CN105005038A - 一种改进的声矢量阵相干源doa估计算法 - Google Patents

Abstract

一种改进的声矢量阵相干源DOA估计算法，本发明公开一种声矢量阵快速方位估计方法，基于多级维纳滤波器的声矢量阵快速方位估计；该算法选取声矢量阵参考阵元声压通道的输出作为期望信号，通过MSWF的递推运算得到信号子空间；无需计算阵列协方差矩阵及其特征值分解运算，在高信噪比条件下，该算法具有良好的DOA估计性能；本发明的优点是将多级维纳滤波器引入到声矢量阵方位估计理论中，无需估计协方差矩阵和进行特征值分解，同时利用了声矢量阵的测向优势，在保持较小计算量的同时，拥有较高的方位估计和分辨性能。

Description

一种改进的声矢量阵相干源DOA估计算法

技术领域

本发明涉及阵列信号处理领域，是一种改进的声矢量阵相干源DOA估计算法。该算法可用于雷达、声纳等阵列信号处理方面提高相干源估计性能。

背景技术

在阵列信号处理中，目标的DOA估计一直都是研究的热点，学者们提出的高分辨方法如MUSIC、ESPRIT对相互独立的多目标具有良好的估计和分辨性能。但是，在水声环境中，由于界面或岸基边界反射，往往存在多径传播，且水声***(如噪声***和声诱饵)发展迅速，故水声测向***往往处于相干源的环境中，相干源将导致阵列协方差矩阵的秩严重亏损，使上述高分辨DOA估计方法失效。

针对声矢量相干源方位估计问题，文献“Direction-finding of coherent sources via‘particle-velocity-field-smoothing’(IET Radar Sonar Navig,2008,2(2):127-134.)和文献“Vector field smoothing for DOA estimation ofcoherent underwater acoustic signals in presenceofareflecting boundary”(IEEE Sens.J.,2007,8(7):1152-1158.)提出了PVFS算法，并使用该方法解决了处于反射边界条件下的声矢量阵相干源测向问题，PVFS算法在不损失阵列孔径的前提下重构了阵列的协方差矩阵，所以，PVFS具有较高的相干源DOA估计性能，但在阵元足够多的情况下，该算法最多能够分辨的相干源数为2p个(p为单个矢量水听器的通道数)。

文献“基于改进MUSIC算法的矢量水听器阵列波达方向估计”(武汉理工大学学报(交通科学与工程版),2009,33(3):2823-2828.)把MMUSIC算法直接运用到声矢量阵中，该方法克服了相干源估计的左右舷模糊，但其最大的相干源分辨数目仍为2个。

文献“一种改进的空间平滑算法”(电子与信息学报,2008,30(4):859-862.)提出了声矢量阵SS-PVFS算法，是在PVFS算法可以和空间平滑技术结合使用，即声压通道和每个振速通道单独进行前后向空间平滑处理，然后再进行PVFS处理。矢量阵SS-PVFS算法提高了PVFS算法的解相干能力，进一步提高了相干源方位估计的精度。

发明内容

本发明的目的在于解决声矢量相干源方位估计问题，提供一种改进的声矢量阵相干源DOA估计算法(MPVFS)，大大增加了其分辨相干源的数目，提高了相干源DOA估计性能。

本发明的目的是这样实现的：

若M个声矢量传感器以间距d排列成线形阵列，放置于各向同性的均匀流体中，K个波长为λ的远场窄带相干源以阵列轴线的法线为参考的θ_k(k＝1,2,...,K)方向入射到该声矢量阵，声矢量阵t时刻的阵列输出可表示为

$X\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)S\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{s}_1\left(t\right)\\ s_2\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ s_K\left(t\right)\end{array}\right]+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\ρ}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ρ}}_K\end{array}\right]s_1\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\ρs}}_1\left(t\right)+N\left(t\right)$

式中，X(t)＝[x₁(t),x₂(t),...,x_3M(t)]^T为3M×1维向量；为3M×1维零均值高斯白噪声向量，n_m(t)＝[n_pm,n_vxm,n_vym]^T；ρ＝[ρ₁,ρ₂,...,ρ_K]^T为衰落系数矢量；

A(θ)＝[a_v(θ₁),a_v(θ₂),...,a_v(θ_K)]为声矢量阵导向矢量， 表示Kron积，u_k＝[1cosθ_k sinθ_k]^T为矢量水听器单位响应向量，

a(θ_k)＝[1,exp(-jω_k),...,exp(-j(M-1)ω_k)]^T为声压通道的导向矢量，

ω_k＝2πdcos(θ_k)/λ。

若信号s₁(t)的功率为声压通道噪声功率为则声矢量阵列的输出协方差矩阵为

$R=E\[X\left(t\right)X^H\left(t\right)\]=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\σ}}_s^2{\mathrm{\ρ\ρ}}^H{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v$

