CN108333628B - 基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移方法。设计新的目标函数；推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式；计算反射系数的梯度；采用共轭梯度法或拟牛顿法反演算法对梯度进行处理；采用抛物线拟合法求取迭代步长；更新反射系数模型，直到满足收敛条件。本发明的有益效果是通过采用新的全变分正则化约束策略来提高成像分辨率及稳定性。
Description
技术领域
本发明属于地震波偏移成像技术领域，涉及地球物理领域(特别是地震勘探)多分量资料偏移中来提高成像精度和分辨率。
背景技术
地震资料处理最基本的目的是偏移成像，成像质量的好坏直接决定了界面位置的精确性、分辨率的高低以及剖面的信噪比。偏移处理可以使倾斜界面归位、绕射波收敛、提高横向分辨率。经过几十年的发展，偏移技术从叠后走到了叠前，从时间域发展到了深度域。按方法原理分类，偏移技术分为：Kirchhoff偏移、F-K偏移、单程波波动方程偏移和逆时偏移(reverse time migration,RTM)。与其他方法相比，逆时偏移作为一种叠前、深度域、双程波波动方程偏移方法，假设条件最少、精度最高、适应任意复杂介质、无倾角限制，成为复杂地质构造条件下最为常用的成像方法。但常规逆时偏移利用波场正向传播算子的伴随算子来代替它的逆，仍然是不精确的。另外，受采集孔径、地下照明、数据本身(带限性、不规则、含噪)等因素影响，逆时偏移的成像剖面中存在采集脚印、分辨率低、振幅失衡等问题。
为进一步提高成像精度，出现了最小二乘逆时偏移。该方法通过极小化模拟反射波与观测反射波的误差来求取最佳反射系数。由于反射系数与地震记录间建立了明确的物理关系(反偏移算子)，最小二乘逆时偏移方法具有更好的保幅能力。反演思想的引入也使得最小二乘逆时偏移具有更高的分辨率、以及更少的偏移噪声。最小二乘逆时偏移不断发展，已被应用于声波和粘滞声波介质成像中。但适用于复杂介质(弹性、粘弹性、各向异性等)的最小二乘逆时偏移方法相对较少。与声波方法相比，弹性波最小二乘逆时偏移可以获得精确的纵波反射系数和横波反射系数，能够更好地识别岩性和流体、预测地质灾害等，具有广阔的应用前景。与此同时，弹性波最小二乘逆时偏移中涉及纵波、横波、转换波等多种波模式，以及拉梅系数、速度、密度、阻抗等多种模型参数，波场及参数之间的串扰现象严重。因此，现有的弹性波最小二乘逆时偏移方法往往很难得到满意的结果。偏移剖面的分辨率低、保棱性差、串扰噪声严重。另外，作为一种多参数反演，弹性波最小二乘逆时偏移的稳定性也有待提高。
发明内容
本发明的目的在于提供基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移方法。
本发明所采用的技术方案是按照以下步骤进行：
(1)设计新的目标函数；
新目标函数中包括两项：模拟反射波和观测反射波之差及正则化项，二者的贡献通过正则化系数调节；
(2)推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式；
基于伴随方法推导弹性波伴随方程/反偏移算子及目标函数对反射系数的梯度公式；
(3)计算反射系数的梯度；
具体包括：震源波场正向传播；反射波残差反向传播；正向和反向波场相关得到常规梯度；再加上正则化项对反射系数的梯度；
(4)采用共轭梯度法或拟牛顿法反演算法对梯度进行处理；
(5)采用抛物线拟合法求取迭代步长；
(6)更新反射系数模型，直到满足收敛条件。
进一步，步骤(1)中采用TV正则化来约束弹性波最小二乘逆时偏移过程，目标函数为：
其中：T为最大时间，H为计算区域，d1、d2和d3为正则化系数，β1、β2和β3为稳定性因子，Δvx和Δvz为模拟反射波水平分量和垂直分量，和为观测反射波水平分量和垂直分量，
其中，λ和μ为拉梅常数，ρ为密度，方程(2)表示模型参数的相对变化、无量纲，可以用来衡量反射系数的大小，弹性波最小二乘逆时偏移就是求取最优Rρ、Rλ和Rμ的过程，新目标函数中包括两部分：模拟反射波和观测反射波之差及正则化项，二者的贡献通过正则化系数d1、d2和d3调节。
进一步，步骤(2)中推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式方法如下：
弹性波速度-应力方程为：
其中，(vx,vz)为质点振动速度矢量，(τxx,τzz,τxz)为应力矢量；
弹性介质中，对于背景模型参数[λ,μ,ρ]，背景波场[vx,vz,τxx,τzz,τxz]通过求解方程得到,当存在模型扰动[Δλ,Δμ,Δρ]时，波场改变量为[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，且满足：
