CN107357166A - 小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及无人机控制方法，为针对小型无人直升机，设计一种鲁棒性较好，同时可以弥补动力学***不确定性的自适应律与非线性控制器。本发明采用的技术方案是，小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法，步骤如下：设计控制器，用于根据前一时刻的姿态采样数据以及控制器输出采样数据，对当前时刻控制器的输出数据进行实时调整和补偿，从而达到良好的小型无人直升机姿态控制；其中：(1)建立小型无人直升机相关的坐标系：(2)建立以无人机利用直升机的横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距与无人机滚转角、俯仰角、偏航角的之间的动力学模型；(3)设计非线性控制器。本发明主要应用于无人机控制场合。

Description

小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及一种无人机控制方法，特别是涉及一种基于无模型自适应控制理论的控制方 法。具体讲,涉及小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法。

背景技术

小型无人直升机是不需要人驾驶，能够完成自主飞行任务的特殊飞行器。此类飞行器具 有垂直起降、低空飞行等诸多特点，在各个领域得到了广泛的应用。同时，由于无人直升机 具有强耦合、非线性、数学模型复杂等特点，使得对无人直升机的动力学分析建模和控制器 设计都较为困难。

随着小型无人直升机的应用范围日益增大，针对小型无人直升机的控制算法研究成为无 人机研究领域的热点问题之一。无人直升机执行的任务越来越复杂，PID以及LQR等控制已 无法满足控制精度的要求，我们需要找出更有效的非线性控制算法来控制无人机，如滑膜控 制，鲁棒控制，神经网络控制，数据驱动控制，机器学习等，完成更复杂的任务。

北京航空航天大学的研究者们自主研究的无人直升机具有一定的代表性。他们将Raptor 90和AF25B型小型工业用直升机改造成全自主无人机。随着软硬件升级和控制任务要求， 研究者们逐渐研究成一系列的全自主无人飞行器(期刊：Acta Automatica Sinica；著者：杜 玉虎,房建成,盛蔚等；出版年月：2012年；文章题目：一种小型无人直升机自主起飞控制 方法；页码：1385-1392)(期刊：机器人；著者：杜玉虎,房建成,盛蔚等；出版年月：2012 年；文章题目：基于最小二乘与自适应免疫遗传算法的小型无人直升机***辨识，页码：72-77)。

清华大学的研究人员针对共轴式无人直升机非线性、强耦合的动力学特性，提出了一种 基于动态反馈线性化方法的鲁棒跟踪控制策略。首先根据叶素理论、Pitt-Peters动态入流模 型、上下旋翼气动干扰分析建立了共轴式无人直升机的数学模型，然后对于髙度-姿态子***， 通过扩展状态变量对其进行了动态反馈线性化，分析了零动态特性。根据内环期望跟踪特性 对解耦后的子***进行极点配置。通过设计鲁棒补偿器实现了对高度与姿态指令的鲁棒跟踪。 在此基础上，针对水平面内的位置子***设计了外环比例微分控制器以实现位置跟踪。最后， 通过内环跟踪仿真验证了反馈线性化方法良好的解耦特性，通过干扰条件下的轨迹跟踪仿真 验证了所设计控制器具有较好的控制性能与鲁棒性(期刊：控制理论与应用；著者：袁夏明, 朱纪洪,毛漫；出版年月：2014年；文章题目：共轴式无人直升机建模与鲁棒跟踪控制；页 码：1285-1294)。

斯坦福大学利用所研发的无人直升机进行空中运输，考虑到当今运输的货物越来越重， 运输距离越来越远，斯坦福大学的研究人员们，希望使用两架直升机携带一个负载，称为双 提升，来满足直升机载重提升的需求，从而避免了设计和开发非常昂贵的重型直升机(期刊： American Helicopter Society；著者：Berrios M G,Tischler M B,Cicolani LS,et al；2014年；文 章题目：Stability,control,and simulation of a dual liftsystem using autonomous r-max helicopters； 页码：134-142)。