式中，I_v＝diag(1,1/2,1/2,...,1,1/2,1/2)为声矢量阵噪声的归一化协方差矩阵，为相干源的协方差矩阵。

把接收到的陈列输出分成3个子阵根据空间平滑思想进行平滑处理，其具体过程见文献“Direction-finding ofcoherent sources via‘particle-velocity-field-smoothing’(IET RadarSonarNavig,2008,2(2):127-134.)和文献“Vector field smoothing for DOA estimation ofcoherent underwater acoustic signals in presence ofareflecting boundary”(IEEE Sens.J.,2007,8(7):1152-1158.)，有文献可知，故二维平面情况下，当M≥7时，前后向PVFS算法最多能够分辨6个相干源。

为进一步增强声矢量阵相干源DOA估计及分辨性能，对PVFS算法得到的协方差矩阵进行如下处理：

$R^s=R_{PVFS}^2$

$R_{jj}^s=R^s(j:M+j-2,j:M+j-2)$

$R_{MPVFS}=\frac{1}{2}(R_{11}^s+R_{22}^s)$

$R_{MPVFS}=A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}$

$rank\left(R_s^{MPVFS}\right)=rank\left(R_s^{SS-PVFS}\right)=rank(D\[\mathrm{\Ω}|\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\left|H\mathrm{\Ω}\right|H\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\])=min(K,12)$

上式表明，当M≥14时，损失一个阵元孔径的MPVFS算法和SS-PVFS算法最多能够分辨的相干源数目为12，相当于PVFS算法的2倍。故MPVFS算法的性能要好于SS-PVFS算法。MSS-PVFS算法和SS-PVFS算法获得的协方差矩阵中信号与噪声的能量比是不相同的，把信号协方差矩阵的迹与噪声协方差矩阵的迹之比称为信噪比因子Δ，Δ越大表示协方差矩阵可获得较高的信噪比增益，相应的算法具有较好的性能。令Δ₁代表SS-PVFS算法的信噪比因子，Δ₂代表MPVFS算法的信噪比因子，则2种算法的信噪比因子可分别表示为：

${\mathrm{\Δ}}_1=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_2=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\right)}=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})(\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{4}+{\mathrm{\σ}}_n^2)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\right)}\\ =(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1)\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}=(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1){\mathrm{\Δ}}_1\end{array}$

由上式可得Δ₂＞Δ₁，故MPVFS算法的性能要好于SS-PVFS算法。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明的相干源空间谱估计；

图3是本发明的方位估计的均方根误差随信噪比和快拍数的变化曲线；

图4是本发明的7个相干源情况下的空间谱估计；

具体实施方式

下面结合附图1、图、2图3、图4、，举例对本发明做更为详细的描述：

若M个声矢量传感器以间距d排列成线形阵列，放置于各向同性的均匀流体中，K个波长为λ的远场窄带相干源以阵列轴线的法线为参考的θ_k(k＝1,2,...,K)方向入射到该声矢量阵，声矢量阵t时刻的阵列输出可表示为

$X\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)S\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{s}_1\left(t\right)\\ s_2\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ s_K\left(t\right)\end{array}\right]+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\ρ}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ρ}}_K\end{array}\right]s_1\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\ρs}}_1\left(t\right)+N\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，X(t)＝[x₁(t),x₂(t),...,x_3M(t)]^T为3M×1维向量；为3M×1维零均值高斯白噪声向量，n_m(t)＝[n_pm,n_vxm,n_vym]^T；ρ＝[ρ₁,ρ₂,...,ρ_K]^T为衰落系数矢量；

A(θ)＝[a_v(θ₁),a_v(θ₂),...,a_v(θ_K)]为声矢量阵导向矢量， 表示Kron积，u_k＝[1cosθ_k sinθ_k]^T为矢量水听器单位响应向量，

a(θ_k)＝[1,exp(-jω_k),...,exp(-j(M-1)ω_k)]^T为声压通道的导向矢量，

ω_k＝2πdcos(θ_k)/λ。

若信号s₁(t)的功率为声压通道噪声功率为则声矢量阵列的输出协方差矩阵为

$R=E\[X\left(t\right)X^H\left(t\right)\]=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\σ}}_s^2{\mathrm{\ρ\ρ}}^H{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v---\left(2\right)$

