CN106529484A - 基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法 - Google Patents

Abstract

基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，本发明涉及光谱图像和激光雷达数据联合分类。本发明为解决现有多核学习方法中，存在没有考虑各个类别自身数据特点以及优化效率低的问题。具体过程为：一、在多/高光谱图像上提取地物的光谱信息和空间信息，在激光雷达数据上提取地物高度信息；二、将提取于多/高光谱图像和激光雷达数据以特征堆栈方式形成每个地物样本对应的总体特征向量；三、将依次输入到不同核参数下的高斯核生成核矩阵集；四、利用核对准模型为每两类地物样本从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数；五、最后利用多数投票原则确定样本类别，最终生成分类主题图。本发明用于数字图像处理领域。

Description

基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法

技术领域

本发明属于数字图像处理领域，涉及光谱图像和激光雷达数据联合分类。

背景技术

光谱图像提供的地物丰富光谱信息和激光雷达数据提供的地物高度信息具有信息互补特点。联合利用两种数据源能获取场景内目标空-谱-高程多维度异构信息，因此联合利用两种数据源在城市制图、农业检测、灾害评估等领域具有广阔的应用需求。

多核学习模型在模型建立过程中不考虑各特征之间的物理含义，因此具有很好的异构特征融合能力。现有的多核学习方法可以归纳为三类。第一类是基于固定准则的多核学习方法，该类方法在多核学习过程中利用加、乘等固定准则对基核进行组合，没有考虑各个基核自身相似性度量特性和没有利用任何优化准则，因此分类性能较低。第二类是一步优化多核学习方法，该类方法将多核模型中的基核权重参数和分类器中参数同时求解，因此计算量非常大，学习效率非常低，其分类性能相对较强。第三类是两步优化多核学习方法，该类方法将多核模型中的基核权重与分类器参数分开独立求解，因此相对第二类方法往往能提高计算效率。通常在基核规模较小情况下，第二类多核学习方法分类性能优于第三类多核学习方法；但是在基核规模较大情况下，第三类多核学习方法分类性能优于第二类多核学习方法。现有的多核学习方法在模型求解过程中考虑的是在给定优化准则下针对整个数据集所有类别的最优解，而没有考虑各个类别自身特点；同时现有的多核学习方法通常将优化问题转化为半定规划问题来求解，由于在参数求解过程中涉及多核矩阵的快速求解、高维核矩阵分解、迭代次数高等问题使得多核学习效率非常低。

目前已有的多核学习方法存在，在多核模型求解过程没有考虑各个类别自身特点，以及优化问题复杂，学习效率低的问题。针对存在的这一问题，本发明利用各个类别数据自身特点进行核矩阵选择，改善分类性能，同时由于不需要进行迭代求解，因此算法效率高。

发明内容

本发明为解决现有多核学习方法中，图像分类精度低的问题，而提出一种基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法。

一种基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，按以下步骤进行：

一、在多/高光谱图像上提取光谱信息和空间信息，在激光雷达数据上提取高度信息：

其中光谱信息包括光谱波段、以及由光谱波段反演出来的归一化植被指数、归一化建筑指数、归一化水体指数，将代表光谱信息的特征记为其中代表样本总数，N_c代表第c类样本数，d_Spe代表光谱特征维数；空间信息包括通过使用均值、方差、形态学和Gabor空间滤波器对多/高光谱图像进行滤波生成的空间特征，将代表空间信息的特征记为其中d_Spa代表空间特征维数；在对激光雷达数据提取地物高度信息前，将激光雷达点云高度数据栅格化成与多/高光谱图像具有相同空间分辨率且空间对准的图像。然后再提取归一化数字表面模型作为高度信息，将代表高度信息的特征记为其中d_Ele代表高度特征维数。

二、将提取于多/高光谱图像和激光雷达数据的光谱、空间和高度特征以特征堆栈方式形成每个地物样本对应的总体特征向量，记为d_Sta＝d_Spe+d_Spa+d_Ele。

三、将提取得到每两类样本的堆栈特征向量依次输入到不同核函数中生成核矩阵集。

四、利用核对准模型为每两类地物从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数，记为第p和q类在核参数为_σm时的核矩阵。

