实现对三维加工的轮廓性能和进给性能的降维及解耦控制的效果。
为了实现上述目的，本公开采用以下的技术方案：
提出一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法，包括以下步骤：
S100)在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程，其中，每个运动轴设置为二阶线性动力学***；
S200)根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；
S300)将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；
S400)基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。
在一个优选的实施例中，所述动力学方程在各运动轴方向上是如下二阶线性动力学***：
其中gi(s)是每个轴的传递函数，mi,ci,ki∈R分别代表每个轴的质量、阻尼和增益系数，且所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下表示为矩阵形式其中M,C∈R3×3分别代表每个轴的质量常系数对角矩阵和阻尼常系数对角矩阵，w,u∈R3分别代表输入的位置矢量和控制矢量。
进一步地，在本公开的上述实施例中，新任务极坐标系通过如下子步骤建立：
S201)通过伺服***中的编码器测量实际轮廓轨迹的当前位置点和给定点；
S202)基于轮廓估计方法获取估计点；
S203)基于当前位置点与估计点确定第一连线，以及基于给定点和估计点确定第二连线；
S204)设置第一连线的中垂线与第二连线的中垂线之间的相交点为新任务极坐标系的极点，极点到给定点的方向为新任务极坐标系的极轴方向；
其中，极点到给定点的距离为半径rd，沿极轴方向绕极点的逆时针方向角度为新任务坐标系的极角θ，给定点在新任务极坐标系下的极角为θd。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，对于任意点(r,θ)，新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw为
其中，w是点(r,θ)在世界笛卡尔坐标系中的位置，是旋转矩阵，且估计点的切线向量估计点的法线向量及估计点的副法线向量根据以下公式计算
其中，v＝[0rd0]T。wE是估计点在世界坐标系中的位置。是等价旋转矩阵。是等价平移矩阵。向量是从估计点到当前位置点的向量。向量是从给定点到估计点的向量。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，步骤S300)包括如下子步骤：
S301)根据如下公式计算w关于时间t的一阶导数和二阶导数
S302)将w关于时间t的一阶导数和二阶导数代入所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下的矩阵形式，转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程
其中
再进一步地，在本公开的上述实施例中，在步骤S400)中基于新任务极坐标系下的误差动力学方程所设置的比例-微分控制方程是：
其中，Kv和Kp分别是正定对称矩阵形式的比例系数矩阵和微分系数矩阵，
其中kvr、kvθ、kpr和kpθ是待整定的系数。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，在步骤S400)中解耦所述误差动力学方程包括如下子步骤：
S401)分别将比例系数矩阵Kv和微分系数矩阵Kp代入新任务极坐标系下的误差动力学方程得到误差关系式
S402)将kvr＝2ξr(2πfr)、kvθ＝2ξθ(2πfθ)、kpr＝(2πfr)2和kpθ＝(2πfθ)2代入到误差关系式后，对误差关系式执行拉普拉斯变换以整定系数kvr、kvθ、kpr和kpθ。
其次，本公开还提出一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制装置，包括以下模块：初始化模块，用于在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程；第一转换模块，用于根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；第二转换模块，用于将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；解耦模块，用于基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。其中，在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程每个运动轴设置为二阶线性动力学***。
