CN105337522B - 一种模块化多电平换流器的双载波调制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种模块化多电平换流器的双载波调制方法，包括双载波调制和电压平衡控制方法两部分，首先根据上桥臂和下桥臂的参考电压，通过双载波调制分别得到上桥臂和下桥臂需要投入的子模块数，进一步得到当前控制周期需要投入的子模块变化量，然后通过电容电压平衡控制方法实现电容电压平衡。根据投入子模块变化量的绝对值判断运行工况，仅算得需要投运或切除的子模块，能在减少开关频率的基础上进一步减少运算量，提高控制***的性能。本发明的方法具有易于实现、谐波特性好和开关损耗低等优点。

Description

一种模块化多电平换流器的双载波调制方法

技术领域

本发明涉及模块化多电平换流器，特别是一种模块化多电平换流器的双载波调制方法。

背景技术

模块化多电平换流器(Modular Multilevel Converters，MMC)具有高度模块化、易拓展、易实现冗余、高效率、谐波特性好、能实现四象限运行等特点，目前已成为中高压应用领域最具吸引力的多电平拓扑结构，在柔性直流输电、电机驱动、电能质量治理等领域具有广泛的应用前景。

多电平调制技术与电容电压平衡控制方法是模块化多电平换流器稳定高效运行的关键技术。目前MMC的调制技术主要包括特定谐波消除法、空间矢量调制、最近电平逼近调制、载波移相调制、载波同相层叠调制。其中特定谐波消除法具有输出波形质量好、开关损耗低等特点，但是由于计算复杂，通常采用离线查表法进行控制，动态性能差；空间矢量调制具有直流电压利用率高等特点，但是随着输出电平数的增加，其运算复杂性以指数级增加，仅适合输出电平数较少的应用场合；最近电平逼近调制具有运算量小、易于实现等特点，适用于子模块数较多的应用场合，但是当应用于模块数较低的场合时，输出波形质量较差；载波移相调制具有等效开关频率高、子模块能量分配较为均衡等优点，但是每个子模块均需附加电容电压平衡控制器，当子模块数较多时，***控制器的设计变得复杂，同时附加的控制必然导致桥臂电流谐波含量的增加，严重时甚至威胁***的稳定运行；载波同相层叠调制策略具有良好的线电压谐波特性，但是传统的载波层叠调制应用于MMC时，难以实现不同子模块间的功率均衡分配；MMC采用载波移相调制策略与载波同相层叠调制时，每个子模块均需要一个对应的载波实现调制，这对于子模块数量很多的应用场合，例如柔性直流输电等应用场合，控制器设计将变得更加复杂，影响了***的性能和稳定性。

电容电压平衡控制是实现MMC稳定运行的必要条件，目前基于排序的电容电压平衡控制方法应用较为广泛。电容电压平衡控制方法通常与MMC的调制策略结合在一起，首先通过调制策略得到需要投入运行或切除的子模块数，再通过基于排序的电容电压平衡控制方法，实现子模块电容电压的平衡控制。目前基于排序的电容电压平衡控制方法主要有两种：传统的电容电压平衡控制方法和减少开关频率的电容电压平衡控制方法。传统的电容电压平衡控制方法需要对所有子模块从大到小进行排序，再根据投入的子模块数、电压大小和电流方向，对相应数量的子模块进行投切操作，计算量大并且开关损耗较高；减少开关频率的电容电压平衡控制方法根据投入子模块数的变化量，仅对已投运的子模块或未投运的子模块进行操作，减少了开关频率，但是减少开关频率的电容电压平衡控制方法仍然需要对子模块从大到小进行排序，当子模块数量较大时，其运算量仍然较大，影响了控制***的性能。由于MMC在大多数运行工况下，并不需要对所有未投入运行或者已投运子模块进行操作，在MMC稳定运行并且控制频率足够高时，MMC投入或切除子模块数的变化量通常为+1、-1和0；在MMC暂态运行时，例如功率翻转等工况下，需要同时投入或切除多个子模块，因此根据MMC的运行工况进行电容电压排序，即根据子模块投入或切除的变化量进行排序，仅算得需要切除或投运的子模块，能在减少开关频率的基础上进一步减少运算量，提高控制***的性能。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种模块化多电平换流器的双载波调制方法。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种模块化多电平换流器的双载波调制方法，模块化多电平换流器包括三相六个桥臂，每相包括上桥臂和下桥臂，所述上桥臂和下桥臂包括N个串联的半H桥型子模块与电抗，所述半H桥子模块包括一个开关臂和一个与所述开关臂并联的电容，所述开关臂包括两个串联的开关管，该方法包括以下步骤：

