CN107707220A - 一种应用在gnss/ins中的改进型ckf方法 - Google Patents

一种应用在gnss/ins中的改进型ckf方法 Download PDF

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王永杰
沈志乐
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    • G01S19/01—Satellite radio beacon positioning systems transmitting time-stamped messages, e.g. GPS [Global Positioning System], GLONASS [Global Orbiting Navigation Satellite System] or GALILEO
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Abstract

本发明公开了一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，该方法针对GNSS/INS紧组合的高阶非线性***中，由于局部容积点采样不准确及***状态突变导致滤波精度降低甚至发散的问题，提出利用新的容积点采样规则提高非线性函数映射准确性，进而提高滤波精度，并且引入强跟踪滤波的渐消因子，提升算法在状态突变时的鲁棒性。最终构建了变换跟踪容积卡尔曼滤波器。该方法有效解决了容积点采样不准确和***状态突变造成的滤波精度下降甚至发散的问题，具有精度高、鲁棒性强的优化。

Description

一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法
技术领域
本发明涉及导航方法领域，特别是涉及一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法。
背景技术
GNSS/INS组合导航***是当前导航领域热门的研究方向，在大角度机动，或是城市、森林等卫星信号易受遮挡等复杂情况下，采用伪距和伪距率为观测量的GNSS/INS紧组合，使得组合导航***在缺星的情况下依然能保持组合模式。
由于环境的复杂性和多变性，GNSS/INS紧组合模型具有非线性和不确定性特点。容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter，CKF)是近年来由加拿大学者Arasaratnam提出的贝叶斯近似非线性滤波算法，通过容积点采样描述状态变量非线性传播规律，是解决非线性***状态估计的强有力工具。但传统CKF的容积点采样规则在高阶***或强非线性情况下会出现状态估计不准确甚至发散的问题，另外在***状态突变的情况下，算法鲁棒性降低。CKF的滤波精度降低甚至发散。为了解决这种问题，一种基于5阶球面径向容积点采样规则的CKF滤波算法被提出，提高了滤波精度。并且由于基于强跟踪滤波(Strong TrackingFilter，STF)的改进CKF算法的提出，提高了滤波器对应***的鲁棒性。
发明内容
为了解决上述存在的问题，本发明提供一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其针对高阶非线性***应用中，局部容积点采样不准确及***状态突变导致滤波精度降低甚至发散的问题，该方法有效解决了容积点采样不准确和***状态突变造成的滤波精度下降甚至发散的问题，具有精度高、鲁棒性强的优化，为达此目的，本发明提供一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，包括如下步骤：
1)建立组合***非线性模型：包含***的状态方程、观测方程的建立，***的环境噪声的建模，以及一般性容积卡尔曼滤波算法的求解；
2)变换容积点采样规则的制定：针对传统CKF滤波器在***高维情况下，会因容积点映射不当，导致滤波精度下降甚至出现滤波发散的情况，提出一种基于球面积分规则的变换正交容积点采样规则，解决高维***滤波精度下降的问题；
3)强跟踪滤波设计：针对噪声模型难以量化及***发生突变，从而引起滤波器发散、数值不稳定的问题。提出引入一种渐消因子，使输出残差序列保持正交，提升算法的鲁棒性，提高对状态与参数突变的跟踪能力。
4)TSCKF滤波器的构建：基于正交变换原则和强跟踪滤波构建一种TSCKF滤波器，并针对GNSS/INS***进行时间更新、量测更新。
本发明的进一步改进，所述步骤1)中建立组合***非线性模型的具体步骤包括：
(1.1)离散化组合***状态方程为选取状态量为分别为三方向的失准角、速度误差、位置误差、加速度计常值偏置、陀螺常值漂移；
(1.2)GNSS/SINS紧组合导航***量测方程包括伪距观测量组成的***伪距量测方程和伪距率观测量组成的***伪距率量测方程，组合***的伪距量测方程为ρi为相对于第i颗卫星的伪距，为伪距率，V(t)为量测噪声；
(1.3)基于CKF的原理将(1.1)中状态转移矩阵f的求解转换为积分形式其中ωi＝1/m，即采样点权重，i＝1,2,...,m＝2n；E为n维单位方阵，[1]i表示[1]的第i列。
