CN105188089A - 超密集异构网络中基于用户连接与干扰管理联合优化的负载均衡方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种超密集异构网络中基于用户连接和干扰管理联合优化的负载均衡方法，包括最优化模型建立，以最大化超密集异构网络中所有用户对数速率总和为目标建立用户连接和ABS比率联合优化的负载均衡模型，用户连接方法，在固定ABS比率下，用一个离散的对偶分解方法求解最优的用户连接，ABS比率计算方法，在固定用户连接情况下，求解最优ABS比率的计算表达式，获得最终结果，用迭代求解用户连接和ABS比率的方法获得全局的次优解。采用本发明中的方法，能够提高超密集异构网络中负载的均衡性和用户速率的公平性，同时提升超密集异构网络资源的利用率。

Description

超密集异构网络中基于用户连接与干扰管理联合优化的负载均衡方法

技术领域

本发明涉及基于超密集异构网络中用户连接的问题，属于无线通信中的网络技术领域。

背景技术

在长期演进及其后续演进(LTE-A,LongTermEvolution-Advanced)***的异构网络中，部署高密度的小站成为常见的策略，从而形成超密集异构网络。

在超密集异构网络中，不同类型(比如可以按照发射功率进行区分)的基站构成不同层，同一类型的基站处于同一层。比如发射功率小的基站称为小站，所有小站构成小站层，发射功率大的基站称为宏站，所有宏站构成宏站层。由于不同层的基站之间的发射功率不同，造成用户接收的来自不同站的参考信号接收功率(RSRP，ReferenceSignalReceivedPower)有很大的差距，如果用户采用传统的最大RSRP连接机制，会造成很大一部分用户接入到发射功率较大，信号较好的基站上，从而造成这些基站的拥塞。而其它一些发射功率较小，但是有丰富资源的基站处于空闲状态。这样，使得网络负载分布不均衡，使得整个网络资源不能得到充分合理的运用，造成***资源利用率低，网络整体性能下降。

无线网络中，可以用基站连接的用户数反映基站的负载，所以寻求网络中各基站的负载均衡可以看成寻求合适的用户连接方法。在传统的蜂窝网络中负载均衡机制就是将重负载和轻负载区域内的资源合理分配，把重负载网络中的用户转移到周围负载相对较轻的网络，达到负载均匀分布的状态。这样使得整个***的资源利用率得到有效提升。但是在超密集异构网络中，由于大小站之间的发射功率差异较大，从宏站卸载到小站的用户将受到来自宏站的强干扰，造成用户的信号与干扰加噪声比(SINR，SignaltoInterferenceplusNoiseRatio)较低。导致用户从小站获得的吞吐量下降，无法充分利用小站资源。所以超密集异构网络中的负载均衡需要考虑干扰的影响，联合干扰管理技术才能进一步提升网络性能。

为了促使用户从拥塞的宏站卸载到小站上，并且减少从宏站卸载到小站的用户受到的干扰，进一步达到宏站与小站之间的负载均衡，超密集网络中引入几乎空白子帧(ABS，AlmostBlankSubframe)，也就是宏站在时间域上按照一定的ABS比率留出一些几乎空白子帧，在这些子帧期间，小站用户受到宏站的干扰将下降，提高小站资源的利用率，但是这是以牺牲宏站用户的可用资源为代价，所以宏站的ABS比率的选择需要经过优化。

发明内容

本发明的目的是提供一种超密集异构网络中基于用户连接和干扰管理联合优化的负载均衡方法，提出了一种用户连接和ABS比率联合优化的方法。采用本发明中的方法，能够提高超密集异构网络中负载的均衡和用户速率的公平性，以及网络资源的利用率。

本发明以最大化所有用户的对数速率总和为目的，对用户连接和ABS比例进行联合优化，从而实现负载均衡。由于该联合优化问题复杂度过高，因此，将原问题分解成用户连接和ABS比率计算两个子问题，用一个离散的对偶分解方法求解固定ABS比率情况下的最优用户连接，给出了给定用户连接情况下最优ABS比率的表达式，然后根据求得的最优ABS比率计算用户连接，根据新获得的用户连接计算ABS比率，对两个子问题进行迭代求解直到收敛获得原问题的次优解。

