CN105205253A - 一种稀布圆形天线阵列的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种稀布圆形天线阵列的优化方法，包括以下步骤：(1)采用间接的方法产生个体构建初始种群；(2)对种群进行遗传预处理；(3)对种群进行广义交叉和广义变异；(4)对种群进行遗传后处理，根据适应度优劣选择优势个体；(5)迭代优化，获得最优个体和最小的峰值旁瓣电平。本方法优化的圆阵列特征是阵列单元在圆孔径上非均匀分布，并不限制在辅助圆环上，本方法可更大限度地利用阵元的自由度，比传统的遗传算法效率高，能够使天线阵列获得更低的旁瓣电平。

Description

一种稀布圆形天线阵列的优化方法

技术领域

本发明涉及阵列天线领域，具体说，是利用修正遗传算法实现多约束的稀布圆形天线阵列设计，圆形孔径上设计等间距辅助圆环，利用圆环阵列特性设计稀布圆形阵列天线，使其获得尽量低的峰值旁瓣电平。

背景技术

圆形阵列天线是多元天线类型中最重要的阵列天线类型之一，广泛运用在通信领域和射电天文学领域。圆环阵列天线在其方位角方向具有理想的方向特征，同时其圆形的结构特征使得其波束，天线增益和其他的性能保持基本稳定。因为圆环阵列天线具有以上特征，使其广泛运用在很多工程实践中，但是圆环阵列天线具有相对较高的峰值旁瓣电平，因此圆环阵列天线设计已经成为了重要的研究课题。

圆形阵列天线按阵元的分布有两种：一种是阵元从相距半波长的规则的圆环栅格上稀疏的稀疏阵；另一种是天线单元在设计时约束其阵元间距在一定孔径范围内随机稀布的稀布阵。近年来，为了得到峰值旁瓣性能良好的稀疏阵，已经出现了统计优化法、动态规划法、遗传算法、模拟退火法、粒子群法等综合方法。而对于自由度更大的稀布阵国内外却鲜有研究。所以对稀布圆形阵列天线的低旁瓣电平的研究，具有很现实的意义。

发明内容

本发明的目的，提供一种修正遗传算法来优化稀布圆形天线阵列，在约束阵元数目、孔径和最小间距的约束下，尽量降低稀布圆形阵列天线的峰值旁瓣电平。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是：

在约束阵元数目、孔径和最小间距的约束下，基于修正遗传算法，通过间接表示个体的方法，使用广义遗传操作，遗传预处理和遗传后处理对阵元位置进行优化，使遗传操作效率更高，获得更低的峰值旁瓣电平，详细步骤如下：

步骤1：在阵元数目，孔径和最小阵元间距约束的条件下，稀布圆形阵列天线的阵列方向：

$E(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=1+\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{I}_n\exp \[j({\mathrm{\ψ}}_n+{\mathrm{kr}}_n{\mathrm{cos\α}}_n)\]---\left(1\right)$

其中

cosα_n＝sinθcos(φ-φ_n)；

N是优化变量的个数，即阵元总数；

λ为波长；

k＝2π/λ；

0≤θ≤π和分别为俯仰角和方位角；

I_n为激励；

ψ_n为阵元的相位；

r_n为阵元n的半径；

φ_n为阵元n空间几何上的角度；

u＝sinθcosφ；0≤θ≤π；

v＝sinθsinφ；0≤φ≤2π；

所有的阵元有相同的激励，所以假设所有的阵元I_n＝1，ψ_n＝0。通过优化阵元的位置获得较低的峰值旁瓣电平，其优化函数为：

$\left\{\begin{array}{c}\min MSLL=f(d_1,d_2,...,d_N)\\ \begin{array}{cc}s.t.& \left|d_m-d_n\right|\&GreaterEqual;d_c>0\end{array}\\ \left|d_m\right|<R\\ m,n\&Element;Z,1\&le;m,n\&le;N\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中适应函数为：

$fitness\left(D\right)=max\left\{\right|\frac{E(\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&phi;})}{{\mathrm{FF}}_{max}}\left|\right\}---\left(3\right)$

目标函数为：

$f(d_1,d_2,...,d_N)=\min \left\{fitness\left(D\right)\right\}---\left(4\right)$

FF_max是主瓣峰值，θ和的取值区间为除主瓣区域以外的所有区域。

步骤2：初始种群的产生

为了更好地利用阵元的自由度来优化稀布圆环阵列的阵元位置。采用铺助向量C间接表述优化个体。图2为孔径R＝(a+1)d_c的均匀圆环阵列，a∈Z是圆环个数，d_c是阵元间距。在约束阵元最小间距d_c的条件下，在每一个圆环上阵元的分布是不定的。即，假设在满足相邻阵元的间距不小于d_c的条件下，在第i个圆环上分布k_i个阵元，k_i可以用下式表示：

