CN107153632A - 一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法 - Google Patents

一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，属于量子信息处理领域，本发明是对现有的量子傅立叶变换实现技术的完善与改进，利用扩展的张量积和基本的量子比特门(包括量子比特受控门和单量子比特门)，分别构建了2个多层量子Haar小波变换和2个多层量子Haar小波逆变换的实现线路。从量子Haar小波变换和量子Haar小波逆变换的实现线路复杂度分析可知，对于一个2n个元素的数据集，2个多层量子Haar小波变换和2个多层量子Haar小波逆变换的线路的复杂度都是Θ(n2)，这是其它的经典快速Haar小波变换无法达到的。适用于很多实际的信息处理应用的图像的压缩、去噪、加密和解密等算法领域，并对量子计算理论完善和应用的推广有重大意义。

Description

一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法
技术领域
本发明涉及量子信息处理领域，具体的来说是涉及一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法。
背景技术
量子计算是量子力学和计算机科学相结合的产物，量子计算的并行性、叠加性及其测量的不确定性是量子计算机优于经典计算机的根本。
量子小波变换是量子信息处理的核心算法。量子Haar小波变换是一个紧致的、二阶的、正交的小波变换，在信息处理领域有着广泛的应用，例如，量子Haar小波变换在图像编码、边缘检测、图像水印等算法中有着重要作用。
在经典计算中，信息单元用比特(Bit)表示，它只有两个状态：0态或1态。在量子计算中，信息单元用量子比特(Qubit)表示，它有两个基本量子态|0>和|1>，基本量子态简称为基态(Basis State)。一个量子比特可以是两个基态的线性组合，常被称为叠加态(Superposition)，可表示为|ψ＞＝a|0>+b|1>。其中a和b是两个复数，满足|a|2+|b|2＝1，因此也被称为概率幅。基态|0>和|1>，可用向量表示为：
它们的对偶向量可表示为：<0|＝[1 0],<1|＝[0 1]。
张量积(tensor product)是将小的向量空间合在一起，构成更大向量空间的一种方法，用符号表示，它有如下的含义：
假设U是n×n和V是m×m两个复矩阵
那么
假设二个酉矩阵集合为：和中有m个n×n的矩阵， 中有n个m×m的矩阵。扩展的张量积是一个mn×mn的矩阵其中
当中的每个矩阵都相同，Ai＝A，此时可写成如果同时中的每个矩阵都相同Bi＝B，这时扩展的张量积退化成普通的张量积
量子线路可以由一序列的量子比特门构成，在量子线路的表示图中，每条线都表示量子线路的连线，量子线路的执行顺序是从左到右。量子比特门可以方便的用矩阵形式表示，单量子比特门可以用一个2×2的酉矩阵U表示，即U+U＝I，其中U+是U的共轭转置矩阵，I是单位阵。一些基本量子比特门的名称、符号及相应的矩阵表示见图1。
Pn,m是mn×mn的均匀洗牌置换矩阵，(Pn,m)k,l＝δv,z'δz,v'，其中k＝vn+z,l＝v'm+z'，0≤v,z'＜m,0≤v',z＜n，当x≠y，δx,y＝0，否者δx,y＝1。
和是两个特殊的均匀洗牌置换矩阵，它们的递归方程为：
其中Swap是图1中所示的交换门，的量子实现线路如图2所示，的量子实现线路如图3所示。
由于现有的经典的经典的Haar小波变换实现电子线路设计的复杂度为Θ(n2n)，比较复杂，没能很好满足社会的需求。因此需要设计出复杂度更低的实现电子线路设计的方法。
发明内容
本发明提供一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，解决现有经典的Haar小波变换实现电子线路设计的复杂度高的问题
本发明通过以下技术方案解决上述问题：
一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，所述方法将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出2个量子Haar小波变换和2个量子Haar小波逆变换的量子线路；
2个量子Haar小波变换的量子线路分别为第一个多层量子Haar小波变换的量子线路和第二个多层量子Haar小波变换的量子线路；
2个量子Haar小波逆变换的量子线路分别为第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路和第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路。
上述方案中，优选的是所述第一个多层量子Haar小波变换的量子线路的设计实现过程为：
设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。
根据扩展的张量积运算原理，得到并将它代入公式(1)，设计出第一个多层量子Haar变换的迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
假设是一个2n×2n的酉矩阵，计算张量积和可得到
根据公式(1)、(2)、(3)和(4)，当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第一个多层量子Haar小波变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
上述方案中，优选的是所述第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路的设计实现过程为：对公式(2)求逆运算，得到第一个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n -1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
根据公式(5)当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
上述方案中，优选的是所述第二个多层量子Haar小波变换的量子线路的设计实现过程为：
假设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。根据扩展的张量积运算原理，可化为等价的张量积将代入公式(6),设计出第二个多层量子Haar变换的迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)第一个多层量子Haar小波变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
上述方案中，优选的是第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路的设计实现过程为：对公式(7)求逆运算，得到第二个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
根据公式(8)当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
本发明的优点与效果是：
1、本发明与现有的量子Haar小波变换实现技术相比，本发明设计了2个多层量子Haar小波变换和2个多层量子Haar小波逆变换的实现线路，从而构建一个相对完整的量子Haar小波变换体系。而现有技术只实现了一个n-1层量子Haar小波变换，本发明是对现有的量子Haar小波变换实现技术的完善与改进。