本发明以最大化超密集异构网络中所有用户的对数速率总和为目标建立用户连接和ABS比例联合优化的负载均衡模型。该模型在以下方面提升网络的公平性，首先，以提升用户的速率为目标会促使用户连接到相对空闲能够分配到更多资源的小站上，从而提高大小站之间负载的均衡性，其次，对数函数是一个增益递减的函数，可提高用户速率的公平性。通过该模型确定的用户连接还可以提升整体网络吞吐量性能。

假设在超密集异构网络中，所有的大站都采用同步的ABS比率0≤α≤1，每个大站占有1-α的时间资源，小站既可以工作在ABS期间，也可以工作在非ABS期间，所以将每个小站看成两个逻辑基站，一个ABS小站，占有α的时间资源；一个非ABS小站，占有1-α的时间资源。用户可以选择连接到大站，ABS小站或者非ABS小站。

所有的大站用集合M表示，大小为N_m，所有的ABS小站由集合P^ABS表示，大小为N_p，所有的非ABS小站由集合P^nABS表示，大小为N_p，所有的用户由集合U表示，大小为N_u。

用户i从大站或非ABS小站j接收的SINR值：

${\mathrm{SINR}}_{ij}=\frac{P_j{h}_{ij}}{{\Σ}_{n\∈(M\∪P^{naBS})/j}{P}_n{h}_{in}+{\mathrm{\σ}}^2},\∀i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}---\[1\]$

用户i从ABS小站j接收的SINR值：

${\mathrm{SINR}}_{ij}=\frac{P_j{h}_{ij}}{{\Σ}_{n\∈P^{ABS}/j}{P}_n{h}_{in}+{\mathrm{\σ}}^2},\∀i\∈U,j\∈P^{ABS}---\[2\]$

其中，P_j定义为标号为j的基站的发射功率，h_ij表示的是从基站j到用户i的信道增益，包含路径损耗，阴影衰落和天线增益，σ²表示噪声功率。

用户i从基站j得到的信道容量c_ij由下式计算得到：

c_ij＝Wlog(1+SINR_ij)[3]

其中W表示基站的带宽。通常可认为所有的基站使用相同的带宽。

本发明提出的优化问题如下式所示。

$\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\underset{i,j}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logR}}_{ij}(\mathrm{\α},k_j)---\[4a\]$

约束条件:

$\underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U---\[4b\]$

$\underset{i}{\Σ}{x}_{ij}=k_j,\∀j\∈B---\[4c\]$

$\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j=N_u---\[4d\]$

$x_{ij}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B---\[4e\]$

0≤α≤1[4f]其中，x_ij是一个二进制变量，当用户i连接到基站j上的时候，x_ij＝1，否则为0.k_j定义为第j个基站上连接的用户数，X表示所有x_ij的集合，K表示所有k_j的集合，α表示ABS比率。约束条件[4b]用以限制每个用户只连接到一个基站上，约束条件[4d]用以确保所有的用户都得到连接。R_ij(α,k_j)表示用户i从基站j获得的速率，它由下式计算：

$R_{ij}(\mathrm{\α},k_j)=\left\{\begin{array}{c}\frac{(1-\mathrm{\α})W}{k_j}\log (1+{\mathrm{SINR}}_{ij}),\∀i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}\\ \frac{\mathrm{\α}W}{k_j}\log (1+{\mathrm{SINR}}_{ij}),\∀i\∈U,j\∈P^{ABS}\end{array}\right.---\[5\]$

由于该联合问题的耦合性，是一个非凸问题，求解困难，所以本发明寻求一个该问题的次优解。

将最优化变量分成两块{X,K}和{α}，分别对应于两个子问题，即用户连接和ABS比率计算，迭代求解两个子问题直至收敛。每一次迭代中，固定某块中的变量的取值，对另一块中的变量进行最优化。也就是固定ABS比率最优化用户连接，以及固定用户连接最优化ABS比率，然后通过迭代得到全局次优解。

具体过程如下：

1给定用户连接计算最优的ABS比率

给定用户连接，即变量{X,K}固定，将表达式[3]和[5]代入[4a]中，得到：

$\begin{array}{c}\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\underset{i,j}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logR}}_{ij}(\mathrm{\α},k_j)\\ =\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\left(\underset{i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{x}_{ij}\log \right(\frac{(1-\mathrm{\α})c_{ij}}{k_j})+\underset{i\∈U,j\∈P^{ABS}}{\Σ}{x}_{ij}\log \left(\frac{{\mathrm{\αc}}_{ij}}{k_j}\right))\\ =\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\left(\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\log \right(1-\mathrm{\α})+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j\log \mathrm{\α}+\underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logc}}_{ij}-\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j)\end{array}---\[6\]$

