CN108415253B - 基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，包括以下步骤：基于齐次马尔可夫链，建立磁轴承***在低速模态、中速模态和高速模态下的状态空间模型，并计算磁轴承***在三种模态之间切换的转移概率矩阵；确定分别在三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器；根据磁轴承***的模态，利用不同的状态反馈控制器控制磁轴承***。与传统单一模态磁轴承控制***相比，本方法根据磁轴承转子在不同转速下的运动特性，提出了磁轴承***分别在高速模态、中速模态和低速模态下的空间状态模型，分别设计出在三种模态下使磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器，使用不同的状态反馈控制器，有效提高控制***性能。
Description
技术领域
本发明涉及一种用于磁轴承的集中控制方法，具体涉及一种基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法。
背景技术
动力电池是电动汽车的心脏，是新能源汽车产业发展的关键。飞轮储能***采用磁悬浮轴承可实现飞轮超高速旋转，具有功耗低、无磨损、超静音等优点。为了实现对飞轮转子运转的高精度控制，研究人员分别从磁轴承的拓扑结构、不平衡振动及陀螺效应对稳定性的影响展开了大量研究，并取得一系列成果。
然而，上述的研究工作主要集中在对单一***模型的磁悬浮轴承稳定性分析和控制器设计，并未考虑到飞轮电池用磁轴承***在充电、放电和空载运行等不同工况下的过程运动控制。对磁悬浮***的稳定性控制研究仍然具有很强的挑战性，主要是因为磁悬浮储能飞轮在运行时，转速变化范围大、速度快，利用单一的线性时不变控制器对其进行控制，很难同时满足***的高精度控制和稳定性要求。为了更加准确有效的实现对磁轴承***运行的稳定性控制，有必要对考虑***在不同工作模态之间切换情况下的控制方法进行研究。
发明内容
本发明的目的是提出基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，可有效解决***在不同工作模态之间切换情况下的稳定性控制问题。
本发明的具体技术方案如下：一种基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，包括以下步骤：
基于齐次马尔可夫链，建立磁轴承***在低速模态、中速模态和高速模态下的状态空间模型，并统计计算磁轴承***在上述三种模态之间切换的转移概率矩阵；
设计分别在上述三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器；
根据当前磁轴承***的模态，利用不同的状态反馈控制器控制磁轴承***。
进一步，所述磁轴承***的状态空间模型如下所示：
其中，i表示***在第i模态，i＝1时上式表示磁轴承***在低速模态下的状态空间模型，i＝2时上式表示磁轴承***在中速模态下的状态空间模型，i＝3时上式表示磁轴承***在高速模态下的状态空间模型；
式中，x(t)表示t时刻的***状态，z(t)表示t时刻的性能输出，u(t)表示t时刻的控制输入，
表示t时刻的扰动输入，
表示t时刻的外部噪声扰动，v(t)表示t时刻的质量不平衡扰动，Ai、Bi、Ei和Hi均为***矩阵。
进一步，设计分别在上述三个模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器的具体步骤包括：由三种模态下的磁轴承***的状态空间模型，获得三种模态下的包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，求得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数并要求其负定，利用H∞控制理论推导出三种模态下对应的线性矩阵不等式条件，求解线性矩阵不等式得到分别在三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的控制增益，从而获得三种模态下的状态反馈控制器。
进一步，获得三种模态下的包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，求得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数并要求其负定，利用H∞控制理论推导出三种模态下对应的线性矩阵不等式条件，具体包括：