其中R_i是第i个圆环的半径，Int为向下取整。如图2所示的结构，在已知的圆环孔径下有阵元分布是不定的。假设约束的最小阵元间距d_c＝λ/2，可计算出每个圆环上的最大阵元数k_i和相对应的相位角间距Δ_i(同一圆环上相邻阵元的角间距)，如表I所示。

表I

因为k_i个阵元均匀分布在第i个圆环上，所以Δ_i为：

复向量C可以表示为：

$\begin{array}{cccc}C=\&lsqb;d_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_1},& d_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_1},& ...,& d_c{e}^{{\mathrm{jk}}_1{\mathrm{\&Delta;}}_1},\\ 2d_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_2},& 2d_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_{22}},& ...,& 2d_c{e}^{{\mathrm{jk}}_2{\mathrm{\&Delta;}}_2},\\ ...& & & \\ {\mathrm{ad}}_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_a},& {\mathrm{ad}}_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_a},& ...,& {\mathrm{ad}}_c{e}^{{\mathrm{jk}}_a{\mathrm{\&Delta;}}_a}{\&rsqb;}^T\end{array}---\left(7\right)$

其中a＝R/d_c-1为圆环个数，为第i个圆环上的最大阵元数，为第i个圆环上有k_i个阵元时的平均角间距。C与阵元约束d_c和角间距Δ_i有关，因此也与阵元数目有关，所以C又可视为约束向量。在C的基础上辅助向量F_t可以通过以下步骤得出:

(1)、假设一个的实数列向量M₀，其元素值在[0,0.5λ]范围内，并从小到大排序。将M₀分成a段。第k₁个阵元在M₀的第一段，第二段有k₂个阵元，即从(k₁+1)到(k₁+k₂+1)的k₂个阵元。所以第a段含有M₀的最后的k_a个阵元。因为在每一段中阵元是随机分布的，因此得到新的维随机向量：

$\mathrm{\&eta;}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11},...& ...& ...& ...\end{array}\right.---\left(8\right)$

向量η有如下的特征：每一段上的阵元是随机分布的，但是(k+1)段的每一个阵元不小于k段上的任一个阵元。

(2)、假设一个随机向量 $\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&xi;}}_1,& {\mathrm{\&xi;}}_2,& ...& ,\end{array}\right.$ 元素值在[0,2π]范围内，具体表示为：

由此可得ζ也有维，也有a段。ζ的特征为：不同的分段中元素是不等的随机数，但是每一段中是相等的。

(3)、在铺助模板向量C的基础上，模板向量F_t如公式(10)所示，把η的元素作为复数的模，加到铺助模板向量C对应的模上，把ζ元素作为复数的辐角，加到铺助模板向量C对应的辐角上，因此模板向量F_t可以表示为：

$\begin{array}{cccc}{F}_t=\&lsqb;(d_c+x_{11})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},& (d_c+x_{12})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},& ...,& (d_c+x_{1k_1})e^{j(k_1{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},\\ (2d_c+x_{21})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& (2d_c+x_{22})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& ...,& (2d_c+x_{2k_2})e^{j(k_2{\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},\\ ...& & & \\ ({\mathrm{ad}}_c+x_{a1})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)},& ({\mathrm{ad}}_c+x_{a2})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)},& ...,& ({\mathrm{ad}}_c+x_{{\mathrm{ak}}_a})e^{j(k_a{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)}{\&rsqb;}^T\end{array}---\left(10\right)$

可以证明F_t满足三个设计约束，也很好的利用了阵元的自由度。

(4)、个体向量u由N个非零阵元组成的稀布向量，且搜索向量S能够记录模板向量F_t中哪些元素被保留，搜索向量定义如下：

定义1：对于稀布向量u，如果第q个阵元是稀疏的，则与第q个阵元相关的搜素向量的值为‘0’，否则为‘1’。

在搜索向量F_t的基础上，通过稀疏的模板向量F_t能够得到个体向量u：

u＝S.*F_t(11)

考虑到F_t和S都是含有个元素的一维阵列，F_t和S标量乘可以得到稀布向量u。

例如搜索向量S为：

S＝[1，0，…，1，

1，1，…，1，

…(12)

