CN104680573A - 一种基于三角网格简化的纹理映射方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种基于三角网格简化的纹理映射方法，通过对三角网络模型进行简化，建立弹簧-质点模型，将弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置；利用得到简化三角网络模型的过程，计算被删除点在参数化矩形域中的初始位置，这样就得到初始模型中所有顶点在参数化矩形域中的位置；对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；然后进行归一化处理，即为网格顶点的纹理坐标，进行纹理贴图；该方法不需要求出每个三角网络格顶点的纹理坐标，就能直接做纹理映射，可以很大程度上减少方法的时间复杂度，提高了时间性能。

Description

一种基于三角网格简化的纹理映射方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种基于三角网格简化的纹理映射方法。

背景技术

随着三维扫描硬件的快速发展和三维建模水平的提高，三维模型的精细度越来越高，与此同时，模型的数据量也变得十分庞大。这样一方面难以满足模型实时传输和处理的需要，另一方面也对场景渲染效率造成了较大的影响，因此在这些应用中必须对模型进行化简。

在我们生活的各个领域，对于不规则曲面上进行纹理映射的需求也越来越多。比如，在工业造型中常用自由曲面来进行飞机、轮船、汽车的外形设计，在激光打标机中需要对不规则的型腔表面上进行激光打标，在三维游戏中通常要对虚拟的场景进行现实模拟，在智能装潢中要对壁纸或家具效果进行提前模拟、预览等。因此纹理映射技术在工业设计、3D游戏场景设计、影视动画制作以及虚拟仿真等领域有着非常广泛的应用。不规则曲面的纹理映射的研究具有一定的实际应用价值。

三角网格曲面的纹理映射是指将二维纹理图像映射到三维三角网格表示的曲面上，即找到二维纹理平面与三角网格曲面的一个一一映射的关系。通过这种关系，将二维纹理平面贴合到三维不规则曲面上，使其更具真实感。

现如今，随着几何获取设备(如：深度相机、三维扫描仪等)的发展，三角网格已成为表示物体表面的一种主流方法。对于既定的曲面，三角网格数量越多，表示的曲面就越光滑。而对数量繁多的三角网格表示的曲面直接做纹理映射时，需求出每个三角网格顶点的纹理坐标，这样会降低方法的时间性能。

发明内容

本发明的目的是克服现有用三角网格表示的曲面直接做纹理映射方法，需要求出出每个三角网格顶点的纹理坐标，使得时间性能低的问题。

为此，本发明提供了一种基于三角网格简化的纹理映射方法，包括如下步骤:

步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型；

步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置；

步骤三、利用得到简化三角网络模型的过程，计算被删除点在参数化矩形域中的初始位置，这样就得到初始模型中所有顶点在参数化矩形域中的位置；

步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；

步骤五:对步骤四得到的弹簧-质点模型修正的参数化坐标进行归一化处理，即为网格顶点的纹理坐标，进行纹理贴图。

上述步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型，包括如下步骤：

(1)进行三角网格模型初始化，遍历三角网格中的每条有向边，若此边仅被一个三角形包含，则说明连接此边的两个顶点均为边界点；

(2)输入需要保留的顶点个数x，以及夹角阈值θ；

(3)判断现有顶点个数是否大于顶点阈值x；若是，则进行(4)；若否，则进行(9)；

(4)分别求出每一条边的边长，以及每个三角形的法向量，利用以下公式计算有向边的折叠代价cost(e_ij)；并找出折叠代价最小的有向边e_uv，然后进行进行(5)；

$w\left(e_{\mathrm{ij}}\right)=\underset{f{\∈T}_i}{\max }\left\{\underset{{n\∈T}_{e_{\mathrm{ij}}}}{\min }\right\{(1-f.\mathrm{normal}\·n.\mathrm{normal})/2\left\}\right\}---\left(1\right)$

cost(e_ij)＝||e_ij||·w(e_ij)        (2) 

其中w(e_ij)表示有向边e_ij的局部曲率，T_i表示包含顶点v_i的三角形集合，表示包含边e_ij的三角形集合，f.normal是指f面的法向量，n.normal是指n面上的法向量；它表示了包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片的法向最大值；

(5)判断u、v是否均为边界点。若是，则进行(6)；若否，则进行(7)；

(6)判断边界点u处的边界角是否大于阈值θ。若是，则进行(8)；若否，则进行(3)；

(7)判断u、v是否满足u是边界点，v不是边界点；若满足，则进行(3)；若不满足，则进行(8)；

(8)删除顶点u，将与顶点u连接的边关系连接至顶点v。并标记u、v两点均为受影响点，进行(3)；

(9)结束。

上述步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置，包括如下步骤：

(a)读入三角网格模型，初始化质点质量m，弹簧劲度系数k，时间步长Δt，迭代域值e；

(b)进行三角网格数据预处理，得到三角网格模型边界点序列，以有各顶点的邻接点序列；

(c)根据式(3)、(4)选择投影面，将三角网格模型进行投影，在投影面建立二维坐标系，计算三角网格顶点投影后的二维坐标(x_i,y_i)；

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0         (3) 

$a=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i,b=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i,c=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i---\left(4\right)$