在一个优选的实施例中，所述动力学方程在各运动轴方向上是如下二阶线性动力学***：
其中gi(s)是每个轴的传递函数，mi,ci,ki∈R分别代表每个轴的质量、阻尼和增益系数，且所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下表示为矩阵形式其中M,C∈R3×3分别代表每个轴的质量常系数对角矩阵和阻尼常系数对角矩阵，w,u∈R3分别代表输入的位置矢量和控制矢量。
进一步地，在本公开的上述实施例中，第一转换模块还包括如下子模块：测量模块，用于通过伺服***中的编码器测量实际轮廓轨迹的当前位置点和给定点；估计模块，用于基于轮廓估计方法获取估计点；连线模块，用于基于当前位置点与估计点确定第一连线，以及基于给定点和估计点确定第二连线；构建模块，用于设置第一连线的中垂线与第二连线的中垂线之间的相交点为新任务极坐标系的极点，极点到给定点的方向为新任务极坐标系的极轴方向；其中，极点到给定点的距离为半径rd，沿极轴方向绕极点的逆时针方向角度为新任务坐标系的极角θ，给定点在新任务极坐标系下的极角为θd。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，第一转换模块根据以下坐标变换关系Tnw将任意点(r,θ)变换到新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系
其中，w是点(r,θ)在世界笛卡尔坐标系中的位置，是旋转矩阵，且估计点的切线向量估计点的法线向量及估计点的副法线向量根据以下公式计算
其中，v＝[0rd0]T。wE是估计点在世界坐标系中的位置。是等价旋转矩阵。是等价平移矩阵。向量是从估计点到当前位置点的向量。向量是从给定点到估计点的向量。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，第二转换模块包括如下子模块：
求导模块，用于根据如下公式计算w关于时间t的一阶导数和二阶导数
转换模块，用于将w关于时间t的一阶导数和二阶导数代入所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下的矩阵形式，转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程
其中
再进一步地，在本公开的上述实施例中，解耦模块中基于新任务极坐标系下的误差动力学方程所设置的比例-微分控制方程是：
其中，Kv和Kp分别是正定对称矩阵形式的比例系数矩阵和微分系数矩阵，
其中kvr、kvθ、kpr和kpθ是待整定的系数。
再进一步地，在本公开的上述实施例中，解耦模块中包括如下子模块：
代入模块，用于分别将比例系数矩阵Kv和微分系数矩阵Kp代入新任务极坐标系下的误差动力学方程得到误差关系式
变换模块，用于将kvr＝2ξr(2πfr)、kvθ＝2ξθ(2πfθ)、kpr＝(2πfr)2和kpθ＝(2πfθ)2代入到误差关系式后，对误差关系式执行拉普拉斯变换以整定系数kvr、kvθ、kpr和kpθ。
最后，本公开还公开了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机指令，该指令被处理器执行时实现如前述任一项所述方法的步骤。
本公开的有益效果为：通过坐标变换至新任务极坐标系的方式，将三维轮廓误差控制问题降维为一个二维解耦控制问题，从而获得简化三维轮廓控制器的设计难度和控制器参数调节的复杂度，有效提高三维轮廓的控制精度的技术效果。此外，该坐标系变换方法不仅适用于三维轮廓误差跟踪控制中，还适用于现有的任意一种轮廓误差估计方法。
附图说明
图1所示为执行本公开的任务极坐标系的三维轮廓控制方法的***结构图；
图2所示为本公开的任务极坐标系的三维轮廓控制方法的步骤流程图；
图3所示为在一般情况下的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标之间的变换关系示意图；
图4～8所示为在特殊情况下的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标之间的变换关系示意图；
图9是基于新任务极坐标系的三维轮廓控制***结构图；
图10是基于新任务极坐标系的三维轮廓控制器结构图；
图11所示为本公开的任务极坐标系的三维轮廓控制装置的模块结构图；
图12所示为在空间椭圆轮廓下，使用本公开方法在改变径向误差控制频率时角度误差频率情况的实验结果；
图13所示为在空间椭圆轮廓下，使用本公开方法在改变径向误差控制频率时径向误差频率情况的实验结果。
