CN104678309A

CN104678309A - 一种测定动力电池的动态外特性的方法

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Publication number: CN104678309A
Application number: CN201510021044.7A
Authority: CN
Inventors: 何志超; 杨耕; 耿华
Original assignee: Tsinghua University
Current assignee: Tsinghua University
Priority date: 2015-01-16
Filing date: 2015-01-16
Publication date: 2015-06-03
Anticipated expiration: 2035-01-16
Also published as: CN104678309B

Abstract

本发明涉及一种测定动力电池的动态外特性的方法，属于电池技术领域。本方法通过在不同工作电流上叠加动态激励的方法来获取不同工作电流附近动力电池的动态外特性，基于动力电池的恒流特性曲线以及曲线求差的方法来近似消除动力电池动态外特性中混叠的时变特性，最终稿实现对动力电池动态外特性的精确测定。本发明方法能够更加充分地揭示不同工作电流条件下动力电池内部不同的动态特性信息，因此具有更高的建模精度。本发明方法不仅可供动力电池制造商离线使用来测试动力电池的基本参数，也可用于动力电池的在线测定。

Description

一种测定动力电池的动态外特性的方法

技术领域

本发明涉及一种测定动力电池的动态外特性的方法，尤其涉及动力电池的测试方法以及相关的数据处理方法，属于电池技术领域。

背景技术

随着新型可再生能源技术、微网技术以及电动汽车技术的进步，电池储能***正在被日益广泛地应用到工业生产以及日常生活当中。为了保证电池储能***的安全、高效运行，***均配备电池管理***来对电池储能***中动力电池的状态进行监测，并对动力电池外特性进行预测。其中，对动力电池的外特性进行准确测定是电池管理***对电池进行有效管理的关键，这项工作决定了整个电池储能***的运行效率与安全性。

目前动力电池的外特性测定研究主要体现为动力电池的建模研究。常见的动力电池模型主要包括电化学模型与等效电路模型两类。电化学模型能够较为完备地反映动力电池内部的物理化学过程，有助于对动力电池工作过程中内部发生的变化进行细致地研究；然而这类模型结构复杂，并且涉及大量难以获取的物理化学参数，因此电化学模型一般被应用于动力电池的性能分析与相关的理论研究中。等效电路模型使用一些物理特性已知的电路器件来描述动力电池的电气外特性；这类模型结构简单、易于理解，并且模型参数具有明确的物理化学机理解释，因此在动力电池建模研究中应用最为广泛。

目前已有一些关于动力电池的等效电路模型研究工作，典型工作例如：

Massimo C.New dynamical models of lead–acid batteries[J].IEEE Transactions On PowerSystems,vol.15,No.4,pp.1184-1190,November 2000。

该文献给出了动力电池等效电路模型的一般结构以及动力电池的外特性测定方法，并建立了铅酸动力电池的三阶等效电路模型。该模型使用可变电压源表示动力电池的开路电压，使用两个可变电阻分别表示动力电池的欧姆内阻与活化极化内阻，使用一个电阻电容并联支路表示动力电池的浓差极化及其动态过程，使用一个受控电流源支路表示动力电池的自放电过程。该文献通过调节模型参数来直接拟合动力电池在不同工况下的端电压外特性。虽然文献中的建模结果并不理想，导致动力电池外特性测定存在较大偏差，但是该文献给出的动力电池等效电路模型一般结构以及动力电池外特性测定方法是后续众多研究的基础。

由于动力电池具有较强非线性特性与时变特性，其动态外特性为内部不同动态过程的共同作用结果，并且其中一些动态过程与动力电池的时变特性存在混叠。为了对动力电池外特性进行精确测定，必须进行必要的数据处理来消除测定数据中的时变特性分量，并在建模过程中对动力电池内部的不同动态过程分别建模。然而，现有的动力电池建模工作并没有对动力电池的不同动态过程进行***研究，这导致对动力电池的动态特性认识不清，建立的模型缺乏机理解释，并最终影响了动力电池外特性测定精度。为了解决这一问题，一些研究引入了大量经验参数来辅助动力电池的外特性测定，这些经验参数的选取往往包含有研究者个人的主观因素以及动力电池测试条件中的偶然因素，并不能客观地反映动力电池特性，最终导致这些动力电池外特性测定工作可重复性较差。

