CN108227630B - 一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法。具体包括三大步骤：预测前瞻速度规划、以B‑spline为基础的时间参数多项式加工轨迹生成和时间参数多项式实时插补；(1)通过读取参数曲线型自由曲面加工轨迹进行速度规划，生成高速高精的自由曲面加工过程离散数据；2)采用给定精度的B‑spline拟合技术对经速度规划后的高速高精加工过程离散数据进行表征，然后转换成简洁增量式时间参数多项式曲面加工轨迹；(3)根据生成的时间参数多项式曲面加工轨迹编制相应实时插补程序对数控机床进行实时控制，完成自由曲面加工。本发明改善了所加工出的自由曲面的轮廓精度与表面质量，显著提高了自由曲面加工效率，减少了自由曲面加工所需数据量。

Description

一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法

技术领域

本发明属于数控加工技术领域，具体涉及一种自由曲面数控加工方法，尤其是可以根据参数曲线加工轨迹，离线进行速度规划并生成包含曲面加工几何与速度信息的简洁曲面加工数据，开发了相应实时在线时间参数多项式插补算法。

背景技术

随着航空航天以及光学领域的发展，自由曲面零件如航空发动机叶片、光学镜头等的加工要求越来越高。但是与规则曲面例如球面、二次曲面等能用方程表示相比，自由曲面一般采用大量的点云或大量分段方程进行表征。这大大增加了自由曲面数控加工的复杂性。在目前的生产实践中，自由曲面加工依然采用大量小线段离散轨迹，然后通过在线光顺与速度规划实现自由曲面加工。但是由于在线实时计算量的严格控制使得在线光顺与速度规划都不能实现很好的高速高精自由曲面加工。已公开的一种高速高精度数控加工的小线段实时平滑过渡插补方法，采用三次B-spline进行对小线段轨迹进行过渡，并采用S加减速方法对速度进行规划，但是过渡精度难以得到控制，且S加减速规划方法难以达到速度规划的最优性。

因此在自由曲面加工中，以曲率连续的参数曲线轨迹的数控加工方法得到广泛的应用。但是由于曲线参数与曲线弧长一般不具有显函数关系，限制了采用参数曲线加工的速度规划与实时插补过程，使得参数曲线加工轨迹的自由曲面数控加工在生产实践中难以推广应用。

已有公开技术解决参数曲线应用于自由曲面加工中遇到的问题，对采用参数曲线加工轨迹的离线速度规划(Beudaert X,Lavernhe S,Tournier C(2012)Feedrateinterpolation with axis jerk constraints on 5-axis NURBS and G1tool path.IntJ Mach Tools Manuf 57:73–82.)与参数插补(Erkorkmaz K,Altintas Y(2005)QuinticSpline Interpolation With Minimal Feed Fluctuation.J Manuf Sci Eng 127:339.)分别进行了研究。但是都没有协同考虑速度规划与插补方法，使得在参数插补过程中难以保证由速度规划完成的高速高精加工过程。而保证参数插补按照离线速度规划过程控制机床运动，则需要大量冗余数据。

已公开的小线段路径压缩平滑的前瞻插补***，主要特点是先采用B-spline对小线段轨迹进行拟合，采用S型前瞻速度规划方法，以及多种插补方法。但没有介绍如何将速度规划后的结果简洁高精度的应用于其提出的多种插补方法中。

发明内容

本发明针对采用参数曲线轨迹的自由曲面数控加工问题的复杂性与现有技术的不足，提出了一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法。该方法协同考虑了在线实时计算与离线计算的特点，采用离线计算实现速度规划与加工数据生成，提高了速度规划的最优性与生成数据的简洁性。在线实时插补只采用以时间参数的多项式插补，降低了实时插补的计算复杂性，提高了实时计算的鲁棒性。促进了参数型自由曲面加工轨迹在生产实践中的应用。

