CN105955194A - 一种离散加工路径的拐点平滑方法 - Google Patents

Abstract

一种离散加工路径的拐点平滑方法，属于高速高性能数控加工领域。该方法采用外切式的且控制点数为9的5次B样条曲线对离散加工路径的拐点进行平滑处理，解决了常规离散路径拐点加工时速度低、易波动的问题。首先，借助重顶点方法和凸包性质构造出由9个控制点组成的B样条曲线的特征多边形及其节点矢量的具体形式，并在逼近误差允值约束下反算出控制点；进而，基于过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制点进行一次性修正；最后，根据求得的特征多边形和节点矢量得到最终用于拐点平滑的五次B样条曲线。本方法可使平滑后的路径达到G2连续，较之内切式方法，在相同逼近误差条件下平滑曲线在拐点处具有更大的曲率半径。

Description

一种离散加工路径的拐点平滑方法

技术领域

本发明涉及一种离散加工路径的拐点平滑方法，属于高速高性能数控加工领域。

背景技术

在数控加工中，离散加工路径是由众多G0连续直线段构成。在拐点处的路径用G0直线段描述会导致切矢和曲率的不连续，使数控***在加工过程中频繁的启停，引起加工速度波动，加工表面质量下降以及加工效率低等问题。因此，传统的离散加工路径并不适用于高速高性能数控加工领域，需对刀具路径在拐点处进行平滑处理，其要求有三：1)保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续；2)保证平滑之后的路径在逼近误差允值内；3)在平滑连续拐点时，过渡段不会出现干涉现象。对现有的技术文献检索，找到了几种解决方法。目前，比较常用的一种方法是通过在拐点处构造圆弧，用圆弧作为平滑路径(Jouaneh MK,Wang Z,Dornfeld DA(1990)Trajectory planning for coordinatedmotion of a robot and a positioning table.Part 1.Path specification.IEEETrans Robot Autom 6:735–745)。该方法只能保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G1连续，即速度连续。Chester等人发明的专利是用四阶多项式曲线来平滑路径(Yutkowitz SJ,Chester W(2005)Apparatus and Method for Smooth Cornering in aMotion Control System.United States,Siemens Energy&Automation,Inc,Alpharetta,GA,(US Patent 6922606))。这种方法实现了加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续，但该方法运算量较大，增加了数据处理的负担。上述方法构造的平滑路径都是内切于原拐点路径，并保证了加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处一阶或二阶几何连续。当在拐点处两相邻加工直线段的转角比较尖锐时，即转角较小时，在逼近误差允值下拐点平滑曲线的曲率仍然较大，平滑效果相对并不明显，还需要牺牲速度来保证加工质量，不利于高速加工。到目前为止，相关文献还未能很好地解决尖锐拐点路径的平滑问题。

发明内容

针对现有技术中的缺陷和不足，本发明提供了一种离散加工路径的拐点平滑方法。

本发明采用的技术方案是：一种离散加工路径的拐点平滑方法，首先，借助重顶点方法和凸包性质构造出由9个控制顶点组成的B样条曲线的特征多边形及其节点矢量的具体形式，并在逼近误差允值约束下反算出控制顶点；进而，基于过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；最后，根据求得的特征多边形和节点矢量得到最终用于拐点平滑的五次B样条曲线；采用的具体步骤为：

(a)构造出由9个控制点组成的外切式B样条曲线的特征多边形及其节点矢量，并通过逼近误差允值约束来反算出控制点；其中，已知拐点Q₁处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₀,Q₁)和(Q₁,Q₂)，拐点处的最大逼近误差允值为ε；拟构造的拐点过渡段的外切式五次B样条曲线表示为：

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{8}{\Σ}}{B}_{i5}\left(u\right)P_i---\left(1\right)$