该式对α进行求导取零，可以得到最优ABS比率的表达式：

$\mathrm{\α}=\frac{\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j}{\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j}=\frac{\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j}{N_u}---\[7\]$

由该表达式可以看出，当用户连接给定时，最优的ABS比率为所有连接到ABS小站上的用户数与总用户数之比。

2给定ABS比率计算最优用户连接

此时，变量α是固定的，此时最优用户连接可以通过离散的对偶分解方法得到。为此，引入对偶变量μ用于限制[4c]和对偶变量ν用于限制[4d]，从而拉格朗日函数表达式：

$\begin{array}{c}L(X,K,\mathrm{\μ},v)=\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\log (1-\mathrm{\α})+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j\log \mathrm{\α}+\underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logc}}_{ij}\\ -\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j-\underset{j\∈B}{\Σ}{\mathrm{\μ}}_j(\underset{i\∈U}{\Σ}{x}_{ij}-k_j)-v(\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j-N_u)\end{array}---\[8\]$

以及对偶函数表达式：

$g(\mathrm{\μ},v)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{\{X,K\}}{\max }& L(X,K,\mathrm{\μ},v)\\ s.t.& \underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U\\ & x_{xi}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B\end{array}\right.---\[9\]$

拉格朗日对偶理论表明通过最小化对偶函数g(μ,ν)来更新各个对偶变量，这样对偶问题就可以由下式表示：

$\begin{array}{ccc}G:& \underset{\mathrm{\μ},v}{\min }& g(\mathrm{\μ},v)=f_x\left(\mathrm{\μ}\right)+h_k(\mathrm{\μ},v)\end{array}---\[10\]$

$f\left(\mathrm{\μ}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{\left\{X\right\}}{\max }& \underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}\left(\log \right(c_{ij})-{\mathrm{\μ}}_j)\\ s.t.& \underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U\\ & x_{ij}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B\end{array}\right.---\[11\]$

$\begin{array}{c}h(\mathrm{\μ},v)=\underset{\left\{K\right\}}{\max }\underset{j\∈B}{\Σ}{\mathrm{\μ}}_j{k}_j+\log (1-\mathrm{\α})\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\\ +\log \mathrm{\α}\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j-\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j\\ -v\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j+{\mathrm{vN}}_u\end{array}---\[12\]$

当给定最优的对偶变量μ*和ν*，问题[11]和问题[12]就可以分别在用户端和基站端进行求解获得最优的用户连接。

在用户端求解问题[11],由表达式可以直接观察到用户i将通过下式选择服务基站j*：

$j*=\arg \max \{{\mathrm{logc}}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_j\},\∀j\∈B$

$x_{ij}=\{\begin{array}{c}1,j=j*\\ 0,j\≠j*\end{array}---\[13\]$

在基站端求解问题[12]，对k_j进行求导取零，可以得到每个基站理论计算应该连接的用户数由下式获得:

$k_j\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-v\left(t\right)+\log (1-\mathrm{\α})-1},& \∀j\∈M\∪P^{nABS}\\ e^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-v\left(t\right)+\log \mathrm{\α}-1},& \∀j\∈P^{ABS}\end{array}\right.---\[14\]$

将[13]和[14]代入[7]中对偶函数表达式变为：

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\μ},v}{\min }& g(\mathrm{\μ},v)=\underset{i\∈U}{\Σ}\underset{j}{\max }\{{\mathrm{logc}}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_j\}\end{array}\\ +\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j-v-\log (1-\mathrm{\α})-1}\\ +\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j-v+\log \mathrm{\α}-1}+{\mathrm{vN}}_u\end{array}---\[15\]$

给定μ，将对偶函数对对偶变量ν求导取零，得到ν的最优解：

$v(t+1)=\log \left(\frac{\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)+\log (1-\mathrm{\α})-1}+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)+\log \mathrm{\α}-1)}}{N_u}\right)---\[16\]$

式中的迭代次数t表示对偶变量的更新需要按顺序进行，先更新对偶变量μ，再更新对偶变量ν。

对偶变量μ通过梯度下降法更新：

${\mathrm{\μ}}_j(t+1)={\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-\mathrm{\β}\left(t\right)\{k_j\left(t\right)-\underset{i}{\Σ}{x}_{ij}\left(t\right)\},\∀j\∈B---\[17\]$