具体实施方式
以下将结合实施例和附图对本公开的构思、具体结构及产生的技术效果进行清楚、完整的描述，以充分地理解本公开的目的、方案和效果。需要说明的是，在不冲突的情况下，本公开中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。附图中各处使用的相同的附图标记指示相同或相似的部分。
图1所示为执行本公开的任务极坐标系的三维轮廓控制方法的***结构图。本公开以工业用的三轴玻璃雕刻CNC机床作为操作平台，说明基于新任务极坐标系的三维轮廓控制方法的效果。
根据本公开的一个实施例，操作平台使用普通的计算机作为***的上位机，负责执行机床的运动规划。具体地，可以采用微型实验箱作为***实时运动的控制器以驱动机床伺服驱动器，并同时采集伺服驱动器上编码器的信号。所有伺服驱动器都在速度模式下工作，并且通过控制器根据规划的轮廓对待加工的工件进行位置闭环。
参照图2所示的方法流程图，在根据本公开的一个实施例中，基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法包括如下步骤：
S100)在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程；
S200)根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；
S300)将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；
S400)基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。
具体地，在图1所示的***中，三轴数控机床的三个轴被设计为相互正交的，且运动轴与世界笛卡尔坐标系重合。每个运动轴的动力学模型通常可视为一个二阶线性动力学***：
其中gi(s)是每个轴的传递函数，mi,ci,ki∈R分别代表每个轴的质量，阻尼和增益系数。因为三轴数控机床的每个运动轴都是解耦的，所以每个轴的动力学模型都可被独立辨识。在一个实施例中，扫频正弦信号被用于激励机床的每个轴，从而可使用***辨识工具箱读取每个轴的输出。相应地，三轴数控机床的动力学方程在世界笛卡尔坐标系下可以写成矩阵形式：
其中M,C∈R3×3是常系数对角矩阵，并分别代表每个轴的质量和阻尼矩阵，而w,u∈R3分别代表输入的位置矢量和控制矢量。
参照图3所示的变换关系示意图，在本公开的一个实施例中，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系包括如下子步骤：
S201)通过伺服***中的编码器测量实际轮廓轨迹的当前位置点A和给定点D(即在期望轮廓轨迹上的理想位置点)；
S202)基于轮廓估计方法获取估计点E；
S203)基于当前位置点A与估计点E确定第一连线EA，以及基于给定点D和估计点E确定第二连线ED；
S204)设置第一连线EA的中垂线与第二连线ED的中垂线之间的相交点为新任务极坐标系(nTPCF)的极点O。在计算出估计点E、给定点D和极点O的位置后，基于上述三者位置可以取得一个空间圆，并在所述空间圆上建立新任务极坐标系。其中，极点O到给定点D的方向为新任务极坐标系的极轴方向。极点O到给定点D的距离为半径rd，沿极轴方向绕极点O的逆时针方向角度为新任务坐标系的极角θ，给定点D在新任务极坐标系下的极角为θd。
可选地，估计点E可通过以下旨在说明而非限定的轮廓误差估计方法的实施例而获得。这里使用的标准估计只是获取估计点E具***置的一种方法，本公开并不限定估计点E还可以通过现有的其他方法获取。
令三维空间中轮廓轨迹cd(t)表示为：
cd(t)＝[xd(t)yd(t)zd(t)]T，
其中，cd(t)可以使用弧长参数s来表示。在期望轮廓轨迹上的给定点D的附近对cd(s)作泰勒展开，从而得到给定点D位置的展开式：
另一方面，在给定点D处应用Frenet-Serret标架公式，可得：
将上述标架公式代入展开式可得：
因为s3项在(4)式中相对于s2项对轮廓误差的影响非常小，所以可以将含有s3的项全部省略，从而获得cd(s)的标准估计式：
其中(t,n,b)项的系数表示在期望轮廓轨迹上某个给定点的在Frenet标架中的坐标。轮廓的实际位置点到所估计的轮廓轨迹上的最近点记为E点，并使用(tE,nE,bE)表示E点在Fernet标架中的坐标位置。其中，E点坐标就是所述标准估计公式中t，n，b的系数，即E点在Frenet坐标系中的坐标
对于某些特殊的情况，参照图4～8所示的变换关系示意图，针对以下五种特殊情况设定轮廓误差和跟踪误差的值：
(1)当前位置点A与极点O重合(如图4所示)，则以当前位置点A作为新任务极坐标系的极点O，此时轮廓误差等于估计点E到当前位置点A的距离，此时跟踪误差是第一连线EA和第二连线ED的夹角；