0，1，…，1]^T

因此稀布向量u可以表示为：

$\begin{array}{cccc}u=\&lsqb;(d_c+x_{11})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},& 0,& ...,& (d_c+x_{1k_1})e^{j(k_1{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},\\ (2d_c+x_{21})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& (2d_c+x_{22})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& ...,& (2d_c+x_{2k_2})e^{j(k_2{\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},\\ ...& & & \\ 0,& ({\mathrm{ad}}_c+x_{a2})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)},& ...,& ({\mathrm{ad}}_c+x_{{\mathrm{ak}}_a})e^{j(k_a{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)}{\&rsqb;}^T\end{array}---\left(13\right)$

可以证明c个体矢量u在解空间中是可行解，因此它能都作为优化变量。

独立重复以上操作M次，可以得到由M个u组成的初始种群U。当然，初始种群中的每个个体都满足阵元个数，阵列孔径和最小阵元间距的约束。

步骤3：遗传预处理和后处理

传统的遗传算法不能直接描述个体，因此将会产生不可行解。为了防止不可行解的产生，需要改变一些遗传算法的操作。我们将修正的遗传算法操作称为广义的交叉和广义变异操作。定义2：阵元矩阵：阵元矩阵G_A,每一列都是一个约束矩阵C。因此有行和M列。

定义3：种群约束矩阵：种群约束矩阵G_M是根据种群搜索矩阵S_M，从G_A中分离出来的。

G_M＝S_M.*G_A(14)

定义4：遗传预处理：在进行广义交叉和广义变异之前，遗传预处理从父代种群U₁中得到遗传信息矩阵P

其中G_M是种群U₁的种群约束矩阵，|·|表示复数的模操作，为复数的角度操作符。

定义5：遗传后处理操作：在广义交叉和广义变异之后，遗传后处理再次从遗传信息矩阵P'中构造种群U₂

其中G_M'是与种群P'相关的种群约束矩阵。同时后代种群P'是从父代种群P中通过广义交叉和广义变异中得到的。

步骤4：广义交叉操作和广义变异操作

与传统的遗传算法交叉一样，广义交叉用来交换两个染色体的非零模的元素，然后重置元素模的元素。重置操作使得模向量满足η的性质。详细的重置操作如下：模向量，即|P|的列向量，可以分成a段，首先找出每一段最小的元素。假设第i段的最小元素是w，然后将其与第(i-1)段的每一个元素的模进行比较，如果第(i-1)的某个元素的模大于w，则用w替换。同样地，执行广义交叉后，为了满足ζ性质，两个列向量的元素需要重置。

广义变异改变父代个体的遗传信息。首先从遗传矩阵P的一列中随机选择一个元素，如果这个元素是0，用替代，r_i小于i段种的元素最大模大于元素最小模，φ_i∈[0,2π]。如果选择的元素是非零的，用0替代。在这个过程中，为了满足阵元个数的约束，非零元素的个数必须保持不变。其次，重置也使向量满足η的性质，而且使得角度向量满足ζ的性质。最后，模向量和角向量能够重构遗传信息矩阵P'(代表了后代的新的遗传信息)。

传统的遗传算法直接在优化变量的编码上进行交叉和变异操作，而广义交叉和广义变异是在遗传信息矩阵P上进行操作，不是直接操作优化变量，而是从遗传过程衍生而来，可用父代的S,η和ζ代替；另一方面，包括传统的遗传算法在内，这两个广义遗传操作都能确保后代的遗传信息是有效的，即S_son,η_son和ζ_son是有效的。以上所述操作，我们称之为广义交叉和广义变异操作。广义交叉和广义变异操作使得修正遗传算法搜索更快具有更好的收敛特性。

通过遗传预处理，广义交叉和广义变异和遗传后处理优化初始种群，迭代获得最优的个体，获得更低的峰值旁瓣电平。本发明提出在均匀圆环阵列的基础上，利用稀疏向量间接表示个体，代替传统遗传算法的直接描述个体的方法。使用广义遗传操作，遗传预处理和遗传后处理可以保证在迭代过程中所有的个体都是可行解，使得修正遗传算法的效率大大提高。