本发明的进一步改进，所述步骤2)变换容积点采样规则的制定的具体步骤包括：
(2.1)将(1.3)中的积分形式转换其中，x＝Crz+μ,P＝CCT,||Z||＝1,Un表示单位球面空间，其中，βi是投影到球面坐标系上的容积点，且||β||＝1,k是容积个数,ω是容积点对应的权重；
(2.2)根据球面正交变换规则，βi和ω的选取规则如下：
其中,i＝1,2,…,2n且r＝1,2,…,[n/2],当n为奇数时，ri,n＝(-1)i-1，取λ＝r2/2，得到：
(2.3)利用高斯-拉格朗日积分求解(2.2)中的方程，可得：
其中，m为选取正交点个数，因此得到变换正交容积点及权重求取：
λi为高斯-拉格朗日正交点，Ai为相应的权重，由下式所得：
本发明的进一步改进，所述步骤3)强跟踪滤波设计的具体步骤包括：
(3.1)***残差输出序列为：ηk＝yk-yk|k-1，因此强跟踪滤波器应满足如下条件：
将***环境噪声的协方差矩阵定义为：
其中，ρ为遗忘因子，0.95≤ρ≤0.98；
(3.2)计算矩阵：
Mk＝Pzz,k|k-1-Vk+Nk；
其中，Pk|k-1为误差方差矩阵；Pxz,k|k-1为互协方差矩阵；Pzz,k|k-1为自协方差矩阵。因此渐消因子表示如下：
其中，tr[]表示矩阵的迹。
本发明的进一步改进，所述步骤4)TSCKF滤波器的构建的具体步骤包括：
(4.1)根据3中改进的容积点采样规则计算容积点：
(4.2)时间更新：矩阵的SVD分解用svd()表示，则可求：
Sk-1|k-1＝svd(Pk-1|k-1)；
计算cubature点：
通过状态方程传播cubature点：
ξi,k-1|k-1＝f(ξi,k-1|k-1),i＝1,…,2n；
计算状态预测值和误差协方差阵：
计算渐消因子λk，通过SVD分解Pk|k-1：
Sk|k-1＝svd(Pk|k-1)；
计算Cubature点：
(4.3)量测更新：通过量测方程传播cubature点：
Zi,k|k-1＝h(ξi,k|k-1)；
计算量测预测值自协方差阵Pzz,k|k-1和互协方差阵Pxz,k|k-1：
根据式计算并引入渐消因子λk，
将和Pk|k-1进行迭代，求解新的容积点，并引入渐消因子λk和Pk|k-1重新计算Pzz,k|k-1和Pxz,k|k-1。计算滤波增益、状态估计及误差协方差阵：
Pk＝Pk|k-1-Kk。
本发明提供一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，针对高阶***局部容积点采样不准确和***状态突变对***滤波精度的影响，在CKF基础上，提出改进的变换正交容积点采样规则，在此基础上结合STF算法的基本理论框架，提出一种改进型CKF(TSCKF)算法，该方法有效解决了容积点采样不准确和***状态突变造成的滤波精度下降甚至发散的问题，具有精度高、鲁棒性强的优化。
附图说明
图1是本发明方法流程图；
图2是本发明中GNSS/INS紧组合***图；
图3是本发明中容积点取样规则图；
具体实施方式
下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：
本发明提供一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其针对高阶非线性***应用中，局部容积点采样不准确及***状态突变导致滤波精度降低甚至发散的问题，该方法有效解决了容积点采样不准确和***状态突变造成的滤波精度下降甚至发散的问题，具有精度高、鲁棒性强的优化。
如图1-3所示，本发明所述的种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，该方法包含以下步骤：
步骤1：建立组合***非线性模型，包含***的状态方程、观测方程的建立，***的环境噪声的建模，以及一般性容积卡尔曼滤波算法的求解；
步骤2：变换容积点采样规则的制定，针对传统CKF滤波器在***高维情况下，会因容积点映射不当，导致滤波精度下降甚至出现滤波发散的情况，提出一种基于球面积分规则的变换正交容积点采样规则，解决高维***滤波精度下降的问题；
步骤3：强跟踪滤波设计，针对噪声模型难以量化及***发生突变，从而引起滤波器发散、数值不稳定的问题。提出引入一种渐消因子，使输出残差序列保持正交，提升算法的鲁棒性，提高对状态与参数突变的跟踪能力。
步骤4：TSCKF滤波器的构建：基于正交变换原则和强跟踪滤波构建一种TSCKF滤波器，并针对GNSS/INS***进行时间更新、量测更新。
其中，步骤1：建立组合***非线性模型，包含***的状态方程、观测方程的建立，***的环境噪声的建模，以及一般性容积卡尔曼滤波算法的求解；具体如下：
1)离散化组合***状态方程为选取状态量为分别为三方向的失准角、速度误差、位置误差、加速度计常值偏置、陀螺常值漂移。
2)GNSS/SINS紧组合导航***量测方程包括伪距观测量组成的***伪距量测方程和伪距率观测量组成的***伪距率量测方程。组合***的伪距量测方程为ρi为相对于第i颗卫星的伪距，为伪距率，V(t)为量测噪声。
3)基于CKF的原理将(1.1)中状态转移矩阵f的求解转换为积分形式其中ωi＝1/m，即采样点权重，i＝1,2,...,m＝2n；E为n维单位方阵，[1]i表示[1]的第i列。