(1)获得包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，表达式如下：
式中，Fi表示待确定的控制增益。
(2)获得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数，形式如下：
V(t)＝xT(t)Pix(t)
式中，Pi表示对称正定变量矩阵；
(3)求取磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数，并要求其负定，得到如下表达式：
(4)为满足扰动抑制水平γ的H∞性能约束要求，上式可进一步写成如下形式：
式中，He(α)＝α+αT，I表示单位矩阵，πij表示***从第i模态跳变至第j模态的概率，γ表示给定的扰动抑制水平，符号*表示对称矩阵的对称块；
上式可进一步等价为如下矩阵不等式形式：
(5)根据费舍尔引理，将上式中二次项PiBiFi进行解耦，得到如下线性矩阵不等式：
式中，Zi,Ni表示待求取的矩阵，τ表示解耦系数。
上述获得三种模态下对应的线性矩阵不等式条件的方法从信号不变性原理出发，依据控制器结构，基于***增广技术，引入新的自由变量，采用费舍尔引理消除***矩阵、控制增益与李雅普诺夫矩阵之间的耦合关系，给出状态反馈控制器设计的一种无损的分离解耦方法。本方法与传统的左乘右乘李雅普诺夫逆矩阵的设计法相比，消除了其中控制增益与李雅普诺夫矩阵之间的约束关系，降低了控制器设计的保守性。本方法与基于不等式放缩的设计方法相比，克服了放缩技术带来的保守性。
本发明的有益效果：与传统单一模态磁轴承控制***相比，本发明方法根据磁轴承转子在不同转速下的运动特性，提出了磁轴承***分别在高速模态、中速模态和低速模态下的空间状态模型，考虑了飞轮电池在实际运行过程中***模态之间的变化关系，分别设计出在三种模态下使磁轴承闭环控制***稳定的状态控制反馈控制器，三种模态下分别使用不同的状态反馈控制器，有效提高了控制***性能，具有一定的工程应用价值。
附图说明
图1为本发明方法流程图。
图2为仿真时***在每个时刻所处的模态。
图3为本发明具体实施例的仿真状态响应曲线。
具体实施方式
下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。
如图1所示，一种基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，包含如下步骤：
步骤一、基于齐次马尔可夫链，建立磁轴承***在低速模态、中速模态和高速模态下的状态空间模型，并统计计算磁轴承***在上述三种模态之间切换的转移概率矩阵，具体为：
(1)建立磁轴承***的状态空间模型，表达形式如下：
式中，
表示t时刻的***状态，z(t)表示t时刻的性能输出，u(t)表示t时刻的控制输入，
表示t时刻的扰动输入，
表示t时刻的外部噪声扰动，v(t)表示t时刻的质量不平衡扰动，v(t)＝[meω2cos(ωt+θ1)meω2sin(ωt+θ1)(Jx-Jz)εω2cos(ωt+θ2)(Jy-Jz)εω2sin(ωt+θ2)]T，i表示***的模态，Ai、Bi、Ei和Hi均为***矩阵。
(2)将磁轴承***的运动模态划分为三种，分别为低速模态、中速模态和高速模态，
i＝1表示低速模态，磁轴承***在低速模态下的状态空间模型的表达形式为：
i＝2表示中速模态，磁轴承***在中速模态下的状态空间模型的表达形式为：
i＝3表示高速模态，磁轴承***在高速模态下的状态空间模型的表达形式为：
(3)考虑到磁轴承***处于低速模态时，陀螺耦合效应与质量不平衡扰动可忽略不计，故得出低速模态下的***矩阵：
其中Ki＝diag(ki,ki,ki,ki)，Ks＝diag(ks,ks,ks,ks)，
I为单位矩阵，上标T表示矩阵的转置，上标-1表示矩阵的逆，diag()表示对角矩阵；
考虑到磁轴承***处于中速模态时，质量不平衡扰动作用明显，不可忽略，故得出中速模态下的***矩阵：
其中Ki＝diag(ki,ki,ki,ki)，Ks＝diag(ks,ks,ks,ks)，
I为单位矩阵，上标T表示矩阵的转置，上标-1表示矩阵的逆，diag()表示对角矩阵；
考虑到磁轴承***处于高速模态时，陀螺耦合效应明显，不可忽略，故得出高速模态下的***矩阵：
H3＝I8×8，其中Ki＝diag(ki,ki,ki,ki)，Ks＝diag(ks,ks,ks,ks)，
