CN107270892A - 一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法。该发明构造干扰观测器估计并抵消多未知输入惯性导航***或惯性组合导航***中的惯性器件漂移，设计自适应估计器重构导航***，构造具有鲁棒耗散和保成本性能指标的滤波器，其中鲁棒耗散和保成本性能指标抑制***中能量有界干扰，并能优化估计误差方差的上界；基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造抗干扰容错滤波器；基于凸优化算法求解鲁棒抗干扰容错滤波器增益阵列。本发明克服了现有技术滤波精度不高的缺陷。本发明具有抗干扰性强、滤波精度高、可靠性好等优点，可用于惯性导航***或惯性组合导航***等。

Description

一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法

技术领域

本发明涉及惯性导航***或惯性组合导航***，特别涉及一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法。

背景技术

由于惯导***的结构特点及其所处环境的多变性，INS存在建模不确定性、量测噪声、外部环境干扰、传感器误差、***故障等多种未知输入。

在本发明作出之前，传统的方法是将干扰假设为高斯噪声，然后采用最优随机滤波方法。然而，当***含有非高斯噪声等影响时，该类方法具有很大的保守性。由于INS工作环境或温度变化会引起***参数变化；集成电路***老化会引起惯性器件的偏差或故障；特殊情况下，***噪声方差还会发生突变等情况。这些不可预知的变化极大地影响了惯性导航***的精度和可靠性，甚至会导致导航***的失效。由于各种未知输入广泛地存在于***和量测过程中，因此对于干扰的抑制、补偿和抵消近年来已成为控制界的一个研究热点。对于各种能量有界的干扰信号或随机噪声，人们提出了LQG(线性二次高斯，如卡尔曼滤波)以及H₂滤波、H_∞滤波等思想，可以使得干扰对滤波器性能的影响最小。上述几种方法对于线性的被控对象来说，理论上都已经取得了比较完善的解决方法。但单一干扰抑制方法(如H_∞滤波、H₂滤波、LQG滤波等)或者保守性较大，难以实现高精度控制和滤波性能；或者对于被控对象和干扰模型要求严格，难以广泛应用。对于非线性模型，处理方法主要有EKF、UKF、粒子滤波、H_∞滤波、H₂和H_∞滤波、基于干扰观测器的滤波方法等。EKF主要是将非线性模型线性化且要求噪声满足高斯白噪声假设，模型线性化产生较大的模型误差，影响滤波精度。UKF虽然可以直接使用***的非线性模型无需线性化，但仍要求噪声是高斯白噪声。粒子滤波可以解决非线性、非高斯情况下的滤波问题且对于观测值中的坏点容忍性较强，但它容易陷入粒子枯竭，而且其递推过程计算量大，实时性不能保证。H_∞滤波方法，可以解决噪声统计特性未知的非线性***滤波问题，并具有一定的鲁棒性能，但由于单一的性能指标使得其精度不高。对于基于干扰观测器的滤波方法，早期的工作仅考虑了针对常值干扰的线性干扰观测器，而实际中干扰总是具有不同类型的时变值，有些***中会同时存在多种类型干扰如谐波干扰、常值干扰等外部模型描述干扰、变化率有界干扰、无模型干扰等，这就进一步增加了研究难度。H₂和H_∞滤波方法可以解决同时含有高斯白噪声和模型不确定性***的滤波问题，但对于具有已知特性的干扰采用干扰抑制，使得滤波精度不高。

发明内容

本发明的目的就在于克服上述缺陷，研制一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法。

首先，构造干扰观测器估计并抵消多未知输入惯性导航或惯性组合导航***∑₁中的惯性器件漂移；其次，设计自适应估计器重构导航***；然后，构造具有鲁棒耗散和保成本性能指标的滤波器抑制多未知输入惯性导航或惯性组合导航***∑₁中量测噪声和能量有界干扰；基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造鲁棒抗干扰容错滤波器；最后，基于凸优化算法求解鲁棒抗干扰容错滤波器增益阵列；具体步骤如下：

(1)构造干扰观测器为：

其中，为干扰观测器状态变量，为干扰观测器输出变量，待定观测器增益阵为K₂∈R^p×m，R^p×m表示p×m维实矩阵空间，p和m均为自然数；为鲁棒抗干扰容错滤波器输出；W∈R^p×p和分别表示惯性器件漂移模型∑₂的***矩阵和输出矩阵，q₁为自然数；y(t)∈R^m为惯性导航***∑₁的输出变量；

