CN107292665A - 一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法 - Google Patents

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CN107292665A CN201710447032.XA CN201710447032A CN107292665A CN 107292665 A CN107292665 A CN 107292665A CN 201710447032 A CN201710447032 A CN 201710447032A CN 107292665 A CN107292665 A CN 107292665A
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Abstract

本发明涉及一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法。基于Stackelberg主从博弈，考虑多个售电公司与多个用户的售电市场框架。在该框架下，多个售电公司从上级电网公司以统一市场出清电价购买电力，之后结合自身运营成本、最大化自身收益的基础上确定售电价格信息发布给各个用户。各个用户根据售电公司发布的电价信息，结合自身用电效益、最大化自身用电收益的基础上确定计划用电量并将计划用电量上报给售电公司。本文建立了上层各售电公司之间的边际成本定价模型，以及下层多个用户用电效益优化模型。最后给出博弈的求解算法并通过算例对该最优定价策略进行了验证分析。

Description

一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法
技术领域
本发明涉及一种基于Stackelberg博弈的售电公司最优定价策略，具体涉及一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，属于售电市场技术领域。
背景技术
随着未来智能电网高级量测体系的建立，需求响应技术作为智能电网的核心技术之一，可以充分挖掘负荷侧资源，实现资源的综合优化配置，但总体而言当前对于负荷调节能力的挖掘还不够深入，用户响应程度还不够高。为了整合需求响应资源，使闲置的具有调节能力的中小负荷能够参与到市场中，可以通过专业化需求响应提供商——售电公司，为中小负荷提供参与市场调节的机会。2015年，中共中央国务院发布《关于进一步深化电力体制改革的若干意见》〔2015〕9号文，进一步促进需求响应管理的发展，使得电网公司及电力售电公司向用户提供实时电价成为了可能，实时电价能反映短期的生产成本及用电量信息，能够指导用户优化用电，是在考虑运行成本和基本投资的情况下，在给定时段，向用户提供电能的边际成本，因此，研究售电公司与用户之间售电电价的制定具有重要意义。
纵观现有文献研究，主要集中在单个售电公司和多个用户之间的博弈收益研究，缺少考虑多个售电公司与多个用户之间博弈的收益情况。目前对售电公司的建模主要集中在售电公司从用户获得的收益，缺少考虑售电公司从上级电网购电以及自身运营成本所需要的成本开支。针对于用户的收益，目前主要集中在用户用电设备，缺少考虑用户的用电效益因素影响。
发明内容
针对上述技术问题，本发明所要解决的技术问题是提供一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法。
本发明为了解决上述问题采用以下的技术方案：本发明设计了一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法。在上述背景下，本文基于Stackelberg主从博弈，考虑多个售电公司与多个用户的售电市场框架。在该框架下，多个售电公司从上级电网公司以统一市场出清电价购买电力，之后结合自身运营成本、最大化自身收益的基础上确定售电单价信息发布给各个用户，各个用户根据售电公司发布的电价信息，结合自身用电效益、最大化自身用电收益的基础上确定计划用电量并将计划用电量上报给售电公司。本文建立了上层各售电公司之间的边际成本定价模型，以及下层多个用户用电效益优化模型。最后给出博弈的求解算法并通过算例对该最优定价策略进行了验证分析。
作为本发明的一种优选技术方案：一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，该方法包括以下步骤：
步骤001：对用户来说，选择在哪个时段用电，用电量受到售电公司这个时段的电价的影响。我们定义xn,s为第n个用户从第s个售电公司处购买的电量，定义第n个用户的收益Uuser,n为
其中，Uuser,s为用户所获得的收益；an为用户舒适度关系因子，可以衡量用户舒适度与费用的关系大小，单位为(元)；bn为用户的用电效益系数；表示用户用电费用开支。
令ys为第s个售电公司对用户提供的售电单价，Cn为第n个用户的电费支出预算。对于售电公司给定的一组电价集合{y1,y2,..,yK}，第n(n∈N)个用户通过求解下列用户优化问题计算其最优需求响应：
以上优化问题是一个凸优化问题，因此，解是唯一且最优的。
先从N个用户和2个售电公司开始分析，之后再将结果推导至K个售电公司。在这种情况下，该n个用户的优化问题为
s.t.y1xn,1+y2xn,2≤Cn\*MERGEFORMAT (6)