I为单位矩阵，上标T表示矩阵的转置，上标-1表示矩阵的逆，diag()表示对角矩阵。
上式中各参数的物理意义如下表所示：
表1磁轴承***参数物理意义
(4)通过统计数据，计算获得磁轴承***各模态之间切换的转移概率矩阵如下式：
式中，π11表示***从低速模态跳变至低速模态的概率，π12表示***从低速模态跳变至中速模态的概率，π13表示***从低速模态跳变至高速模态的概率，π21表示***从中速模态跳变至低速模态的概率，π22表示***从中速模态跳变至中速模态的概率，π23表示***从中速模态跳变至高速模态的概率，π31表示***从高速模态跳变至低速模态的概率，π32表示***从高速模态跳变至中速模态的概率，π33表示***从高速模态跳变至高速模态的概率。由于低速模态与高速模态之间不可相互跳变，故π13＝π31＝0。
步骤二、确定分别在上述三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器，具体步骤如下：
(1)设计状态反馈控制器，形式如下：
u(t)＝Fix(t)，i＝1,2,3 (2)
式中，Fi表示待确定的控制增益。
(2)将上述状态反馈控制器的形式(2)带入磁轴承***的状态空间模型的表达式(1)中，得到磁轴承闭环控制***，表达式如下：
(3)获得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫(Lyapunov)函数，形式如下：
V(t)＝xT(t)Pix(t) (4)
式中，Pi表示对称正定变量矩阵。
(4)求取磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫(Lyapunov)函数的导数，并要求其负定，得到如下表达式：
(5)结合H∞性能约束要求，其定义如下：
定义1[1]：对于给定的正标量γ，在非零初始条件下，如果(3)式中闭环***满足
则称该***是随机稳定并满足扰动抑制水平γ，其中E{}表示数学期望。
式(5)可进一步写成如下形式：
将式(3)和式(5)代入式(6)，得到如下形式：
式中，He(α)＝α+αT，符号*表示对称矩阵的对称块。
上式可进一步等价为如下矩阵不等式形式：
(6)根据费舍尔引理(Finsler Lemma)[2]，将式(7)中二次项PiBiFi进行解耦，得到如下线性矩阵不等式：
式中，Zi,Ni,Pi均为待求取的未知参数，τ为解耦系数。
(7)利用MATLAB的LMI工具箱中的mincx求解器，求解式(8)，得到满足***给定H∞性能的状态反馈控制器的控制增益：
步骤三、当转子的转速ω∈[0,ω1]时，磁轴承***处于低速模态，状态反馈控制器为u(t)＝F1x(t)；当转子的转速ω∈[ω1,ω2]时，磁轴承***处于中速模态，状态反馈控制器为u(t)＝F2x(t)；当转子的转速ω∈[ω2,ω3]时，磁轴承***处于高速模态，状态反馈控制器为u(t)＝F3x(t)。其中，ω1为转子低速阈值，ω2为转子中速阈值，ω3为转子高速阈值。
本发明步骤2中状态反馈控制器的设计方法从信号不变性原理出发，依据控制器结构，基于***增广技术，引入新的自由变量，采用费舍尔引理消除***矩阵、控制增益与李雅普诺夫矩阵之间的耦合关系，给出状态反馈控制器设计的一种无损的分离解耦方法。该方法与传统的左乘右乘李雅普诺夫逆矩阵的控制器设计法相比，消除了其中控制器增益与李雅普诺夫矩阵之间的约束关系，降低了控制器设计的保守性。该方法与基于不等式放缩的控制器设计方法相比，克服了放缩技术带来的保守性。
以一具体磁轴承***为例，各参数选取如下表：
表2磁轴承***参数取值
τ＝50000，
建立磁轴承***分别在低速模态、中速模态和高速模态下的状态空间模型，并取转移概率矩阵
通过求解式(8)中的线性矩阵不等式，分别得到低速模态、中速模态和高速模态下的状态反馈控制器的增益：
当转子的转速ω∈[0,5000]时，状态反馈控制器为u(t)＝F1x(t)，当转子的转速ω∈[5000,15000]时，状态反馈控制器为u(t)＝F2x(t)，当转子的转速ω∈[15000,20000]时，状态反馈控制器为u(t)＝F3x(t)。