式1中，P_i为特征多边形的控制点，B_i5为基函数，u为五次B样条曲线的节点矢量，确定{P₀,P₁,...,P₈}为待求的特征多边形的9个控制点，且P₄＝Q₁、P₁＝P₂、P₆＝P₇，P₀、P₁和P₂共线并位于直线段Q₀Q₁上，P₆、P₇和P₈共线并位于直线段Q₁Q₂上，以保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续；控制点P₃、P₅位于离散点Q₀、Q₁、Q₂所围三角形的外部，且P₀和P₈、P₁和P₆、P₃和P₅分别关于角∠Q₀Q₁Q₂的平分线对称，点P₃到线段Q₀Q₁和点P₅到线段Q₁Q₂的距离均为最大逼近误差ε；

由构造的特征多边形对称性和B样条凸包的性质知，最大逼近误差的计算公式为：

ε＝||P₄-C(0.5)|| (2)

进而，由式1得C(0.5)的表达式：

C(0.5)＝0.0185P₁+0.2593P₃+0.4444P₄+0.2593P₅+0.0185P₆ (3)

整理式3后推出：

P₄-C(0.5)＝0.0185P₄P₁+0.2593P₄P₃+0.0185P₄P₆+0.2593P₄P₅ (4)

将式4带入到式2中，则最大逼近误差进一步表达为：

$\mathrm{\ϵ}=\left|\right|P_4-C\left(0.5\right)\left|\right|=\left|\right|0.037P_1{P}_{4}cos\left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)+0.5186P_3{P}_{4}cos\left(\frac{\∂}{2}\right)\left|\right|---\left(5\right)$

式5中，∠Q₀Q₁Q₂＝θ,(θ≠180°)，P₃P₄＝L；由于点P₃到线段P₁P₄的距离为ε，且P₃在P₁P₄的垂直平分线上，则推出下列关系：

$P_1{P}_4=2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)---\left(6\right)$

$P_3{P}_4=L=\frac{\mathrm{\ϵ}}{sin\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)}---\left(7\right)$

联立式5、6和7，求解出变量和L；Q₁Q₀的单位向量为N₁，由此，计算出控制点P₃和P₁，即:

P₃＝P₄+LN₁ (8)

$P_1=P_4+2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1---\left(9\right)$

又令P₀P₁＝P₃P₄，则控制点P₀由下式导出：

$P_0=P_4+L\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1---\left(10\right)$

由式8、9和10求得修正后的控制点P₀、P₁、P₃，同理求得控制点P₅、P₆、P₈；

(b)考虑过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；当数控加工连续拐点路径时，为保证路径的连续可调并且不发生干涉现象，即需要对原特征多边形进行约束，比例调节算法如下：

$k_1=\frac{2P_0{P}_4}{Q_0{Q}_1}---\left(11\right)$

$k_2=\frac{2P_4{P}_8}{Q_1{Q}_2}---\left(12\right)$

k＝max(k₁,k₂) (13)

由式11、12、13求出比例系数k；若k>1，则需对控制多边形进行等比例缩小，即由此由式14、15、16求得修正后的控制点P₀'、P₁'、P₃'：

P₃'＝P₄+L₁N₁ (14)

$P_1^{\′}=P_4+2L_{1}cos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1---\left(15\right)$

$P_0^{\′}=P_4+L_1\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1---\left(16\right)$

同理，求得控制点P₅'、P₆'、P₈'；修正之后，拐点处逼近误差ε₁也相应变为：

${\mathrm{\ϵ}}_1=\frac{\mathrm{\ϵ}}{k}---\left(17\right)$

式17表明修正之后的逼近误差ε₁与最大逼近误差ε相比缩小了k倍(k>1)；

(c)求出用于拐点平滑的五次B样条曲线；若P₃P₄＝L，则直接将步骤(a)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线若P₃'P₄＝L₁，则需将步骤(b)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线即得到拐点处的平滑路径。