(2)当前位置点A与极点O重合，与估计点E和给定点D共线，且当前位置点A位于估计点E和给定点D连线之间(如图5所示)，此时轮廓误差等于估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为π；
(3)当前位置点A与极点O重合，与估计点E和给定点D共线，且当前位置点A位于第二连线ED之外(如图6所示)，此时轮廓误差为估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为0；
(4)当前位置点A与极点O重合，估计点E与给定点D重合(如图7所示)，此时轮廓误差为估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为0；
(5)当前位置点A、极点O和估计点E重合(如图8所示)，此时轮廓误差为0，跟踪误差为给定点D到当前位置点A的距离。
当建立起新任务坐标系后，新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw可通过在给定点E出建立的局部Frenet坐标系确定。下面将参照图4示例性地说明建立过程，对于其他特殊情况，可参照以下方式建立。
如图4所示，在估计点E处建立如下一个局部Frenet坐标系(即，坐标系)：
其中，为估计点E的切线向量，为估计点E的法线向量，为估计点E的副法线向量。上述三者都为单位向量。一方面，世界笛卡尔坐标系和坐标系之间的转换关系如下：
其中，是旋转矩阵，wE是估计点E在世界坐标系中的位置，表示从坐标系到世界坐标系的变换矩阵，表示从世界坐标系到坐标系的变换矩阵。另一方面，坐标系转换到任务极坐标系的转换关系如下：
上式可写为其中v＝[0rd0]T，J为如下矩阵的形式：
结合上述两方面的转换公式，新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw可写为如下形式：
其中，w是点(r,θ)在世界笛卡尔坐标系中的位置，是等价旋转矩阵，是等价平移矩阵。
进一步地，根据上述新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw，世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程可转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程。具体地，可先求w关于时间t的一阶导数和二阶导数
然后，将w关于时间t的一阶导数和二阶导数代入所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下的矩阵形式，转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程
其中
基于上述新任务极坐标系下的误差动力学方程，设置的比例-微分控制方程为：
其中，表示在新任务极坐标系下当前位置点A的位置，表示在新任务极坐标系下给定点D的位置，在上述比例-微分控制方程中，是前馈补偿项。Kv和Kp分别是正定对称矩阵形式的比例系数矩阵和微分系数矩阵，
将上述比例系数矩阵和微分系数矩阵分别代入可以得到如下误差关系式
然后令kvr＝2ξr(2πfr)，kvθ＝2ξθ(2πfθ)，kpr＝(2πfr)2，kpθ＝(2πfθ)2，并对上式执行拉普拉斯变换得到：
这样，通过整定其中的kvr、kvθ、kpr和kpθ，即可完成整个控制器的设计实现对误差动力学模型的解耦控制。具体地，为获取临界阻尼动态，在本公开的一个实施例中，阻尼系数ξr和ξθ可都设置为1，并根据实际测试数据通过数据拟合方式确定参数fr和fθ。本领域技术人员可根据实际情况选用本领域常用数据拟合方式以确定上述参数，本公开对此不作限定。因此，基于上述实施例的整个动力基于新任务极坐标系的三维轮廓控制方法的***和控制器的结构可参考图9和图10所示的结构图。其中εr是径向轮廓误差，εθ是角度轮廓误差。Twf表示从世界坐标系到局部Frenet坐标系的变换。
参照图11所示的模块结构图，在根据本公开的一个实施例中，基于任务极坐标系的三维轮廓控制装置包括如下模块：初始化模块，用于在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程；第一转换模块，用于根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；第二转换模块，用于将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；解耦模块，用于基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，从而解耦所述误差动力学方程。