在2013年的无人机创新大赛中，新加坡国立大学设计了一个基于视觉的无人直升机，可 以自主地在两个平台之间转移货物，他们利用的核心算法包括基于视觉的Camshift检测算法、 目标跟踪算法和位置估计算法。最终新加坡国立大学在最后一轮的比赛中取得了第一名的成 绩(期刊：IEEE Transactions on Industrial Electronics；著者：Zhao S,Hu Z,Yin M,et al；2015 年；文章题目：A robust real-time vision system forautonomous cargo transfer by an unmanned helicopter；页码：1210-1219)。

近年来无模型自适应的控制方法在也得到了广泛的应用。例如无模型自适应控制应用于 直线电机控制中，以及将无模型自适应控制和神经网络控制相结合，利用神经网络实时在线 调节控制器参数，并将其应用于三容立体水箱实验中。(期刊：控制理论与应用；著者：曹 荣敏,周惠兴,侯忠生；出版年月：2012年；文章题目：数据驱动的无模型自适应直线伺服 ***精密控制和实现；页码：310–316)(期刊：IEEE Transactions on NeuralNetworks and Learning Systems；著者：Yuanming Zhu and Zhongsheng Hou；出版年月：2014年；文章题目： Data-driven mfac for a class of discrete-time nonlinearsystems with rbfnn，页码：1013–1020)。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在针对小型无人直升机，设计一种鲁棒性较好，同时 可以弥补动力学***不确定性的自适应律与非线性控制器。本发明采用的技术方案是，小型 无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法，步骤如下：设计控制器，用于根据前一时刻的姿 态采样数据以及控制器输出采样数据，对当前时刻控制器的输出数据进行实时调整和补偿， 从而达到良好的小型无人直升机姿态控制；其中：

(1)建立小型无人直升机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I} 原点位于地面，体坐标系{B}原点位于无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_B z_B}分别表示 惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴；

(2)建立以无人机利用直升机的横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距与无人机滚 转角、俯仰角、偏航角的之间的动力学模型：

以横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距作为控制输入，以无人机的三个姿态角作为 被控量，无人直升机的动力学模型如下：

其中M(η)代表惯性矩阵，代表科氏力矩阵，τ_d代表有界扰动力矩向量， S代表角速度变换矩阵，A∈R^3×3,B∈R^3×1代表旋翼动力学相关矩阵，D∈R^3×3代 表旋翼挥舞角动力学相关矩阵，η(k)＝[φ(k) θ(k) ψ(k)]^T代表姿态角，φ(k)为滚转角 ,θ(k)俯仰角,ψ(k)为偏航角，分别代表η(k)的一阶以及二阶导数； δ(k)＝[δ_lat(k) δ_lon(k)δ_ped(k)]^T代表控制输入，δ_lat(k)代表横向周期变距，δ_lon(k)代 表纵向周期变距，δ_ped(k)代表尾桨总距；

(3)设计非线性控制器

采用上文所述的姿态动力学模型时，在模型中存在未知常参数扰动τ_d，以及未知的代表 无人机***模型的A、B、C、D、M矩阵，设计控制输入设计δ(k)为：

δ(k)＝δ_MFA(k)+Kδ_SM(k),

-(1-qT)s(k)+εTsign(s(k)),

其中，λ>0，ρ∈(0,1]是步长因子，T是采样时间，k代表离散时间参数，y_d(k)＝η _d(k)代表期望轨迹，y(k)＝η(k)代表姿态角，△y(k)＝y(k)-y(k-1)，e_y(k)＝y_d(k)-y(k)代表姿 态角的误差；

s(k)＝e_y(k)，sign()代表标准符号函数，ε>0,q>0,且满足1-qT>0

Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]^T，φ₁(k)，φ₂(k)∈R^3×3，是一个自适应参数，是Φ(k)的估计值，最终通过来代替参数估计的方法如下，