五、选择以“一对一”策略解决多类分类问题的支持向量机为分类器，在“一对一”分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类，最后利用多数投票原则确定样本类别，最终生成分类主题图。

本发明包括以下有益效果：

1、由于在多核学习过程中考虑了各个类别自身数据特点，并与“一对一”分类策略相结合，使得在分类过程中使用的核矩阵与各个类别相适应，因此能改善分类性能，比单核方法分类精度提高2.5％左右，比主流的多核学习方法分类精度提高1.5％左右；

2、由于利用核对准技术直接确定分类核矩阵，不需要对多核模型进行优化求解，因此能提高算法运算效率，比主流的基于优化的多核学习方法运算效率提高一倍以上。

附图说明

图1为本发明所述方法流程示意图；

图2为BayviewPark数据集RGB假彩色合成图(左)和地物分布真实图(右)；

图3为Recology数据集RGB假彩色合成图(左)和地物分布真实图(右)；

图4a为Bayview Park数据集分类精度图；

图4b为Bayview Park数据集Kappa系数图；

图5a为Recology数据集分类精度图；

图5b为Recology数据集Kappa系数图；

图6a为Bayview Park数据集SK分类结果主题图；

图6b为Bayview Park数据集SimpleMKL分类结果主题图；

图6c为Bayview Park数据集MeanMKL分类结果主题图；

图6d为Bayview Park数据集RMKL分类结果主题图；

图6e为Bayview Park数据集C2MKL分类结果主题图；

图6f为Bayview Park数据集真实地物分布图分类结果主题图；

图7a为Recology数据集分类结果主题图；

图7b为Recology数据集SK分类结果主题图；

图7c为Recology数据集SimpleMKL分类结果主题图；

图7d为Recology数据集MeanMKL分类结果主题图；

图7e为Recology数据集RMKL分类结果主题图；

图7f为Recology数据集C2MKL分类结果主题图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1说明本实施方式，本实施方式的基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法按以下步骤进行：

步骤一、在多/高光谱图像上提取地物的光谱信息和空间信息，在激光雷达数据上提取地物高度信息：

其中，光谱信息包括光谱波段、以及由光谱波段反演出来的归一化植被指数、归一化建筑指数、归一化水体指数，计算公式如下

式中，NIR为近红外波段的反射率，近红外波段范围为780～2500nm，R为红色波段的反射率，红色波段范围为640～680nm，MIR是中红外波段的反射率，中红外波段范围为2.5～6um，G是绿色波段的反射，绿色波段范围为500～540nm；

将代表光谱信息的特征记为其中代表地物样本总数，N_c代表第c类地物样本数，d_Spe代表光谱特征维数，为反应第i个地物样本光谱信息的特征向量，代表维数为d_Spe的空间，C为地物样本类别数；

空间信息包括通过使用均值、方差、形态学和Gabor滤波器对多/高光谱图像进行滤波生成的空间信息特征，将代表空间信息的特征记为其中d_Spa代表空间特征维数，代表维数为d_Spa的空间，为反应第i个地物样本空间信息的特征向量；

在对激光雷达数据提取地物高度信息前，将激光雷达点云高度数据(激光雷达数据自带的，这是输入数据)栅格化成与多/高光谱图像具有相同空间分辨率且空间对准的图像，然后再对激光雷达点云高度数据栅格化后得到的图像提取归一化数字表面模型作为高度信息，将代表高度信息的特征记为其中d_Ele代表高度特征维数，代表维数为d_Ele的空间，为反应第i个地物样本高度信息的特征向量；

步骤二、将提取于多/高光谱图像和激光雷达数据的光谱信息的特征、空间信息的特征和高度信息的特征以特征堆栈方式形成每个地物样本对应的总体特征向量，记为d_Sta＝d_Spe+d_Spa+d_Ele；为第i个地物样本的总体特征向量，代表维数为d_Sta的空间，d_Sta为地物样本的特征总维数；

步骤三、将提取得到每两类(假设共有C类，那么就有(C×(C-1))/2个每两类，不是每两个地物两本，是每两类地物样本组成的总体特征集。这里每类地物有很多个样本。)地物训练样本的堆栈特征向量依次输入到不同核参数下的高斯核生成核矩阵集；N_p代表第p类地物样本数，N_q代表第q类地物样本数；为由第p和q两类地物样本组成的样本集中的第i个样本的堆栈特征向量；

