CN107180013A - 一种量子d(4)小波变换实现量子线路设计的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,属于量子信息处理领域,本发明设计单层量子D(4)小波变换,使用了两个旋转矩阵替换一般的酉矩阵,方法上是对现有的量子D(4)小波变换技术的一种创新。从量子D(4)小波变换和量子D(4)小波逆变换的实现线路复杂度分析可知,对于一个2n个元素的数据集,量子D(4)小波变换和量子D(4)小波逆变换的线路的复杂度都是Θ(n2),这是其它的经典快速D(4)小波变换无法达到的。本发明适用于很多实际的信息处理应用领域,例如,图像的压缩、去噪、加密和解密等算法都需要高效的D(4)小波变换,并对量子计算理论完善和应用的推广有重大意义。
Description
技术领域
本发明涉及量子信息处理领域,具体的来说是涉及一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法。
背景技术
量子计算是量子力学和计算机科学相结合的产物,量子计算的并行性、叠加性及其测量的不确定性是量子计算机优于经典计算机的根本。面对如此优势,量子信息的研究就显得很有必要,它成为世界各国战略竞争焦点,国家“十三五”规划纲要将量子通信与量子计算机列为国家战略意图的重大科技项目(科技创新2030-重大项目),并重点发展量子信息等引领产业变革的颠覆性技术。
多贝西小波变换(Daubechies wavelet transformation)是最常使用到的小波转换之一,也是一种正交小波。D(4)小波变换是多贝西小波系列变换的一种比较简单变换,很容易经由快速小波转换实现,因此在信息处理领域有着重要的应用。相应的量子D(4)变换是量子信息处理的重要工具算法,在图像编码、边缘检测、图像水印等算法中有着广泛应用。
在经典计算中,信息单元用比特(Bit)表示,它只有两个状态:0态或1态。在量子计算中,信息单元用量子比特(Qubit)表示,它有两个基本量子态|0>和|1>,基本量子态简称为基态(Basis State)。一个量子比特可以是两个基态的线性组合,常被称为叠加态(Superposition),可表示为|ψ>=a|0>+b|1>。其中a和b是两个复数,满足|a|2+|b|2=1,因此也被称为概率幅。基态|0>和|1>,可用向量表示为:
它们的对偶向量可表示为<0|=[1 0],<1|=[0 1]。
张量积(tensorproduct)是将小的向量空间合在一起,构成更大向量空间的一种方法,用符号表示,它有如下的含义:
假设U是n×n和V是m×m两个复矩阵
那么
假设二个酉矩阵集合为:和中有m个n×n的矩阵, 中有n个m×m的矩阵。扩展的张量积是一个mn×mn的矩阵其中
当中的每个矩阵都相同,Ai=A,此时可写成如果同时中的每个矩阵都相同Bi=B,这时扩展的张量积退化成普通的张量积
量子线路可以由一序列的量子比特门构成,在量子线路的表示图中,每条线都表示量子线路的连线,量子线路的执行顺序是从左到右。量子比特门可以方便的用矩阵形式表示,单量子比特门可以用一个2×2的酉矩阵U表示,即U+U=I,其中U+是U的共轭转置矩阵,I是单位阵。在双量子比特门中,最重要是受控非门,它有两个量子的比特输入和输出,分别是控制量子比特和目标量子比特。当控制位为1时,用黑点表示,当控制位为0时,用白点表示。一些基本量子比特门的名称、符号及相应的矩阵表示见图1。
由于现有的经典的经典的D(4)小波变换实现电子线路设计的复杂度为Θ(n2n),比较复杂,没能很好满足社会的需求。因此需要设计出复杂度更低的实现电子线路设计的方法。
发明内容
本发明提供一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,解决现有经典的D(4)小波变换实现电子线路设计的复杂度高的问题
本发明通过以下技术方案解决上述问题:
充分量子并行性和量子叠加性等量子计算的独特性能,采用扩展的张量积,建立D(4)小波变换的迭代公式,并利用量子受控门实现扩展的张量积,从而实现量子D(4)小波变换。具体来说,就是根据扩展的张量积运算原理设计出2个量子D(4)小波变换和2个量子D(4)小波逆变换的实现线路;
2个量子D(4)小波变换的实现线路分别包括单层量子D(4)小波变换的实现线路和K+1层量子D(4)小波变换的实现线路;
2个量子D(4)小波逆变换的实现线路分别包括单层量子D(4)小波逆变换的实现线路和K+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
上述方案中,优选的是所述单层量子D(4)小波变换的实现线路的具体过程为:
D(4)小波核矩阵定义为:
其中
可以用张量积表示为
其中是张量积运算符号,是I2的n次张量积,和和是两个旋转矩阵,
酉矩阵的迭代公式如下所示:
其中X和I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,迭代初始值为Q2=X;
假设是一个2n×2n的酉矩阵,计算张量积和可得到
由公式(3),可得到将它代入公式(2),从而得到单层量子D(4)小波变换:
利用公式(5),设计出复杂度为Θ(n2)的单层量子D(4)小波变换的实现线路。
上述方案中,优选的是所述单层量子D(4)小波逆变换的实现线路的设计过程为:
对公式(5)求逆,可得到D(4)小波核矩阵逆变换迭代式和酉矩阵Q2n的迭代式:
其中迭代初始值为(Q2)-1=X;
结合公式(6),设计出复杂度为Θ(n2)的单层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