如图2所示，为仿真时***在每个时刻所处的模态，图中纵坐标为1时表示低速模态，纵坐标为2时表示中速模态，纵坐标为3时表示高速模态。如图3所示，为采用本发明方法仿真时的状态响应曲线，图中曲线a表示左端磁轴承在x轴方向的位移，曲线b表示右端磁轴承在x轴方向的位移，曲线c表示左端磁轴承在y轴方向的位移，曲线d表示右端磁轴承在y轴方向的位移，曲线e表示左端磁轴承在x轴方向的速率，曲线f表示右端磁轴承在x轴方向的速率，曲线g表示左端磁轴承在y轴方向的速率，曲线h表示右端磁轴承在y轴方向的速率。从图3可以看出，采用本控制方法能够保证磁轴承转子在不同转速工作下的稳定性。
参考文献
[1]Shi Peng,Li Fanbiao.A survey on Markovian jump systems:modelingand design[J].International Journal of Control,Automation and Systems,vol.13,pp.1-16,2015.
[2]Shen Mouquan,Ye Dan.A finite frequency approach to control ofMarkov jump linear systems with incomplete transition probabilities[J].Applied Mathematics and Computation,vol.295,pp.53-64,2017.
Claims (2)
1.一种基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
基于齐次马尔可夫链，建立磁轴承***在低速模态、中速模态和高速模态下的状态空间模型，并统计计算磁轴承***在上述三种模态之间切换的转移概率矩阵；
设计分别在上述三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器；
根据当前磁轴承***的模态，利用不同的状态反馈控制器控制磁轴承***；
所述磁轴承***的状态空间模型如下所示：
其中，i表示***在第i模态，i＝1时上式表示磁轴承***在低速模态下的状态空间模型，i＝2时上式表示磁轴承***在中速模态下的状态空间模型，i＝3时上式表示磁轴承***在高速模态下的状态空间模型；
式中，x(t)表示t时刻的***状态，z(t)表示t时刻的性能输出，u(t)表示t时刻的控制输入，
表示t时刻的扰动输入，
表示t时刻的外部噪声扰动，v(t)表示t时刻的质量不平衡扰动，Ai、Bi、Ei和Hi均为***矩阵；
设计分别在上述三个模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的状态反馈控制器的具体步骤包括：由三种模态下的磁轴承***的状态空间模型，获得三种模态下的包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，求得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数并要求其负定，利用H∞控制理论推导出三种模态下对应的线性矩阵不等式条件，求解线性矩阵不等式得到分别在三种模态下使得磁轴承闭环控制***稳定的控制增益，从而获得三种模态下的状态反馈控制器。
2.根据权利要求1所述的基于马尔可夫跳变理论的飞轮电池磁轴承***的控制方法，其特征在于，获得三种模态下的包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，求得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数并要求其负定，利用H∞控制理论推导出三种模态下对应的线性矩阵不等式条件，具体包括：
(1)获得包括状态反馈控制器的磁轴承闭环控制***，表达式如下：
式中，Fi表示待确定的控制增益；
(2)获得磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数，形式如下：
V(t)＝xT(t)Pix(t)
式中，Pi表示对称正定变量矩阵；
(3)求取磁轴承闭环控制***的李雅普诺夫函数的导数，并要求其负定，得到如下表达式：
(4)为满足扰动抑制水平γ的H∞性能约束要求，上式可进一步写成如下形式：
式中，He(α)＝α+αT，I表示单位矩阵，πij表示***从第i模态跳变至第j模态的概率，γ表示给定的扰动抑制水平，符号*表示对称矩阵的对称块；
上式可进一步等价为如下矩阵不等式形式：
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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