化简并忽略高阶微小量得：
对给定的参数扰动[Δλ,Δμ,Δρ]，求解方程得到反射波[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，即为弹性介质中的反偏移过程,在最小二乘逆时偏移中，背景参数[λ,μ,ρ]不变，背景波场也不变，反射波的强弱由参数扰动项直接决定；
将Rρ、Rλ和Rμ代入方程得：
只考虑目标函数中模拟反射波和观测反射波之差项：
其中，模拟的反射波场[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz],采用拉格朗日乘子法求解该约束优化问题,目标泛函变为：
其中，为拉格朗日乘子函数，
分部积分得：
其中，
令得到相应的伴随方程，形式如下：
目标函数关于参数扰动的梯度公式为：
TV正则化情况下，反射系数梯度公式变为：
进一步，步骤(3)中
a.求解方程(3)和方程(6)得到反射波场[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]T，初始条件为：
[vx(x,z,0),vz(x,z,0),τxx(x,z,0),τzz(x,z,0),τxz(x,z,0)]T＝0,
[Δvx(x,z,0),Δvz(x,z,0),Δτxx(x,z,0),Δτzz(x,z,0),Δτxz(x,z,0)]T＝0(15)
b.求解伴随方程(12)得到反向延拓波场终值条件为：
c.通过方程(14)计算目标函数关于反射系数的梯度。
进一步，步骤(4)中处理方法如下：
采用L-BFGS法：
其中，Hk为海森矩阵逆的近似矩阵，直接计算Hk需要较大的计算量，这里通过几组列向量来近似Hk。
进一步，步骤(5)中求取迭代步长方法如下：
采用抛物线拟合求取迭代步长
其中，α1和α2为试探步长，J1和J2为相应的目标函数值，J0为当前迭代的目标函数值，计算J1和J2需要额外的四次正演运算；
则当前迭代的最佳步长为：
进一步，步骤(6)中通过下式更新反射系数：
其中，mk和mk+1分别为当前迭代和下一次迭代的模型参数：
本发明的有益效果是通过采用新的全变分(TV)正则化约束策略来提高成像分辨率及稳定性。发明的目的是为了改善多分量地震资料的成像精度，为后续的解释和反演工作提供可靠的偏移剖面。
附图说明
图1基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移的流程图；
图2凹槽模型；
图3凹槽模型不同偏移方法的成像结果；
图4Marmousi模型；
图5Marmousi模型不同偏移方法的成像结果。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明进行详细说明。
如图1所示，为本发明实施基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移的流程图，具体包括：
(1)设计新的目标函数。
新目标函数中包括两项：模拟反射波和观测反射波之差及正则化项，二者的贡献通过正则化系数调节。
(2)推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式。
基于伴随方法(Adjoint method)推导弹性波伴随方程/反偏移算子及目标函数对反射系数的梯度公式。
(3)计算反射系数的梯度。
具体包括：震源波场正向传播；反射波残差反向传播；正向和反向波场相关得到常规梯度；再加上正则化项对反射系数的梯度。
(4)采用合适的反演算法对梯度进行处理。
采用共轭梯度法或拟牛顿法(如L_BFGS)来对梯度进行预条件处理。
(5)求取迭代步长。
采用抛物线拟合法求取迭代步长。
(6)更新反射系数模型，直到满足收敛条件。
步骤(1)中设计新的目标函数方法如下：
正则化策略可以改善反演的精度和稳定性。Tikhonov正则化通过对模型施加平滑约束(如导数)，在改善稳定性的同时会降低精度，而全变分正则化方法具有更好的高频信息恢复能力。为同时获得高精度的速度和密度反射系数，本发明中采用TV正则化来约束弹性波最小二乘逆时偏移过程。目标函数变为：
其中：T为最大时间，H为计算区域，d1、d2和d3为正则化系数，β1、β2和β3为稳定性因子。Δvx和Δvz为模拟反射波水平分量和垂直分量，和为观测反射波水平分量和垂直分量，
其中，λ和μ为拉梅常数，ρ为密度。方程(2)表示模型参数的相对变化、无量纲，可以用来衡量反射系数的大小。弹性波最小二乘逆时偏移就是求取最优Rρ、Rλ和Rμ的过程。
新目标函数(方程15)中包括两部分：模拟反射波和观测反射波之差(前两项)及正则化项(后三项)，二者的贡献通过正则化系数(d1、d2和d3)调节。