其中，(a,b,c)是投影面的法向量，x₀,y₀,z₀是空间内一定点，(a_i,b_i,c_i)是第i个三角形 的法向量，n是不规则曲面片上三角形的个数；

(d)选取参数化矩形区域的四个顶点，根据投影后的三角网格的结构特征，选取四个边界点，固定于给定矩形域的顶点；

(e)由于点的移动，引发非固定点的受力情况发生改变；根据式(5)，计算非固定点所受合力f(P_i)；若对于任意点P_i，所受合力均小于给定阈值，即f(P_i)≤e，则终止本次迭代,第一次终止迭代时转(i)，第二次终止迭代时转(j)；否则，继续；

$M\stackrel{..}{q}+\mathrm{Kq}=0---\left(5\right)$

其中，M为弹簧-质点模型***的质量矩阵，q为质点坐标，K为刚度矩阵； 

(f)根据式(6)，由合力f(P_i)计算每个点的加速度

${\stackrel{..}{q}}_i^t={f_i}^t/m---\left(6\right)$

其中，m是质点质量，为在t时刻质点P_i的加速度； 

(g)由加速度以及给定的时间步长Δt，根据式(7)、(8)计算每个点的位移；

${\stackrel{.}{q}}_i^{t+\mathrm{\Δt}}=\mathrm{\Δt}{\stackrel{..}{q}}_i^t---\left(7\right)$

$q_i^{t+\mathrm{\Δt}}=q_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{.}{q}}_i^t---\left(8\right)$

其中，和分别为在t和t+Δt时刻时质点P_i的速度，和分别为在t和t+Δt时刻质点P_i的位置；

(h)由(g)中的位移，计算每个点在经过Δt时间后，点的当前位置转(e)；

(i)将未固定的边界点按照空间网格中边界点与边界点间折线段的比例，固定至给定矩形域的四个边；再继续进行(i)；

(j)得到参数化结果。

上述步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；进行 迭代的点时受影响的点。

本发明的有益效果：本发明提供的这种基于三角网格简化的纹理映射方法，包括如下步骤:步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型；步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置；步骤三、利用得到简化三角网络模型的过程，计算被删除点在参数化矩形域中的初始位置，这样就得到初始模型中所有顶点在参数化矩形域中的位置；步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；步骤五:对步骤四得到的弹簧-质点模型修正的参数化坐标进行归一化处理，即为网格顶点的纹理坐标，进行纹理贴图，因此，该基于三角网格简化的纹理映射方法，不需要求出每个三角网络格顶点的纹理坐标，就能直接做纹理映射，可以很大程度上减少方法的时间复杂度，提高了时间性能，通过弹簧-质点模型的应用使参数化后的三角网格保持了原始三角网格的几何结构，弹簧-质点模型的应用能够保持三角网格原始几何特征地均匀分布，不会引发纹理会聚以及纹理较大变形现象，因此，纹理映射结果中的纹理变形较小。

以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。

附图说明

图1是基于曲率的有向边折叠网格简化方法流程图。

图2边界边的简化示意图。

图3弹簧-质点模型示意图。

图4简化被删点的参数化初始位置确定示意图。

图5基于三角网格简化的纹理映射实验效果图。

图6基于三角网格简化的纹理映射应用图一。

图7基于三角网格简化的纹理映射应用图二。

具体实施方式

为进一步阐述本发明达成预定目的所采取的技术手段及功效，以下结合附图及实施例对本发明的具体实施方式、结构特征及其功效，详细说明如下。

实施例1：

一种基于三角网格简化的纹理映射方法，包括如下步骤:

步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型；

步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置；

步骤三、利用得到简化三角网络模型的过程，计算被删除点在参数化矩形域中的初始位置，这样就得到初始模型中所有顶点在参数化矩形域中的位置；

步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；

步骤五:对步骤四得到的弹簧-质点模型修正的参数化坐标进行归一化处理，即为网格顶点的纹理坐标，进行纹理贴图。

如图1所示，上述步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型，包括如下步骤：

(1)进行三角网格模型初始化，遍历三角网格中的每条有向边，若此边仅被一个三角形包含，则说明连接此边的两个顶点均为边界点；

(2)输入需要保留的顶点个数x，以及夹角阈值θ；

(3)判断现有顶点个数是否大于顶点阈值x；若是，则进行(4)；若否，则进行(9)；

(4)分别求出每一条边的边长，以及每个三角形的法向量，利用以下公式计算 有向边的折叠代价cost(e_ij)；并找出折叠代价最小的有向边e_uv，然后进行进行(5)；

$w\left(e_{\mathrm{ij}}\right)=\underset{f{\∈T}_i}{\max }\left\{\underset{{n\∈T}_{e_{\mathrm{ij}}}}{\min }\right\{(1-f.\mathrm{normal}\·n.\mathrm{normal})/2\left\}\right\}---\left(1\right)$

cost(e_ij)＝||e_ij||·w(e_ij)           (2) 

其中w(e_ij)表示有向边e_ij的局部曲率，T_i表示包含顶点v_i的三角形集合，表示包含边e_ij的三角形集合，f.normal是指f面的法向量，n.normal是指n面上的法向量；它表示了包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片的法向最大值；