1)通过双载波调制分别得到模块化多电平换流器a，b，c三相上桥臂和下桥臂需要投入的半H桥型子模块数和进一步得到第k个控制周期需要投入的半H桥型子模块数变化量；其中下标pj表示j相上桥臂，nj表示j相下桥臂，j∈[a,b,c]，上标dcm表示双载波调制，k∈[0,1,…,n]；

2)检测各个半H桥型子模块电容电压和各桥臂电流，根据投入子模块变化量的绝对值，判断其运行工况，并通过电容电压平衡控制方法，实现电容电压平衡控制。

所述步骤1)的具体实现过程包括以下步骤：

1)将第j相上桥臂和下桥臂的参考电压和分别除以H桥型子模块电容电压平均值U_C，得到上桥臂和下桥臂的调制波和并分别对和进行向下取整运算，得到需要投入运行的H桥型子模块数的整数部分和

2)将第j相上桥臂的参考电压减去整数部分的U_C倍，将下桥臂的参考电压减去整数部分的U_C倍，得到上桥臂和下桥臂参考电压的余数部分和

3)使用三角载波和分别对上桥臂和下桥臂进行调制，和之间的移相角为π，将上桥臂和下桥臂参考电压的余数部分和分别与载波和进行比较，得到上桥臂和下桥臂输出的PWM部分和

4)分别将上桥臂和下桥臂对应的整数部分和PWM部分相加，得到上桥臂和下桥臂的多电平脉冲，即得到需要投入的H桥型子模块数和

上桥臂和下桥臂的三角载波和的计算公式分别为：

其中，ω_c表示三角载波的角频率，U_C表示子模块电容电压的平均值，m＝0,1,…,n。所述步骤2)的具体实现过程包括以下步骤：

1)检测各个H桥型子模块电容电压u_Ci，并依次存入数组u_C[N]，将各个H桥型子模块的编号依次存入数组L[N]，将各个半H桥型子模块的投入和切除状态存入数组S[N]；其中，i∈1,2,…,N，N表示H桥型子模块个数；

2)当|ΔN(k)|≤1时，若ΔN(k)＝0，则保持当前的半H桥型子模块开关状态不变；若ΔN(k)＝1并且桥臂电流i_arm>0，此时依次比较未投运半H桥型子模块电容电压，得到未投运半H桥型子模块中电容电压最小的半H桥型子模块及其对应的编号则将编号为的半H桥型子模块投入运行，并将其状态置1；若ΔN(k)＝1并且桥臂电流i_arm<0，则此时通过比较得到未投运半H桥型子模块中电容电压最大值和及其对应的编号则将编号为的半H桥型子模块投入运行，并将其状态置1；若ΔN(k)＝-1并且桥臂电流i_arm>0，此时通过比较得到已投运半H桥型子模块电容电压，得到电容电压最大值及其对应的半H桥型子模块编号将编号为的半H桥型子模块切除，并将其状态清零；若ΔN(k)＝-1并且桥臂电流i_arm<0，此时通过比较已投运半H桥型子模块电容电压，得到电容电压最小值及其对应的半H桥型子模块编号将编号为的半H桥型子模块切除，并将其状态清零；当|ΔN(k)|>1时，若ΔN(k)>1并且桥臂电流i_arm>0，则依次比较未投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_off[N]和L_off[N]，并将这些半H桥型子模块的状态置1，投运电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；若ΔN(k)>1并且i_arm<0，则依次比较未投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组u_off[N]和L_off[N]，并将这些半H桥型子模块的状态置1，投运电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；当|ΔN(k)|>1时，若ΔN(k)<-1并且桥臂电流i_arm>0，则依次比较已投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组u_on[N]和L_on[N]，并将这些半H桥型子模块的状态清零，切除电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；若ΔN(k)<-1并且桥臂电流i_arm<0，则依次比较已投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_on[N]和L_on[N]，并将这些半H桥型子模块的状态清零，切除电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；其中，N(k)为通过双载波调制策略得到的上桥臂或下桥臂第k个控制周期需要投入的半H桥型子模块个数；ΔN(k)表示第k个控制周期桥臂投入的半H桥型子模块的变换量。