步骤(2)中推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式方法如下：
弹性波速度-应力方程为：
其中，(vx,vz)为质点振动速度矢量，(τxx,τzz,τxz)为应力矢量。
弹性介质中，对于背景模型参数[λ,μ,ρ]，背景波场[vx,vz,τxx,τzz,τxz]可以通过求解方程3得到。当存在模型扰动[Δλ,Δμ,Δρ]时，波场改变量为[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，且满足：
方程(4a-4e)与方程(3)相减，化简并忽略高阶微小量可得：
对给定的参数扰动[Δλ,Δμ,Δρ]，求解方程(3)和方程(5)可以得到反射波[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，即为弹性介质中的反偏移过程。在最小二乘逆时偏移中，背景参数[λ,μ,ρ]不变，背景波场也不变，反射波的强弱由参数扰动项直接决定。
将Rρ、Rλ和Rμ代入方程(3)得：
只考虑目标函数(方程1)中模拟反射波和观测反射波之差项：
其中，模拟的反射波场[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]必须满足方程(6)。采用拉格朗日乘子法求解该约束优化问题。目标泛函变为：
其中，为拉格朗日乘子函数，
分部积分方程(8)可得：
其中，
令得到相应的伴随方程，形式如下：
目标函数关于参数扰动的梯度公式为：
正则化约束项不影响伴随方程(仍然为方程12)，但影响梯度公式。TV正则化情况下，反射系数梯度公式变为：
步骤(3)中计算反射系数的梯度方法如下：
a.求解方程(3)和方程(6)得到反射波场[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]T，初始条件为：
[vx(x,z,0),vz(x,z,0),τxx(x,z,0),τzz(x,z,0),τxz(x,z,0)]T＝0,
[Δvx(x,z,0),Δvz(x,z,0),Δτxx(x,z,0),Δτzz(x,z,0),Δτxz(x,z,0)]T＝0.(15)
b.求解伴随方程(12)得到反向延拓波场终值条件为：
c.通过方程(14)计算目标函数关于反射系数的梯度。
步骤(4)中采用合适的反演算法对梯度进行处理方法如下：
对梯度进行预处理可以提高反演的精度和收敛速度。常用的方法有共轭梯度法、拟牛顿法和牛顿法等。为了兼顾反演精度和计算效率，本发明中采用L-BFGS法：
其中，Hk为海森矩阵逆的近似矩阵。直接计算Hk需要较大的计算量，这里通过几组列向量来近似Hk。L-BFGS反演算法具体的实现步骤可以参考相关最优化的书籍和文献，这里不再赘述。
步骤5求取迭代步长方法如下：
(5)本发明中采用抛物线拟合求取迭代步长。
其中，α1和α2为试探步长，J1和J2为相应的目标函数值，J0为当前迭代的目标函数值。计算J1和J2需要额外的四次正演运算。
则当前迭代的最佳步长为：
步骤(6)更新反射系数模型方法如下：
基于上面的步骤，通过下式更新反射系数：
其中，mk和mk+1分别为当前迭代和下一次迭代的模型参数：
重复步骤(3)-(6)，直到满足收敛条件(如残差小于1e-5或迭代次数小于30等)停止迭代，输出最终的弹性反射系数。
本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1.可以提高弹性波最小二乘逆时偏移的成像精度和分辨率。2.可以改善弹性波最小二乘逆时偏移的稳定性。3.可以减弱模型参数之间的串扰效应，提高弱敏感性参数的成像精度。
下面通过几个例子来分析本发明中提出的弹性波最小二乘逆时偏移方法的精度和稳定性。
如图2所示，首先以一个凹槽模型为例来说明本发明的优势。时间步长1ms，空间间隔10m，炮点(20炮)和检波点均匀分布于地表。震源为15Hz的雷克子波，加在正应力上。图3为不同偏移方法的偏移结果。常规逆时偏移的PP像(a)和PS像(b)。常规最小二乘逆时偏移的Rλ像(c)、Rμ像(d)和Rρ像(e)。基于正则化约束的最小二乘逆时偏移的Rλ像(f)、Rμ像(g)和Rρ像(h)。新提出的基于正则化的弹性波最小二乘逆时偏移方法可以对地下构造进行精确成像，偏移结果的分辨率更高，同相轴的连续性更好。另外，新方法可以得到较好的密度反射系数剖面，而常规最小二乘逆时偏移方法的密度反射系数剖面较差。
下面采用复杂的Marmousi模型(如图4所示)对新提出的偏移方法进行测试。时间步长1ms，空间间隔10m，炮点(26炮)和检波点均匀分布于地表。震源为15Hz的雷克子波，加在正应力上。图5给出Marmousi模型不同偏移方法的成像结果。Marmousi模型不同偏移方法的成像结果。常规逆时偏移的PP像(a)和PS像(b)。常规最小二乘逆时偏移的Rλ像(c)和Rμ像(d)。基于正则化约束的最小二乘逆时偏移的Rλ像(e)和Rμ像(f)。由图可知，最小二乘逆时偏移方法比常规逆时偏移方法的成像精度高。本发明中提出的基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移方法成像效果最好。