具体地，在本公开的一个实施例中，三轴数控机床的三个轴被设计为相互正交的，且运动轴与世界笛卡尔坐标系重合。每个运动轴的动力学模型通常可视为一个二阶线性动力学***：
其中gi(s)是每个轴的传递函数，mi,ci,ki∈R分别代表每个轴的质量，阻尼和增益系数。因为三轴数控机床的每个运动轴都是解耦的，所以每个轴的动力学模型都可被独立辨识。在一个实施例中，扫频正弦信号被用于激励机床的每个轴，从而可使用***辨识工具箱读取每个轴的输出。相应地，三轴数控机床的动力学方程在世界笛卡尔坐标系下可以写成矩阵形式：
其中M,C∈R3×3是常系数对角矩阵，并分别代表每个轴的质量和阻尼矩阵，而w,u∈R3分别代表输入的位置矢量和控制矢量。
进一步地，在本发明的上述实施例中，第一转换模块还包括如下子模块：测量模块，用于通过伺服***中的编码器测量实际轮廓轨迹的当前位置点A和给定点D；估计模块，用于基于轮廓估计方法获取估计点E；连线模块，用于基于当前位置点A与估计点E确定第一连线EA，以及基于给定点D和估计点E确定第二连线ED；构建模块，用于设置第一连线EA的中垂线与第二连线ED的中垂线之间的相交点为新任务极坐标系的极点O。在计算出估计点E、给定点D和极点O的位置后，基于上述三者位置可以取得一个空间圆，并在所述空间圆上建立新任务极坐标系。其中，极点O到给定点D的方向为新任务极坐标系的极轴方向。极点O到给定点D的距离为半径rd，沿极轴方向绕极点O的逆时针方向角度为新任务坐标系的极角θ，给定点D在新任务极坐标系下的极角为θd。
可选地，估计点E可通过以下旨在说明而非限定的轮廓误差估计方法的实施例而获得。这里使用的标准估计只是获取估计点E具***置的一种方法，本公开并不限定估计点E还可以通过现有的其他方法获取。
令三维空间中轮廓轨迹cd(t)表示为：
cd(t)＝[xd(t) yd(t) zd(t)]T，
其中，cd(t)可以使用弧长参数s来表示。在期望轮廓轨迹上的给定点D的附近对cd(s)作泰勒展开，从而得到给定点D位置的展开式：
另一方面，在给定点D处应用Frenet-Serret标架公式，可得：
将上述标架公式代入展开式可得：
因为s3项在(4)式中相对于s2项对轮廓误差的影响非常小，所以可以将含有s3的项全部省略，从而获得cd(s)的标准估计式：
其中(t,n,b)项的系数表示在期望轮廓轨迹上某个给定点的在Frenet标架中的坐标。轮廓的实际位置点到所估计的轮廓轨迹上的最近点记为估计点E，并使用(tE,nE,bE)表示估计点E在Fernet标架中的坐标位置。其中，估计点E的坐标就是所述标准估计公式中t，n，b的系数，即估计点E在Frenet坐标系中的坐标
对于某些特殊的情况，参照图4～8所示的变换关系示意图，针对以下五种特殊情况设定轮廓误差和跟踪误差的值：
(1)当前位置点A与极点O重合(如图4所示)，则以当前位置点A作为新任务极坐标系的极点O，此时轮廓误差等于估计点E到当前位置点A的距离，此时跟踪误差是第一连线EA和第二连线ED的夹角；
(2)当前位置点A与极点O重合，与估计点E和给定点D共线，且当前位置点A位于估计点E和给定点D连线之间(如图5所示)，此时轮廓误差等于估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为π；
(3)当前位置点A与极点O重合，与估计点E和给定点D共线，且当前位置点A位于第二连线ED之外(如图6所示)，此时轮廓误差为估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为0；
(4)当前位置点A与极点O重合，估计点E与给定点D重合(如图7所示)，此时轮廓误差为估计点E到当前位置点A的距离，跟踪误差为0；
(5)当前位置点A、极点O和估计点E重合(如图8所示)，此时轮廓误差为0，跟踪误差为给定点D到当前位置点A的距离。
当建立起新任务坐标系后，第一转换模块可通过在给定点E出建立的局部Frenet坐标系，确定新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw。下面将参照图4示例性地说明建立过程，对于其他特殊情况，可参照以下方式建立。
如图4所示，在估计点E处建立如下一个局部Frenet坐标系(即，坐标系)：
其中，为估计点E的切线向量，为估计点E的法线向量，为估计点E的副法线向量。上述三者都为单位向量。一方面，世界笛卡尔坐标系和坐标系之间的转换关系如下：
其中，是旋转矩阵，wE是估计点E在世界坐标系中的位置，表示从坐标系到世界坐标系的变换矩阵，表示从世界坐标系到坐标系的变换矩阵。另一方面，坐标系转换到任务极坐标系的转换关系如下：
上式可写为其中v＝[0rd0]T，J为如下矩阵的形式：