xn,s≥0；s＝1,2\*MERGEFORMAT (7)
对约束式使用拉格朗日乘子λn,1，λn,2，λn,3，从而将以上带约束条件的问题转化为下列形式
以及互补松弛条件
λn,2xn,1＝0\*MERGEFORMAT (10)
λn,3xn,2＝0\*MERGEFORMAT (11)
λn,1＞0,λn,2,λn,3,xn,1,xn,2≥0\*MERGEFORMAT (12)
最大化问题的一阶优化条件是其中由于用户之间唯一的耦合是通过ys，使得
用户的需求响应可以为以下其中一种形式：
2)情况一：xn,1,xn,2＞0：在这种情况下，λn,2＝λn,3＝0。将λn,2和λn,3代入
将式代入获得
我们将代入获得
2)情况二：xn,1＞0，xn,2＝0：这是当式表明λn,2＝0且
将xn,1代入式，可以得到
将上式代入，得到
可以证明
欲证上式成立，只要证
成立；只要证
成立；只要证明
bn(y2-y1)＝Cn
上式成立，是因为可以得到bn(y2-y1)＝Cn。
因此，xn,1可以写成如下形式
3)情况三：xn,1＝0，xn,2＞0：这与情况二相似，可以得到如下形式
4)情况四：xn,1＝0，xn,2＝0：在这种情况下，λn,1＝0且λn,2，λn,3可以为任意非负实数。这是一种极端例子，只有当Cn＝0或者时才发生。请注意以上讨论情况一至三，均是在电力约束和成本约束为等式时计算得到。
因此一般地，由N个用户和K个售电公司组成的交易机制，根据给定的一组{ys}，结合式，用户的用电量模型可以归纳为：
其中，xn,s≥0,n∈N。
步骤002：令第s个售电公司从上级电网购买的电量为Ps，该Ps为售电公司s向所有用户可提供的最大电量。每一个售电公司都期望销售可提供的所有电量。如果有一个单独的售电公司，为了自身收益最大化，定价特别高。然而，在这样情况下，会有两个因素制约售电公司的电力定价。第一个制约因素是用户的预算，第二个制约因素是其他售电公司的售电电价。所有的售电公司互相之间进行一场电费合作价格选择博弈，决定这各自的最优售电单价。我们假定对于所有s∈K都有一个给定的Ps，对于第s个售电公司的收益Ugen,s为
其中，y-s表示除了售电公司s以外其他售电公司售电电价；acr,s、dcr,s为售电公司的运营成本曲线系数，可通过售电公司的成本分析得到；xn,s为售电公司s向第n个用户销售的电量；ys为售电公司s的售电电价；λr为市场清算电价。
因此售电公司s的优化问题可以描述为
ys≥acr,s+λr,s∈K\*MERGEFORMAT (25)
为了保证售电公司收益随电量增加而增加，需要U′gen,s≥0，且用户将售电公司从上级电网购买的电量全部用完，因此得到等式约束及不等式约束；当式为等式约束时，售电公司的收益就是随着电量的增加而为一个增函数。当售电公司可提供的电量为给定情况时，每一个售电公司都希望销售掉尽可能多的的电量，当式取等号时，即售电公司销售自身可提供的全部电量。为了求解售电公司的优化问题，我们针对式,定义Lgen,s为
将式及约束代入上式，可得
令对上式整理有
将售电公司拉格朗日函数关于ys求一阶导数
对于售电公司s有
对上式进行整理有
式给出了K个等式，而式给出的K个等式来源于式的等式约束。为了求解这2K个等式，可以获得及根据获得的y*，可以计算得到现在，将式代入式，我们可以得到
将式代入式可以得到
步骤003：针对所述的确定性模型，开始进行Stackelberg博弈优化迭代。
作为本发明的一种优选技术方案，所述售电框架采用3个售电公司与5个用户模型进行电力交易。
有益效果：本发明所述一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，该方案与现有技术相比，具有以下技术效果：需求响应技术促进智能电网深入的发展，在用户与售电公司之间存在信息互动。基于Stackelberg主从博弈，考虑多个售电公司与多个用户的售电市场框架。在该框架下，多个售电公司从上级电网公司以统一市场出清电价购买电力，之后结合自身运营成本、最大化自身收益的基础上确定售电价格信息发布给各个用户。各个用户根据售电公司发布的电价信息，结合自身用电效益、最大化自身用电收益的基础上确定计划用电量并将计划用电量上报给售电公司。本文建立了上层各售电公司之间的边际成本定价模型，以及下层多个用户用电效益优化模型。最后给出博弈的求解算法并通过算例对该最优定价策略进行了验证分析。
附图说明
图1为本发明设计的基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法的流程图；
图2为本发明设计的各各用户计划用电量随用户1购电预算变化情况；
图3为本发明设计的用户用电收益随用户1购电预算变化；
图4为本发明设计的售电公司售电单价随用户1购电预算变化；
图5为本发明设计的售电公司收益随用户1购电预算变化；
图6为本发明设计的售电公司售电单价在用户1预算为3元时随迭代次数变化的情况；
图7为本发明设计的用户1的计划用电量在用户1预算为3元时随迭代次数变化情况。
具体实施方式
下面结合说明书附图针对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。