步骤四、利用核对准模型为每两类地物样本从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数，记为第p和q类在核参数为_σm时的核矩阵；

步骤五、选择以一对一策略解决多类分类问题的支持向量机为分类器，在“一对一”分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类，最后利用多数投票原则确定样本类别，最终生成分类主题图。

多光谱图像是由多个波段对同一目标进行反复拍摄而得道的图像，由于目标中的各各物体对同一波段的敏感性不一样，因此多光谱图像中的每幅图像之间也有一定的不同之处。

光谱分辨率在10l数量级范围内的光谱图像称为高光谱图像(HyperspectralImage)。

本实施方式包括以下有益效果：

1、由于在多核学习过程中考虑了各个类别自身数据特点，并与“一对一”分类策略相结合，使得在分类过程中使用的核矩阵与各个类别相适应，因此能改善分类性能，比单核方法分类精度提高2.5％左右，比主流的多核学习方法分类精度提高1.5％左右；

2、由于利用核对准技术直接确定分类核矩阵，不需要对多核模型进行优化求解，因此能提高算法运算效率，比主流的基于优化的多核学习方法运算效率提高一倍以上。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤三中将提取得到每两类(假设共有C类，那么就有(C×(C-1))/2个每两类)地物训练样本的堆栈特征向量输入到不同核参数下的高斯核生成核矩阵集；具体过程为：

所述的核矩阵集为每两类地物训练样本的堆栈特征向量在不同核参数下的高斯核，计算公式为：

每两类地物样本组成的数据集是不同核参数的高斯核的输入数据，输出结果为核矩阵集；

其中代表由第p和q两类地物训练样本组成的数据集中的第i个地物样本，代表由第p和q两类地物训练样本组成的数据集中的第j个地物样本，i、j取值范围为1到N_p+N_q，N_p+N_q是第p和q两类地物训练样本数之和，σ_m为第m个核参数，为第p和q类在核参数为_σm时的核矩阵；N_p为正整数，N_q为正整数；

假设图像中(这里的图像是指多/高光谱和激光雷达数据获取的场景，这里的C类地物是指场景中有多少类地物，多/高光谱图像和激光雷达是对同一场景进行数据获取的)共有C类地物样本，那么有(C×(C-1))/2对地物，共形成M×((C×(C-1))/2)个核矩阵

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤四中利用核对准模型为每两类地物从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数，记为第p和q类在核参数为σ_m时的核矩阵；具体过程为：

所述的核对准技术为：

其中<·,·>_F代表Frobenius(弗罗贝尼乌斯范数/Euclid范数/F-范数/E-范数)积，<K_i,K_Ideal>_F＝Tr(K_i×K_Ideal)，<K_i,K_i>_F＝Tr(K_i×K_i)，<K_Ideal,K_Ideal>_F＝Tr(K_Ideal×K_Ideal)，Tr(·)代表取矩阵的迹，K_i为核矩阵集中的第i个核矩阵，K_Ideal是由训练样本标签构成的理想核矩阵，其构造方法如下：

其中，y_i为地物样本x_i的类别标签，y_j为地物样本x_j的类别标签；

利用上述核对准技术对由第p和q两类地物样本组成的数据集在各个核参数下生成的核矩阵进行计算，得到每个核参数对应核矩阵与理想核的对准值KA，再根据KA值最大原则选择出第p和q两类对应的核矩阵和核尺度_σm。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述核参数σ_m为[0.05:0.05:2]，核矩阵为40个。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五、本实施方式是对具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤五中的一对一策略是指在进行多类分类时，将多类分类问题转化成多个两类分类问题，最后通过对多个两类分类结果进行多数投票实现多类分类。

例如一个C类分类问题，在“一对一”策略下将被转化成(C×(C-1))/2个两类分类进行处理。

选择以“一对一”策略解决多类分类问题的支持向量机为分类器，在“一对一”分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类，最后利用多数投票原则确定样本类别，最终生成分类主题图。