本发明是通过以下技术方案实现：

一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法适用于数控机床加工自由曲面，所述数控机床包括实时机床控制器与机床本体，所述机床本体包括工作台和各个运动轴。本发明方法包括三个操作步骤：

(1)预测前瞻速度规划

通过读取参数曲线型自由曲面加工轨迹并进行速度规划，生成高速高精的自由曲面加工过程离散数据；

(2)以B-spline为基础的时间参数多项式加工轨迹生成

采用给定精度的B-spline拟合技术对步骤(1)生成的自由曲面加工过程离散数据进行表征，然后转换成简洁的增量式时间参数多项式曲面加工轨迹；

(3)时间参数多项式实时插补

根据增量式时间参数多项式曲面加工轨迹，在实时机床控制器中编写相应实时插补算法，控制数控机床运动完成自由曲面高速高精加工；

通过该自由曲面数控加工方法，改善了所加工出的自由曲面的轮廓精度与表面质量，显著提高了自由曲面加工效率，减少了自由曲面加工所需数据量。

进一步限定的技术方案如下：

一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法的具体操作步骤如下：

(1)预测前瞻速度规划

(1.1)根据加工精度要求和加工装备运行能力提取最高阶为三次的速度规划运动学约束，并采用三角不等式与引入比例系数的方法对运动学约束进行降维简化，将所有约束转化为与曲线参数有关的一维约束；

所述速度规划运动学约束包括机床各个运动轴约束与加工工艺约束；

(1.2)沿加工轨迹，采用预测前瞻方法对违反一维约束的轨迹点进行提前减速，在前瞻过程中如果无违反一维约束的轨迹点则加速一个时间步长；根据基于极小值原理的离散计算方法，以最高阶约束计算加加速度，然后通过数值积分计算得到满足约束且加工效率最优的曲面加工过程离散数据；

(2)以B-spline为基础的时间参数多项式加工轨迹生成

(2.1)根据速度规划完成的曲面加工过程离散数据，采用时间参数的B-spline进行拟合，在拟合过程中采用给定精度的节点预测方法求取B-spline节点向量，并采用最小二乘法对控制点进行求解；最终以时间参数的B-spline对曲面加工过程进行表征，得到B-spline加工轨迹；

(2.2)采用B-spline-多项式转换算法(由B-spline转换成多项式)，将B-spline加工轨迹转换成增量式时间参数多项式曲面加工轨迹；

(3)时间参数多项式实时插补算法

在实时机床控制器中编写时间参数多项式实时插补程序，根据由步骤(2.2)得到的增量式时间参数多项式曲面加工轨迹通过实时插补程序控制数控机床运动，实现自由曲面高速高精加工。

再进一步限定的技术方案如下：

所述步骤(1.1)中，通过引入比例系数与采用三角不等式方法对机床各个运动轴约束进行简化：

机床运动轴约束总结如下

式中，

表示第i轴的速度、加速度及加加速度；

表示第i轴的速度、加速度及加加速度的约束；

通过引入比例系数与采用三角不等式方法将运动轴加速度与加加速度多维约束转换为与曲线参数有关的一维约束；其中加速度约束处理公式为：

其中加加速度约束处理公式为：

式中δ₁与δ₂为加速度比例系数，μ₁,μ₂与μ₃为加加速度比例系数，比例系数根据机床与轨迹特征选择；式中

和

分别是轨迹空间的速度、加速度和加加速度；式中q_s,q_ss,q_sss分别为曲线参数对曲线弧长的一阶导数、二阶导数和三阶导数。

所述步骤(1.2)中，采用预测前瞻方法对未来违反约束的轨迹点进行提前减速，具体操作如下：

预测前瞻减速过程为首先从当前点开始以允许的最小加加速度进行减速，将加速度减到零，然后继续以最小加速度对加速度进行递减，每递减一步再将加速度以最大加加速度递增到零直到速度递减到零为止；在该过程中分别对速度、加速度及加加速度约束进行检验；