式中，I_v＝diag(1,1/2,1/2,...,1,1/2,1/2)为声矢量阵噪声的归一化协方差矩阵，为相干源的协方差矩阵。

利用PVFS算法把接收到的阵列输出分成3个子阵，根据空间平滑思想进行平滑处理，其具体过程见文献“Direction-finding ofcoherent sources via‘particle-velocity-field-smoothing’(IET Radar SonarNavig,2008,2(2):127-134.)和文献“Vector field smoothing for DOAestimation ofcoherent underwater acoustic signals in presence ofareflecting boundary”(IEEESens.J.,2007,8(7):1152-1158.)，有文献可知，故二维平面情况下，当M≥7时，前后向PVFS算法最多能够分辨6个相干源，能够分辨的相干源数目不多。

声矢量阵SS-PVFS算法是在PVFS算法可以和空间平滑技术结合使用，即声压通道和每个振速通道单独进行前后向空间平滑处理，然后再进行PVFS处理。其具体过程见文献

为进一步增强声矢量阵相干源DOA估计及分辨性能，对PVFS算法得到的协方差矩阵进行如下处理：其中，待校正阵列为阵元数目为M的半波长均匀线阵，X(t)＝[x₁(t),x₂(t),...，x_M(t)]^T为M×1维观测的数据向量，S_s(t)为功率为的校正源，N(t)＝[n₁(t),n₂(t),...,n_M(t)]^T为M×1维零均值高斯白噪声向量。a(θ_s)＝[1,e^-jω,e^-j2ω,...,e^-j(M-1)ω]^T为理想的阵列流型导向矢量，ω＝2πdsin(θ_s)/λ，为包含幅相信息的M×M维对角矩阵，g_i和分别表示第i个阵元的增益和相位；

为进一步增强声矢量阵相干源DOA估计及分辨性能，对PVFS算法得到的协方差矩阵进行如下处理：

$R^s=R_{PVFS}^2---\left(3\right)$

$R_{jj}^s=R^s(j:M+j-2,j:M+j-2)---\left(4\right)$

$R_{MPVFS}=\frac{1}{2}(R_{11}^s+R_{22}^s)--\left(5\right)$

式(4)中，R(j:M+j-2,j:M+j-2)表示矩阵R的第j行到第M+j-2行，第j列到第M+j-2列的元素组成的矩阵。将式(5)展开可得

$\begin{array}{c}{R}_{MPVFS}=\frac{1}{2}(R_{11}^s+R_{22}^s)=\frac{1}{2}\{\[A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\]\[A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\]+\\ \[A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\ΦR}}_{PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_M\]\[A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\ΦR}}_{PVFS}^{\′}{\mathrm{\Φ}}^H{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\]\}\\ =(\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{4}+{\mathrm{\σ}}_n^2)A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\{\frac{1}{8}{\mathrm{\σ}}_s^{2}D\[\mathrm{\Ω}|\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\left|\mathrm{H\Φ}\mathrm{\Ω}\right|H\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\]{\[\mathrm{\Ω}\left|\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\right|H\mathrm{\Ω}|H\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\]}^H{D}^H\}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\\ =A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)(\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{4}+{\mathrm{\σ}}_n^2)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\\ =A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\end{array}---\left(6\right)$

已知A₁(θ)＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_K)]，而A'₁(θ)＝A₁(θ)(1:M-1,1:K)，故由式(6)可以看出，MPVFS算法损失了阵列孔径(比原始阵列少了一个阵元的孔径)，当SS-PVFS算法损失相同的孔径时，可得

$rank\left(R_s^{MPVFS}\right)=rank\left(R_s^{SS-PVFS}\right)=rank(D\[\mathrm{\Ω}|\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\left|H\mathrm{\Ω}\right|H\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\])=\min (K,12)---\left(7\right)$

上式表明，当M≥14时，损失一个阵元孔径的MPVFS算法和SS-PVFS算法最多能够分辨的相干源数目为12，相当于PVFS算法的2倍。由式(3)和(4)还可以看出，MSS-PVFS算法和SS-PVFS算法获得的协方差矩阵中信号与噪声的能量比是不相同的，我们把信号协方差矩阵的迹与噪声协方差矩阵的迹之比称为信噪比因子Δ，Δ越大表示协方差矩阵可获得较高的信噪比增益，相应的算法具有较好的性能。令Δ₁代表SS-PVFS算法的信噪比因子，Δ₂代表MPVFS算法的信噪比因子，则2种算法的信噪比因子可分别表示为