如图1所示，本发明设计一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，需求响应技术促进智能电网深入的发展，在用户与售电公司之间存在信息互动。基于Stackelberg主从博弈，考虑多个售电公司与多个用户的售电市场框架。在该框架下，多个售电公司从上级电网公司以统一市场出清电价购买电力，之后结合自身运营成本、最大化自身收益的基础上确定售电价格信息发布给各个用户。各个用户根据售电公司发布的电价信息，结合自身用电效益、最大化自身用电收益的基础上确定计划用电量并将计划用电量上报给售电公司。本文建立了上层各售电公司之间的边际成本定价模型，以及下层多个用户用电效益优化模型。最后给出博弈的求解算法并通过算例对该最优定价策略进行了验证分析。
本发明设计的一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，基于上述设计技术方案的基础之上，具体设计采用如下技术方案：仿真采用MATLAB R2010a，电脑为Corei53.20Ghz,，4G RAM，在实际应用过程当中，具体设计采用以下步骤：
步骤001：对用户来说，选择在哪个时段用电，用电量受到售电公司这个时段的电价的影响。我们定义xn,s为第n个用户从第s个售电公司处购买的电量，定义第n个用户的收益Uuser,n为
其中，Uuser,s为用户所获得的收益；an为用户舒适度关系因子，可以衡量用户舒适度与费用的关系大小，单位为(元)；bn为用户的用电效益系数；表示用户用电费用开支。
令ys为第s个售电公司对用户提供的售电单价，Cn为第n个用户的电费支出预算。对于售电公司给定的一组电价集合{y1,y2,..,yK}，第n(n∈N)个用户通过求解下列用户优化问题计算其最优需求响应：
以上优化问题是一个凸优化问题，因此，解是唯一且最优的。
先从N个用户和2个售电公司开始分析，之后再将结果推导至K个售电公司。在这种情况下，该n个用户的优化问题为
s.t.y1xn,1+y2xn,2≤Cn\*MERGEFORMAT (37)
xn,s≥0；s＝1,2\*MERGEFORMAT (38)
对约束式使用拉格朗日乘子λn,1，λn,2，λn,3，从而将以上带约束条件的问题转化为下列形式
以及互补松弛条件
λn,2xn,1＝0\*MERGEFORMAT (41)
λn,3xn,2＝0\*MERGEFORMAT (42)
λn,1＞0,λn,2,λn,3,xn,1,xn,2≥0\*MERGEFORMAT (43)
最大化问题的一阶优化条件是其中由于用户之间唯一的耦合是通过ys，使得
用户的需求响应可以为以下其中一种形式：
1)情况一：xn,1,xn,2＞0：在这种情况下，λn,2＝λn,3＝0。将λn,2和λn,3代入
将式代入获得
我们将代入获得
2)情况二：xn,1＞0，xn,2＝0：这是当式表明λn,2＝0且
将xn,1代入式，可以得到
将上式代入，得到
可以证明
欲证上式成立，只要证
成立；只要证
成立；只要证明
bn(y2-y1)＝Cn
上式成立，是因为可以得到bn(y2-y1)＝Cn。
因此，xn,1可以写成如下形式
3)情况三：xn,1＝0，xn,2＞0：这与情况二相似，可以得到如下形式
4)情况四：xn,1＝0，xn,2＝0：在这种情况下，λn,1＝0且λn,2，λn,3可以为任意非负实数。这是一种极端例子，只有当Cn＝0或者时才发生。请注意以上讨论情况一至三，均是在电力约束和成本约束为等式时计算得到。
因此一般地，由N个用户和K个售电公司组成的交易机制，根据给定的一组{ys}，结合式，用户的用电量模型可以归纳为：
其中，xn,s≥0,n∈N。
步骤002：令第s个售电公司从上级电网购买的电量为Ps，该Ps为售电公司s向所有用户可提供的最大电量。每一个售电公司都期望销售可提供的所有电量。如果有一个单独的售电公司，为了自身收益最大化，定价特别高。然而，在这样情况下，会有两个因素制约售电公司的电力定价。第一个制约因素是用户的预算，第二个制约因素是其他售电公司的售电电价。所有的售电公司互相之间进行一场电费合作价格选择博弈，决定这各自的最优售电单价。我们假定对于所有s∈K都有一个给定的Ps，对于第s个售电公司的收益Ugen,s为
其中，y-s表示除了售电公司s以外其他售电公司售电电价；acr,s、dcr,s为售电公司的运营成本曲线系数，可通过售电公司的成本分析得到；xn,s为售电公司s向第n个用户销售的电量；ys为售电公司s的售电电价；λr为市场清算电价。
因此售电公司s的优化问题可以描述为
ys≥acr,s+λr,s∈K\*MERGEFORMAT (56)
为了保证售电公司收益随电量增加而增加，需要U′gen,s≥0，且用户将售电公司从上级电网购买的电量全部用完，因此得到等式约束及不等式约束；当式为等式约束时，售电公司的收益就是随着电量的增加而为一个增函数。当售电公司可提供的电量为给定情况时，每一个售电公司都希望销售掉尽可能多的的电量，当式取等号时，即售电公司销售自身可提供的全部电量。为了求解售电公司的优化问题，我们针对式,定义Lgen,s为
将式及约束代入上式，可得
令对上式整理有
将售电公司拉格朗日函数关于ys求一阶导数
对于售电公司s有
对上式进行整理有
式给出了K个等式，而式给出的K个等式来源于式的等式约束。为了求解这2K个等式，可以获得及根据获得的y*，可以计算得到现在，将式代入式，我们可以得到
将式代入式可以得到