在初始加速度递减到零阶段中如果有轨迹点违反速度与加速度约束，则该点可以设置为违反约束关键轨迹点；加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速；

在加速度继续递减阶段，如果有轨迹点违反加速度约束，则在违反轨迹点处的加加速度根据加速度约束重新计算；得到加加速度后，然后预测减速算法继续；如果有轨迹点违反速度约束，则该点可以设置为违反速度约束关键轨迹点；加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反速度约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速；

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反加速度约束，则加速度递增过程需要停止；减速预测过程减速到该点，从该点开始继续执行预测前瞻过程直至加速度与速度都减为零，并不断继续检测各个约束；

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反速度约束，则该加速度递增过程停止，然后再进行加速度递减过程；如果到达违反速度轨迹点处时，速度依然违反速度约束，则上述过程循环进行；如果到达该点时速度满足约束要求，则该点为轨迹关键点加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速。

所述步骤(2.1)中，采用给定精度的节点预测方法求取拟合B-spline节点向量，具体确定过程如下：

对于n次B-spline拟合各运动轴随时间的位置数据{t，p}，其拟合误差可以采用下式进行估计：

式中ε为估计的n次B-spline拟合误差，

为各轴最大位移对时间n次导数值组成的向量，

为各轴最小位移对时间n次导数值组成的向量，Δt为时间参数n次B-spline的节点区间；

根据估计的拟合误差ε，在给定误差δ下，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为被拟合原数据第一个位置的时间T₁＝t₁，i＝1，j＝1；

步骤b：i＝i+1，并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[T_j,t_i]n次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定拟合误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为T_j+1＝t_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量T_j+1等于原数据终点时间，结束节点向量计算。

所述步骤(2.2)中，将时间参数B-spline加工轨迹转换成增量式时间参数多项式曲面加工轨迹的算法为：

对于p次时间参数B-spline为：

对于增量式p次多项式为：

P^(p)(t)＝a₀+a₁·t+a₂·t²+a₃·t³…+a_n·t^p,0≤t≤T

A＝[a₀,a₁,…a_n]

P^(p)(t)＝A·λ^Tλ＝[1,t,t²,…t^p]

对于奇次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T。

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]，i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T；

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i+1,t_i+2]i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i+1,t_i+2]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T。

所述步骤(3)中，时间参数多项式实时插补算法为：

根据步骤(2)生成的增量式分段时间参数多项式曲面加工轨迹，第i段多项式系数向量为A_i，设此刻总加工时间为T，各段时间参数多项式时间间隔为t_j；

则时间变量

为：

变量向量λ_i为：

在该时刻插补得到的各运动轴运动位置计算公式为：

P^(p)＝A_i·λ_i ^T

根据插补算法，以及总加工时间为T，即可求得该时刻机床各个运动轴位置，依次加工完成自由曲面加工。

本发明的有益技术效果体现在以下方面：

(1)采用离线计算与实时在线协同的自由曲面数控加工方法，提高了计算精度，降低了在线计算量。充分发挥了离线计算与实时运算各自优势。

(2)采用离线预测前瞻速度规划方法，能够得到比采用S型加减速方法的加工效率更优的曲面加工过程，并且约束能够严格保证，根据实施例，采用相同约束下，本发明速度损失率约为70％左右，而采用商用S型加减速方法，速度损失率都在85％以上；

(3)采用基于给定精度B-spline拟合算法生成增量式时间参数多项式曲面加工轨迹，能够在给定精度下实现对速度规划数据的表征，生成的表征时间参数多项式减少了速度规划后的数据量，数据压缩量为80％以上，生成的采用增量式时间参数多项式能够有效减少累计误差；