2、本发明与经典的Haar小波变换实现技术相比，本发明利用量子线路实现的量子Haar小波变换是一种高效的变换方法，本发明设计的量子Haar变换的实现线路复杂度都是Θ(n2)，而经典的快速Haar小波变换的实现复杂度为Θ(2n)。
3、本发明适用于很多实际的信息处理应用领域，例如，图像的压缩、去噪、加密和解密等算法都需要高效的Haar小波变换，并对量子计算理论完善和应用的推广有重大意义。
附图说明
图1位本发明基本量子门和对应矩阵的表示图；
图2为本发明的量子实现线路图；
图3为本发明的量子实现线路图；
图4为本发明扩展张量积和的量子实现线路图；
图5为本发明第一个k(1≤K＜n-1)层量子Haar小波变换的实现线路图；
图6为本发明第一个n-1层量子Haar小波变换的实现线路图；
图7为本发明第一个k(1≤K＜n-1)层量子Haar逆小波变换的实现线路图；
图8为本发明第一个n-1层量子Haar逆小波变换的实现线路图；
图9为本发明第二个k(1≤K＜n-1)层量子Haar小波变换的实现线路图；
图10为本发明第二个n-1层量子Haar小波变换的实现线路图；
图11为本发明第二个k(1≤K＜n-1)层量子Haar逆小波变换的实现线路图；
图12为本发明第二个n-1层量子Haar逆小波变换的实现线路图；
图13为本发明第一个k＝1层Haar小波变换的实现线路图；
图14为本发明第一个n-1＝2层Haar小波变换的实现线路图；
图15为本发明第一个k＝1层Haar逆小波变换的实现线路图；
图16为本发明第一个n-1＝2层Haar逆小波变换的实现线路图；
图17为本发明第二个k＝1层Haar小波变换的实现线路图；
图18为本发明第二个n-1＝2层Haar小波变换的实现线路图；
图19为本发明第二个k＝1层Haar逆小波变换的实现线路图；
图20为本发明第二个n-1＝2层Haar逆小波变换的实现线路图。
具体实施方式
以下结合实施例对本发明作进一步说明。
实施例1：
一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计第一个多层量子Haar小波变换的量子线路。
设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。
根据扩展的张量积运算原理，得到并将它代入公式(1)，设计出第一个多层量子Haar变换的迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
假设是一个2n×2n的酉矩阵，计算张量积和可得到
这两个张量积对应的量子线路如图4所示。
结合公式(1)、(2)、(3)和(4)，当k＝n-1时，第一个多层量子Haar小波变换的量子实现线路如图5所示，当1≤K＜n-1时，第一个多层量子Haar小波变换的量子实现线路如图6所示。由于公式(1)、(2)、(3)和(4)的换算过程中的过程主要为迭代的过程，为本领域人员公知常识，因此不在详细把换算过程进行说明。
量子线路的复杂度是指构建量子线路的单量子比特门和双量子比特门总的数量。由图5和图6知，第一个多层量子Haar小波变换的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的第一个1层量子Haar小波变换的实现线路如图13所示。将n＝3和k＝1代入公式(1),得到
实现公式(9)就得到图13中的量子线路。
本发明设计的第一个2层量子Haar小波变换的实现线路如图14所示。将n＝3和k＝n-1＝2代入公式(1),得到
实现公式(10)就得到图14中的量子线路。
实施例2：
一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路。
对公式(2)求逆运算，得到第一个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,对应的量子线路如图3所示。是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
根据公式(5)，当k＝n-1时，第一个多层量子Haar小波逆变换的量子实现线路如图7所示，当1≤K＜n-1时，第一个多层量子Haar小波逆变换的量子实现线路如图8所示。
由图7和图8知，第一个多层量子Haar逆小波的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的第一个1层量子Haar小波逆变换的实现线路如图15所示。将n＝3和k＝1代入公式(4),得到
实现公式(11)就得到图15中的量子线路。
本发明设计的第一个2层量子Haar小波逆变换的实现线路如图16所示。将n＝3和k＝n-1＝2代入公式(4),得到
实现公式(12)就得到图16中的量子线路。
实施例3：
一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出第二个多层量子Haar小波变换的量子线路。
假设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。根据扩展的张量积运算原理，可化为等价的张量积将代入公式(6),设计出第二个多层量子Haar变换的迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
当k＝n-1时，第二个多层量子Haar小波变换的量子实现线路如图9所示，当1≤K＜n-1时，第二个多层量子Haar小波变换的量子实现线路如图10所示。
由图9和图10知，第二个多层量子Haar小波变换的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的第二个1层量子Haar小波变换的实现线路如图17所示。将n＝3和k＝1代入公式(5),得到
实现公式(13)就得到图17中的量子线路。
本发明设计的第二个2层量子Haar小波变换的实现线路如图18所示。将n＝3和k＝n-1＝2代入公式(5),得到
实现公式(14)就得到图18中的量子线路。
实施例4：
一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路。
对公式(7)求逆运算，得到第二个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,对应的量子线路如图3所示。是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
当k＝n-1时，第二个多层量子Haar小波逆变换的量子实现线路如图11所示，当1≤K＜n-1时，第二个多层量子Haar小波逆变换的量子实现线路如图12所示。
由图11和图12知，第二个多层量子Haar小波逆变换的量子实现线路的复杂度是Θ(n2)。
本发明设计的第二个1层量子Haar小波逆变换的实现线路如图19所示。将n＝3和k＝1代入公式(6),得到
实现公式(15)就得到图19中的量子线路。
本发明设计的第二个2层量子Haar小波逆变换的实现线路如图20所示。将n＝3和k＝n-1＝2代入公式(6),得到
实现公式(16)就得到图20中的量子线路。
以上已对本发明创造的较佳实施例进行了具体说明，但本发明并不限于实施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明创造精神的前提下还可以作出种种的等同的变型或替换，这些等同的变型或替换均包含在本申请的范围内。