其中△δ(k)＝δ(k)-δ(k-1)，β∈(0,1]，μ>0。

本发明的特点及有益效果是：

本发明针对小型无人直升机的姿态控制，建立了一种仅需要控制输入数据和姿态输出数 据，就能够有效弥补模型参数不确定性，抵抗飞行过程中的外界不可测扰动，使无人机姿态 得到良好的控制效果。

附图说明：

图1是本发明所设计的闭环控制***结构框图。

图2无人机采用本发明所设计控制器镇定飞行过程姿态曲线示意图。

图3无人机采用本发明所设计控制器镇定飞行过程控制输入曲线示意图。

具体实施方式

本发明采用的技术方案是，小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法，步骤如下：

(1)建立小型无人直升机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I} 原点位于地面，体坐标系{B}原点位于无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_B z_B}分别表示 惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴；

(2)建立以无人机利用直升机的横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距与无人机滚 转角、俯仰角、偏航角的之间的动力学模型：

以横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距作为控制输入，以无人机的三个姿态角作为 被控量，无人直升机的动力学模型如下：

其中M(η)代表惯性矩阵，代表科氏力矩阵，τ_d代表有界扰动力矩向量， S代表角速度变换矩阵，A∈R^3×3,B∈R^3×1代表旋翼动力学相关矩阵，D∈R^3×3代 表旋翼挥舞角动力学相关矩阵。η(k)＝[φ(k) θ(k) ψ(k)]^T代表姿态角，φ(k)为滚转角 ,θ(k)俯仰角,ψ(k)为偏航角,分别代表η(k)的一阶以及二阶导数。 δ(k)＝[δ_lat(k) δ_lon(k)δ_ped(k)]^T代表控制输入，δ_lat(k)代表横向周期变距，δ_lon(k)代 表纵向周期变距，δ_ped(k)代表尾桨总距。

η代表小型无人直升机的姿态角，η(k)中的k代表离散时间参数，所以η(k)相当于是η随着时间变换的一种表达形式；y_d(k)＝η_d(k)代表姿态角的期望轨迹，y(k)＝η(k)代表姿态角，e_y(k)＝y_d(k)-y(k)代表姿态角的误差。

ε>0,q>0,这两个参数是两个参数，没有具体物理意义，可以根据实际***进行调节， 这里只能限定其范围。

(3)设计非线性控制器

采用上文所述的姿态动力学模型时，在模型中存在未知常参数扰动τ_d，以及未知的代表 无人机***模型的A、B、C、D、M矩阵，设计控制输入设计δ(k)为：

δ(k)＝δ_MFA(k)+Kδ_SM(k),

-(1-qT)s(k)+εTsign(s(k)),

其中，λ>0，ρ∈(0,1]是步长因子，T是采样时间，k代表离散时间参数，y_d(k)＝η _d(k)代表期望轨迹，y(k)＝η(k)代表姿态角，△y(k)＝y(k)-y(k-1)，e_y(k)＝y_d(k)-y(k)代表姿态角的误差。

s(k)＝e_y(k)，sign()代表标准符号函数，ε>0,q>0,且满足1-qT>0.

Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]^T，φ₁(k)，φ₂(k)∈R^3×3，是一个自适应参数，是Φ(k)的估计值，最终通过来代替Φ(k)，参数估计的方法如下，

其中△δ(k)＝δ(k)-δ(k-1)，β∈(0,1]，μ>0。

下面结合实施例和附图对本发明基于无模型自适应控制理论的小型无人机控制方法做出 详细说明。

本发明所要解决的技术问题是，针对数学模型复杂，控制难度较大的小型无人机，设计 一种不需要建立精确的小型无人直升机模型，只需要采集无人机控制输入数据及姿态输出数 据，就能良好控制无人机的非线性控制器。控制器工作的具体原理为，本发明所设计的控制 器可以根据前一时刻的姿态采样数据以及控制器输出采样数据，对当前时刻控制器的输出数 据进行实时调整和补偿，从而达到良好的小型无人直升机姿态控制效果。