(4)采用时间参数多项式插补方法，避免了大量复杂的参数曲线几何计算，实时计算简单，实时计算精度较高，实时计算鲁棒性好。

附图说明

图1为本发明流程图。

图2实施例1义齿牙冠参数型轨迹加工路径示意图。

图3a为加速度曲线图。

图3b为速度曲线图。

图4加速度递增过程遇到加速度违反约束时示意图。

图5采用本发明规划的实施例1义齿牙冠速度示意图。

图6实施例1义齿牙冠X轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图7实施例1义齿牙冠Y轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图8实施例1义齿牙冠Z轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图9采用本发明加工实施例1义齿牙冠自由曲面零件结果图。

图10实施例2义齿牙根参数型轨迹加工路径示意图。

图11采用本发明规划的实施例2义齿牙根速度示意图。

图12实施例2义齿牙根X轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图13实施例2义齿牙根Y轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图14实施例2义齿牙根Z轴速度规划结果，多项式拟合结果以及拟合误差示意图。

图15采用本发明加工实施例2义齿牙根自由曲面零件结果图。

具体实施方式

下面结合附图，通过实施例对本发明作进一步地描述。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。以下结合附图对本发明的实施详细说明，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法的具体流程包括：首先根据加工曲面与刀具形状设计的参数型曲面加工轨迹，如NURBS等，进行速度规划。速度规划最优目标为使得加工时间最短，约束为根据加工精度与加工装备能力提出的各种约束。构建出速度规划数学模型后，采用三角不等式与引入比例系数的方法对约束进行简化，使得约束仅与加工轨迹参数有关，然后采用基于最小值原理的预测前瞻算法进行速度规划。速度规划完成后得到大量离散数据，不便于实时插补应用。为了解决该问题本发明提出了基于B-spline的时间参数多项式加工轨迹生成方法。该方法首先采用给定精度的B-spline拟合方法表征速度规划结果，然后将B-spline转换为增量式时间参数多项式。最后将采用增量式时间参数多项式表征的包含几何与速度信息的自由曲面加工数据输入给实时时间参数多项式插补算法，通过实时插补控制机床按照几何轨迹与规划的速度运行。实现高速高精的自由曲面加工。

实施例1：

本实施例所使用数控机床包括实时机床控制器与机床本体，机床本体包括工作台和三个运动轴。

1、采用如图2所示的一段参数型义齿牙冠曲面加工轨迹进行实验。首先采用本发明对该段轨迹进行速度规划：

(1)速度规划模型

式中

和

是轨迹空间的速度、加速度和加加速度；F_lim,A_lim,J_lim为轨迹空间的速度、加速度和加加速度约束，

表示第i轴的速度、加速度及加加速度；

表示第i轴的速度、加速度及加加速度的约束。

在本实施例中，根据加工精度与装备特性，选择约束条件为：

表1机床各轴运动学约束

表2沿轨迹运动学约束

(2)约束简化

其中运动轴速度约束处理公式为：

其中运动轴加速度约束处理公式为：

其中运动轴加加速度约束处理公式为：

式中δ₁与δ₂为加速度比例系数，μ₁,μ₂与μ₃为加加速度比例系数，比例系数根据机床与轨迹特征选择。式中q_s,q_ss,q_sss为曲线参数对曲线弧长的一阶、二阶和三阶导数。

表3约束转换因子

(3)预测前瞻速度规划

约束简化后，仅存在与轨迹参数相关的约束。采用预测前瞻的方法对曲面加工过程进行速度规划。预测前瞻过程如图3a和图3b所示，首先从当前点开始以允许的最小加加速度进行减速，将加速度减到零，然后继续以最小加速度对加速度进行递减，每递减一步再将加速度以最大加加速度递增到零直到速度递减到零为止。在该过程中分别对速度、加速度及加加速度约束进行检验。

在加速度继续递减阶段，如果有轨迹点违反加速度约束，则在违反轨迹点处的加加速度根据加速度约束重新计算。得到加加速度后，然后预测减速算法继续。如果有轨迹点违反速度约束，则该点可以设置为违反约束关键轨迹点。加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速。