其中，β(t)是每次迭代的步长，可以采用固定的步长值，也可以根据一定规则动态的调整步长值。

3迭代求解两个子问题

先给定一个初始ABS，根据该初始ABS比率计算该比率下的用户连接，根据获得的用户连接计算该连接下的最优ABS比率，接下来迭代求解用户连接和ABS比率直至收敛。每一次迭代中，固定ABS比率最优化用户连接，再固定用户连接最优化ABS比率。

本发明具有以下有益效果：本发明以最大化超密集异构网络中所有用户的对数速率总和为目标建立用户连接和ABS比例联合优化的负载均衡模型。用一个离散的对偶分解方法进行用户连接，该方法可以有效的将负载从拥塞的宏站卸载到相对空闲的小站上。联合ABS技术，让ABS期间连接在小站上的用户避免来自宏站的强干扰，进一步促进用户卸载到小站上，同时保证小站用户的性能。根据本发明给出的模型计算的用户连接和ABS比率，在达到负载均衡的同时提升网络性能。

基于本发明的负载均衡方法具有如下优点：

1.用户能够有效的从拥塞的大站卸载到相对空闲的小站上，各个基站之间的负载拥有更高的公平性。

2.能够有效提升边缘用户的速率，用户性能的公平性提高

3.联合优化ABS比率和用户连接，达到负载均衡的同时提升网络的整体性能和资源利用率。

具体实施方式

下面对本发明在超密集异构网络中用户连接过程和ABS比率计算以及获得全局次优解的实施方式作进一步介绍：

1.将问题[4]分解成用户连接和计算ABS比率两个子问题进行迭代求解。

2.根据给定的ABS比率计算用户连接

(1)固定ABS比率α，引入对偶变量μ和ν，得到拉格朗日表达式[8]和对偶函数表达式[9]，可以将最小化对偶函数值的求解分解为问题[11]和问题[12]，分别在用户端和基站端执行。

(2)求解问题[11]，用户根据公式[13]选择要连接的基站。

(3)求解问题[12]，基站根据用户的连接通过公式[17]更新各个基站的μ_j，通过公式[16]更新对偶变量值ν，通过式[14]更新每个基站理论应该连接的用户数k_j。

(4)将求解结果代入[9]中得到对偶函数的确切表达式[15].

(5)重复过程(2)和(3)直至对偶函数[15]的值收敛。

3.根据用户连接计算ABS比率

按照过程3计算的用户连接，根据公式[7]得到最优的ABS比率。

4.重复过程2和3直至计算的ABS比率值收敛。

Claims (3)

1.一种超密集异构网络中基于用户连接与干扰管理联合优化的负载均衡方法，所述方法对用户连接和几乎空白子帧ABS比例进行联合优化，从而实现负载均衡；具体地，将原问题分解成用户连接和ABS比率计算两个子问题，用一个离散的对偶分解方法求解固定ABS比率情况下的最优用户连接，给出了给定用户连接情况下最优ABS比率的表达式，然后根据求得的最优ABS比率计算用户连接，根据新获得的用户连接计算ABS比率，对两个子问题进行迭代求解直到收敛获得原问题的次优解。

2.根据权利要求1所述的超密集异构网络中基于用户连接与干扰管理联合优化的负载均衡方法，所述方法以最大化超密集异构网络中所有用户的对数速率总和为目标建立用户连接和ABS比例联合优化的负载均衡模型：

假设在超密集异构网络中，所有的大站都采用同步的ABS比率0≤α≤1，每个大站占有1-α的时间资源，小站既可以工作在ABS期间，也可以工作在非ABS期间，所以将每个小站看成两个逻辑基站，一个ABS小站，占有α的时间资源；一个非ABS小站，占有1-α的时间资源。用户可以选择连接到大站，ABS小站或者非ABS小站；

所有的大站用集合M表示，大小为N_m，所有的ABS小站由集合P^ABS表示，大小为N_p，所有的非ABS小站由集合P^nABS表示，大小为N_p，所有的用户由集合U表示，大小为N_u；

用户i从大站或非ABS小站j接收的SINR值：

${\mathrm{SINR}}_{ij}=\frac{P_j{h}_{ij}}{{\Σ}_{n\∈(M\∪P^{nABS})/j}{P}_n{h}_{in}{\mathrm{\σ}}^2},\∀i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}---\[1\]$