步骤2：变换容积点采样规则的制定：针对传统CKF滤波器在***高维情况下，会因容积点映射不当，导致滤波精度下降甚至出现滤波发散的情况，提出一种基于球面积分规则的变换正交容积点采样规则，解决高维***滤波精度下降的问题；具体如下：
1)将步骤1的3)中的积分形式转换其中，x＝Crz+μ,P＝CCT,||Z||＝1,Un表示单位球面空间。其中，βi是投影到球面坐标系上的容积点，且||β||＝1,k是容积个数,ω是容积点对应的权重。
2)根据球面正交变换规则，βi和ω的选取规则如下：
其中,i＝1,2,…,2n且r＝1,2,…,[n/2],当n为奇数时，ri,n＝(-1)i-1，取λ＝r2/2，得到：
3)利用高斯-拉格朗日积分求解(2.2)中的方程，可得：
其中，m为选取正交点个数，因此得到变换正交容积点及权重求取：
λi为高斯-拉格朗日正交点，Ai为相应的权重，由下式所得：
步骤3：强跟踪滤波设计，针对噪声模型难以量化及***发生突变，从而引起滤波器发散、数值不稳定的问题。提出引入一种渐消因子，使输出残差序列保持正交，提升算法的鲁棒性，提高对状态与参数突变的跟踪能力；具体如下：
1)***残差输出序列为：ηk＝yk-yk|k-1，因此强跟踪滤波器应满足如下条件：
将***环境噪声的协方差矩阵定义为：
其中，ρ为遗忘因子，0.95≤ρ≤0.98。
2)计算矩阵：
Mk＝Pzz,k|k-1-Vk+Nk；
其中，Pk|k-1为误差方差矩阵；Pxz,k|k-1为互协方差矩阵；Pzz,k|k-1为自协方差矩阵。因此渐消因子表示如下：
其中，tr[]表示矩阵的迹。
步骤4：TSCKF滤波器的构建：基于正交变换原则和强跟踪滤波构建一种TSCKF滤波器，并针对GNSS/INS***进行时间更新、量测更新；具体如下：
1)根据步骤2中改进的容积点采样规则计算容积点。
2)时间更新：矩阵的SVD分解用svd()表示，则可求：
Sk-1|k-1＝svd(Pk-1|k-1)；
计算cubature点：
通过状态方程传播cubature点：
ξi,k-1|k-1＝f(ξi,k-1|k-1),i＝1,…,2n；
计算状态预测值和误差协方差阵：
计算渐消因子λk，通过SVD分解Pk|k-1：
Sk|k-1＝svd(Pk|k-1)；
计算Cubature点：
3)量测更新：通过量测方程传播cubature点：
Zi,k|k-1＝h(ξi,k|k-1)；
计算量测预测值自协方差阵Pzz,k|k-1和互协方差阵Pxz,k|k-1：
根据式计算并引入渐消因子λk，
将和Pk|k-1进行迭代，求解新的容积点，并引入渐消因子λk和Pk|k-1重新计算Pzz,k|k-1和Pxz,k|k-1。计算滤波增益、状态估计及误差协方差阵：
Pk＝Pk|k-1-Kk；
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (5)

1.一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其特征在于：包括如下步骤：
1)建立组合***非线性模型：包含***的状态方程、观测方程的建立，***的环境噪声的建模，以及一般性容积卡尔曼滤波算法的求解；
2)变换容积点采样规则的制定：针对传统CKF滤波器在***高维情况下，会因容积点映射不当，导致滤波精度下降甚至出现滤波发散的情况，提出一种基于球面积分规则的变换正交容积点采样规则，解决高维***滤波精度下降的问题；
3)强跟踪滤波设计：针对噪声模型难以量化及***发生突变，从而引起滤波器发散、数值不稳定的问题。提出引入一种渐消因子，使输出残差序列保持正交，提升算法的鲁棒性，提高对状态与参数突变的跟踪能力。
4)TSCKF滤波器的构建：基于正交变换原则和强跟踪滤波构建一种TSCKF滤波器，并针对GNSS/INS***进行时间更新、量测更新。
2.根据权利要求1所述的一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其特征在于：
所述步骤1)中建立组合***非线性模型的具体步骤包括：
(1.1)离散化组合***状态方程为选取状态量为分别为三方向的失准角、速度误差、位置误差、加速度计常值偏置、陀螺常值漂移；
(1.2)GNSS/SINS紧组合导航***量测方程包括伪距观测量组成的***伪距量测方程和伪距率观测量组成的***伪距率量测方程，组合***的伪距量测方程为。i＝1,2,3,4，ρi为相对于第i颗卫星的伪距，为伪距率，V(t)为量测噪声；
(1.3)基于CKF的原理将(1.1)中状态转移矩阵f的求解转换为积分形式其中ωi＝1/m，即采样点权重，i＝1,2,...,m＝2n；[1]＝[E,-E]，E为n维单位方阵，[1]i表示[1]的第i列。
3.根据权利要求1所述的一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其特征在于：
所述步骤2)变换容积点采样规则的制定的具体步骤包括：
(2.1)将(1.3)中的积分形式转换其中，x＝Crz+μ,P＝CCT,||Z||＝1,Un表示单位球面空间，其中，βi是投影到球面坐标系上的容积点，且||β||＝1,k是容积个数,ω是容积点对应的权重；