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反加速度约束，则如图4所示，加速度递增过程需要停止。减速预测过程减速到该点，从该点开始继续执行预测前瞻过程直至加速度与速度都减为零，并不断检测各个约束。

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反速度约束，则该加速度递增过程停止，然后再进行加速度递减过程。如果到达违反速度轨迹点处时，速度依然违反速度约束，则上述过程循环进行。如果到达该点时速度满足约束要求，则该点为轨迹关键点加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速。

速度规划的结果如图5所示，平均速度为10.99mm/s，速度损失率为70％。根据局部放大图可以看出速度曲线的连续性。但是速度规划结果为大量的离散数据，数据量为十万个数据点，每个数据点维度为四，时间间隔为1ms。为了降低数据量，提高速度规划的实用性。本发明采用基于B-spline的时间参数多项式对各轴位置随时间变化的关系进行表征。采用三次多项式表征后的数据量约为一万，每个数据点维度为七。数据压缩量为80％。

2、基于B-spline的时间参数多项式加工轨迹生成：

在B-spline拟合过程中，优选的，采用给定精度的节点预测方法求取拟合B-spline节点向量，具体确定过程如下：

对于n次B-spline拟合各运动轴随时间的位置数据{t，p}，其拟合误差可以采用下式进行估计：

式中ε为估计的n次B-spline拟合误差，

为各轴最大位移对时间n次导数值组成的向量，

为各轴最小位移对时间n次导数值组成的向量，Δt为时间参数的n次B-spline节点区间。

根据估计的拟合误差与本实施例中给定误差为δ＝0.001mm，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为被拟合原数据第一个位置的时间T₁＝t₁，i＝1,j＝1；

步骤b：i＝i+1,并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[T_j,t_i]n次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定拟合误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为T_j+1＝t_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量T_j+1等于原数据终点时间，结束节点向量计算；

为了减少累计误差，本发明将时间参数B-spline轨迹转换成增量式时间参数多项式。将时间参数B-spline加工轨迹转换成以分段时间为参数的多项式曲面加工轨迹算法为：

对于p次时间参数B-spline为：

对于增量式p次多项式为：

P^(p)(t)＝a₀+a₁·t+a₂·t²+a₃·t³…+a_n·t^p,0≤t≤T

A＝[a₀,a₁,…a_p]

P^(p)(t)＝A·λ^Tλ＝[1,t,t²,…t^p]

对于奇次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T。

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]，i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T。

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i+1,t_i+2]，i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i+1,t_i+2]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T。

图6，图7，图8为采用本发明生成的各轴位置随时间变化函数曲线，且根据图中的各轴表征误差可以说明本发明提出的多项式拟合方法的精度满足0.001mm的要求。

3、时间参数多项式实时在线插补算法，具体如下：

根据时间参数p次B-spline加工轨迹转换成的分段时间参数多项式轨迹，第i段多项式系数向量为A_i，设此刻总加工时间为T，各段时间参数多项式时间间隔为t_j。

则时间变量

为：

变量向量λ_i为：

在该时刻插补得到的各运动轴运动位置计算公式为：

P^(p)＝A_i·λ_i ^T

将该算法在实时控制器上进行编写，并控制机床运动，本发明采用时间参数多项式插补算法，降低了实时计算量，提高了实时计算鲁棒性。图9为采用本发明的数控加工方法加工的义齿牙冠面蜡模，说明了本发明的实用性。