结合上述两方面的转换公式，新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw可写为如下形式：
其中，w是点(r,θ)在世界笛卡尔坐标系中的位置，是等价旋转矩阵，是等价平移矩阵。
进一步地，根据上述新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw，第二转换模块包括如下子模块，以实现世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程：
求导模块，用于根据如下公式计算w关于时间t的一阶导数和二阶导数
转换模块，用于将w关于时间t的一阶导数和二阶导数代入所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下的矩阵形式，转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程
其中
解耦模块基于上述新任务极坐标系下的误差动力学方程，设置的比例-微分控制方程为：
其中，表示在新任务极坐标系下当前位置点A的位置，表示在新任务极坐标系下给定点D的位置，在上述比例-微分控制方程中，是前馈补偿项。Kv和Kp分别是正定对称矩阵形式的比例系数矩阵和微分系数矩阵，
解耦模块中的代入模块将上述比例系数矩阵和微分系数矩阵代入可以得到误差关系式
然后由解耦模块中的变换模块将kvr＝2ξr(2πfr)，kvθ＝2ξθ(2πfθ)，kpr＝(2πfr)2，
kpθ＝(2πfθ)2代入到误差关系式，并对误差关系式执行拉普拉斯变换得到：
这样，通过整定其中的kvr、kvθ、kpr和kpθ，即可完成整个控制器的设计实现对误差动力学模型的解耦控制。具体地，为获取临界阻尼动态，在本公开的一个实施例中，阻尼系数ξr和ξθ可都设置为1，并根据实际测试数据通过数据拟合方式确定参数fr和fθ。本领域技术人员可根据实际情况选用本领域常用数据拟合方式以确定上述参数，本公开对此不作限定。
在本公开的一个实施例中，如下的空间椭圆轮廓作为测试曲线：
其中，测试曲线的参数分别为a＝b＝50mm，c＝20mm，ω＝1rad/s，理想轮廓的周期为2πs，阻尼系数ξr和ξθ都设置为1，并通过数据拟合方式确定得到参数fr＝80Hz，fθ＝60Hz。如图12所示的测试结果，当改变径向误差控制频率时，角度误差频率基本不发生变化。类似地，如图13所示的测试结果，当改变角度误差控制频率时，径向误差频率也不发生变化。上述两项测试结果表明径向误差控制频率和角度误差控制频率是相互独立的，因此本公开所提出的方法是解耦的。
在本公开的另一个实施例中，另一种轮廓加工中常见的空间螺旋线作为测试曲线。该测试曲线的参数如下：
系数ξr、ξθ、fr和fθ采用与前述实施例相同的数据。下表所示为基于上述测试曲线，本公开提出基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法和基于传统任务坐标系的三维轮廓误差对比图。其中，εnTPCF是基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法的三维轮廓误差，εTCF是基于传统任务坐标系的三维轮廓误差，εf是均方根轮廓误差，而εr是径向轮廓误差。从下表可以看出本公开所提出的基于任务极坐标系的方法相对于传统任务坐标系，在改善控制误差和轮廓误差方面都有很大的提高。
εf εr εTCF εnTPCF
最大值 0.05 0.046 0.05 0.014
平均值 0.045 0.015 0.045 0.0029
应当认识到，本发明的实施例可以由计算装置、硬件和软件的组合、或者通过存储在非暂时性计算机可读存储器中的计算机指令来实现或实施。所述方法可以使用标准编程技术-包括配置有计算机程序的非暂时性计算机可读存储介质在计算机程序中实现，其中如此配置的存储介质使得计算机以特定和预定义的方式操作-根据在具体实施例中描述的方法和附图。每个程序可以以高级过程或面向对象的编程语言来实现以与计算机***通信。然而，若需要，该程序可以以汇编或机器语言实现。此外，为此目的该程序能够在编程的专用集成电路上运行。
尽管本发明的描述已经相当详尽且特别对几个所述实施例进行了描述，但其并非旨在局限于任何这些细节或实施例或任何特殊实施例，而是应当将其视作是通过参考所附权利要求考虑到现有技术为这些权利要求提供广义的可能性解释，从而有效地涵盖本发明的预定范围。此外，上文以发明人可预见的实施例对本发明进行描述，其目的是为了提供有用的描述，而那些目前尚未预见的对本发明的非实质性改动仍可代表本发明的等效改动。

Claims (9)

1.一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