(5)判断u、v是否均为边界点。若是，则进行(6)；若否，则进行(7)；

(6)判断边界点u处的边界角是否大于阈值θ。若是，则进行(8)；若否，则进行(3)；

(7)判断u、v是否满足u是边界点，v不是边界点；若满足，则进行(3)；若不满足，则进行(8)；

(8)删除顶点u，将与顶点u连接的边关系连接至顶点v。并标记u、v两点均为受影响点，进行(3)；

(9)结束。

上述步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置，包括如下步骤：

(a)读入三角网格模型，初始化质点质量m，弹簧劲度系数k，时间步长Δt，迭代域值e；

(b)进行三角网格数据预处理，得到三角网格模型边界点序列，以有各顶点的邻接点序列；

(c)根据式(3)、(4)选择投影面，将三角网格模型进行投影，在投影面建立二维坐标系，计算三角网格顶点投影后的二维坐标(x_i,y_i)；

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0          (3) 

$a=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i,b=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i,c=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i---\left(4\right)$

其中，(a,b,c)是投影面的法向量，x₀,y₀,z₀是空间内一定点，(a_i,b_i,c_i)是第i个三角形的法向量，n是不规则曲面片上三角形的个数；

(d)选取参数化矩形区域的四个顶点，根据投影后的三角网格的结构特征，选取四个边界点，固定于给定矩形域的顶点；

(e)由于点的移动，引发非固定点的受力情况发生改变；根据式(5)，计算非固定点所受合力f(P_i)；若对于任意点P_i，所受合力均小于给定阈值，即f(P_i)≤e，则终止本次迭代,第一次终止迭代时转(i)，第二次终止迭代时转(j)；否则，继续；

$M\stackrel{..}{q}+\mathrm{Kq}=0---\left(5\right)$

其中，M为弹簧-质点模型***的质量矩阵，q为质点坐标，K为刚度矩阵； 

(f)根据式(6)，由合力f(P_i)计算每个点的加速度

${\stackrel{..}{q}}_i^t={f_i}^t/m---\left(6\right)$

其中，m是质点质量，为在t时刻质点P_i的加速度； 

(g)由加速度以及给定的时间步长Δt，根据式(7)、(8)计算每个点的位移；

${\stackrel{.}{q}}_i^{t+\mathrm{\Δt}}=\mathrm{\Δt}{\stackrel{..}{q}}_i^t---\left(7\right)$

$q_i^{t+\mathrm{\Δt}}=q_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{.}{q}}_i^t---\left(8\right)$

其中，和分别为在t和t+Δt时刻时质点P_i的速度，和分别为在t和t+Δt时刻质点P_i的位置；

(h)由(g)中的位移，计算每个点在经过Δt时间后，点的当前位置转(e)；

(i)将未固定的边界点按照空间网格中边界点与边界点间折线段的比例，固定至给定矩形域的四个边；再继续进行(i)；

(j)得到参数化结果。

所述步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；进行迭代的点时受影响的点；

实施例2：

三角网格简化 

上述方法首先遍历所有三角网格，得到网格的边界点。再根据某种准则赋予三角网格中所有有向边一个折叠代价，得到折叠代价最小的有向边后，看其有向边始点是否为网格的边界点，再找到某种方法对其含有边界点的折叠进行特别处理；若不含有边界点，则将代价最小边进行折叠即删除。不断循环上述步骤，直至网格顶点个数满足简化要求为止。这里，最关键的问题是通过怎样的准则定义有向边折叠代价。另外，含有边界点的有向边的处理方法也直接影响模型简化效果。

有向边折叠代价度量

首先，给所有有向边赋予一个权重，这个权重就代表了其在原始三角网格模型特征表示中的重要性，为了使模型在简化后仍然保留原始三角网格模型的特征，为每条有向边附加一个权重，并以此权重大小作为有向边折叠的代价大小，然后依此大小顺序进行有向边折叠，从而简化三角网格模型。

对于有向边权重的度量，要遵循的原则就是，使得当删除权重小即代价小的有向边时对于原始三角网格模型有最小影响，也就是说删除它能够使得我们的视觉变化受到最小程度的影响。这里，我们用局部曲率来衡量一条边对整个三角网格模型的特征所做贡献大小。若一条边所在区域的局部曲率较小，说明此处比较平坦，那么删除这条边花费的代价小，视觉变化程度小，那么就先删除这条边。如果一条边所在区域的局部曲率较大，说明此处较为尖锐，删除这条边的花费代价较大，视觉 变化程度大，所以为了保持原始三角网格模型的形状，应该保留这条边。这里的局部曲率公式如下所示：

$w\left(e_{\mathrm{ij}}\right)=\underset{f{\∈T}_i}{\max }\left\{\underset{{n\∈T}_{e_{\mathrm{ij}}}}{\min }\right\{(1-f.\mathrm{normal}\·n.\mathrm{normal})/2\left\}\right\}---\left(1\right)$