步骤003：针对所述的确定性模型，开始进行Stackelberg博弈优化迭代。仿真研究用户如何基于售电公司的售电单价，选择他们的最优计划用电量，以及售电公司如何依据从批发市场购买的电量和用户用电预算约束，制定售电单价。研究3个售电公司和5个用户的售电市场场景。用户的预算分别为C1＝5元，C2＝10元，C3＝15元，C4＝20元，C5＝25元，售电公司电力供应量分别为P1＝10kWh，P2＝15kWh，P3＝20kWh。λr＝0.27元/kWh，acr＝0.0611元/kWh，dcr＝3.23元an＝30元/kWh,bn＝1kWh,
下列一组仿真展示了当用户1的预算从3元变化至42元时，售电公司设定的售电价格是如何影响用户的用电收益，以及售电公司从批发市场购买的电量和用户的用电预算是如何反过来影响售电公司售电电价的。
图2展示了在均衡点处，各用户的总用电量。由于用户1的预算在不断增加，他的用电需求也在不断上升。其他用户预算不变，但最终减少计划用电量。用户1将计划用电量从低到高增加的过程中，各售电公司的售电单价在增加，其他用户从售电公司购买的计划用电量因而减少。
图3展示了用户在均衡处收益。用户1收益随着用户1购电预算的增加相应增加，这是由于用户整体购电量增加，导致各个售电公司的售电单价升高，其他用户降低了自身的计划用电量，相应减少自身的用电收益，而用户1由于整体预算增加，自身的收益也增加。
图4描述售电公司在博弈均衡处售电单价。售电公司售电单价随着用户1购电预算的增加逐渐增加。这是因为用户1的购电预算增加后，用户1从各个售电公司购买的计划用电量增加；相应地，售电公司从上级电网购买的计划用电量增加，成本增加，因而各个售电公司售电单价增加。
图5显示每个售电公司的收益。每个售电公司收益随着用户1的购电预算增加而增加，售电公司1售电单价最低，但是售电收益最大，这是由于用户1的购电预算增加，用户1从各个售电公司购买的计划用电量增加；相应地，售电公司从上级电网购买的计划用电量增加，成本增加，各个售电公司售电单价增加之后，总的用电收益增加了。
图6显示在C1＝3元时售电公司售电单价随迭代次数变化情况。随着迭代次数的增加，售电公司售电单价逐渐达到收敛状态。
图7显示用户1在C1＝3元时向各个售电公司购买的计划用电量随迭代次数变化情况。随着迭代次数的增加，用户1购买的计划用电量逐渐达到收敛状态，在收敛状态时用户在售电公司高电价时计划用电量较小；在售电公司低电价时计划用电量较大。
在售电市场背景下，提出一种在售电公司和用户间互动的Stackelberg博弈模型。仿真结果显示，售电公司和用户均可以从售电市场受益，改进现有电力定价机制对帮助用户降低日益增长的电费及改变他们的用电模式有重要意义。
可以从以下几个方面进行拓展：首先可以考虑不完全信息的Stackelberg博弈，例如，售电公司不知道用户的反应函数或售电公司需要从历史数据中获得反应函数。其次，还可以考虑多阶段Stackelberg博弈，其中发电公司、售电公司和用户均为参与者。在售电市场背景下，提出一种在售电公司和用户间互动的Stackelberg博弈模型。仿真结果显示，售电公司和用户均可以从售电市场受益，改进现有电力定价机制对帮助用户降低日益增长的电费及改变他们的用电模式有重要意义。
上面结合附图对本发明的实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (5)

1.一种基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤001.每个售电公司以一个随机电价作为初始值，且所有售电司将售电电价信息发送给用户；
步骤002.每个用户使用式确定从每个售电公司处购买的用电量；步骤003.售电公司计算从电网购买的电量和所有用户从该售电公司购电之和的差；
步骤004.代入式更新电价，其中t为迭代次数；
步骤005.任何一个售电公司更新电价，都将电价信息发送给用户；
步骤006.用户更新计划用电量并通知售电公司；
步骤007.其他售电公司也更新售电电价；
步骤008.满足收敛条件，终止，输出最优解；否则，转步骤2)；
步骤009.采用Stackelberg博弈求解，获得基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法方案中的最优解。
2.根据权利1所述的基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，其特征在于：所述步骤001包括：
我们定义xn,s为第n个用户从第s个售电公司处购买的电量，定义第n个用户的收益Uuser,n为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Uuser,s为用户所获得的收益；an为用户舒适度关系因子，可以衡量用户舒适度与费用的关系大小，单位为元；bn为用户的用电效益系数；表示用户用电费用开支；
令ys为第s个售电公司对用户提供的售电单价，Cn为第n个用户的电费支出预算；
对于售电公司给定的一组电价集合{y1,y2,..,yK}，第n(n∈N)个用户通过求解下列用户优化问题计算其最优需求响应：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>}</mo> </mrow> </munder> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
以上优化问题是一个凸优化问题，因此，解是唯一且最优的；