S100)在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程，其中，每个运动轴设置为二阶线性动力学***；
S200)根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；
S300)将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；
S400)基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述动力学方程的每个运动轴的二阶线性动力学***为
其中gi(s)是每个轴的传递函数，mi,ci,ki∈R分别代表每个轴的质量，阻尼和增益系数；所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下表示为矩阵形式其中M,C∈R3×3分别代表每个轴的质量常系数对角矩阵和阻尼常系数对角矩阵，w,u∈R3分别代表输入的位置矢量和控制矢量。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，新任务极坐标系通过如下子步骤建立：
S201)通过伺服***中编码器测量实际轮廓轨迹的当前位置点(A)和给定点(D)；
S202)基于轮廓估计方法获取估计点(E)；
S203)基于当前位置点(A)与估计点(E)确定第一连线(EA)，以及基于给定点(D)和估计点(E)确定第二连线(ED)；
S204)设置第一连线(EA)的中垂线与第二连线(ED)的中垂线之间的相交点为新任务极坐标系的极点(O)；
其中，极点(O)到给定点(D)的方向为新任务极坐标系的极轴方向，极点(O)到给定点(D)的距离为半径rd，沿极轴方向绕极点(O)的逆时针方向角度为新任务坐标系的极角θ，给定点(D)在新任务极坐标系下的极角为θd。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，对于任意点(r,θ)，新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系的坐标变换关系Tnw为
其中，w是点(r,θ)在世界笛卡尔坐标系中的位置，是旋转矩阵，且估计点(E)的切线向量估计点(E)的法线向量及估计点(E)的副法线向量根据以下公式计算
v＝[0 rd 0]T，wE是估计点(E)在世界坐标系中的位置，且是旋转矩阵，是平移矩阵。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤S300)包括如下子步骤：
S301)根据如下公式计算w关于时间t的一阶导数和二阶导数
S302)将w关于时间t的一阶导数和二阶导数代入所述动力学方程在世界笛卡尔坐标系下的矩阵形式，转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程
其中
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，在步骤S400)中基于新任务极坐标系下的误差动力学方程所设置的比例-微分控制方程是：
其中，Kv和Kp分别是正定对称矩阵形式的比例系数矩阵和微分系数矩阵，
其中kvr、kvθ、kpr和kpθ是待整定的系数。
7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，在步骤S400)中解耦所述误差动力学方程包括如下子步骤：
S401)分别将比例系数矩阵Kv和微分系数矩阵Kp代入新任务极坐标系下的误差动力学方程得到误差关系式
S402)将kvr＝2ξr(2πfr)、kvθ＝2ξθ(2πfθ)、kpr＝(2πfr)2和kpθ＝(2πfθ)2代入到误差关系式后，对误差关系式执行拉普拉斯变换以整定系数kvr、kvθ、kpr和kpθ。
8.一种基于任务极坐标系的三维轮廓控制装置，其特征在于，包括以下模块：
初始化模块，用于在世界笛卡尔坐标系下建立XYZ三轴运动平台的动力学方程；
第一转换模块，用于根据期望轮廓轨迹，基于三维轮廓轨迹建立新任务极坐标系，并计算相应的新任务极坐标系到世界笛卡尔坐标系坐标变换关系；
第二转换模块，用于将世界笛卡尔坐标系下的***动力学方程转换为新任务极坐标系下的误差动力学方程；
解耦模块，用于基于前馈补偿反馈，设置比例-微分控制器，并解耦所述误差动力学方程。
9.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机指令，其特征在于该指令被处理器执行时实现如权利要求1至7中任一项所述的方法的步骤。
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