实施例2：

本实施例所使用数控机床同实施例1。

为了进一步说明本发明的通用性，选择如图10所示的一段参数型义齿牙根曲面加工轨迹进行实验。选用的约束以及转换因子与实施例1相同。采用本发明对该段轨迹进行速度规划，速度规划的结果如图11所示，平均速度为9.78mm/s，速度损失率为73％。根据局部放大图可以看出速度曲线的连续性。同样的为了降低数据量，提高速度规划结果的实用性。采用本发明对速度规划结果各轴位置随时间变化的关系进行表征，数据压缩量为83％。根据图12，图13，图14各轴的表征误差可以说明本发明提出的多项式拟合方法的精度满足要求。图15为采用本发明的数控加工方法加工的义齿牙根面蜡模，说明了本发明的通用性性。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (1)

1.一种采用时间参数多项式插补的自由曲面数控加工方法，适用于数控机床加工自由曲面，所述数控机床包括实时机床控制器与机床本体，其特征在于包括三个操作步骤：

(1)预测前瞻速度规划

通过读取参数曲线型自由曲面加工轨迹并进行速度规划，生成高速高精的自由曲面加工过程离散数据；

具体操作如下：

(1.1)根据加工精度要求和加工装备运行能力提取最高阶为三次的速度规划运动学约束，并采用三角不等式与引入比例系数的方法对运动学约束进行降维简化，将所有约束转化为与曲线参数有关的一维约束；

具体通过引入比例系数与采用三角不等式方法对机床各个运动轴约束进行简化：

机床运动轴约束总结如下

式中，

表示第i轴的速度、加速度及加加速度；

表示第i轴的速度、加速度及加加速度的约束；

通过引入比例系数与采用三角不等式方法将运动轴加速度与加加速度多维约束转换为与曲线参数有关的一维约束；其中加速度约束处理公式为：

其中加加速度约束处理公式为：

式中δ₁与δ₂为加速度比例系数，μ₁,μ₂与μ₃为加加速度比例系数，比例系数根据机床与轨迹特征选择；式中

和

分别是轨迹空间的速度、加速度和加加速度；式中q_s,q_ss,q_sss分别为曲线参数对曲线弧长的一阶导数、二阶导数和三阶导数；

所述速度规划运动学约束包括机床各个运动轴约束与加工工艺约束；

(1.2)沿加工轨迹，采用预测前瞻方法对违反一维约束的轨迹点进行提前减速，在前瞻过程中如果无违反一维约束的轨迹点则加速一个时间步长；根据基于极小值原理的离散计算方法，以最高阶约束计算加加速度，然后通过数值积分计算得到满足约束且加工效率最优的曲面加工过程离散数据；

采用预测前瞻方法对未来违反约束的轨迹点进行提前减速的具体操作如下：

预测前瞻减速过程为首先从当前点开始以允许的最小加加速度进行减速，将加速度减到零，然后继续以最小加速度对加速度进行递减，每递减一步再将加速度以最大加加速度递增到零直到速度递减到零为止；在该过程中分别对速度、加速度及加加速度约束进行检验；

在初始加速度递减到零阶段中如果有轨迹点违反速度与加速度约束，则该点可以设置为违反约束关键轨迹点；加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速；

在加速度继续递减阶段，如果有轨迹点违反加速度约束，则在违反轨迹点处的加加速度根据加速度约束重新计算；得到加加速度后，然后预测减速算法继续；如果有轨迹点违反速度约束，则该点可以设置为违反速度约束关键轨迹点；加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反速度约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速；

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反加速度约束，则加速度递增过程需要停止；减速预测过程减速到该点，从该点开始继续执行预测前瞻过程直至加速度与速度都减为零，并不断继续检测各个约束；

在加速度递增到零过程，如果存在轨迹点违反速度约束，则该加速度递增过程停止，然后再进行加速度递减过程；如果到达违反速度轨迹点处时，速度依然违反速度约束，则上述过程循环进行；如果到达该点时速度满足约束要求，则该点为轨迹关键点加工轨迹需从初始轨迹点减速到违反约束关键轨迹点，减速方式按照预测前瞻搜索方法进行减速；