(2)构造自适应估计器为：

其中，为自适应估计器状态变量，待定估计器增益阵为K₃；

(3)构造鲁棒耗散和保成本滤波器为：

其中，为鲁棒H_∞和保成本滤波器的状态变量，A∈R^n×n为惯性导航***∑₁的***阵，K₁∈R^n×m为待定滤波器增益阵；为滤波器的非线性项，其增益阵分别为F∈R^n×n和G∈R^m×n，为鲁棒抗干扰容错滤波器输出，C∈R^m×n为惯性导航***的输出阵； 为标定补偿项；B₁，B₂，D₁，D₂分别为惯性器件漂移和传感器估计增益阵；n和m均为自然数；

(4)基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造抗干扰容错滤波器：

其中，为抗干扰容错滤波器的状态变量，为待定抗干扰容错滤波器增益阵列，W和V分别表示惯性器件漂移模型∑₂的***矩阵和输出矩阵，为抗干扰容错滤波器输出，A为惯性导航***∑₁的***阵，R^{(n+2p)×(n+2p)}表示(n+2p)×(n+2p)维实矩阵空间，B₁为∑₁中惯性器件漂移d₁(t)∈R^p的增益阵，B₂为∑₁中***故障w_f(t)∈R^p的增益阵，R^p表示p维实向量空间，p为自然数；D₁为∑₁中量测方程中惯性器件漂移d₁(t)的增益阵，D₂为∑₁量测方程中***故障w_f(t)的增益阵；

(5)基于凸优化算法求解惯性导航***∑₁的抗干扰容错滤波器得到增益阵列为其中P₂、R₁由以下凸优化问题求得：

其中，x(0)、w(0)、w_f(0)为给定初始值，C_d∈R^{(n+2p)×(n+2p)}、C_g∈R^{(n+2p)×(n+2p)}为估计误差闭环***∑₃的可调输出阵，α为可调参数，λ₁、λ₂为非线性权重参数，根据非线性强弱程度取值在[0.1 10]之间，γ为待定的干扰抑制度；S、Q、R为给定的耗散性能参数阵；

U₁、U₂分别为∑₁中非线性项f(x(t))和g(x(t))的Lipschitz参数阵，为待定滤波器增益阵，分别为***∑₁中状态和输出***的能量有界干扰增益阵，B₄为外部干扰模型∑₂的能量有界干扰增益阵；符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块，q₂为自然数。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明对干扰的鲁棒性强，在同时存在能量有界干扰、外部模型描述干扰和传感器故障等多未知输入情况下，所构造的方法中干扰观测器抵消外部模型描述干扰，鲁棒耗散和保成本滤波器抑制和优化能量有界干扰，所构造的方法有很好的干扰抵消和抑制能力；克服了EKF和UKF、H₂滤波对噪声统计特性要求较高的问题；避免了H₂，H_∞等鲁棒滤波方法、基于观测器的滤波方法的滤波精度不高的不足，提高了***的滤波精度。

(2)通过基于凸优化的多目标设计方法保证了***的混合性能指标要求，所构造的方法考虑了干扰抵消、耗散、保成本性能指标；克服了EKF、UKF、H₂滤波、H_∞滤波、基于干扰观测器的滤波等单一性能指标滤波方法的不足，提高了***的综合性能；克服了H₂和H_∞滤波方法对外部模型描述干扰进行抑制所造成的精度下降。

(3)基于凸优化算法得到了复合分层抗干扰滤波器增益阵，克服了EKF、UKF、粒子滤波等递推过程运算量大的缺点。

附图说明

图1——本发明流程示意图。具体流程为：开始——对多未知输入惯性导航***建模——设计干扰观测器、设计自适应估计器、设计鲁棒耗散和保成本滤波器——针对多未知输入惯性导航***设计抗干扰容错滤波器——结束。

具体实施方式

本发明的技术思路和原理是：

H_∞滤波、H₂滤波、耗散滤波等单一干扰抑制方法仅针对***的某一性能，保守性较大，难以实现高精度滤波；基于干扰观测器的滤波方法，可以抵消已知特性的干扰，但当***存在多未知输入时，其滤波精度将要降低。该发明针对一类含有能量有界干扰、外部模型描述的惯性器件漂移和传感器故障的惯性导航***；首先，构造干扰观测器估计并抵消***中的惯性器件漂移；其次，构造具有鲁棒耗散和保成本性能指标的滤波器，其中鲁棒耗散性能指标抑制***中能量有界干扰，保成本性能指标优化估计误差方差的上界；再次，构造自适应估计器估计传感器故障；然后，基于干扰观测器、鲁棒耗散和保成本滤波器、自适应估计器，构造具有干扰抵消和抑制性能的抗干扰容错滤波器；将惯性导航***和抗干扰容错滤波器相减可得估计误差闭环***，由精度要求提出保成本、耗散性能指标的参考输出，根据鲁棒控制理论多目标优化方法，基于线性矩阵不等式(LMI)将复合分层抗干扰滤波器设计问题转化为凸优化问题；最后，求解该凸优化问题，并通过相应的代数变换从凸优化问题可行解中解出抗干扰容错滤波器增益阵列。