具体实施方式六、本实施方式是对具体实施方式一至五之一不同的是：所述步骤五中在一对一分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类是指对于一个待分类地物样本，当假设其属于第p和q两类，并对其进行分类时，利用在步骤四中选择出的核矩阵和核尺度_σm进行分类；分类按如下步骤进行：

a、假设待分类地物样本x为第p和q两类中的一类，求解如下对偶优化问题

其中为支持向量权重集，n是支持向量数，为训练样本标签集；α_i为支持向量x_i的权重值，α_j为支持向量x_j的权重值，Q(α_i,α_j)为支持向量机分类器的优化函数，N_p为第p类地物训练样本数，N_q为第q类地物训练样本数，y_i为训练样本x_i的类别标签，y_j为训练样本x_j的类别标签，为第p和q类两类地物训练样本集在核尺度参数为σ_m时的核矩阵，N为第p和q类两类地物训练样本数之和，代表i和j取1到N中的任意数；N为正整数；

这里是支持向量机分类器的训练过程，只用到训练样本，不涉及待分类样本，这里目的是求解得到的支持向量权重集最终根据这个支持向量权重集确定待分类地物样本类别。

b、利用如下的分类决策函数对待分类样本x进行分类

其中是步骤a中求解得到的支持向量集；为支持向量x_i的权重，b^*为偏置，b^*通过给定准则计算得到；x是待分类地物样本，x_i和x_j是训练样本，利用训练样本对待分类地物样本进行分类；n为正整数；

c、将p和q分别从1循环到C，重复步骤a和b；

d、利用步骤a，b和c中得到的(C×(C-1))/2个两类分类结果f_p,q进行多数投票，最终确定样本x的类别。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

本实施例基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法具体是按照以下步骤制备的：

本发明的效果可以通过以下实验进一步说明。

1、实验数据

本实验采用的两组数据集是BayviewPark和Recology数据集，这两组数据集来自美国旧金山市区的两块子图，其中Bayview Park数据集来源于市区一个名叫Bayview的公园，Recology数据集来自一个名叫Recology的工厂。这两组数据集用于2012年IEEE GRSS数据融合竞赛。光谱图像是由WorldView2卫星于2011年10月9日拍摄，光谱范围从400-1040nm，获取了8个波段。LiDAR数据获取于2010年6月。两幅遥感影像空间分辨率均为1.8米。通过谷歌地球对数据区域进行观察，依据地物高度和材料对观测场景中地物进行分类，Bayview Park数据集被划分为7类地物，分别是：建筑物1、建筑物2、建筑物3、道路、树木、裸地和海水；Recology数据集被划分为11类，分别是：建筑物1、建筑物2、建筑物3、建筑物4、建筑物5、建筑物6、建筑物7、树木、停车场、裸地和草地。图2和图3分别展示了Bayview Park和Recology数据集的RGB假彩色合成图和地物分布真实图。所使用的特征包括8个原始波段，归一化数字表面模型(nDSM)和8个形态学特征(MPs)，在提取形态学特征时，具体为利用3×3、5×5的矩形结构元素对光谱第一主成分和归一化数字表面模型(nDSM)进行空间特征提取，经过开和闭运算，每组数据集得到8个形态学特征，如表1所示。

表1不同数据集特征使用情况

2、实验内容

在实验中，采用本发明(记为C2MKL)和已有四种方法对以上两组数据进行分类。已有四种方法包括单核方法(SK)、简单多核学***均多核学习(MeanMKL)。所有多核学习算法的核尺度范围设置为[0.05:0.05:2]，惩罚系数C和松弛变量ξ由交叉验证得到。选择每类训练样本数分别按10、15、20、30、40、50、100进行分类实验。记录十次运行结果均值作为最终结果，并统计十次运行结果方差。使用的评估分类结果的指标包括总体精度(OverallAccuracy,OA)和Kappa系数。两组数据数值分类结果如图4a、图4b和5a、图5b所示，训练样本为50时的分类结果主题图如图6a、图6b、图6c、图6d、图6e、图6f和7a、图7b、图7c、图7d、图7e、图7f所示，图中矩形框处为不同算法分类结果差别较大之处。

从实验结果可以看出本发明能明显提高分类精度，改善分类性能。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法具体过程为：