用户i从ABS小站j接收的SINR值：

${\mathrm{SINR}}_{ij}=\frac{P_j{h}_{ij}}{{\Σ}_{n\∈P^{ABS}/j}{P}_n{h}_{in}+{\mathrm{\σ}}^2},\∀i\∈U,j\∈P^{ABS}---\[2\]$

其中，P_j定义为标号为j的基站的发射功率，h_ij表示的是从基站j到用户i的信道增益，包含路径损耗，阴影衰落和天线增益，σ²表示噪声功率；

用户i从基站j得到的信道容量c_ij由下式计算得到：

c_ij＝Wlog(1+SINR_ij)[3]

其中W表示基站的带宽，通常可认为所有的基站使用相同的带宽；

所述的优化问题如下式所示。

$\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\underset{i,j}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logR}}_{ij}(\mathrm{\α},k_j)---\[4a\]$

约束条件:

$\underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U---\[4b\]$

$\underset{i}{\Σ}{x}_{ij}=k_j,\∀j\∈B---\[4c\]$

$\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j=N_u---\[4d\]$

$x_{ij}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B---\[4e\]$

0≤α≤1[4f]

其中，x_ij是一个二进制变量，当用户i连接到基站j上的时候，x_ij＝1，否则为0，k_j定义为第j个基站上连接的用户数，X表示所有x_ij的集合，K表示所有k_j的集合，α表示ABS比率；约束条件[4b]用以限制每个用户只连接到一个基站上，约束条件[4d]用以确保所有的用户都得到连接；R_ij(α,k_j)表示用户i从基站j获得的速率，它由下式计算：

$R_{ij}(\mathrm{\α},k_j)=\left\{\begin{array}{c}\frac{(1-\mathrm{\α})W}{k_j}\log (1+{\mathrm{SINR}}_{ij}),\∀i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}\\ \frac{\mathrm{\α}W}{k_j}\log (1+{\mathrm{SINR}}_{ij}),\∀i\∈U,j\∈P^{ABS}\end{array}\right.---\[5\]$

将最优化变量分成两块{X,K}和{α}，分别对应于两个子问题，即用户连接和ABS比率计算，迭代求解两个子问题直至收敛；每一次迭代中，固定某块中的变量的取值，对另一块中的变量进行最优化，也就是固定ABS比率最优化用户连接，以及固定用户连接最优化ABS比率，然后通过迭代得到全局次优解。

3.根据权利要求2所述的超密集异构网络中基于用户连接与干扰管理联合优化的负载均衡方法，迭代求解两个优化子问题的具体过程如下：

1)给定用户连接计算最优的ABS比率

给定用户连接，即变量{X,K}固定，将表达式[3]和[5]代入[4a]中，得到：

$\begin{array}{c}\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\underset{i,j}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logR}}_{ij}(\mathrm{\α},k_j)\\ =\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\left(\underset{i\∈U,j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{x}_{ij}\log \right(\frac{(1-\mathrm{\α})c_{ij}}{k_j})+\underset{i\∈U,j\∈P^{ABS}}{\Σ}{x}_{ij}\log \left(\frac{{\mathrm{\αc}}_{ij}}{k_j}\right))\\ =\underset{\{X,K,\mathrm{\α}\}}{\max }\left(\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\log \right(1-\mathrm{\α})+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j\log \mathrm{\α}+\underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logc}}_{ij}-\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j)\end{array}---\[6\]$

该式对α进行求导取零，可以得到最优ABS比率的表达式：

$\mathrm{\α}=\frac{\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j}{\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j}=\frac{\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j}{N_u}---\[7\]$

由该表达式可以看出，当用户连接给定时，最优的ABS比率为所有连接到ABS小站上的用户数与总用户数之比；

2)给定ABS比率计算最优用户连接

变量α是固定的，此时最优用户连接可以通过离散的对偶分解方法得到；引入对偶变量μ用于限制[4c]和对偶变量ν用于限制[4d]，从而拉格朗日函数表达式：

$\begin{array}{c}L(X,K,\mathrm{\μ},v)=\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\log (1-\mathrm{\α})+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j\log \mathrm{\α}+\underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}{\mathrm{logc}}_{ij}\\ -\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j-\underset{j\∈B}{\Σ}{\mathrm{\μ}}_j(\underset{i\∈U}{\Σ}{x}_{ij}-k_j)-v(\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j-N_u)\end{array}---\[8\]$