(2.2)根据球面正交变换规则，βi和ω的选取规则如下：
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其中,i＝1,2,…,2n且r＝1,2,…,[n/2],当n为奇数时，ri，n＝(-1)i-1，取λ＝r2/2，得到：
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(2.3)利用高斯-拉格朗日积分求解(2.2)中的方程，可得：
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其中，m为选取正交点个数，因此得到变换正交容积点及权重求取：
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λi为高斯-拉格朗日正交点，Ai为相应的权重，由下式所得：
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4.根据权利要求1所述的一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其特征在于：
所述步骤3)强跟踪滤波设计的具体步骤包括：
(3.1)***残差输出序列为：ηk＝yk-yk|k-1，因此强跟踪滤波器应满足如下条件：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mi>I</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>;</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
将***环境噪声的协方差矩阵定义为：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;rho;V</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
其中，ρ为遗忘因子，0.95≤ρ≤0.98；
(3.2)计算矩阵：
Mk＝Pzz,k|k-1-Vk+Nk；
其中，Pk|k-1为误差方差矩阵；Pxz,k|k-1为互协方差矩阵；Pzz,k|k-1为自协方差矩阵。因此渐消因子表示如下：
<mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
其中，tr[]表示矩阵的迹。
5.根据权利要求1所述的一种应用在GNSS/INS中的改进型CKF方法，其特征在于：
所述步骤4)TSCKF滤波器的构建的具体步骤包括：
(4.1)根据3中改进的容积点采样规则计算容积点：
(4.2)时间更新：矩阵的SVD分解用svd()表示，则可求：
Sk-1|k-1＝svd(Pk-1|k-1)；
计算cubature点：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>;</mo> </mrow>
通过状态方程传播cubature点：
ξi,k-1|k-1＝f(ξi,k-1|k-1),i＝1,…,2n；
计算状态预测值和误差协方差阵：
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
计算渐消因子λk，通过SVD分解Pk|k-1：
Sk|k-1＝svd(Pk|k-1)；
计算Cubature点：
<mrow> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
(4.3)量测更新：通过量测方程传播cubature点：
Zi,k|k-1＝h(ξi,k|k-1)；
计算量测预测值自协方差阵Pzz,k|k-1和互协方差阵Pxz,k|k-1：
<mrow> <msub> <mover> <mi>Z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>Z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mover> <mi>Z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mover> <mi>Z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>;</mo> </mrow>
根据式计算并引入渐消因子λk，
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>;</mo> </mrow>
将和Pk|k-1进行迭代，求解新的容积点，并引入渐消因子λk和Pk|k-1重新计算Pzz,k|k-1和Pxz，k|k-1。计算滤波增益、状态估计及误差协方差阵：
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>Z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
Pk＝Pk|k-1-Kk。
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