发明内容

本发明的目的是提出一种测定动力电池的动态外特性的方法，通过在不同工作电流上叠加动态激励的方法来获取不同工作电流附近动力电池的动态外特性，基于动力电池的恒流特性曲线以及曲线求差的方法来近似消除动力电池动态外特性中混叠的时变特性，最终稿实现对动力电池动态外特性的精确测定。

本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法，包括以下步骤：

(1)根据动力电池产品手册规定的动力电池标准放电电流、与标准放电电流相对应的截止电压、标准充电电流、标准充电电压以及与标准充电电压相对应的截止电流，对动力电池进行多次标准充放电循环操作，最后进行标准充电，将动力电池满充或满放；

(2)从动力电池产品手册规定的动力电池安全工作范围中，获取动力电池的N个工作电流，记为i₁,i₂,……,i_N，并根据动力电池产品手册得到与各个工作电流相对应的截止电压；

(3)以步骤(2)的各工作电流分别对步骤(1)满充或满放的动力电池进行恒流充电或放电操作，使每次在一个工作电流下的恒流充电或放电操作的截止电压为步骤(2)中的动力电池产品手册规定的截止电压，每次恒流充电或放电操作过程中，记录不同工作电流下动力电池的端电压随时间变化的曲线，记为恒流特性曲线，同时记录动力电池在不同工作电流下持续的工作时间T；再对动力电池进行一次或多次如步骤(1)的标准充电或放电操作，使得动力电池最终处于动力电池产品手册中所规定的满充或满放状态；

(4)从步骤(2)的N个工作电流中选取任意两个不同的工作电流i_j和i_k，以工作电流i_j对动力电池进行持续时间为t₁的恒流操作，随后以工作电流i_k对动力电池进行持续时间为t₂的恒流操作，直到动力电池的端电压达到与动力电池产品手册中所规定的工作电流i_k相对应的截止电压，并记录两次恒流操作过程中动力电池的工作电流随时间变化的曲线，记为工作电流曲线，以及动力电池端电压随时间变化的曲线，记为动态特性曲线；最后对动力电池进行一次或多次如步骤(1)的标准充电或放电操作，使得动力电池最终处于动力电池产品手册中所规定的满充或满放状态；

(5)将步骤(4)的工作电流曲线的各点纵坐标的工作电流值减去i_j，删除工作电流曲线的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段，得到纵坐标的初始值为0、终止值为i_k-i_j的工作电流曲线；

(6)使步骤(3)的工作电流为i_k的恒流特性曲线与步骤(4)的动态特性曲线从曲线横坐标的末尾对齐，删除两个曲线中的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段，计算两个曲线段中的纵坐标之差，得到残差曲线；

(7)采用含有二阶阻容网络的戴维南等效电路模型作为动力电池的基本模型，得到数学方程如下：

\{\begin{matrix} C_{1} \frac{d U_{C 1}}{dt} + \frac{U_{C 1}}{R_{1}} = i \\ C_{2} \frac{d U_{C 2}}{dt} + \frac{U_{C 2}}{R_{2}} = i \\ OCV + U_{C 1} + U_{C 2} + i \cdot R_{0} = U_{t} \end{matrix}

其中，i表示动力电池的工作电流，U_t表示动力电池的端电压，OCV表示动力电池的开路电压，R₀为动力电池的欧姆内阻值，R₁为动力电池的浓差极化电阻值，R₂表示动力电池内部温度变化所导致的内阻变化分量，C₁为戴维南等效电路模型中第一电容的电容值，C₂为戴维南等效电路模型中第二电容的电容值，C₁·R₁为动力电池物质传输动态过程的时间常数，C₂·R₂为动力电池内部温度变化动态过程的时间常数，U_C1与U_C2分别为动力电池戴维南等效电路模型中第一电容和第二电容两端的电压；

根据叠加原理，将动力电池的开路电压OCV置为0，得到动力电池的端电压U_t与动力电池工作电流i之间的传递函数：

\begin{matrix} G (s) = R_{0} + \frac{R_{1}}{R_{1} C_{1} s + 1} + \frac{R_{2}}{R_{2} C_{2} s + 1} \\ = R_{0} + \frac{(R_{1} R_{2} C_{1} + R_{1} R_{2} C_{2}) s + R_{1} + R_{1}}{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2} s^{2} + (R_{1} C_{1} + R_{2} C_{2}) s + 1} \end{matrix};