附图说明

图1稀布平面圆形阵列的模型

图2均匀9圆环阵列

图3实例1的辐射方向图

图4实例1当φ＝0°,φ＝45°,和φ＝90°时的远场方向图

图5实例1的阵元分布图

图6实例2的辐射方向图

图7实例2当φ＝0°,φ＝45°,和φ＝90°时的远场方向图

图8实例2的阵元分布图

具体实施方式

下面对本发明优化实施方式作详细说明

以下给出本发明的实施实例。由附图可知，本发明通过对两种情况的孔径和稀布率来优化阵元位置证实其有效性和稳定性。图1为稀布圆环天线阵列的模型。第一个实例是本发明优化孔径r≤4.5λ，稀布率为70％和阵元数为184(除去圆心上的阵元)的稀布圆环天线阵列的阵元位置。图3为最优的平面圆环阵列的远场辐射方向图，在φ平面上PSLL为-22.723dB,最坏的PSLL为-22.051dB。图4为在φ＝0°,φ＝45°,和φ＝90°时的远场方向图。最优的阵元分布如图5所示。第二个发明实例是本发明优化孔径小于等于5λ,阵元数为200(不包括圆心处的阵元)的稀布圆环天线阵列的阵元位置。平面圆环阵列的最优的远场方向图如图6所示。图7为在φ＝0°,φ＝45°,φ＝90°时的远场方向图。最优的阵元分布如图8所示。最优和最坏的PSLL分别为-23.7424dB和-22.8064dB。

Claims (6)

1.一种稀布圆形天线阵列的优化方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤1：产生间接描述的个体构建初始种群；

步骤2：对种群进行遗传预处理；

步骤3:对种群进行广义交叉和广义变异操作；

步骤4：对种群进行遗传后处理，完成遗传信息提取；

步骤5：重复执行步骤2-4操作优化种群，迭代最后得到最优个体，获得最低旁瓣电平。

2.如权利1所述的稀布圆形天线阵列，其特征特在于，辅助圆环间距相等，阵元间距在圆孔径上不等距分布，不限制在辅助圆环上。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1中，产生初始种群的步骤如下：

步骤1：在满足相邻阵元间距不小于d_c的条件下，在第i个圆环上分布k_i个阵元，k_i可以用下式表示：

其中R_i是第i个圆环的半径，为向下取整。因为k_i个阵元均匀分布在第i个圆环上，所以Δ_i(同一圆环上相邻阵元的角间距)为：

复向量C可以表示为：

$\begin{array}{cccc}C=\&lsqb;d_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_1},& d_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_1},& ...,& d_c{e}^{{\mathrm{jk}}_1{\mathrm{\&Delta;}}_1},\\ 2d_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_2},& 2d_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_{22}},& ...,& 2d_c{e}^{{\mathrm{jk}}_2{\mathrm{\&Delta;}}_2},\\ ...& & & \\ {\mathrm{ad}}_c{e}^{{\mathrm{j\&Delta;}}_a},& {\mathrm{ad}}_c{e}^{j2{\mathrm{\&Delta;}}_a},& ...,& {\mathrm{ad}}_c{e}^{{\mathrm{jk}}_a{\mathrm{\&Delta;}}_a}{\&rsqb;}^T\end{array}---\left(3\right)$

其中a＝R/d_c-1为圆环个数，k_i(i＝1,2,…为第i个圆环上的最大阵元数，Δ_i(i＝1,2,…为第i个圆环上有k_i个阵元时的平均角间距。

步骤2：在C的基础上辅助向量F_t可以通过以下步骤得出:

(1)、假设一个的实数列向量M₀，其元素值在[0,0.5λ]范围内，并从小到大排序。将M₀分成a段。第k₁个元素在M₀的第一段，第二段有k₂个元素，即从(k₁+1)到(k₁+k₂+1)的k₂个元素，所以第a段含有M₀的最后k_a个元素。由于每一段中元素随机分布，因此得到新的维随机向量：

η＝[x₁₁,…………(4)

向量η有如下的特征：每一段上的元素是随机分布的，但是(k+1)段的每一个元素不小于k段上的任一个元素。

(2)、假设一个随机向量[ξ₁,ξ₂，…，元素值在[0,2π]范围内，具体表示为：

由此可得ζ也有维，也有a段。ζ的特征为：不同的分段中元素是不相等的，但是每一段中元素是相等的。

(3)、在铺助模板向量C的基础上，模板向量F_t如公式(6)所示，把η的元素作为复数的模，加到铺助模板向量C对应的模上，把ζ元素作为复数的辐角，加到铺助模板向量C对应的辐角上，因此模板向量F_t可以表示为：