步骤一、在多/高光谱图像上提取地物的光谱信息和空间信息，在激光雷达数据上提取地物高度信息：

其中，光谱信息包括光谱波段、以及由光谱波段反演出来的归一化植被指数、归一化建筑指数、归一化水体指数，计算公式如下

式中，NIR为近红外波段的反射率，近红外波段范围为780～2500nm，R为红色波段的反射率，红色波段范围为640～680nm，MIR是中红外波段的反射率，中红外波段范围为2.5～6um，G是绿色波段的反射，绿色波段范围为500～540nm；

将代表光谱信息的特征记为其中代表地物样本总数，N_c代表第c类地物样本数，d_Spe代表光谱特征维数，为反应第i个地物样本光谱信息的特征向量，代表维数为d_Spe的空间，C为地物样本类别数；

空间信息包括通过使用均值、方差、形态学和Gabor滤波器对多/高光谱图像进行滤波生成的空间信息特征，将代表空间信息的特征记为其中d_Spa代表空间特征维数，代表维数为d_Spa的空间，为反应第i个地物样本空间信息的特征向量；

在对激光雷达数据提取地物高度信息前，将激光雷达点云高度数据栅格化成与多/高光谱图像具有相同空间分辨率且空间对准的图像，然后再对激光雷达点云高度数据栅格化后得到的图像提取归一化数字表面模型作为高度信息，将代表高度信息的特征记为其中d_Ele代表高度特征维数，代表维数为d_Ele的空间，为反应第i个地物样本高度信息的特征向量；

步骤二、将提取于多/高光谱图像和激光雷达数据的光谱信息的特征、空间信息的特征和高度信息的特征以特征堆栈方式形成每个地物样本对应的总体特征向量，记为 为第i个地物样本的总体特征向量，代表维数为d_Sta的空间，d_Sta为地物样本的特征总维数；

步骤三、将提取得到每两类地物训练样本的堆栈特征向量依次输入到不同核参数下的高斯核生成核矩阵集；N_p代表第p类地物样本数，N_q代表第q类地物样本数；为由第p和q两类地物样本组成的样本集中的第i个样本的堆栈特征向量；

步骤四、利用核对准模型为每两类地物样本从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数，记为第p和q类在核参数为σ_m时的核矩阵；

步骤五、选择以一对一策略解决多类分类问题的支持向量机为分类器，在一对一分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类，最后利用多数投票原则确定样本类别，最终生成分类主题图。

2.根据权利要求1所述基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：所述步骤三中将提取得到每两类地物训练样本的堆栈特征向量输入到不同核参数下的高斯核生成核矩阵集；具体过程为：

所述的核矩阵集为每两类地物训练样本的堆栈特征向量在不同核参数下的高斯核，计算公式为：

$K(x_i^{c_{p,q}},x_j^{c_{p,q}})=\exp (-\frac{\left|\right|x_i^{c_{p,q}}-x_j^{c_{p,q}}|{|}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})$

每两类地物样本组成的数据集是不同核参数的高斯核的输入数据，输出结果为核矩阵集；

其中代表由第p和q两类地物训练样本组成的数据集中的第i个地物样本，代表由第p和q两类地物训练样本组成的数据集中的第j个地物样本，i、j取值范围为1到N_p+N_q，N_p+N_q是第p和q两类地物训练样本数之和，σ_m为第m个核参数，为第p和q类在核参数为σ_m时的核矩阵；

当高光谱图像中共有C类地物样本，那么有(C×(C-1))/2对地物，共形成M×((C×(C-1))/2)个核矩阵

${\left\{K_i(x_i^{c_{p,q}},x_j^{c_{p,q}})\right\}}_{i=1}^{M\&times;((C\&times;(C-1\left)\right)/2)}=\{K_1(x_i^{c_{p,q}},x_j^{c_{p,q}}),K_2(x_i^{c_{p,q}},x_j^{c_{p,q}}),\mathrm{...},K_{M\&times;\left(\right(C\&times;(C-1))/2)}(x_i^{c_{p,q}},x_j^{c_{p,q}})\}$