如图1所示，本发明具体实现步骤为如下：针对惯性导航***的多未知输入，建立惯性导航***误差模型；设计干扰观测器、自适应估计器以及鲁棒耗散和保成本滤波器；在此基础上，针对多未知输入惯性导航***设计抗干扰容错滤波器；最终，实现惯性导航***的抗干扰容错初始对准。(以下以平台惯性导航***的初始对准为例来说明方法的具体实现)：

1、建立平台惯性导航***误差状态方程：

为了提高初始对准精度，取消方位失准角的小角度假设，则导航坐标系到平台坐标系的姿态矩阵为：

其中，

(1)姿态误差方程：

其中，α_x、α_y为水平失准角，α_z为方位失准角；为两个加速度计相关漂移(本实施例取一阶高斯-马尔可夫过程)，为陀螺相关漂移(本实施例取一阶高斯-马尔可夫过程)；Ω为地球自转角速度；g为当地重力加速度；R_M、R_N分别表示沿子午圈和卯酉圈的曲率半径；h为当地海拔高度；L为地理纬度。

(2)以东向、北向加速度计和东向陀螺仪输出为测量值，则***的测量方程为：

其中，f_E(t)、f_N(t)、w_E(t)分别为东向、北向加速度计和东向陀螺仪输出。

(3)惯导误差状态方程的状态空间描述：

将速度误差方程、姿态误差方程、观测方程联列，并表示成状态空间形式：

其中，x^T(t)＝[α_x α_y α_z]为向量x(t)的转置，w_f(t)为***的传感器故障，为向量d₁(t)的转置， τ_i＞0(i＝1，…，5)为一阶马尔可夫过程的相关时间。

2、针对惯性器件相关漂移d₁(t)，构造干扰观测器：

其中，为干扰观测器状态变量，K₂为待定观测器增益阵，为d₁(t)的估计值，y(t)为***测量值，为复合分层抗干扰滤波器输出变量；

3、针对惯性导航***故障，构造自适应估计器为：

其中，为自适应估计器状态变量，待定估计器增益阵为K₃；

4、针对惯性导航***中能量有界干扰d₂(t)，构造鲁棒耗散和保成本滤波器为：

其中，为滤波器的状态变量，为滤波器非线性项，K₁∈R^n×m为待定滤波器增益阵；为标定补偿项；B₁，B₂，D₁，D₂分别为惯性器件漂移和传感器估计增益阵；

5、基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造抗干扰容错滤波器：

其中，为抗干扰容错滤波器的状态变量，为抗干扰容错滤波器输出，为待定滤波器增益阵列，W和V分别表示惯性器件漂移模型∑₂的***矩阵和输出矩阵，A为惯性导航***∑₁的***阵，R^{(n +p)×(n+p)}表示(n+p)×(n+p)维实矩阵空间，B₁为∑₁中惯性器件漂移的增益阵，表示q₁维实向量空间，q₁为自然数；

6、利用凸优化算法求解复合分层抗干扰滤波器增益阵：

(1)由惯导误差状态方程和抗干扰容错滤波器相减可得滤波估计误差闭环***为：

其中，为滤波估计误差***状态， z_d(t)、z_g(t)分别为耗散和保成本性能的参考输出，C_d、C_g为耗散和保成本可调输出矩阵；求解得矩阵P₂、R₁，则滤波器增益阵为

(2)保成本、耗散性能参考输出矩阵的选取：

为抑制随机噪声对滤波精度的影响，滤波估计误差***的耗散性能参考矩阵C_d∈R^10×10，本实施例取为I₁₀；为提高滤波精度，保成本参考矩阵C_g∈R^10×10，本实施例取为I₁₀。

(3)可调参数α，非线性权重参数λ₁、λ₂，干扰抑制度γ的选取：

α、r分别为区域极点配置的圆心和半径，α＞0，α＞r，本实施例α取为3，r可取为1；λ为非线性部分调节参数，取值在[0.1 10]之间，如果方位失准角大于5°，则非线性性就严重，λ选取就接近于10；若方位失准角小于0.1°，则非线性性就弱，λ取值就接近于0.1，本实施例取为0.5；γ为干扰的抑制程度，取值在[0.1 1]之间，可根据能量有界干扰的上界确定，本实施例取为0.3。