(8)以步骤(5)的工作电流曲线作为模型的输入数据，以步骤(6)得到的动态响应曲线作为戴维南等效电路模型的输出数据，采用最小二乘方法求解步骤(7)的传递函数，得到各阻容参数R₀、R₁、C₁、R₂以及C₂，具体过程如下：

(8-1)建立一个如下形式的传递函数：

G (s) = k + \frac{b_{1} s + b_{0}}{s^{2} + a_{1} s + a_{0}}

其中，k、a₀、a₁、b₀和b₁为待定系数，采用最小二乘方法，使用戴维南等效电路模型的输入数据和输出数据直接求解该传递函数，得到k、a₀、a₁、b₀和b₁；

(8-2)利用上述k、a₀、a₁、b₀和b₁，通过以下计算公式，计算得到步骤(7)的数学方程中的各阻容参数R₀、R₁、C₁、R₂以及C₂：

\{\begin{matrix} R_{0} = k \\ R_{1} = \frac{b_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2} -4 a_{0}}} - \frac{2 b_{0}}{a_{1} \sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}} + a_{1}^{2} - {4 a}_{0}} \\ R_{2} = \frac{b_{0}}{a_{0}} - R_{1} \\ C_{1} = \frac{2}{a_{1} + \sqrt{a_{1}^{2} - {4 a}_{0}}} / R_{1} \\ C_{2} = \frac{2}{a_{1} - \sqrt{a_{1}^{2} - {4 a}_{0}}} / R_{2} \end{matrix}

(9)从步骤(4)动力电池的工作电流曲线与动态特性曲线中，分别读取与横坐标t₁相对应的纵坐标的工作电流数值i_t1和端电压数值U_t1，根据戴维南等效电路模型，U_C1与U_C2分别为：

U_C1＝i_t1·R₁

U_C2＝i_t1·R₂

根据步骤(7)的数学方程，开路电压参数OCV为：

OCV＝U_t1-i_t1·(R₀+R₁+R₂)；

(10)重复步骤(4)到步骤(9)，遍历所有两个不同的工作电流i_j和i_k，遍历以工作电流i_j对动力电池进行恒流操作的持续时间t₁，完成所有不同条件下的动力电池的充放电操作，测定动力电池的动态外特性。

本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法，其优点是：

1、本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法，能够近似消除动力电池外特性随时间变化的特性，因此能够在测定过程中使用一个简单的线性定常阻容网络和一个直流电压源来描述动力电池工作电流附近的动态外特性，从而简化测定过程并提高测定精度，最终提高电池管理***的运行效率以及控制精度。

2、本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法，能够获取动力电池戴维南等效电路模型参数随工作电流的变化规律，从而能够提高不同工作电流条件下对动力电池动态外特性的测定精度，使得电池管理***能够在动力电池的不同工作电流条件下更加准确地获取动力电池的各项参数，并进行更加精确的控制。

3、本发明提出的测定方法，只需要借助于简单的动力电池充放电设备以及数据采集器，不需要额外昂贵的专用仪器，并且数据处理能够在线进行，因此有利于工程实施。

附图说明

图1是本发明提出的测定动力电池的动态外特性方法的流程图。

图2是本发明方法中，工作电流曲线处理实施例，其中，图2(a)为通过实验测定的动力电池工作电流曲线，图2(b)为沿纵坐标方向平移之后的动力电池工作电流曲线，图2(c)为删除多余数据之后所剩余的工作电流曲线段；

图3是本发明中方法，动态特性曲线处理实施例，其中，图3(a)为通过实验测定的动力电池恒流特性曲线与动态特性曲线，图3(b)为删除多余数据之后所剩余的恒流特性曲线段与动态特性曲线段，图3(c)为恒流特性曲线段与动态特性曲线段进行曲线求差后得到的残差曲线；