$\begin{array}{cccc}{F}_t=\&lsqb;(d_c+x_{11})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},& (d_c+x_{12})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},& ...,& (d_c+x_{1k_1})e^{j(k_1{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_1)},\\ (2d_c+x_{21})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& (2d_c+x_{22})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},& ...,& (2d_c+x_{2k_2})e^{j(k_2{\mathrm{\&Delta;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_2)},\\ ...& & & \\ ({\mathrm{ad}}_c+x_{a1})e^{j({\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)},& ({\mathrm{ad}}_c+x_{a2})e^{j(2{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)},& ...,& ({\mathrm{ad}}_c+x_{{\mathrm{ak}}_a})e^{j(k_a{\mathrm{\&Delta;}}_a+{\mathrm{\&xi;}}_a)}{\&rsqb;}^T\end{array}---\left(6\right)$

(4)、个体向量u由N个非零阵元组成的稀布向量，且搜索向量S能够记录模板向量F_t中哪些元素被保留，搜索向量定义为：对于稀布向量u，如果第q个阵元是稀疏的，则与第q个阵元相关的搜素向量的值为‘0’，否则为‘1’。

步骤3：在搜索向量F_t的基础上，通过稀疏的模板向量F_t能够得到个体向量u：

u＝S.*F_t(7)

考虑到F_t和S都是含有个元素的一维阵列，F_t和S标量乘可以得到稀布向量u。

步骤4：独立重复以上操作M次，可以得到由M个u组成的初始种群U。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤2和4中，遗传预处理后遗传后处理操作如下：

步骤1：阵元矩阵：阵元矩阵G_A,每一列都是一个约束矩阵C。因此有行和M列。

步骤2：种群约束矩阵：种群约束矩阵G_M是根据种群搜索矩阵S_M，从G_A中分离出来的。

G_M＝S_M.*G_A(1)

步骤3：遗传预处理：在进行广义交叉和广义变异之前，遗传预处理从父代种群U₁中得到遗传信息矩阵P

其中G_M是种群U₁的种群约束矩阵，|·|表示复数的模操作，为复数的角度操作符。

步骤4：遗传后处理操作：在广义交叉和广义变异之后，遗传后处理再次从遗传信息矩阵P'中构造种群U₂

其中G_M'是与种群P'相关的种群约束矩阵。同时后代种群P'是从父代种群P中通过广义交叉和广义变异中得到的。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤3中，广义交叉和广义交叉操作如下：

与传统的遗传算法交叉相比，广义交叉用来交换两个染色体的非零模的元素，然后还要重置元素模的顺序。重置操作使得模向量满足η的性质，详细的重置操作如下：模向量，即|P|的列向量，可以分成a段，首先找出每一段最小的元素。假设第i段的最小元素是w，然后将其与(i-1)段的每一个元素的模进行比较，如果(i-1)段的某个元素的模大于w，则用w替换。同样地，执行广义交叉后，为了满足ζ性质，两个列向量的元素需要重置。

广义变异改变父代个体的遗传信息。首先从遗传矩阵P的一列中随机选择一个元素，如果这个元素是0，用替代，r_i小于i段中的元素最大模大于元素最小模，φ_i∈[0,2π]。如果选择的元素是非零的，用0替代。在这个过程中，为了满足阵元个数的约束，非零元素的个数必须保持不变。其次，重置可使向量满足η的性质，而且也使得角度向量满足ζ的性质。最后，模向量和角向量可以重构遗传信息矩阵P'(代表了后代的新的遗传信息)。

6.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤4中，适应度函数为：

$fitness\left(D\right)=max\left\{\left|\frac{E(\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&phi;})}{{\mathrm{FF}}_{max}}\right|\right\}---\left(1\right)$

其中

$E(\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&phi;})=1+\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{I}_n\exp \&lsqb;j({\mathrm{\&psi;}}_n+{\mathrm{kr}}_n{\mathrm{cos\&alpha;}}_n)\&rsqb;---\left(2\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\min MSLL=f(d_1,d_2,...,d_N)\\ \begin{array}{cc}s.t.& \left|d_m-d_n\right|\&GreaterEqual;d_c>0\\ & \left|d_m\right|<R\\ & m,n\&Element;Z,1\&le;m,n\&le;N\end{array}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中

cosα_n＝sinθcos(φ-φ_n)；

N是优化变量的个数，即阵元总数；

λ为波长；

k＝2π/λ；

0≤θ≤π和分别为俯仰角和方位角；

I_n为激励；

ψ_n为阵元的相位；

r_n为阵元n的半径；

φ_n为阵元n空间几何上的角度；

u＝sinθcosφ；0≤θ≤π；

v＝sinθsinφ；0≤φ≤2π；

FF_max是主瓣峰值，θ和的取值区间为除主瓣区域以外的所有区域。