与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：本发明大大简化了载波同相层叠调制，上桥臂和下桥臂分别只需一个三角载波，两个载波之间选取优化的移相角π，此时环流电流中由调制产生的高频环流分量为0，双载波调制的线电压和环流电流谐波特性均优于载波移相调制；同时本发明的电容电压平衡控制方法考虑了不同运行工况，根据需要投入或切除的子模块变化量和子模块开关状态，仅算得需要投入或切除的子模块，减少了运算量的同时，减少了开关频率和实现了电容电压平衡控制，采用本发明的电容电压平衡控制方法时，MMC的开关频率低于载波移相调制；本发明具有易于实现、谐波特性好、开关频率低和适用范围广等特点。

附图说明

图1是MMC电路拓扑结构图；

图2是半H桥子模块电路图；

图3是本发明中双载波脉宽调制及电容电压平衡方法流程图；

图4是本发明中子模块电容电压平衡控制图；

图5(a)为ΔN(k)＝1时电容电压平衡控制流程图，图5(b)为ΔN(k)＝-1时电容电压平衡控制流程图，图5(c)为ΔN(k)>1时电容电压平衡控制流程图，图5(d)为ΔN(k)<-1时电容电压平衡控制流程图。

具体实施方式

参见图3，为双载波调制策略及电容电压平衡控制方法流程框图，包括以下步骤：

1)通过双载波调制策略分别得到a，b，c三相上桥臂和下桥臂需要投入的子模块数和(下标中p表示上桥臂，n表示下桥臂，j∈[a,b,c]，上标dcm表示双载波调制)，进一步得到第k个控制周期需要投入的子模块数变化量；

2)检测各个子模块电容电压和桥臂电流，根据电压平衡控制方法，实现电容电压平衡控制。

和分别表示j相上桥臂和下桥臂参考电压，为了便于分析双载波调制策略的谐波特性，假设子模块电容电压的额定值U_C保持不变。

其中M表示调制度，ωo表示电网电压的角频率，U_dc表示MMC直流侧电压，(j∈[a,b,c])表示三相相角，

双载波调制策略包括步骤：

(1)首先对上桥臂和下桥臂的参考电压和分别除以子模块电容电压平均值U_C，得到上桥臂与下桥臂的调制波和经过处理后得到的调制波取值范围为[0～N]。

其中，M表示调制度，N表示桥臂子模块个数，N＝U_dc/U_C。

(2)对上桥臂和下桥臂调制波与分别进行向下取整，得到整数部分和如图4所示。

(3)将调制波减去整数部分，得到上桥臂和下桥臂调制波小数部分与并将调制波小数部分与三角载波进行比较，若调制波小数部分大于三角载波，则输出高电平，否则输出低电平，从而得到上桥臂和下桥臂PWM部分和

和分别是上桥臂和下桥臂的三角载波，载波之间的移相角为π，如下所示：

其中，ω_c表示三角载波的角频率，U_C表示子模块电容的平均值，m＝0,1,…,n。

(4)将整数部分与PWM部分相加，得到上桥臂和下桥臂需要投入运行子模块数的多电平脉冲信号和

参见图4，为电容电压平衡控制流程框图，每个桥臂电容电压平衡控制方法包括以下步骤：

1)检测各个子模块电容电压u_Ci(i＝1,2,…,N，N表示子模块个数)，并依次存入数组u_C[N]，将各个子模块的编号依次存入数组L[N]，将各个子模块的投入和切除状态存入数组S[N]。

定义N(k)为通过双载波调制策略得到的上桥臂(或下桥臂)第k(k为正整数)个控制周期需要投入的子模块个数，N(k-1)表示第k-1个控制周期需要投入的子模块个数，ΔN(k)表示第k个控制周期投入子模块的变换量。

ΔN(k)＝N(k)-N(k-1) (12)