图4是本发明方法涉及的动力电池的戴维南等效电路模型示意图。

图5是本发明提出的测定动力电池的动态外特性方法的一个测定结果示意图。

图6是本发明方法在不同工作电流情况下所获得的戴维南等效电路模型阻容参数辨识结果，其中图6(a)为R₀，图6(b)为R₁，图6(c)为C₁，图6(d)为R₂，图6(e)为C₂。

具体实施方式

本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法，其流程框图如图1所示，包括以下步骤：

(5)将步骤(4)的工作电流曲线的各点纵坐标的工作电流值减去i_j，删除工作电流曲线的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段，得到纵坐标的初始值为0、终止值为i_k-i_j的工作电流曲线；图2所示为本发明方法的一个实施例，其中给出了i_j＝-3.9A，i_k＝-19.5A，t₁＝1155s，t2＝879s，T_k＝1110s条件下的工作电流曲线获取过程，图2(a)为步骤(4)中得到的工作电流曲线，将工作电流曲线的各点纵坐标的工作电流值减去i_j后便可得到图2(b)所示的曲线，基于此，删除曲线上的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段，便可得到图2(c)所示的工作电流曲线段。

(6)使步骤(3)的工作电流为i_k的恒流特性曲线与步骤(4)的动态特性曲线从曲线横坐标的末尾对齐，删除两个曲线中的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段，计算两个曲线段中的纵坐标之差，得到残差曲线；图3所示为本发明方法的一个实施例，其中给出了i_j＝-3.9A，i_k＝-19.5A，t₁＝1155s，t₂＝879s，T_k＝1110s条件下的残差曲线获取过程，图3(a)为步骤(3)中得到的恒流特性曲线与步骤(4)中得到的动态特性曲线，并且两条曲线横坐标的末尾对齐，删除两个曲线中的横坐标t₁之前的曲线段以及横坐标t₁+t₂-10％×T_k之后的曲线段便可得到图3(b)所示的曲线段，基于此，计算两个曲线段中的纵坐标之差，便可得到图3(c)所示的残差曲线。

具体地，此处曲线对齐的目的是保证恒流特性曲线与动态特性曲线在横坐标t₂之后的曲线段对应相同的荷电状态，曲线求差的目的是消除动力电池动态外特性中由荷电状态变化所导致的变化分量。最终得到的残差曲线仅由步骤(5)的工作电流曲线和t₁时刻的戴维南等效电路模型的参数所决定，即消除了动力电池动态外特性测定过程中戴维南等效电路模型参数随时间变化的特性。

(7)采用含有二阶阻容网络的戴维南等效电路模型作为动力电池的基本模型，戴维南等效电路模型如图4所示，得到数学方程如下：

\{\begin{matrix} C_{1} \frac{d U_{C 1}}{dt} + \frac{U_{C 1}}{R_{1}} = i \\ C_{2} \frac{d U_{C 2}}{dt} + \frac{U_{C 2}}{R_{2}} = i \\ OCV + U_{C 1} + U_{C 2} + i \cdot R_{0} = U_{t} \end{matrix}

其中，i表示动力电池的工作电流，U_t表示动力电池的端电压，这两个量可以在动力电池实验过程中直接测得；OCV表示动力电池的开路电压，并近似表示动力电池的电动势，R₀为动力电池的欧姆内阻值，R₁为动力电池的浓差极化电阻值，R₂表示动力电池内部温度变化所导致的内阻变化分量，C₁为戴维南等效电路模型中第一电容的电容值，C₂为戴维南等效电路模型中第二电容的电容值，C₁·R₁为动力电池物质传输动态过程的时间常数，C₂·R₂为动力电池内部温度变化动态过程的时间常数，这六个量是戴维南等效电路模型参数。U_C1与U_C2分别为动力电池戴维南等效电路模型中第一电容和第二电容两端的电压；这两个量是模型的状态变量，由动力电池的工作电流与模型参数共同决定。

由于戴维南等效电路模型阻容部分所表示的动态特性是整个模型的核心，因此根据叠加原理，将动力电池的开路电压OCV置为0，得到动力电池的端电压U_t与动力电池工作电流i之间的传递函数：

\begin{matrix} G (s) = R_{0} + \frac{R_{1}}{R_{1} C_{1} s + 1} + \frac{R_{2}}{R_{2} C_{2} s + 1} \\ = R_{0} + \frac{(R_{1} R_{2} C_{1} + R_{1} R_{2} C_{2}) s + R_{1} + R_{1}}{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2} s^{2} + (R_{1} C_{1} + R_{2} C_{2}) s + 1} \end{matrix};