上述方案中,优选的是所述K+1层量子D(4)小波变换的实现线路设计实现过程为:将k+1层量子D(4)小波变换定义为利用扩展的张量积,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波变换,为单层量子D(4)小波变换,迭代初始值为1≤k≤n-2,k、n均为正整数;
结合公式(5)和(7),设计出复杂度为Θ(n2)的K+1层量子D(4)小波变换的实现线路。
上述方案中,优选的是所述K+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路的实现具体过程为:
令为k+1层量子D(4)小波逆变换,对公式(7)求逆,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波逆变换,为单层量子D(4)小波逆变换(见公式(5)),迭代初始值为1≤k≤n-2,k、n均为正整数;
结合公式(6)和(8),设计出复杂度为Θ(n2)的k+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
本发明的优点与效果是:
1、本发明与现有的量子D(4)小波变换实现技术相比,本发明设计单层量子D(4)小波变换,使用了两个旋转矩阵替换一般的酉矩阵,方法上是对现有的量子D(4)小波变换技术的一种创新。
2、本发明与现有的量子D(4)小波变换实现技术相比,本发明设计了多层量子D(4)小波变换和多层量子D(4)小波逆变换的实现线路,从而构建一个相对完整的量子D(4)小波变换体系。而现有技术只实现了单层量子D(4)小波变换,本发明是对现有的量子D(4)小波变换实现技术的完善与改进。
3、本发明与经典的D(4)小波变换实现技术相比,本发明利用量子线路实现的量子D(4)小波变换是一种高效的变换方法,本发明设计的量子D(4)小波变换的实现线路复杂度都是Θ(n2),而经典的快速D(4)小波变换的实现复杂度为Θ(2n)。
4、本发明充分量子并行性和量子叠加性等量子计算的独特性能,采用扩展张的张量积,首先实现单层量子D(4)小波变换和单层量子D(4)小波逆变换的迭代公式,然后建立多层量子D(4)变换的迭代公式和相应的量子D(4)小波逆变换的迭代公式。并采用量子线路来实现量子D(4)小波变换和相应的量子D(4)小波逆变换。
附图说明
图1为本发明基本量子门和对应矩阵的表示图;
图2为本发明扩展张量积和对应的量子实现线路图;
图3为本发明单层量子D(4)小波变换的实现线路图;
图4为本发明单层量子D(4)小波变换的实现线路的简化符号表示图;
图5为本发明单层量子D(4)小波逆变换的实现线路图;
图6为本发明单层量子D(4)小波逆变换的实现线路的简化符号表示图;
图7为本发明k+1层量子D(4)小波变换的实现线路图;
图8为本发明k+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路图;
图9为本发明单层量子D(4)小波变换的实现线路图;
图10为本发明单层量子D(4)小波逆变换的实现线路图;
图11为本发明二层量子D(4)小波变换的实现线路图;
图12为本发明二层量子D(4)小波逆变换的实现线路图。
具体实施方式
以下结合实施例对本发明作进一步说明。
实施例1:
一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,将量子计算与经典D(4)小波变换技术相结合得到量子D(4)小波变换。把D(4)小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出单层量子D(4)小波变换的实现线路线路。
D(4)小波核矩阵定义为:
其中
可以用张量积表示为
其中是张量积运算符号,是I2的n次张量积,和和是两个旋转矩阵,
酉矩阵的迭代公式如下所示:
其中X和I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,迭代初始值为Q2=X;
假设是一个2n×2n的酉矩阵,计算张量积和可得到
由公式(3),可得到将它代入公式(2),从而得到单层量子D(4)小波变换:
这两个张量积对应的量子线路如图2所示。结合公式((5),单层量子D(4)小波变换的量子实现线路如图3所示,其简化符号表示如图4所示。由图5知,单层量子D(4)小波变换的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的单层量子D(4)小波变换的实现线路如图9所示。将n=3代入公式(5),得到
实现公式(9)就得到图9中的量子线路。
实施例2:
一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,将量子计算与经典D(4)小波变换技术相结合得到量子D(4)小波变换。把D(4)小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出单层量子D(4)小波逆变换的实现线路线路。
对公式(5)求逆,可得到D(4)小波核矩阵逆变换迭代式和酉矩阵Q2n的迭代式:
其中迭代初始值为(Q2)-1=X;
结合公式(6),单层量子D(4)小波逆变换的量子实现线路如图5所示,其简化符号表示如图6所示。由图5知,单层量子D(4)小波逆变换的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的单层量子D(4)小波逆变换的实现线路如图10所示。将n=3代入公式(6),得到
实现公式(10)就得到图10中的量子线路。
实施例3:
一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,将量子计算与经典D(4)小波变换技术相结合得到量子D(4)小波变换。把D(4)小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出K+1层量子D(4)小波变换的实现线路。