定义数组和分别表示已投运子模块中电容电压最大值及其对应的子模块编号；和分别表示已投运子模块中电容电压最小值及其对应的子模块编号；和分别表示未投运子模块中电容电压最大值及其对应的子模块编号；和分别表示未投运子模块中电容电压最小值及其对应的子模块编号；u_on[N]和L_on[N]分别存放已投运子模块电容电压及其对应的序号，数组u_off[N]和L_off[N]分别存放未投运子模块电容电压及其对应的子模块序号；

由于数组的元素编号从零开始，而子模块编号从1开始，因此定义数组u_C[N]的元素u_C[i]对应着第i+1个子模块的电容电压，其他数组依次类推。

2)首先判断投入子模块变化量绝对值|ΔN(k)|的大小，分为|ΔN(k)|≤1和|ΔN(k)|>1两种情况，分别对应着不同的运行工况，当MMC处于稳定运行时，对应|ΔN(k)|≤1，若控制器控制频率足够高，此时投入或切除子模块的变化量通常为+1，-1和0，分别对应着增加投入一个子模块、切除一个子模块和保持不变；当MMC的控制指令为功率翻转等指令时，对应|ΔN(k)|>1，此时MMC需要同时投入或切除多个子模块。

当|ΔN(k)|≤1时，若ΔN(k)＝1，如图5(a)所示，若i_arm>0此时依次比较未投运子模块电容电压，得到未投运子模块中电容电压最小的子模块和及其对应的编号则将编号为的子模块投入运行，并将这些子模块的状态置1；若i<0，则此是通过比较得到未投运子模块中电容电压最大值和及其对应的编号则将编号为的子模块投入运行，并将这些子模块的状态置1；

若ΔN(k)＝-1，如图5(b)所示，若桥臂电流i_arm>0，此时通过比较得到已投运子模块电容电压，得到电容电压最大值及其对应的子模块编号将编号为的子模块切除，并将这些子模块的状态清零；若桥臂电流i_arm<0，此时通过比较已投运子模块电容电压，得到电容电压最小值及其对应的子模块编号将编号为的子模块切除，并将这些子模块的状态清零；

若ΔN(k)＝0，则保持当前的子模块开关状态不变；

当|ΔN(k)|>1时，若ΔN(k)>1，如图5(c)所示，若桥臂电流i_arm>0，则依次比较未投入运行子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_off[N]和L_off[N]，并将这些子模块的状态置1，投运电容电压最小的|ΔN(k)|个子模块；若i_arm<0，则依次比较未投入运行子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组uo_ff[N]和Lo_ff[N]，并将这些子模块的状态置1，投运电容电压最大的|ΔN(k)|个子模块；

若ΔN(k)<-1，如图5(d)所示，若桥臂电流i_arm>0，则依次比较已投入运行子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组uo_n[N]和Lo_n[N]，并将这些子模块的状态清零，切除电容电压最大的|ΔN(k)|个子模块；若桥臂电流i_arm<0，则依次比较已投入运行子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_on[N]和L_on[N]，并将这些子模块的状态清零，切除电容电压最小的|ΔN(k)|个子模块。

表1为在不同运行工况下本发明中电容电压平衡控制方法与减少开关频率的电容电压平衡控制方法比较次数对比。其中N_off(k-1)为MMC的第k-1个控制周期后未投运子模块数量，N_on(k-1)表示已投运子模块数量。由表1可知，采用本发明的电容电压平衡控制方法，减少了运算量，提高了***性能，特别是在稳态运行时，其运算量大大降低，仅需得到未投运子模块或已投运子模块中电容电压的最大值或最小值。

表1

Claims (2)

1.一种模块化多电平换流器的双载波调制方法，模块化多电平换流器包括三相六个桥臂，每相包括上桥臂和下桥臂，所述上桥臂和下桥臂包括N个串联的半H桥型子模块与电抗，所述半H桥型子模块包括一个开关臂和一个与所述开关臂并联的电容，所述开关臂包括两个串联的开关管，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)通过双载波调制分别得到模块化多电平换流器a，b，c三相上桥臂和下桥臂需要投入的半H桥型子模块数和进一步得到第k个控制周期需要投入的半H桥型子模块数变化量；其中下标pj表示j相上桥臂，nj表示j相下桥臂，j∈[a,b,c]，上标dcm表示双载波调制，k∈[0,1,…,n]；具体实现过程包括以下步骤：