上式表示有向边e_ij的局部曲率，其中T_i表示包含顶点v_i的三角形集合，表示包含边e_ij的三角形集合，f.normal是指f面的法向量，n.normal是指n面上的法向量。它表示了包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片的法向最大值。当w(e_ij)＝0时，表明包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片在同一个平面上，此时应该最先被删除。当w(e_ij)≠0时，表明包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片不在同一个平面上，也就是说有向边e_ij对模型特征有一定的贡献，此时应该按其贡献大小顺序由小到大进行删除。

除了要考虑三角网格模型的初始特征对有向边的因素之外，为了得到大小均匀的网格，避免出现狭长网格的现象，在进行有向边折叠时，我们还要考虑边长大小的因素。当一条有向边比其他有向边的边长长很多时，我们当优先考虑对它进行删除，这样就能够得到边长均匀的三角网格。因此，我们用有向边的边长与有向边的权重之积来衡量有向边折叠的代价，即：

cost(e_ij)＝||e_ij||·w(e_ij)         (2) 

这样一来，这个方法就对有向边的曲率大小与边长大小做了平衡，需要引起注意的是，有向边e_ij与有向边e_ji的折叠代价是不同的概念。这种衡量有向边代价的方法对含有尖锐的脊状的边的模型也是有效的。

含有边界点的有向边简化

对于封闭的模型来说，所有的边均为两个三角面片包含，在对封闭模型进行三角网格简化时，每条边的地位都是相当的，用上述方法即可。但是对于不封闭的模型而言，它存在边界边，即边界边只包含在模型中的一个三角形内，若按上述方法 直接进行，那么边界边易先被简化，这样就不能很好地保持原始三角网格模型的模样。因此，边界边的简化问题尤为重要。边界边的简化分两种情况，如图2所示。

一种情况是，一条边的一个端点属于边界点，另一个端点不属于边界点。这种情况下，要看折叠方向。如图所示，如果是有向边e_i1被选中进行折叠，即删除v_i顶点，并将vⁱ顶点的连接关系转接至v₁顶点。这样并不会引起三角网格模型边界的巨大变形，所以这是允许的。但如果是有向边e_1i被选中进行折叠，即删除边界点v₁，并将边界点v¹的连接关系转接至vⁱ顶点。这样会引起三角网格模型边界处很大程度上的变形，因此我们针对这种情况，采取的措施就是禁止此类有向边进行折叠。

另一种情况是，被折叠边的两个端点均为边界点。这种情况，如果单用增加边长的方法进行处理，会导致更多狭长的三角形，得不到更为理想的简化效果。本文采用的方式是，设定一个角度阈值θ来限制有向边的折叠。假设有向边e₁₂被选中进行折叠，那么我们要看夹角φ₀₁₂与阈值θ的大小关系。假设φ₀₁₂≥θ，则继续进行折叠。假设有向边e₂₁被选中进行折叠，那么我们要看夹角φ₁₂₃与阈值θ的大小关系。假设φ₁₂₃＜θ，则禁止进行折叠。运用此方法，更有利于保持原始三角网格模型的特征。

实施例3：

基于弹簧-质点模型的参数化

由于三角网格模型的初始数据仅为各顶点三维坐标，以及构成三角形的顶点序号，所以需要对初始三角网格数据进行预处理，来得到可以更为直接使用的数据信息。

首先，遍历三角形顶点，求出顶点个数n，初始化一个n×n的矩阵，然后依次遍历三角网格模型的所有三角形顶点序列。在遍历的同时，改变初始化矩阵。例如三角形顶点序列(a,b,c)，则将矩阵中第a行的第b、c列的值加1，第b行的第列的值加1，第c行的第a、b列的值加1。遍历结束后，得到顶点关系矩阵。

这个顶点关系矩阵为对称阵，遍历矩阵的每一行，这一行所对应的非零元素值的列的序号，就是这一行所对应顶点的邻接点的序号。遍历关系矩阵时，若存在第i行的第j列元素值为1，则说明第i、j顶点均为三角网格模型的边界点。遍历整个关系矩阵，就能得出所有的边界点序列。

通过三角网格模型数据预处理过程，能够得到每个顶点的邻接顶点以及三角网格模型的边界点。

不规则曲面的投影

不规则曲面的投影是三角网格参数化的第一步，因此要尽量保证在此步三角网格变形最小。所以投影面的选取至关重要。对于接近于平面的不规则曲面，投影面的选取较为简单，设投影面方程为：

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0           (3) 

其中(a,b,c)是投影面的法向量，x₀,y₀,z₀是空间内一定点。投影面的选取问题实质上就是投影面上法向量的确定。为了尽可能贴近原来曲面，采用所有三角面片法向量的矢量和作为投影面的法向量。即

$a=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i,b=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i,c=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i---\left(4\right)$

其中，(a_i,b_i,c_i)是第i个三角形的法向量，n是不规则曲面片上三角形的个数。

对于曲率较大的复杂曲面，先根据不规则曲面的结构特点，将不规则曲面进行分块，再对每一块不规则曲面片用上述方法选取投影面，进行投影映射，得到每一块不规则曲面的投影。由于相邻的曲面片有公共边界点与边界边，此时，固定含有公共边界最多的曲面片的投影面，称为基投影面，将基投影面作为整个不规则曲面的投影面，再将其邻接的曲面片所在的投影面经过旋转平移，使其与基投影面共面。再以基投影面上的公共点为原不规则曲面上点的最终投影点，将两个投影面上的公 共点合二为一，两个投影拼接在一起，此时基投影面上包括两个不规则曲面片的投影，再继续按照上述方法合并投影面，最终使得基投影面包含整个不规则曲面的投影。