Claims (5)

1.一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述方法将量子计算与经典Haar小波变换技术相结合得到量子Haar小波变换；把量子Haar小波变换根据扩展的张量积运算原理设计出2个量子Haar小波变换和2个量子Haar小波逆变换的量子线路；
2个量子Haar小波变换的量子线路分别为第一个多层量子Haar小波变换的量子线路和第二个多层量子Haar小波变换的量子线路；
2个量子Haar小波逆变换的量子线路分别为第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路和第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路。
2.根据权利要求1所述的一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，其特征在于，所述第一个多层量子Haar小波变换的量子线路的设计实现过程为：设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
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其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。
根据扩展的张量积运算原理，得到并将它代入公式(1)，设计出第一个多层量子Haar变换的迭代公式为：
<mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <msup> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msup> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
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计算张量积和可得到
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其中，是一个2n×2n的酉矩阵
根据公式(1)、(2)和(3)，当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第一个多层量子Haar小波变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
3.根据权利要求2所述的一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路的设计实现过程为：对公式(2)求逆运算，得到第一个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <msup> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msup> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>H</mi> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>k</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
根据公式(5)当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第一个多层量子Haar小波逆变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
4.根据权利要求1所述的一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述第二个多层量子Haar小波变换的量子线路的设计实现过程为：假设是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，则经典的多层量子Haar变换可定义为：
<mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msup> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中是均匀洗牌置换矩阵,H和I2是图1中单量子比特门，是I2的n次张量积。根据扩展的张量积运算原理，可化为等价的张量积将代入公式(6),设计出第二个多层量子Haar变换的迭代公式为：
<mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msup> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mo>{</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>}</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波变换，迭代初始值为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>k</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)第一个多层量子Haar小波变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
5.根据权利要求4所述的一种量子Haar小波变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路的设计实现过程为：对公式(7)求逆运算，得到第二个多层量子Haar小波逆变换迭代公式为：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msup> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中H和I2是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I2的n次张量积，是均匀洗牌置换矩阵,是k层2n元素的Haar小波逆变换，是k-1层2n-1元素的Haar小波逆变换，迭代初始值为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </msub> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>H</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>k</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
根据公式(8)当k＝n-1时，设计出复杂度为Θ(n2)的第二个多层量子Haar小波逆变换的量子线路，其中，k、n均为正整数。
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