本发明采用的技术方案是：利用无模型自适应控制理论的基本原理，将姿态信号进行一 系列变换，通过控制无人机的周期变距来控制无人直升机，包括如下步骤：

1)建立小型无人直升机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：两个坐标系，分别为惯性坐 标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B} 原点位于无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_B z_B}分别表示惯性坐标系{I}和体坐标系 {B}对应的三个主轴。

2)建立以无人机利用直升机的横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距与无人机滚转 角、俯仰角、偏航角的之间的动力学模型：

以横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距作为控制输入，以无人机的三个姿态角作为 被控量，无人直升机的动力学模型如下：

其中M(η)代表惯性矩阵，代表科氏力矩阵，τ_d代表有界扰动力矩向量， S代表角速度变换矩阵，A∈R^3×3,B∈R^3×1代表旋翼动力学相关矩阵，D∈R^3×3代 表旋翼挥舞角动力学相关矩阵，η(k)＝[φ(k) θ(k) ψ(k)]^T代表姿态角，φ(k)为滚转角 ,θ(k)俯仰角,ψ(k)为偏航角，分别代表η(k)的一阶以及二阶导数。 δ(k)＝[δ_lat(k) δ_lon(k)δ_ped(k)]^T代表控制输入，δ_lat(k)代表横向周期变距，δ_lon(k)代 表纵向周期变距，δ_ped(k)代表尾桨总距；

(3)设计非线性控制器

采用上文所述的姿态动力学模型时，在模型中存在未知常参数扰动τ_d，以及未知的代表 无人机***模型的A、B、C、D、M矩阵，设计控制输入设计δ(k)为：

δ(k)＝δ_MFA(k)+Kδ_SM(k),

其中，λ>0，ρ∈(0,1]是步长因子，T是采样时间，k代表离散时间参数，y_d(k)＝η _d(k)代表期望轨迹，y(k)＝η(k)代表姿态角，△y(k)＝y(k)-y(k-1)，e_y(k)＝y_d(k)-y(k)代表姿 态角的误差。

s(k)＝e_y(k)，sign()代表标准符号函数，ε>0,q>0,且满足1-qT>0.

Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]^T，φ₁(k)，φ₂(k)∈R^3×3，是一个自适应参数，是Φ(k)的估计值，最终通过来代替Φ(k)，参数估计的方法如下，

其中△δ(k)＝δ(k)-δ(k-1)，β∈(0,1]，μ>0。

针对小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制器设计完毕。

在该实例中，Φ(k)是一个6x3的矩阵，由两个3x3的矩阵φ₁(k)，φ₂(k)组成，该矩阵中 所有的数据都是代表自适应参数，这些参数是随着时间k而变化的数值，是Φ(k-1) 的估计值，是φ₁(k)的估计值，是φ₂(k)的估计值，是φ₁(k-1)的估计值， 是φ₂(k-1)的估计值。

该矩阵由δ(k)、y(k)这两个参数组成，δ(k)代表控制输入，y(k)＝η(k)代表姿态角。

△y＝y(k)-y(k-1),△y(k-1)＝y(k-1)-y(k-2)；y(k)、y(k-1)、y(k-2)代表y变量在k、k-1、 k-2时刻的值；同理△δ(k)＝δ(k)-δ(k-1)、△δ(k-1)＝δ(k-1)-δ(k-2)，δ(k)、δ(k-1)、δ(k-2) 代表δ变量在k、k-1、k-2时刻的值。