${\mathrm{\Δ}}_1=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_2=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\right)}=\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})(\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{4}+{\mathrm{\σ}}_n^2)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}\\ =(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1)\frac{tr\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ})R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}=(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1){\mathrm{\Δ}}_1\end{array}---\left(9\right)$

由上式可得Δ₂＞Δ₁，故MPVFS算法的性能要好于SS-PVFS算法。

本发明的效果可以通过以下仿真结果进一步说明。

仿真1条件描述：声源为中心频率为2kHz，带宽为40Hz的信号，采样频率为10kHz。假设声矢量阵沿x轴以d＝λ/2等间距布放，其中λ为声信号在水中的波长，阵元个数为8。假设3个等功率的窄带相干信号分别从方位角-20°，5°，20°方向入射到该声矢量阵上，快拍数为100，仿真结果如图1和图2所示。

从图1(a)中可以看出，声矢量阵MMUSIC算法性能很差，PVFS算法能够分辨出三个目标源，但其谱峰较低，且方位估计值与目标真实方位有较大的偏差，声矢量阵SS-PVFS算法与MPVFS算法具有较好的空间谱估计性能，它们的谱峰远高于PVFS算法，从局部放大图中还可以看出，与SS-PVFS算法相比，MPVFS算法的方位估计值与目标真实方位的偏差更小，这表明在低信噪比条件下，三个相干源情况下，MPVFS算法具有更好的空间谱估计性能。图1(b)中，信噪比为10dB，MMUSIC算法的谱峰较图1(a)中的情况没有太大的改变，而PVFS算法、SS-PVFS算法以及MPVFS能够清晰地分辨出三个相干源，从局部放大图中还可以看出，SS-PVFS算法与MPVFS算法的空间谱曲线基本重合，它们的谱峰远高于PVFS算法，这表明高信噪比条件下，与MMUSIC算法和PVFS算法相比，SS-PVFS算法与MPVFS算法具有更好的相干源空间谱估计性能。

在图2(a)中，MPVFS算法的θ_RMSE值远小于PVFS算法，且当信噪比小于-4dB时，与SS-PVFS算法相比，MPVFS算法的θ_RMSE值更小，此时MPVFS具有更好的相干源DOA估计性能。在图2(b)中，信噪比为-7dB，4种算法的θ_RMSE值大小依次为：MMUSIC算法、PVFS算法、SS-PVFS算法以及MPVFS算法。图图2(b)中结果表明，在低信噪比不同快拍数条件下，MPVFS算法同样具有更好的相干源DOA估计性能。

仿真2条件描述：假设声矢量均匀线阵的阵元数目增加到10个，若7个功率相同的相干源分别以方位角-60°，-40°，-20°，5°，20°，40°，60°入射到该阵列上，快拍数为100，则可得不同信噪比条件下四种算法的空间谱如图4所示。

在图3(a)中，相干源数目为7，信噪比为5dB，此时MMUSIC算法和PVFS算法均已失效，PVFS算法仅能分辨出5个相干源，不能分辨出方位角为5°和20°的目标声源，而MPVFS算法能够清晰地分辨出7个相干源。在图3(b)中，信噪比为20dB，此时MMUSIC算法和PVFS算法同样失效，而SS-PVFS算法和MPVFS算法都能够清晰地分辨出7个相干源，且它们的空间谱曲线基本重合。图3表明PVFS算法不能分辨7个相干源，在高信噪比条件下，SS-PVFS算法及MPVFS算法均能够分辨7个相干源(阵元数足够多时，它们能够

分辨12个相干源)，而信噪比较低时，MPVFS算法具有更好的相干源分辨能力。

在消声水池做了声矢量4元均匀直线阵的试验，阵元间距为0.5米，声源与阵中心相距11米(满足远场条件)，声矢量阵与声源均在水下2米，位于同一平面上。双目标声源是功率相等、频率为3kHz的单频信号，它们的方位分别为80°和100°，信噪比约为10dB，快拍数为100，采样频率为20kHz，图4给出了声矢量阵相干源方位估计的消声水池数据处理结果。

从图4中可以看出，四种算法均能分辨出两个相干源，MMUSIC算法的相干源分辨性能较差，PVFS算法次之，SS-PVFS算法的谱峰高度比PVFS算法高出约5dB，与SS-PVFS算法相比，MPVFS算法的谱峰更尖锐且旁瓣更低。以上水池数据处理结果表明，MPVFS算法具有良好的相干源DOA估计性能，这与计算机仿真结果基本一致。