(2)以B-spline为基础的时间参数多项式加工轨迹生成

采用给定精度的B-spline拟合技术对步骤(1)生成的自由曲面加工过程离散数据进行表征，然后转换成简洁的增量式时间参数多项式曲面加工轨迹；

具体操作如下：

(2.1)根据速度规划完成的曲面加工过程离散数据，采用时间参数的B-spline进行拟合，在拟合过程中采用给定精度的节点预测方法求取B-spline节点向量，并采用最小二乘法对控制点进行求解；最终以时间参数的B-spline对曲面加工过程进行表征，得到B-spline加工轨迹；

采用给定精度的节点预测方法求取拟合B-spline节点向量的具体确定过程如下：

对于n次B-spline拟合各运动轴随时间的位置数据{t，P}，其拟合误差可以采用下式进行估计：

式中ε为估计的n次B-spline拟合误差，

为各轴最大位移对时间n次导数值组成的向量，

为各轴最小位移对时间n次导数值组成的向量，Δt为时间参数n次B-spline的节点区间；

根据估计的拟合误差ε，在给定误差δ下，节点向量的确定算法如下：

步骤a：给定节点向量第一个节点值为被拟合原数据第一个位置的时间T₁＝t₁，i＝1，j＝1；

步骤b：i＝i+1，并判断i是否等于原离散数据数量，如果相等转至步骤d；不相等时，顺序执行步骤c；

步骤c：计算区间[T_j,t_i]n次B-spline拟合误差ε，并判断ε是否大于等于给定误差δ，如果满足ε≥δ，则确定下一个节点向量为T_j+1＝t_i且j＝j+1；转至步骤b；

步骤d：令节点向量T_j+1等于原数据终点时间，结束节点向量计算；

(2.2)采用B-spline-多项式转换算法(由B-spline转换成多项式)，将B-spline加工轨迹转换成增量式时间参数多项式曲面加工轨迹；

将时间参数B-spline加工轨迹转换成增量式时间参数多项式曲面加工轨迹的算法为：

对于p次时间参数B-spline为：

对于增量式p次多项式为：

P^(p)(t)＝a₀+a₁·t+a₂·t²+a₃·t³…+a_n·t^p,0≤t≤T_Σ

A＝[a₀,a₁,…a_n]

P^(p)(t)＝A·λ^Tλ＝[1,t,t²,…t^p]

对于奇次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T；

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i,t_i+1]，i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i,t_i+1]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T；

对于偶次时间参数B-spline，在节点区间[t_i+1,t_i+2]i＝1,3,5，.....转换为增量式时间参数多项式算法为：

由时间参数B-spline在节点区间[t_i+1,t_i+2]计算出相应端点处的函数值与相应导数值

对于p次B-spline，由L向量可以采用埃尔米特插值直接得到p次多项式的系数向量A以及时间变量区间T；

(3)时间参数多项式实时插补

根据增量式时间参数多项式曲面加工轨迹，在实时机床控制器中编写相应实时插补算法，控制数控机床运动完成自由曲面高速高精加工；

具体操作是：在实时机床控制器中编写时间参数多项式实时插补程序，根据由步骤(2.2)得到的增量式时间参数多项式曲面加工轨迹通过实时插补程序控制数控机床运动，实现自由曲面高速高精加工；

根据步骤(2)生成的增量式分段时间参数多项式曲面加工轨迹，第i段多项式系数向量为A_i，设此刻总加工时间为T_∑，各段时间参数多项式时间间隔为t_j；

则时间变量

为：

变量向量λ_i为：

在该时刻插补得到的各运动轴运动位置计算公式为：

P^(p)＝A_i·λ_i ^T

根据插补算法，以及总加工时间为T_∑，即可求得该时刻机床各个运动轴位置，依次加工完成自由曲面加工；

通过该自由曲面数控加工方法，改善了所加工出的自由曲面的轮廓精度与表面质量，显著提高了自由曲面加工效率，减少了自由曲面加工所需数据量。

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