β、μ是两个常数，可根据不同的情况可以自己调节的，本文中只给定范围β∈(0,1]， μ>0。

下面给出具体的实例：

一、半实物仿真平台介绍

该实验平台选用TREX---450小型电动航模直升机，以及研华ARK-3360L工控机作为上位 机主控制器，用于解算复杂控制算法，并实时记录实验数据。实验平台采用自主设计的惯性 测量单元作为姿态传感器，该传感器提供三轴角速度和角度信息，测量精度可达到滚转角和 俯仰角±0.2°，偏航角±0.5°，整个实验平台的采样频率为500Hz，可以满足控制***实时性的 要求。

二、飞行实验结果

为了验证本发明中控制器的有效性及实用性，利用本研究组自主设计开发的无人直升机 姿态飞行实验平台，进行了实时的镇定和抗风扰实验。通过图2可知，该无人直升机在10秒 左右实现镇定飞行，在姿态镇定实验中，滚转角及俯仰角控制精度为±1.5°，偏航角控制精度 ±2°，图3为控制输入，均稳定在一定范围内，验证了本文所设计控制器的合理性。

Claims (1)

1.一种小型无人直升机的无模型自适应鲁棒控制方法，其特征是，步骤如下：设计控制器，用于根据前一时刻的姿态采样数据以及控制器输出采样数据，对当前时刻控制器的输出数据进行实时调整和补偿，从而达到良好的小型无人直升机姿态控制；其中：

(1)建立小型无人直升机相关的坐标系：

为了便于非线性控制器与自适应律的设计，设定如下定义：

两个坐标系，分别为惯性坐标系{I}和体坐标系{B}，二者均满足右手定则，惯性坐标系{I}原点位于地面，体坐标系{B}原点位于无人机的质心，{x_I y_I z_I}和{x_B y_B z_B}分别表示惯性坐标系{I}和体坐标系{B}对应的三个主轴；

(2)建立以无人机利用直升机的横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距与无人机滚转角、俯仰角、偏航角的之间的动力学模型：

以横向周期变距、纵向周期变距以及尾桨总距作为控制输入，以无人机的三个姿态角作为被控量，无人直升机的动力学模型如下：

<mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mi>D</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

其中M(η)代表惯性矩阵，代表科氏力矩阵，τ_d代表有界扰动力矩向量，S代表角速度变换矩阵，A∈R^3×3,B∈R^3×1代表旋翼动力学相关矩阵，D∈R^3×3代表旋翼挥舞角动力学相关矩阵，η(k)＝[φ(k) θ(k) ψ(k)]^T代表姿态角，φ(k)为滚转角,θ(k)俯仰角,ψ(k)为偏航角，分别代表η(k)的一阶以及二阶导数；δ(k)＝[δ_lat(k) δ_lon(k) δ_ped(k)]^T代表控制输入，δ_lat(k)代表横向周期变距，δ_lon(k)代表纵向周期变距，δ_ped(k)代表尾桨总距；

(3)设计非线性控制器

采用上文所述的姿态动力学模型时，在模型中存在未知常参数扰动τ_d，以及未知的代表无人机***模型的A、B、C、D、M矩阵，设计控制输入设计δ(k)为：

δ(k)＝δ_MFA(k)+Kδ_SM(k),

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>F</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>F</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;rho;&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>

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其中，λ>0，ρ∈(0,1]是步长因子，T是采样时间，k代表离散时间参数，y_d(k)＝η_d(k)代表期望轨迹，y(k)＝η(k)代表姿态角，△y(k)＝y(k)-y(k-1)，e_y(k)＝y_d(k)-y(k)代表姿态角的误差；

s(k)＝e_y(k)，sign()代表标准符号函数，ε>0,q>0,且满足1-qT>0

Φ(k)＝[φ₁(k)φ₂(k)]^T，φ₁(k)，φ₂(k)∈R^3×3，是一个自适应参数，是Φ(k)的估计值，最终通过来代替Φ(k)，参数估计的方法如下，

<mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中△δ(k)＝δ(k)-δ(k-1)，β∈(0,1]，μ>0。