三角网格不规则曲面投影后，在投影面上重新建立坐标系，得到三角网格不规则曲面顶点的二维坐标。通过这一步骤，三维三角网格上的顶点坐标就由三维的转化为二维的。

弹簧-质点模型建立 

弹簧-质点模型在计算机图形学中经常被用作模拟和控制三角网格的形变。在实际应用中弹簧-质点模型多用作模拟织物运动[38]和复杂平面展开等。其基本原理为：将三角网格中的点看作是质点，边看作是弹簧；边在原始三角网格中的长度对应弹簧的原长，边长变化对应于弹簧的拉伸或压缩，从而弹簧对质点产生拉力或者压力，引发质点运动。弹簧-质点模型示意图如图3所示，其中图3(a)表示三角网格中质点P_i及其一领域边的初始位置，图3(b)表示质点P_i在位置发生变动后的受力平衡情况。定义质点P_i所受力为：

$f\left(P_i\right)=\underset{k=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}C\left(\right|{P_i}^{*}{P}_{\mathrm{ik}}^{*}|-|P_i{P}_{\mathrm{ik}}\left|\right)n_{P_i^{*}{P}_{\mathrm{ik}}^{*}}---(5-1)$

其中，C为弹簧的劲度系数，|P_iP_ik|和分别为P_i点初始状态与发生变化后与其第k个邻接点P_ik之间的距离，为由质点P_i ^*指向的方向，j表示质点P_i邻接点的个数。

当对弹簧-质点模型中的某些质点进行约束，再通过弹簧-质点模型***质点的运动，当各质点所受合力达到平衡时，就能够得到弹簧-质点模型***中各质点的平衡位置。而整个弹簧-质点模型中质点的运动采用拉格朗日运动方程来进行描述，即：

$M\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+\mathrm{Kq}=g_q+f_q---(5-2)$

其中，M、D以及K分别为弹簧-质点模型***的质量矩阵、阻尼矩阵以及刚度 矩阵，q为质点坐标。g_q为整个***的合内力向量，f_q为***的合外力向量。在弹簧-质点模型模拟三角网格形变时，g_q以及f_q均为零。在通常的情况下，我们一般不考虑阻尼项，这样，上述(3.4)式就可化简为：

$M\stackrel{..}{q}+\mathrm{Kq}=0---\left(5\right)$

其中，Kq即为弹力。上述(5)式通常用欧拉方法来求解。整个弹簧-质点模型***的平衡由每一个质点的平衡所构成。当Δt较小时，质点P_i在t到t+Δt时刻的运动过程可由上述(5)经过简化后的简化拉格朗日方程来表示：

${\stackrel{..}{q}}_i^t={f_i}^t/m---\left(6\right)$

${\stackrel{.}{q}}_i^{t+\mathrm{\Δt}}={\stackrel{.}{q}}_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{..}{q}}_i^t---(6-1)$

$q_i^{t+\mathrm{\Δt}}=q_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{.}{q}}_i^t+\frac{{\mathrm{\Δt}}^2}{2}{\stackrel{..}{q}}_i^t---(6-2)$

其中，m是质点质量，为在t时刻质点P_i的加速度，和分别为在t和t+Δt时刻时质点P_i的速度，和分别为在t和t+Δt时刻质点P_i的位置。

因为由式(6-1)我们发现，在时刻t的速度会对时刻t+Δt的速度产生一定的影响，这种影响也就是我们常说的惯性。从初始运动到结束运动，每隔分别Δt时刻就会有一次惯性作用，这样就产生了累计效应。当质点在平衡位置达到最大速度的时候，若加速度与速度的方向相反，此刻质点仍然会按照原来速度的方向继续运动，而不是马上朝着加速度的方向运动。当这种情况发生时，整个弹簧-质点模型***就会出现较大的振荡。而这种振荡的情况存在时，弹簧-质点模型***就需要更多的时间达到每个质点的平衡，大大降低了算法的速度。除此之外，由于在我们的算法中没有考虑阻尼因素，因此，这种累计效应还有可能引起发散，更加得不到质点的平衡。

综上所述，在本文算法中，我们采用毛国栋提出的忽略初速度的方法[34]来解决上述问题。默认每一个时刻t，质点的初速度均为零，这样可以防止质点的惯性作 用的影响，那么上述式(6-1)、(6-2)调整为：

${\stackrel{.}{q}}_i^{t+\mathrm{\Δt}}=\mathrm{\Δt}{\stackrel{..}{q}}_i^t---\left(7\right)$

$q_i^{t+\mathrm{\Δt}}=q_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{.}{q}}_i^t---\left(8\right)$