由仿真和水池试验结果可以看出，本方法增加了其分辨相干源的数目，提高了相干源DOA估计性能。

Claims (1)

1.一种改进的声矢量阵相干源DOA估计算法，实现方法如下：

(1)M个声矢量传感器以间距d排列成线形阵列，放置于各向同性的均匀流体中，K个波长为λ的远场窄带相干源以阵列轴线的法线为参考的θ_k(k＝1,2,...,K)方向入射到该声矢量阵，声矢量信号s₁(t)的功率为声压通道噪声功率为则得到声矢量阵列为：

$X\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)S\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{s}_1\left(t\right)\\ s_2\left(t\right)\\ .\\ .\\ .\\ s_K\left(t\right)\end{array}\right]+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\ρ}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ρ}}_K\end{array}\right]s_1\left(t\right)+N\left(t\right)=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\ρs}}_1\left(t\right)+N\left(t\right)$

式中，X(t)＝[x₁(t),x₂(t),…,x_3M(t)]^T为3M×1维向量；为3M×1维零均值高斯白噪声向量，n_m(t)＝[n_pm,n_vxm,n_vym]^T；ρ＝[ρ₁,ρ₂,…,ρ_K]^T为衰落系数矢量；A(θ)＝[a_v(θ₁),a_v(θ₂),…,a_v(θ_K)]为声矢量阵导向矢量， 表示Kron积，u_k＝[1cosθ_k sinθ_k]^T为矢量水听器单位响应向量，a(θ_k)＝[1,exp(-jω_k),…,exp(-j(M-1)ω_k)]^T为声压通道的导向矢量，ω_k＝2πdcos(θ_k)/λ。把接收到的陈列输出分成3个子阵根据空间平滑思想进行平滑处理；

若信号s₁(t)的功率为声压通道噪声功率为则声矢量阵列的输出协方差矩阵为

$R=E\[X\left(t\right)X^H\left(t\right)\]=A\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\σ}}_s^2{\mathrm{\ρ\ρ}}^H{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}_n^2{I}_v$

式中，I_v＝diag(1,1/2,1/2,…,1,1/2,1/2)为声矢量阵噪声的归一化协方差矩阵，为相干源的协方差矩阵。

(2)为增强声矢量阵相干源DOA估计及分辨性能，对PVFS算法得到的协方差矩阵进行如下处理：

$R^s=R_{PVFS}^2$

$R_{jj}^s=R^s(j:M+j-2,j:M+j-2)$

$R_{MPVFS}=\frac{1}{2}(R_{11}^s+R_{22}^s)$

$R_{MPVFS}=A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\right(\mathrm{\θ}\left)\right)}^H+{\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}$

$rank\left(R_s^{MPVFS}\right)=rank\left(R_s^{SS-PVFS}\right)=rank(D\[\mathrm{\Ω}|\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\left|H\mathrm{\Ω}\right|H\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ω}\])=min(K,12)$

上式表明，当M≥14时，损失一个阵元孔径的MPVFS算法和SS-PVFS算法最多能够分辨的相干源数目为12，相当于PVFS算法的2倍。故MPVFS算法的性能要好于SS-PVFS算法。MSS-PVFS算法和SS-PVFS算法获得的协方差矩阵中信号与噪声的能量比是不相同的，把信号协方差矩阵的迹与噪声协方差矩阵的迹之比称为信噪比因子Δ，Δ越大表示协方差矩阵可获得较高的信噪比增益，相应的算法具有较好的性能。令Δ₁代表SS-PVFS算法的信噪比因子，Δ₂代表MPVFS算法的信噪比因子，则2种算法的信噪比因子可分别表示为：

${\mathrm{\Δ}}_1=\frac{tr\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)}^H\right)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_2=\frac{tr\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{MPVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)}^H\right)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\right)}=\frac{tr\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{4}+{\mathrm{\σ}}_n^2\right)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)}^H\right)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^4{I}_{M-1}\right)}\\ =\left(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1\right)\frac{tr\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)R_{SS-PVFS}^{\′}{\left(A_1^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\right)}^H\right)}{tr\left({\mathrm{\σ}}_n^2{I}_{M-1}\right)}=\left(\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{\σ}}_s^2}{{\mathrm{\σ}}_n^2}+1\right){\mathrm{\Δ}}_1\end{array}$

由上式可得Δ₂＞Δ₁，故MPVFS算法的性能要好于SS-PVFS算法。