本发明是一种新的地震波偏移成像方法，能够大大提高多分量资料的成像精度和稳定性；能有效压制不同参数间的串扰效应，改善弱敏感性参数(如密度反射系数)的成像效果；可为地震勘探中后续解释与反演提供可靠的反射系数，进而提高岩性和油气的识别精度。
以上所述仅是对本发明的较佳实施方式而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施方式所做的任何简单修改，等同变化与修饰，均属于本发明技术方案的范围内。
Claims (1)
1.基于正则化约束的弹性波最小二乘逆时偏移方法，其特征在于按照以下步骤进行：
(1)设计新的目标函数；
新目标函数中包括两项：模拟反射波和观测反射波之差及正则化项，模拟反射波和观测反射波之差与正则化项的贡献通过正则化系数调节；
(2)推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式；
基于伴随方法推导弹性波伴随方程/反偏移算子及目标函数对反射系数的梯度公式；
(3)计算反射系数的梯度；
具体包括：震源波场正向传播；反射波残差反向传播；正向和反向波场相关得到常规梯度；在常规梯度上加上正则化项对反射系数的梯度；
(4)采用共轭梯度法或拟牛顿法对梯度进行处理；
(5)采用抛物线拟合法求取迭代步长；
(6)更新反射系数模型，直到满足收敛条件；
所述步骤(1)中采用TV正则化来约束弹性波最小二乘逆时偏移过程，目标函数为：
其中：T为最大时间，H为计算区域，d1、d2和d3为正则化系数，β1、β2和β3为稳定性因子，Δvx和Δvz为模拟反射波水平分量和垂直分量，Δvx obs和Δvz obs为观测反射波水平分量和垂直分量，
其中，λ和μ为拉梅常数，ρ为密度；
所述步骤(2)中推导新目标函数下的弹性波反偏移算子和反射系数梯度公式的方法如下：
弹性波速度-应力方程为：
其中，(vx,vz)为质点振动速度矢量，(τxx,τzz,τxz)为应力矢量；
弹性介质中，对于背景参数[λ,μ,ρ]，背景波场[vx,vz,τxx,τzz,τxz]通过求解方程得到,当存在参数扰动[Δλ,Δμ,Δρ]时，反射波为[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，且满足：
化简并忽略高阶微小量得：
对给定的参数扰动[Δλ,Δμ,Δρ]，求解方程得到反射波[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]，即为弹性介质中的反偏移过程,在最小二乘逆时偏移中，背景参数[λ,μ,ρ]不变，背景波场也不变，反射波的强弱由参数扰动项直接决定；
将Rρ、Rλ和Rμ代入方程得：
只考虑目标函数中模拟反射波和观测反射波的差项：
其中，反射波[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]采用拉格朗日乘子法求解约束优化问题,目标泛函变为：
其中，为拉格朗日乘子函数，
分部积分得：
其中，
令得到相应的伴随方程，形式如下：
目标函数关于参数扰动的梯度公式为：
TV正则化情况下，反射系数梯度公式变为：
所述计算反射系数的梯度的步骤如下：
a.求解方程(3)和方程(6)得到反射波场[Δvx,Δvz,Δτxx,Δτzz,Δτxz]T，初始条件为：
[vx(x,z,0),vz(x,z,0),τxx(x,z,0),τzz(x,z,0),τxz(x,z,0)]T＝0,
[Δvx(x,z,0),Δvz(x,z,0),Δτxx(x,z,0),Δτzz(x,z,0),Δτxz(x,z,0)]T＝0 (15)
b.求解伴随方程(12)得到反向延拓波场终值条件为：
c.通过方程(14)计算目标函数关于反射系数的梯度；
所述采用共轭梯度法或拟牛顿法对梯度进行处理的方法如下：
采用L-BFGS法：
其中，Hk为海森矩阵逆的近似矩阵；
所述采用抛物线拟合法求取迭代步长的方法如下：
采用抛物线拟合求取迭代步长
其中，α1和α2为试探步长，J1和J2为相应的目标函数值，J0为当前迭代的目标函数值，计算J1和J2需要额外的四次正演运算；
则当前迭代的最佳步长为：
所述更新反射系数模型，直到满足收敛条件是通过下式更新反射系数：
其中，mk和mk+1分别为当前迭代和下一次迭代的模型参数：
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