另外，在本算法中，质点质量取常数。

当三角网格模型的弹簧-质点***按上述方法建立之后，人工地选取三角网格模型的四个边界点，并将其先固定于某一个矩形的四个顶点。固定好四个顶点之后，其余质点所受合力不为零，即弹簧-质点***失去平衡。则此时，再给出一个阈值θ，与时间间隔Δt。我们每隔Δt时刻计较一次每一个质点所受合力。当这个***中的每一个质点所受合力均小于这个阈值θ时，就称这个弹簧-质点***达到了平衡。此时，再根据三角网格原始模型中边界边连长比例，将剩余边界点按边长比例固定于给定的矩形边界上。再进行一次上述迭代。当所有质点达到平衡时，即整个弹簧-质点模型***达到平衡时，终止迭代。这时的质点所在位置，就是简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置。

实施例4：

参数化结果修正

顶点参数化初始位置确定

由于在前章所述的参数化过程中，原始网模型的投影建立弹簧-质点模型后，指定四个边界顶点拉伸至指定矩形域的四个顶点固定，引发其余点受力不平衡，从而给定时间步长，其余点进行迭代，这个过程中指定矩形域要远大于投影区域，这样才能得到更为均匀的参数化结果。因此顶点由初始位置到平衡位置位移较大，又因为时间步长不能太大，太大***发散，所以迭代花费的时间较长。综上所述，要减少算法时间花费，就要尽量减少质点由初始位置到平衡位置的位移。

模型简化后，保留顶点经过前章所述的参数化方法，得到在指定矩形域中的二 维坐标。将此作为本算法中保留顶点参数化的初始位置。原始模型中被删除顶点的初始位置是其一领域邻接顶点的参数化初始位置中心。则一领域区域为v_i1v_i2…v_im(m为邻接顶点个数)的顶点v_i的参数化初始坐标位置(x_i,y_i)的计算公式如式(9)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i=\frac{x_{i1}+x_{i2}+\·\·\·+x_{\mathrm{im}}}{m}\\ y_i=\frac{y_{i1}+y_{i2}+\·\·\·+y_{\mathrm{im}}}{m}\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，(x_ik,y_ik)(k＝1...m)为的顶点v_i的一领域邻接顶点v_ik的参数化初始位置。

被删除顶点参数化初始位置的确定通过举例说明，如图4所示，其中图4(a1)—图4(a4)是三角网格简化删除点过程图，图4(b1)—图4(b4)是被删点参数化位置确定过程。

图4.中，(a)为三角网格简化删除点过程，顶点v_i、v_j、v_k依次由简化过程中被删除。(b)为被删点参数化位置确定过程。对简化后网格进行矩形域内参数化，假使顶点v₁v₂v₃v₄v₅v₆围成的区域中，内点经过简化，得到(a)中第四幅图，简化后的三维模型经过参数化过程，得到(b)中第一幅图，此时顶点v₁、v₂、v₃、v₄、v₅、v₆的参数化初始位置已得，分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)、(x₄,y₄)、(x₅,y₅)、(x₆,y₆)。记录当前状态最后被删除顶点v_k以及删除v_k之前即(b)中第二幅图v_k的一领域区域v₁v₃v₄v₅。那么v_k的参数初始位置(x_k,y_k)就由其邻接顶点v₁、v₃、v₄、v₅的参数化初始位置(x₁,y₁)、(x₃,y₃)、(x₄,y₄)、(x₅,y₅)按式(10)确定：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_k=\frac{x_1+x_3+x_4+x_5}{5}\\ y_k=\frac{y_1+y_3+y_4+y_5}{5}\end{array}\right.---\left(10\right)$

v_k参数化初始坐标是由其被删除前一步中当前一领域顶点坐标的平均值。v_k的参数化初始坐标确定后，找到v_k被删除前最后一个被删除的顶点v_j，再按上述方法，找出vj被删除前的一领域区域v₁v₂v₃v_k，此时，其一领域顶点(包括v_k)的参数化初始坐标 均为已知，按上述方法求出v_j的参数化初始坐标(x_j,y_j)；v_j的参数化初始坐标确定后，按上述方法，可运用已求出的v_k、v_j点参数化初始坐标求出v_j被删除前最后一个被删除的顶点v_i的参数化初始位置。

实施例5：

弹簧-质点模型建立 

在得到所有点的参数化初始位置后，按原始三角网格模型的拓扑结构将顶点连接，得到初始参数化模型。在初始参数化模型上将顶点看作质点，将网格边看作无质量的弹簧，以原始三维三角网格中边的原长为弹簧原长，以当前边长为弹簧当前时刻的长度，建立弹簧-质点模型。质点的运动依然采用忽略初始速度的简化拉格朗日运动方程进行描述。

建立弹簧-质点模型后，固定模型的边界点不动，给定时间步长，让简化后保留的顶点以及被删除顶点均进行迭代，直至所有顶点受力平衡，终止迭代。简化后保留的顶点经过迭代达到平衡的过程，相当于对其参数化初始结果的修正。此时，得到原始三角网格中所有顶点的最终矩形域内参数化坐标。这种方法能够得到效果良好的参数化结果，但是如果需要算法的时间性能更优，即内点迭代次数更少，那么就需要减少参与迭代的内点个数。