先从N个用户和2个售电公司开始分析，之后再将结果推导至K个售电公司，在这种情况下，该n个用户的优化问题为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>}</mo> </mrow> </munder> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
s.t.y1xn,1+y2xn,2≤Cn\*MERGEFORMAT(6)
xn,s≥0；s＝1,2\*MERGEFORMAT(7)
对约束式使用拉格朗日乘子λn,1，λn,2，λn,3，从而将以上带约束条件的问题转化为下列形式
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
以及互补松弛条件
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
λn,2xn,1＝0\*MERGEFORMAT(10)
λn,3xn,2＝0\*MERGEFORMAT(11)
λn,1＞0,λn,2,λn,3,xn,1,xn,2≥0\*MERGEFORMAT(12)
最大化问题的一阶优化条件是其中由于用户之间唯一的耦合是通过ys，使得
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
用户的需求响应可以为以下其中一种形式：
1)情况一：xn,1,xn,2＞0：在这种情况下，λn,2＝λn,3＝0；将λn,2和λn,3代入
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式代入获得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
我们将代入获得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2)情况二：xn,1＞0，xn,2＝0：这是当式表明λn,2＝0且
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将xn,1代入式，可以得到
<mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow>
将上式代入，得到
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
可以证明
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> </mrow>
欲证上式成立，只要证
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> </mrow>
成立；只要证
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> </mrow>
成立；只要证明
bn(y2-y1)＝Cn
上式成立，是因为可以得到bn(y2-y1)＝Cn；
因此，xn,1可以写成如下形式
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3)情况三：xn,1＝0，xn,2＞0：这与情况二相似，可以得到如下形式
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4)情况四：xn,1＝0，xn,2＝0：在这种情况下，λn,1＝0且λn,2，λn,3可以为任意非负实数，这是一种极端例子，只有当Cn＝0或者时才发生；请注意以上讨论情况一至三，均是在电力约束和成本约束为等式时计算得到；
因此一般地，由N个用户和K个售电公司组成的交易机制，根据给定的一组{ys}，结合式，用户的用电量模型可以归纳为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
3.根据权利1所述的基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，其特征在于：所述步骤002包括以下步骤：令第s个售电公司从上级电网购买的电量为Ps，该Ps为售电公司s向所有用户可提供的最大电量，每一个售电公司都期望销售可提供的所有电量，如果有一个单独的售电公司，为了自身收益最大化，定价特别高，然而，在这样情况下，会有两个因素制约售电公司的电力定价，第一个制约因素是用户的预算，第二个制约因素是其他售电公司的售电电价，所有的售电公司互相之间进行一场电费合作价格选择博弈，决定这各自的最优售电单价，我们假定对于所有s∈K都有一个给定的Ps，对于第s个售电公司的收益Ugen,s为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，y-s表示除了售电公司s以外其他售电公司售电电价；acr,s、dcr,s为售电公司的运营成本曲线系数，可通过售电公司的成本分析得到；xn,s为售电公司s向第n个用户销售的电量；ys为售电公司s的售电电价；λr为市场清算电价；
因此售电公司s的优化问题可以描述为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>}</mo> </mrow> </munder> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ys≥acr,s+λr,s∈K\*MERGEFORMAT(25)