本发明的有益效果是：采用外切式的且控制点数为9的5次B样条曲线对离散加工路径的拐点进行平滑处理，在逼近误差允值约束下生成曲率连续的加工路径，解决了常规离散路径拐点加工时速度低、易波动的问题。与现有技术相比，在满足同等精度的条件下，本方法在处理尖锐拐点路径时所构造的过渡曲线的曲率半径更大、更平滑，能够有效地改善数控机床在高速加工拐点路径时的运动学性能。

附图说明

图1是一种应用离散加工路径的拐点平滑方法流程图。

图2是离散加工路径的拐点平滑方法模型示意图。

图3是离散加工路径的拐点平滑方法应用在连续拐点示意图。

图4是内切式的拐点平滑路径示意图。

图5是采用本发明方法的拐点平滑路径示意图。

图6是内切式的拐点平滑路径曲率示意图。

图7是采用本发明方法的拐点平滑路径曲率示意图。

具体实施方式

一种离散加工路径的拐点平滑方法的流程图如图1所示。下面结合具体的实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。

(a)构造出由9个控制点组成的外切式B样条曲线的特征多边形及其节点矢量，并通过逼近误差允值约束来反算出控制点。如图2所示(虚线表示加工直线段，实线表示拐点处的平滑路径)：已知拐点Q₁处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₀,Q₁)和(Q₁,Q₂)，拐点处的最大逼近误差允值为ε；拟构造的拐点过渡段的外切式五次B样条曲线可表示为：

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{8}{\Σ}}{B}_{i5}\left(u\right)P_i$

上述B样条曲线方程中P_i为特征多边形的控制点，B_i5为基函数，u为五次B样条曲线的节点矢量，可确定为{P₀,P₁,...,P₈}为待求的特征多边形的9个控制点，且P₄＝Q₁、P₁＝P₂、P₆＝P₇，P₀、P₁和P₂共线并位于直线段Q₀Q₁上，P₆、P₇和P₈共线并位于直线段Q₁Q₂上，以保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续；控制点P₃、P₅位于离散点Q₀、Q₁、Q₂所围三角形的外部，且P₀和P₈、P₁和P₆、P₃和P₅分别关于角∠Q₀Q₁Q₂的平分线对称，线段P₁P₄中点为T₀，线段P₆P₄中点为T₁，点P₃到线段Q₀Q₁和点P₅到线段Q₁Q₂的距离均为最大逼近误差ε，即P₃T₀＝ε，P₅T₁＝ε。

由构造的特征多边形对称性和B样条凸包的性质可知，最大逼近误差的计算公式为：

ε＝||P₄-C(0.5)||

进而，可得C(0.5)的表达式：

C(0.5)＝0.0185P₁+0.2593P₃+0.4444P₄+0.2593P₅+0.0185P₆

整理上式后可推出：

P₄-C(0.5)＝0.0185P₄P₁+0.2593P₄P₃+0.0185P₄P₆+0.2593P₄P₅

最大逼近误差可进一步表达为：

$\mathrm{\ϵ}=\left|\right|P_4-C\left(0.5\right)\left|\right|=\left|\right|0.037P_1{P}_{4}cos\left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)+0.5186P_3{P}_{4}cos\left(\frac{\∂}{2}\right)\left|\right|$

上式中，∠Q₀Q₁Q₂＝θ,(θ≠180°)，P₃P₄＝L。由于P₃T₀＝ε，且P₃在P₁P₄的垂直平分线上，则可推出下列关系：

$P_1{P}_4=2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)$

$P_3{P}_4=L=\frac{\mathrm{\ϵ}}{sin\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)}$

联立上述3式，可求解出变量和L。Q₁Q₀的单位向量为N₁，由此，可计算出控制点P₃和P₁，即:

P₃＝P₄+LN₁

$P_1=P_4+2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1$

又令P₀P₁＝P₃P₄，则控制点P₀可由下式导出：

$P_0=P_4+L\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1$

由上述三式求得修正后的控制点P₀、P₁、P₃，控制点P₅、P₆、P₈同理可求得。

(b)考虑过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正。在数控加工连续拐点路径中，如图3所示(虚线表示加工直线段，实线表示拐点处的平滑路径)：拐点Q₁处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₀,Q₁)和(Q₁,Q₂)，拐点Q₂处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₁,Q₂)和(Q₂,Q₃)，为∠Q₀Q₁Q₂上的特征多边形的控制点，为∠Q₁Q₂Q₃上的特征多边形的控制点，为保证路径的连续可调并且不发生干涉现象，即 需要对原特征多边形进行约束，比例调节算法如下：

$k_1=\frac{2P_0^0{P}_4^0}{Q_0{Q}_1}$

$k_2=\frac{2P_4^0{P}_8^0}{Q_1{Q}_2}$

k＝max(k₁,k₂)

比例调节算法公式可以求出比例系数k，若k>1，则需要对控制多边形等比例缩小，即由此可由下列公式求得修正后的控制点P₀'、P₁'、P₃'：

$P_3^{0^{\′}}=P_4^0+L_1{N}_1$

$P_1^{0^{\′}}=P_4^0+2L_{1}cos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1$

$P_0^{0^{\′}}=P_4^0+L_1\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1$

同理，可求得控制点修正之后，拐点处逼近误差ε₁也相应变为：

${\mathrm{\ϵ}}_1=\frac{\mathrm{\ϵ}}{k}$

上式表明修正之后的逼近误差ε₁与最大逼近误差ε相比缩小了k倍(k>1)。

(c)求出用于拐点平滑的五次B样条曲线。若则直接将步骤(a)中求得的9个控制点带入五次B样条曲线公式中，得到五次B样条曲线若则需要将步骤(b)中求得的9个控制点带入五次B样条曲线公式中，得到五次B样条曲线即得到拐点处的平滑路径。

图4、图5分别为采用内切式和本发明方法的拐点平滑路径示意图。内切式为采用3次Bézier多项式曲线的方法，其中虚线表示原始的拐点路径，实线表示拐点处的平滑路径，拐点角度θ＝14.25°，最大逼近误差ε＝0.15mm。图6、图7分别为采用内切式和本发明方法的拐点平滑路径曲率示意图。通过对比可以看出，在在满足同等精度的条件下，内切式的方法曲率最大值约为-284，采用本发明方法曲率最大值约为-15，采用本发明方法后，平滑路径的曲率缩小了近19倍，有更大曲率半径，所以采用本发明方法更适用于高速高性能加工领域。

Claims (1)

1.一种离散加工路径的拐点平滑方法，其特征在于：首先，借助重顶点方法和凸包性质构造出由9个控制顶点组成的B样条曲线的特征多边形及其节点矢量的具体形式，并在逼近误差允值约束下反算出控制顶点；进而，基于过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；最后，根据求得的特征多边形和节点矢量得到最终用于拐点平滑的五次B样条曲线；采用的具体步骤为：

(a)构造出由9个控制点组成的外切式B样条曲线的特征多边形及其节点矢量，并通过逼近误差允值约束来反算出控制点；其中，已知拐点Q₁处两相邻线性加工直线段顶点分别为(Q₀,Q₁)和(Q₁,Q₂)，拐点处的最大逼近误差允值为ε；拟构造的拐点过渡段的外切式五次B样条曲线表示为：

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{8}{\Σ}}{B}_{i5}\left(u\right)P_i---\left(1\right)$