(8-1)建立一个如下形式的传递函数：

G (s) = k + \frac{b_{1} s + b_{0}}{s^{2} + a_{1} s + a_{0}}

\{\begin{matrix} R_{0} = k \\ R_{1} = \frac{b_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2} -4 a_{0}}} - \frac{2 b_{0}}{a_{1} \sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}} + a_{1}^{2} - {4 a}_{0}} \\ R_{2} = \frac{b_{0}}{a_{0}} - R_{1} \\ C_{1} = \frac{2}{a_{1} + \sqrt{a_{1}^{2} - {4 a}_{0}}} / R_{1} \\ C_{2} = \frac{2}{a_{1} - \sqrt{a_{1}^{2} - {4 a}_{0}}} / R_{2} \end{matrix}

U_C1＝i_t1·R₁

U_C2＝i_t1·R₂

根据步骤(7)的数学方程，开路电压参数OCV为：

OCV＝U_t1-i_t1·(R₀+R₁+R₂)；

由于在步骤(6)中，得到的残差曲线仅由步骤(5)的工作电流曲线和t₁时刻的戴维南等效电路模型的参数所决定，因此使用步骤(5)的工作电流曲线与步骤(6)的残差曲线求解步骤(7)的数学方程，得到的是动力电池以工作电流i_j进行持续时间为t₁的恒流操作后所对应的戴维南等效电路模型参数。为了得到其他情况下的戴维南等效电路模型的阻容参数，必须在不同条件下对动力电池进行更多的操作。

本发明提出的一种测定动力电池的动态外特性的方法，从原理上来讲可以分为实验操作与数据处理。实验操作是指对动力电池进行所需的恒工作电流实验与变工作电流实验来获取建模所需的必要数据，这部分内容包括本发明提出的建模方法的步骤(1)至步骤(4)，以及步骤(10)；数据处理是指对实验结果进行必要的数据处理，以获取动力电池戴维南等效电路模型参数的过程，这部分内容包括本发明提出的建模方法的步骤(5)至步骤(9)。

本发明提出的测定动力电池的动态外特性的方法通过在不同工作电流上叠加动态激励来获取不同工作电流附近动力电池的动态外特性，并基于动力电池的恒流特性曲线以及曲线求差的方法来近似消除动力电池动态外特性中混叠的时变特性。相比较于传统建模方法而言，本发明提出的方法能够更加充分地揭示不同工作电流条件下动力电池内部不同的动态特性信息，因此具有更高的建模精度。具体实施方面，本发明方法不仅可供动力电池制造商离线使用来测试动力电池的基本参数，也可用于动力电池的在线测定。

以下是本发明方法的一个实施例：

该实例数据来源于对目前应用较为广泛的一款磷酸铁锂动力电池所进行的实验，不失一般性地，这里给出动力电池在放电条件下的测定结果。动力电池参数与实验条件如下：

表1

动力电池型号	BAK 36800MP-Fe
		动力电池生产批号	2VF10L0606877
动力电池额定容量(安时)	6.5
		动力电池额定电流(C率)	0.2
动力电池额定工作温度(K)	298
		环境温度(K)	298
选取的工作电流(C率)	0.2,0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0
		选取的切换点位置(％)	10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
工作电流过渡过程	阶跃，过渡过程小于0.5个采样周期