将内点分为受影响点与不受影响点，受影响点是指在三角网格简化过程中，这个点所连接的边有被折叠的，那么这个点就是受影响点。不受影响点是指这个点所连接的边没有被折叠的。简化过程中，被删除的顶点一定是受影响点，保留顶点有的是受影响点，有的是不受影响点。在建立弹簧-质点模型后，固定边界点以及不受影响点不动，让受影响点进行迭代，直至所有顶点受力平衡，终止迭代。通过固定部分内点不动，即可提高算法效率。

实施例6：

利用上述方法进行实验，得到如图5所示的基于三角网格简化的纹理映射实验效果图，其中图5(a)是原始模型；图5(b)是210个顶点的简化模型；图5(c)简化后保留的210个顶点参数化初始位置；图5(d)是所有顶点的参数化初始位置；图5(e)是修正所有内点后的最终参数化位置；图5(f)是修正受影响点后的最终参数化位置；图5(g)是修正所有内点的黑白棋格映射效果；图5(h)是修正受影响点的黑白棋格映射效果；图5(i)是修正所有内点的青花瓷映射效果；图5(j)是修正受影响点青花瓷映射效果。

实施例7：

实际应用

在我们生活的各个领域，对于不规则曲面上进行纹理映射的需求也越来越多。比如，在工业造型中常用自由曲面来进行飞机、轮船、汽车的外形设计，在激光打标机中需要对不规则的型腔表面上进行激光打标，在三维游戏中通常要对虚拟的场景进行现实模拟，在智能装潢中要对壁纸或家具效果进行提前模拟、预览等。因此纹理映射技术在工业设计、3D游戏场景设计、影视动画制作以及虚拟仿真等领域有着非常广泛的应用。不规则曲面的纹理映射的研究具有一定的实际应用价值。

这种基于三角网格简化的纹理映射方法通过三角网格的简化再进行纹理映射，可以很大程度上减少算法的时间复杂度。特别适用于数据量较大的三角网格曲面的纹理映射。弹簧-质点模型的应用能够保持三角网格原始几何特征地均匀分布，不会引发纹理会聚以及纹理较大变形现象。下面我们将这种方法分别应用于牙齿隐形矫治和激光打标击中。

随着计算机图形学的发展，借助计算机进行牙齿隐形矫治逐渐成了口腔正畸学界的研究热点。牙齿隐形矫治技术首先需要通过先进的三维扫描设备获取患者的牙 领数字模型，即三角网格构成的牙领数字模型。构成一个牙领数字模的三角网格分布密集且数量非常之多。在隐形矫治软件***中需要进行单颗牙齿分割修补、牙齿牙领辅助信息构建、牙齿移动和矫治方案制定、牙龋组织变形以及附件安装融合等环节，为了更方便地进行这些环节，需要在牙齿的唇侧对每颗牙齿进行编号。即将数字纹理映射于牙领数字模型上。若直接对每个牙领数字模型进行纹理映射，需要直接找出构成三角网格的每个顶点的纹理坐标，过程繁琐，计算量大。用这种基于三角网格简体的纹理映射方法，即可先对牙领数字模型进行简化，先计算简化后每个三角网格顶点的参数化坐标，再通过牙领数字模型中点点的拓扑结构以及简化后保留顶点的参数化坐标，计算出所有顶点的纹理坐标。纹理映射效果如图6所示，其中图6(a)是编号为13的牙号纹理；图6(b)是编号为13的牙领数字模型；图6(c)是13号牙齿纹理映射效果；图6(d)是13号牙齿纹理映射效；图6(e)是编号为17的牙号纹理；图6(f)是编号为17的牙领数字模型；图6(g)是13号牙齿纹理映射效果；图6(h)是13号牙齿纹理映射效；图6(i)是上颌牙领数字模型；图6(j)是上颌牙齿纹理映射效果。

由上述纹理映射效果图可知，所用到的基于三角网格简化的纹理映射方法能够有效地将数字纹理映射于相应的牙领数字模型上，并且得到真实、变形小的映射结果。

目前，基于三维振镜的模具型腔激光蚀纹机已被提出，即塑料模具型腔表面通过采用蚀纹技术使注塑成型零件表面产生所需要的纹理装饰，使得所需的纹理图案被蚀刻在模具的型腔表面。这种方法也逐渐取代污染严重的化学蚀纹技术。而模具激光蚀纹的原理就是将二维的纹理图案，通过某种纹理映射方法，映射于三维型腔曲面。基于三角网格简化的纹理映射方法则能满足其需求。我们用此方法，将青花 瓷纹理分别映射于部分碗状模型和部分花瓶模型中，映射结果如图7所示，其中，图7(a)是青花瓷纹理；图7(b)是；图7(c)是青花瓷纹理映射效果；图7(d)是模型旋转后青花瓷纹理映射效果；图7(e)是花瓶状模型；图7(f)是青花瓷纹理映射效果；图7(g)是模型旋转后青花瓷纹理映射效果。

由上述纹理映射结果可知，模具型腔激光蚀纹机通过此纹理映射方法，可以得到真实、变形小的纹理映射结果。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于三角网格简化的纹理映射方法，其特征在于：包括如下步骤:

步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型；

步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置；

步骤三、利用得到简化三角网络模型的过程，计算被删除点在参数化矩形域中的初始位置，这样就得到初始模型中所有顶点在参数化矩形域中的位置；

步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；

步骤五:对步骤四得到的弹簧-质点模型修正的参数化坐标进行归一化处理，即为网格顶点的纹理坐标，进行纹理贴图。

2.如权利要求1所述的基于三角网格简化的纹理映射方法，其特征在于：所述步骤一、对三角网络模型进行简化，从而得到简化三角网络模型，包括如下步骤：

(1)进行三角网格模型初始化，遍历三角网格中的每条有向边，若此边仅被一个三角形包含，则说明连接此边的两个顶点均为边界点；

(2)输入需要保留的顶点个数x，以及夹角阈值θ；

(3)判断现有顶点个数是否大于顶点阈值x；若是，则进行(4)；若否，则进行(9)；

(4)分别求出每一条边的边长，以及每个三角形的法向量，利用以下公式计算有向边的折叠代价cost(e_ij)；并找出折叠代价最小的有向边e_uv，然后进行进行(5)；

$w\left(e_{\mathrm{ij}}\right)=\underset{f\∈T_i}{\max }\left\{\underset{n\∈T_{e_{\mathrm{ij}}}}{\min }\right\{(1-f.\mathrm{normal}\·n.\mathrm{normal})/2\left\}\right\}---\left(1\right)$

cost(e_ij)＝||e_ij||·w(e_ij)                (2)

其中w(e_ij)表示有向边e_ij的局部曲率，T_i表示包含顶点v_i的三角形集合，表示包含边e_ij的三角形集合，f.normal是指f面的法向量，n.normal是指n面上的法向量；它表示了包含有向边e_ij的三角面片与包含顶点v_i的三角面片的法向最大值；

(5)判断u、v是否均为边界点。若是，则进行(6)；若否，则进行(7)；

(6)判断边界点u处的边界角是否大于阈值θ。若是，则进行(8)；若否，则进行(3)；

(7)判断u、v是否满足u是边界点，v不是边界点；若满足，则进行(3)；若不满足，则进行(8)；

(8)删除顶点u，将与顶点u连接的边关系连接至顶点v。并标记u、v两点均为受影响点，进行(3)；

(9)结束。

3.如权利要求1所述的基于三角网格简化的纹理映射方法，其特征在于：所述步骤二、利用步骤一所得到的简化三角网络模型，建立弹簧-质点模型，得到简化三角网格通过弹簧-质点模型参数化于矩形域后的最终位置，包括如下步骤：

(a)读入三角网格模型，初始化质点质量m，弹簧劲度系数k，时间步长Δt，迭代域值e；

(b)进行三角网格数据预处理，得到三角网格模型边界点序列，以有各顶点的邻接点序列；

(c)根据式(3)、(4)选择投影面，将三角网格模型进行投影，在投影面建立二维坐标系，计算三角网格顶点投影后的二维坐标(x_i,y_i)；

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)＝0           (3)

$a=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i,b=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i,c=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i---\left(4\right)$

其中，(a,b,c)是投影面的法向量，x₀,y₀,z₀是空间内一定点，(a_i,b_i,c_i)是第i个三角形的法向量，n是不规则曲面片上三角形的个数；

(d)选取参数化矩形区域的四个顶点，根据投影后的三角网格的结构特征，选取四个边界点，固定于给定矩形域的顶点；

(e)由于点的移动，引发非固定点的受力情况发生改变；根据式(5)，计算非固定点所受合力f(P_i)；若对于任意点P_i，所受合力均小于给定阈值，即f(P_i)≤e，则终止本次迭代,第一次终止迭代时转(i)，第二次终止迭代时转(j)；否则，继续；

$M\stackrel{\·\·}{q}+\mathrm{Kq}=0---\left(5\right)$

其中，M为弹簧-质点模型***的质量矩阵，q为质点坐标，K为刚度矩阵；

(f)根据式(6)，由合力f(P_i)计算每个点的加速度

${\stackrel{\·\·}{q}}_i^t={f_i}^t/m---\left(6\right)$

其中，m是质点质量，为在t时刻质点P_i的加速度；

(g)由加速度以及给定的时间步长Δt，根据式(7)、(8)计算每个点的位移；

${\stackrel{\·}{q}}_i^{t+\mathrm{\Δt}}=\mathrm{\Δt}{\stackrel{\·\·}{q}}_i^t---\left(7\right)$

$q_i^{t+\mathrm{\Δt}}=q_i^t+\mathrm{\Δt}{\stackrel{\·}{q}}_i^t---\left(8\right)$

其中，和分别为在t和t+Δt时刻时质点P_i的速度，和分别为在t和t+Δt时刻质点P_i的位置；

(h)由(g)中的位移，计算每个点在经过Δt时间后，点的当前位置转(e)；

(i)将未固定的边界点按照空间网格中边界点与边界点间折线段的比例，固定至给定矩形域的四个边；再继续进行(i)；

(j)得到参数化结果。

4.如权利要求1所述的基于三角网格简化的纹理映射方法，其特征在于：所述步骤四、对参数化初始模型建立弹簧-质点模型，固定其边界顶点不动，引发内点迭代，直至内点位置达到平衡，得到弹簧-质点模型修正的参数化坐标；进行迭代的点时受影响的点。