式1中，P_i为特征多边形的控制点，B_i5为基函数，u为五次B样条曲线的节点矢量，确定{P₀,P₁,...,P₈}为待求的特征多边形的9个控制点，且P₄＝Q₁、P₁＝P₂、P₆＝P₇，P₀、P₁和P₂共线并位于直线段Q₀Q₁上，P₆、P₇和P₈共线并位于直线段Q₁Q₂上，以保证加工直线段与拐点过渡曲线在公共连接点处G2连续；控制点P₃、P₅位于离散点Q₀、Q₁、Q₂所围三角形的外部，且P₀和P₈、P₁和P₆、P₃和P₅分别关于角∠Q₀Q₁Q₂的平分线对称，点P₃到线段Q₀Q₁和点P₅到线段Q₁Q₂的距离均为最大逼近误差ε；

由构造的特征多边形对称性和B样条凸包的性质知，最大逼近误差的计算公式为：

ε＝||P₄-C(0.5)|| (2)

进而，由式1得C(0.5)的表达式：

C(0.5)＝0.0185P₁+0.2593P₃+0.4444P₄+0.2593P₅+0.0185P₆ (3)

整理式3后推出：

P₄-C(0.5)＝0.0185P₄P₁+0.2593P₄P₃+0.0185P₄P₆+0.2593P₄P₅ (4)

将式4带入到式2中，则最大逼近误差进一步表达为：

$\mathrm{\ϵ}=\left|\right|P_4-C\left(0.5\right)\left|\right|=\left|\right|0.037P_1{P}_{4}cos\left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)+0.5186P_3{P}_{4}cos\left(\frac{\∂}{2}\right)\left|\right|---\left(5\right)$

式5中，∠Q₀Q₁Q₂＝θ,(θ≠180°)，P₃P₄＝L；由于点P₃到线段P₁P₄的距离为ε，且P₃在P₁P₄的垂直平分线上，则推出下列关系：

$P_1{P}_4=2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)---\left(6\right)$

$P_3{P}_4=L=\frac{\mathrm{\ϵ}}{sin\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)}---\left(7\right)$

联立式5、6和7，求解出变量和L；Q₁Q₀的单位向量为N₁，由此，计算出控制点P₃和P₁，即:

P₃＝P₄+LN₁ (8)

$P_1=P_4+2Lcos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1---\left(9\right)$

又令P₀P₁＝P₃P₄，则控制点P₀由下式导出：

$P_0=P_4+L\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1---\left(10\right)$

由式8、9和10求得修正后的控制点P₀、P₁、P₃，同理求得控制点P₅、P₆、P₈；

(b)考虑过渡段长度约束，采用比例调节算法对控制顶点进行一次性修正；当数控加工连续拐点路径时，为保证路径的连续可调并且不发生干涉现象，即需要对原特征多边形进行约束，比例调节算法如下：

$k_1=\frac{2P_0{P}_4}{Q_0{Q}_1}---\left(11\right)$

$k_2=\frac{2P_4{P}_8}{Q_1{Q}_2}---\left(12\right)$

k＝max(k₁,k₂) (13)

由式11、12、13求出比例系数k；若k>1，则需对控制多边形进行等比例缩小，即由此由式14、15、16求得修正后的控制点P′₀、P′₁、P′₃：

P′₃＝P₄+L₁N₁ (14)

$P_1^{\′}=P_4+2L_{1}cos\left(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2}\right)N_1---\left(15\right)$

$P_0^{\′}=P_4+L_1\left(2cos\right(\frac{\∂-\mathrm{\θ}}{2})+1)N_1---\left(16\right)$

同理，求得控制点P′₅、P′₆、P′₈；修正之后，拐点处逼近误差ε₁也相应变为：

${\mathrm{\ϵ}}_1=\frac{\mathrm{\ϵ}}{k}---\left(17\right)$

式17表明修正之后的逼近误差ε₁与最大逼近误差ε相比缩小了k倍(k>1)；

(c)求出用于拐点平滑的五次B样条曲线；若P₃P₄＝L，则直接将步骤(a)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线若P′₃P₄＝L₁，则需将步骤(b)中求得的9个控制点带入式1中，得到五次B样条曲线即得到拐点处的平滑路径。