采用本发明提出的建模方法，对上述磷酸铁锂动力电池的建模结果如下：

图2、图3以及图5给出了i_j＝-3.9A，i_k＝-19.5A，t₁＝1155s，t2＝879s，T_k＝1110s条件下动力电池的一组实验结果以及模型预测结果。其中，图3(a)给出了实验过程中测得的动力电池恒流特性曲线以及动态特性曲线，两条曲线已经按照本发明所述方法步骤(6)的要求而对齐。由图中可以看出，动力电池在动态工况与恒流工况下的放电曲线存在明显差异，这种差异随着时间而逐渐减小，并且这种差异减小的动态过程明显长于端电压动态特性曲线中所体现出来的浓差极化动态过程。根据相关电化学资料可知，恒流特性曲线与动态特性曲线之间差异逐渐减小的动态过程是由动力电池内部的温度变化动态过程所导致，因此可以使用恒流特性曲线与动态特性曲线的残差曲线来表示动力电池内部的温度变化动态过程。图2(c)、图3(c)分别给出了动力电池工作电流曲线与动态特性曲线分别经过本发明所述方法步骤(5)与步骤(6)处理之后得到的工作电流曲线与残差曲线，在步骤(9)的参数辨识过程中，这两条曲线分别做为戴维南等效电路模型的输入数据与输出数据。从图中可以看出，在阶跃激励下，残差曲线明显体现出了二阶动态过程：突变部分由动力电池内部的欧姆内阻与活化极化内阻共同导致，利用这部分数据可以获得戴维南等效电路模型中的R₀参数；与突变部分方向相同的小时间常数动态过程表示动力电池内部的物质扩散过程，利用这部分数据可以获得戴维南等效电路模型中的R₁与C₁参数；与突变部分方向相反的大时间常数动态过程表示动力电池内部的温度变化过程，利用这部分数据可以获得戴维南等效电路模型中的R₂与C₂参数。由于动力电池内部的阻容参数具有负温度系数，因此用于表示动力电池内部温度变化过程的R₂与C₂参数均为负值。基于此，戴维南等效电路模型中的各个阻容参数便能够被辨识得到。图5给出了动力电池动态外特性的测定结果。从图中可以看出，戴维南等效电路模型给出的动力电池动态响应曲线与实际实验结果最大误差小于1‰，这个误差已经达到实验室环境下动力电池动态外特性测定实验的精度极限。测定结果说明，本发明提出的建模方法能够建立准确的动力电池外特性模型，并且据此准确获取动力电池内部的关键参数。图6的(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分别给出了戴维南等效电路模型中R₀、R₁、C₁、R₂以及C₂参数与工作电流之间的对应关系。由于在这些阻容参数只能够利用动力电池的动态特性曲线获取，因此图中并不包含i_j与i_k相等条件下的模型参数数据。由图中结果可以看出，模型各阻容参数与工作电流之间近似存在简单的线性关系，因此对于其他动态工作电流工况，可以通过插值的方法较为准确地得到模型参数，进而对动力电池动态外特性进行估计。倘若动力电池厂商能够根据本发明提出的方法对动力电池进行测定，并在动力电池手册中给出如图所示的实验结果，那么电池管理***的设计将得到简化。

Claims

1.一种测定动力电池的动态外特性的方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

\{\begin{matrix} C_{1} \frac{d U_{C 1}}{dt} + \frac{U_{C 1}}{R_{1}} = i \\ C_{2} \frac{d U_{C 2}}{dt} + \frac{U_{C 2}}{R_{2}} = i \\ OCV + U_{C 1} + U_{C 2} + i \cdot R_{0} = U_{t} \end{matrix}

\begin{matrix} G (s) = R_{0} + \frac{R_{1}}{R_{1} C_{1} s + 1} + \frac{R_{2}}{R_{2} C_{2} s + 1} \\ = R_{0} + \frac{(R_{1} R_{2} C_{1} + R_{1} R_{2} C_{2}) s + R_{1} + R_{1}}{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2} s^{2} + (R_{1} C_{1} + R_{2} C_{2}) s + 1} \end{matrix};

(8-1)建立一个如下形式的传递函数：

G (s) = k + \frac{b_{1} s + b_{0}}{s^{2} + a_{1} s + a_{0}}

\{\begin{matrix} R_{0} = k \\ R_{1} = \frac{b_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}}} - \frac{2 b_{0}}{a_{1} \sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}} + a_{1}^{2} - 4 a_{0}} \\ R_{2} = \frac{b_{0}}{a_{0}} - R_{1} \\ C_{1} = \frac{2}{a_{1} + \sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}}} / R_{1} \\ C_{2} = \frac{2}{a_{1} - \sqrt{a_{1}^{2} - 4 a_{0}}} / R_{2} \end{matrix}

U_C1＝i_t1·R₁

U_C2＝i_t1·R₂

根据步骤(7)的数学方程，开路电压参数OCV为：

OCV＝U_t1-i_t1·(R₀+R₁+R₂)；