为了保证售电公司收益随电量增加而增加，需要U′gen,s≥0，且用户将售电公司从上级电网购买的电量全部用完，因此得到等式约束及不等式约束；当式为等式约束时，售电公司的收益就是随着电量的增加而为一个增函数；当售电公司可提供的电量为给定情况时，每一个售电公司都希望销售掉尽可能多的的电量，当式取等号时，即售电公司销售自身可提供的全部电量，为了求解售电公司的优化问题，我们针对式,定义Lgen,s为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式及约束代入上式，可得
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
令对上式整理有
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>y</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mi>K</mi> </mfrac> <mi>B</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>y</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mi>K</mi> </mfrac> <mi>B</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>y</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mi>K</mi> </mfrac> <mi>B</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将售电公司拉格朗日函数关于ys求一阶导数
对于售电公司s有
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> <mi>K</mi> </mfrac> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>y</mi> <mi>g</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>Ky</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>\</mo> <mo>*</mo> <mi>M</mi> <mi>E</mi> <mi>R</mi> <mi>G</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>O</mi> <mi>R</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对上式进行整理有
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式给出了K个等式，而式给出的K个等式来源于式的等式约束；为了求解这2K个等式，可以获得及根据获得的y*，可以计算得到现在，将式代入式，我们可以得到
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将式代入式可以得到
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4.根据权利1所述的基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，其特征在于：所述步骤003包括以下步骤：针对所述的确定性模型，开始进行Stackelberg博弈优化迭代，仿真研究用户如何基于售电公司的售电单价，选择他们的最优计划用电量，以及售电公司如何依据从批发市场购买的电量和用户用电预算约束，制定售电单价；研究3个售电公司和5个用户的售电市场场景；用户的预算分别为C1＝5元，C2＝10元，C3＝15元，C4＝20元，C5＝25元，售电公司电力供应量分别为P1＝10kWh，P2＝15kWh，P3＝20kWh，λr＝0.27元/kWh，acr＝0.0611元/kWh，dcr＝3.23元
5.根据权利1所述的基于Stackelberg博弈模型的售电公司最优定价方法，其特征在于：Stackelberg博弈分领导者层和用户层，在多个售电公司对多用户提供电力供应情况下，领导者层为多个售电公司，跟随者层为N个用户，在售电公司和用户之间建立通讯信道，保证两者间即时通讯，在领导者层方面，售电公司由批发市场通过固定购电电价购买电力，通过高级量测装置实时测量用户用电量，根据用户用电总负荷调整电价信息并告知用户；在跟随者层方面，首先，由于用户存在不同的用户特性，采用用户特性参数方式标记用户用电特征；其次，用户由多个售电公司处提供的电价信息购买电力，结合自身的用电情况，根据自身用电收益最大化，制定出自身计划用电量，如此一先一后交换电价、电量信息，且信息为完全公开了解，形成Stackelberg完全信息博弈。
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