将k+1层量子D(4)小波变换定义为利用扩展的张量积,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波变换,为单层量子D(4)小波变换,迭代初始值为1≤k≤n-2,k、n均为正整数;
结合公式(5)和(7),在实现图4中的量子线路的基础上,k+1层量子D(4)小波变换的量子实现线路如图7所示,并可知量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的二层量子D(4)小波变换的实现线路如图11所示。将n=3和k=1代入公式(7),得到
实现公式(11)就得到图11中的量子线路。
实施例4:
一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,将量子计算与经典D(4)小波变换技术相结合得到量子D(4)小波变换。把D(4)小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出K+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
令为k+1层量子D(4)小波逆变换,对公式(7)求逆,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波逆变换,为单层量子D(4)小波逆变换(见公式(5)),迭代初始值为1≤k≤n-2,k、n均为正整数;
结合公式(6)和(8),在实现图6中的量子线路的基础上,k+1层量子D(4)小波逆变换的量子实现线路如图8所示,并可知量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的二层量子D(4)小波逆变换的实现线路如图12所示。将n=3和k=1代入公式(8),得到
实现公式(12)就得到图12中的量子线路。
本发明充分量子并行性和量子叠加性等量子计算的独特性能,采用扩展张的张量积,首先实现单层量子D(4)小波变换和单层量子D(4)小波逆变换的迭代公式,然后建立多层量子D(4)变换的迭代公式和相应的量子D(4)小波逆变换的迭代公式。并采用量子线路来实现量子D(4)小波变换和相应的量子D(4)小波逆变换。
以上已对本发明创造的较佳实施例进行了具体说明,但本发明并不限于实施例,熟悉本领域的技术人员在不违背本发明创造精神的前提下还可以作出种种的等同的变型或替换,这些等同的变型或替换均包含在本申请的范围内。
Claims (5)
1.一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,其特征在于:所述方法将量子计算与经典D(4)小波变换技术相结合得到量子D(4)小波变换,把D(4)小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出2个量子D(4)小波变换和2个量子D(4)小波逆变换的实现线路;
2个量子D(4)小波变换的实现线路分别包括单层量子D(4)小波变换的实现线路和K+1层量子D(4)小波变换的实现线路;
2个量子D(4)小波逆变换的实现线路分别包括单层量子D(4)小波逆变换的实现线路和K+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
2.根据权利要求1所述的一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,其特征在于,所述单层量子D(4)小波变换的实现线路的具体过程为:扩展的张量积运算原理从而得出,D(4)小波核矩阵定义为:
其中
可以用张量积表示为
其中是张量积运算符号,是I2的n次张量积,和和是两个旋转矩阵,
酉矩阵的迭代公式如下所示:
其中X和I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,迭代初始值为Q2=X;
假设是一个2n×2n的酉矩阵,计算张量积和可得到
由公式(3),可得到将它代入公式(2),从而得到单层量子D(4)小波变换:
利用公式(5),设计出复杂度为Θ(n2)的单层量子D(4)小波变换的实现线路。
3.根据权利要求2所述的一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,其特征在于:所述单层量子D(4)小波逆变换的实现线路的设计过程为:
对公式(5)求逆,可得到D(4)小波核矩阵逆变换迭代式和酉矩阵的迭代式:
其中迭代初始值为(Q2)-1=X;
结合公式(6),设计出复杂度为Θ(n2)的单层量子D(4)小波逆变换的实现线路。
4.根据权利要求3所述的一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,其特征在于:所述K+1层量子D(4)小波变换的实现线路设计实现过程为:令为k+1层量子D(4)小波变换,利用扩展的张量积,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波变换,为单层量子D(4)小波变换,迭代初始值为1≤k≤n-2,k、n均为正整数;
结合公式(5)和(7),设计出复杂度为Θ(n2)的K+1层量子D(4)小波变换的实现线路。
5.根据权利要求4所述的一种量子D(4)小波变换实现量子线路设计的方法,其特征在于:所述K+1层量子D(4)小波逆变换的实现线路的实现具体过程为:
令为k+1层量子D(4)小波逆变换,对公式(7)求逆,可得到:
其中I2是图1中单量子比特门,是张量积运算符号,是I2的n次张量积,为k层量子D(4)小波逆变换,为单层量子D(4)小。
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