以及对偶函数表达式：

$g(\mathrm{\μ},v)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{\{X,K\}}{\max }& L(X,K,\mathrm{\μ},v)\\ s.t.& \underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U\\ & x_{xi}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B\end{array}\right.---\[9\]$

拉格朗日对偶理论表明通过最小化对偶函数g(μ,ν)来更新各个对偶变量，这样对偶问题就可以由下式表示：

$\begin{array}{ccc}G:& \underset{\mathrm{\μ},v}{\min }& g(\mathrm{\μ},v)=f_x\left(\mathrm{\μ}\right)+h_k(\mathrm{\μ},v)\end{array}---\[10\]$

$f\left(\mathrm{\μ}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{\left\{X\right\}}{\max }& \underset{i\∈U,j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}\left(\log \right(c_{ij})-{\mathrm{\μ}}_j)\\ s.t.& \underset{j\∈B}{\Σ}{x}_{ij}=1,\∀i\∈U\\ & x_{ij}\∈\{0,1\},\∀i\∈U,\∀j\∈B\end{array}\right.---\[11\]$

$\begin{array}{c}h(\mathrm{\μ},v)=\underset{\left\{K\right\}}{\max }\underset{j\∈B}{\Σ}{\mathrm{\μ}}_j{k}_j+\log (1-\mathrm{\α})\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{k}_j\\ +\log \mathrm{\α}\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{k}_j-\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j{\mathrm{logk}}_j\\ -v\underset{j\∈B}{\Σ}{k}_j+{\mathrm{vN}}_u\end{array}---\[12\]$

当给定最优的对偶变量μ*和ν*，问题[11]和问题[12]就可以分别在用户端和基站端进行求解获得最优的用户连接；

在用户端求解问题[11]，由表达式可以直接观察到用户i将通过下式选择服务基站j*：

$j*=\arg \max \{{\mathrm{logc}}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_j\},\∀j\∈B$

$x_{ij}=\{\begin{array}{c}1,j=j*\\ 0,j\≠j*\end{array}---\[13\]$

在基站端求解问题[12]，对k_j进行求导取零，可以得到每个基站理论计算应该连接的用户数由下式获得:

$k_j\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-v\left(t\right)+\log (1-\mathrm{\α})-1},& \∀j\∈M\∪P^{nABS}\\ e^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-v\left(t\right)+\log \mathrm{\α}-1},& \∀j\∈P^{ABS}\end{array}\right.---\[14\]$

将[13]和[14]代入[7]中对偶函数表达式变为：

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\μ},v}{\min }& g(\mathrm{\μ},v)=\underset{i\∈U}{\Σ}\underset{j}{\max }\{{\mathrm{logc}}_{ij}-{\mathrm{\μ}}_j\}\end{array}\\ +\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j-v-\log (1-\mathrm{\α})-1}\\ +\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j-v+\log \mathrm{\α}-1}+{\mathrm{vN}}_u\end{array}---\[15\]$

给定μ，将对偶函数对对偶变量ν求导取零，得到ν的最优解：

$v(t+1)=\log \left(\frac{\underset{j\∈M\∪P^{nABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)+\log (1-\mathrm{\α})-1}+\underset{j\∈P^{ABS}}{\Σ}{e}^{{\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)+\log \mathrm{\α}-1)}}{N_u}\right)---\[16\]$

式中的迭代次数t表示对偶变量的更新需要按顺序进行，先更新对偶变量μ，再更新对偶变量ν；

对偶变量μ通过梯度下降法更新：

${\mathrm{\μ}}_j(t+1)={\mathrm{\μ}}_j\left(t\right)-\mathrm{\β}\left(t\right)\left(k_j\right(t)-\underset{i}{\Σ}{x}_{ij}\left(t\right)),\∀j\∈B---\[17\]$

其中，β(t)是每次迭代的步长，可以采用固定的步长值，也可以根据一定规则动态的调整步长值；

3)迭代求解上述两个子问题

先给定一个初始ABS，根据该初始ABS比率计算该比率下的用户连接，根据获得的用户连接计算该连接下的最优ABS比率，接下来迭代求解用户连接和ABS比率直至收敛；每一次迭代中，固定ABS比率最优化用户连接，再固定用户连接最优化ABS比率。