3.根据权利要求2所述基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：所述步骤四中利用核对准模型为每两类地物从核矩阵集中选择出对应的核矩阵和核参数，记为第p和q类在核参数为σ_m时的核矩阵；具体过程为：

所述的核对准模型为：

$KA\left(K_i,K_{Ideal}\right)=\frac{<K_i,K_{Ideal}{>}_F}{\sqrt{<K_i,K_i{>}_F<K_{Ideal},K_{Ideal}{>}_F}}$

其中<·,·>_F代表Frobenius积，<K_i,K_Ideal>_F＝Tr(K_i×K_Ideal)，<K_i,K_i>_F＝Tr(K_i×K_i)，<K_Ideal,K_Ideal>_F＝Tr(K_Ideal×K_Ideal)，Tr(·)代表取矩阵的迹，K_i为核矩阵集中的第i个核矩阵，K_Ideal是由训练样本标签构成的理想核矩阵，其构造方法如下：

$K_{Ideal}(x_i,x_j)=\left\{\begin{array}{cc}0,& y_i\&NotEqual;y_j\\ 1,& y_i=y_j\end{array}\right.$

其中，y_i为地物样本x_i的类别标签，y_j为地物样本x_j的类别标签；

利用上述核对准技术对由第p和q两类地物样本组成的数据集在各个核参数下生成的核矩阵进行计算，得到每个核参数对应核矩阵与理想核的对准值KA，再根据KA值最大原则选择出第p和q两类对应的核矩阵和核尺度σ_m。

4.根据权利要求3所述基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：所述核参数σ_m为[0.05:0.05:2]，核矩阵为40个。

5.根据权利要求4所述基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：所述步骤五中的一对一策略是指在进行多类分类时，将多类分类问题转化成多个两类分类问题，最后通过对多个两类分类结果进行多数投票实现多类分类。

6.根据权利要求5所述基于类指定多核学习的光谱和激光雷达数据联合分类方法，其特征在于：所述步骤五中在一对一分类过程中利用其对应的核矩阵进行分类是指对于一个待分类地物样本，当假设其属于第p和q两类，并对其进行分类时，利用在步骤四中选择出的核矩阵和核尺度σ_m进行分类；分类按如下步骤进行：

a、假设待分类地物样本x为第p和q两类中的一类，求解如下对偶优化问题

$max\left\{Q\left({\mathrm{\&alpha;}}_i,{\mathrm{\&alpha;}}_j\right)=\underset{i=1}{\overset{N_p+N_q}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N_p+N_q}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{N_p+N_q}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_j{y}_i{y}_j{K}_{{\mathrm{\&sigma;}}_m}^{C_{p,q}}\left(x_i,x_j\right)\right\}$

$s.t.\left\{\begin{array}{cc}\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{y}_i=0& \\ {\mathrm{\&alpha;}}_i,{\mathrm{\&alpha;}}_j\&Element;\&lsqb;0,C\&rsqb;,& {\&ForAll;}_{i,j}=1,2,\mathrm{...},N\end{array}\right.$

其中为支持向量权重集，n是支持向量数，为训练样本标签集；α_i为支持向量x_i的权重值，α_j为支持向量x_j的权重值，Q(α_i,α_j)为支持向量机分类器的优化函数，N_p为第p类地物训练样本数，N_q为第q类地物训练样本数，y_i为训练样本x_i的类别标签，y_j为训练样本x_j的类别标签，为第p和q类两类地物训练样本集在核尺度参数为σ_m时的核矩阵，N为第p和q类两类地物训练样本数之和，代表i和j取1到N中的任意数；

b、利用如下的分类决策函数对待分类样本x进行分类

$f_{p,q}\left(x\right)=\mathrm{sgn}\{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_i^{*}{y}_i{K}_{{\mathrm{\&sigma;}}_m}^{C_{p,q}}(x_i,x)+b^{*}\}$

其中是步骤a中求解得到的支持向量集；为支持向量x_i的权重，b^*为偏置；x是待分类地物样本，x_i和x_j是训练样本，利用训练样本对待分类地物样本进行分类；n为正整数；

c、将p和q分别从1循环到C，重复步骤a和b；

d、利用步骤a，b和c中得到的(C×(C-1))/2个两类分类结果f_p,q进行多数投票，最终确定样本x的类别。