(4)抗干扰容错滤波器存在的条件：

由于初始状态x(0)未知但其协方差矩阵为cov(x₀)，w(0)＝0，w_f(0)＝0对保成本性能的优化可以转化为可调输出矩阵C_d，C_g，可调参数α，非线性权重参数λ₁、λ₂，干扰抑制度γ，求解以下凸优化问题：

其中，

U₁、U₂分别为∑₁中非线性项f(x(t))和g(x(t))的Lipschitz参数阵，为待定滤波器增益阵，分别为***∑₁中状态和输出***的能量有界干扰增益阵，B₄为外部干扰模型∑₂的能量有界干扰增益阵；符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块，P₁为正定的LMI矩阵变量；P₂为LMI矩阵变量；R₁为LMI矩阵变量。

(5)抗干扰容错滤波器增益阵求解：

求解凸优化问题得矩阵P₂、R₁，则滤波器增益阵为

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种惯性导航***抗干扰容错初始对准方法，其特征在于包括以下步骤：

首先，构造干扰观测器估计并抵消多未知输入惯性导航或惯性组合导航***∑₁中的惯性器件漂移；其次，设计自适应估计器重构导航***；然后，构造具有鲁棒耗散和保成本性能指标的滤波器抑制多未知输入惯性导航或惯性组合导航***∑₁中量测噪声和能量有界干扰；基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造鲁棒抗干扰容错滤波器；最后，基于凸优化算法求解鲁棒抗干扰容错滤波器增益阵列；具体步骤如下：

(1)构造干扰观测器为：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>W</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，为干扰观测器状态变量，为干扰观测器输出变量，待定观测器增益阵为K₂∈R^p×m，R^p×m表示p×m维实矩阵空间，p和m均为自然数；为鲁棒抗干扰容错滤波器输出；W∈R^p×p和分别表示惯性器件漂移模型∑₂的***矩阵和输出矩阵，q₁为自然数；y(t)∈R^m为惯性导航***∑₁的输出变量；

(2)构造自适应估计器为：

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为自适应估计器状态变量，待定估计器增益阵为K₃；

(3)构造鲁棒耗散和保成本滤波器为：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，为鲁棒H_∞和保成本滤波器的状态变量，A∈R^n×n为惯性导航***∑₁的***阵，K₁∈R^n×m为待定滤波器增益阵；为滤波器的非线性项，其增益阵分别为F∈R^n×n和G∈R^m×n，为鲁棒抗干扰容错滤波器输出，C∈R^m×n为惯性导航***的输出阵； 为标定补偿项；B₁，B₂，D₁，D₂分别为惯性器件漂移和传感器估计增益阵；n和m均为自然数；

(4)基于干扰观测器、自适应估计器、鲁棒耗散和保成本滤波器，构造抗干扰容错滤波器：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>C</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 1

其中，为抗干扰容错滤波器的状态变量，为待定抗干扰容错滤波器增益阵列，W和V分别表示惯性器件漂移模型∑₂的***矩阵和输出矩阵，为抗干扰容错滤波器输出，A为惯性导航***∑₁的***阵，R^{(n+2p)×(n+2p)}表示(n+2p)×(n+2p)维实矩阵空间，B₁为∑₁中惯性器件漂移d₁(t)∈R^p的增益阵，B₂为∑₁中***故障w_f(t)∈R^p的增益阵，R^p表示p维实向量空间，p为自然数；D₁为∑₁中量测方程中惯性器件漂移d₁(t)的增益阵，D₂为∑₁量测方程中***故障w_f(t)的增益阵；

(5)基于凸优化算法求解惯性导航***∑₁的抗干扰容错滤波器得到增益阵列为其中P₂、R₁由以下凸优化问题求得：

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其中，x(0)、w(0)、w_f(0)为给定初始值，C_d∈R^{(n+2p)×(n+2p)}、C_g∈R^{(n+2p)×(n+2p)}为估计误差闭环***∑₃的可调输出阵，α为可调参数，λ₁、λ₂为非线性权重参数，根据非线性强弱程度取值在[0.1 10]之间，γ为待定的干扰抑制度；S、Q、R为给定的耗散性能参数阵；

U₁、U₂分别为∑₁中非线性项f(x(t))和g(x(t))的Lipschitz参数阵，为待定滤波器增益阵，分别为***∑₁中状态和输出***的能量有界干扰增益阵，B₄为外部干扰模型∑₂的能量有界干扰增益阵；符号*表示对称矩阵中相应部分的对称块，q₂为自然数。