a)将第j相上桥臂和下桥臂的参考电压和分别除以半H桥型子模块电容电压平均值U_C，得到上桥臂和下桥臂的调制波和并分别对和进行向下取整运算，得到需要投入运行的半H桥型子模块数的整数部分和

b)将第j相上桥臂的参考电压减去整数部分的U_C倍，将下桥臂的参考电压减去整数部分的U_C倍，得到上桥臂和下桥臂参考电压的余数部分和

c)使用三角载波和分别对上桥臂和下桥臂进行调制，和之间的移相角为π，将上桥臂和下桥臂参考电压的余数部分和分别与载波和进行比较，得到上桥臂和下桥臂输出的PWM部分和

d)分别将上桥臂和下桥臂对应的整数部分和PWM部分相加，得到上桥臂和下桥臂的多电平脉冲，即得到需要投入的H桥型子模块数和

2)检测各个半H桥型子模块电容电压和各桥臂电流，根据投入子模块变化量的绝对值，判断其运行工况，并通过电容电压平衡控制方法，实现电容电压平衡控制；具体实现过程包括以下步骤：

i.检测各个半H桥型子模块电容电压u_Ci，并依次存入数组u_C[N]，将各个半H桥型子模块的编号依次存入数组L[N]，将各个半H桥型子模块的投入和切除状态存入数组S[N]；其中，i∈[1,2,…,N]，N表示半H桥型子模块个数；

ii.当|ΔN(k)|≤1时，若ΔN(k)＝0，则保持当前的半H桥型子模块开关状态不变；若ΔN(k)＝1并且桥臂电流i_arm＞0，此时依次比较未投运半H桥型子模块电容电压，得到未投运半H桥型子模块中电容电压最小值及其对应的编号则将编号为的半H桥型子模块投入运行，并将其状态置1；若ΔN(k)＝1并且桥臂电流i_arm＜0，则此时通过比较得到未投运半H桥型子模块中电容电压最大值及其对应的编号则将编号为的半H桥型子模块投入运行，并将其状态置1；若ΔN(k)＝-1并且桥臂电流i_arm＞0，此时通过比较得到已投运半H桥型子模块电容电压，得到电容电压最大值及其对应的半H桥型子模块编号将编号为的半H桥型子模块切除，并将其状态清零；若ΔN(k)＝-1并且桥臂电流i_arm＜0，此时通过比较已投运半H桥型子模块电容电压，得到电容电压最小值及其对应的半H桥型子模块编号将编号为的半H桥型子模块切除，并将其状态清零；当|ΔN(k)|＞1时，若ΔN(k)＞1并且桥臂电流i_arm＞0，则依次比较未投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_off[N]和L_off[N]，并将这些半H桥型子模块的状态置1，投运电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；若ΔN(k)＞1并且i_arm＜0，则依次比较未投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组u_off[N]和L_off[N]，并将这些半H桥型子模块的状态置1，投运电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；当|ΔN(k)|＞1时，若ΔN(k)＜-1并且桥臂电流i_arm＞0，则依次比较已投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从大到小存入数组u_on[N]和L_on[N]，并将这些半H桥型子模块的状态清零，切除电容电压最大的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；若ΔN(k)＜-1并且桥臂电流i_arm＜0，则依次比较已投入运行的半H桥型子模块的电容电压，得到电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块，分别将其电压和编号从小到大存入数组u_on[N]和L_on[N]，并将这些半H桥型子模块的状态清零，切除电容电压最小的|ΔN(k)|个半H桥型子模块；其中，N(k)为通过双载波调制策略得到的上桥臂或下桥臂第k个控制周期需要投入的半H桥型子模块个数；ΔN(k)表示第k个控制周期桥臂投入的半H桥型子模块数量相对于k-1个控制周期桥臂投入的半H桥型子模块数量的变化量。

2.根据权利要求1所述的模块化多电平换流器的双载波调制方法，其特征在于，上桥臂和下桥臂的三角载波和的计算公式分别为：

<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中，ω_c表示三角载波的角频率，U_C表示子模块电容电压的平均值，m＝0，1，…，n。