CN104439539A - 具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具及其操作方法 - Google Patents

Abstract

一种具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，包括一蜗杆本体及一螺旋刃口部。该螺旋刃口部分布于该蜗杆本体上，该螺旋刃口部具有压力角改变。该蜗杆本体以齿条刀坐标***来描述，该螺旋刃口部以一刀具坐标***来描述。该齿条刀坐标***的向量参数被转换成该刀具坐标***的向量参数，使该蜗杆本体可以被假想成齿条刀，进而将该螺旋刃口部的形状导程出变压力角分布，且压力角变化后，在导程方向呈现双导程的结构特征。藉此，加工导程隆齿齿胚时，刀头座与工件主轴间的中心距离得以固定，省略径向进给自由度，并抑制齿胚的齿面扭曲。

Description

具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具及其操作方法

【技术领域】

本发明是有关于一种加工齿轮的刀具及其操作方法，且特别是有关于一种蜗杆型刀具及其操作方法，主要解决齿轮导程隆齿加工时产生扭曲现象的改善。

【现有技术】

请参考图1，图1是现有的蜗杆型刀具(实线部分)与欧洲菲特与利勃滚齿刀(虚线部分)的轴向刃口示意图。该蜗杆型刀具用在创成式齿轮加工机上，以创成各种圆柱齿轮。具体而言，圆柱齿轮在车辆业、机械设备业、机电产业乃至于航天业都是不可或缺的重要零件。

为了对圆柱齿轮进行隆齿修形(Crowning)与导程推拔修形(Taper)等进一步精密的加工，现行产业界将蜗杆型刀具组装在创成式齿轮加工机上，利用改变刀具与被加工齿轮中心距的方式来实现需要导程隆齿的圆柱齿轮。

然而，使用这种方式加工时，如果没有配合进行复杂的刀具与被加工齿轮轴交角改变，会使加工后的齿面产生扭曲现象。

举例来说，欧洲菲特与利勃公司提出改变刀具压力角形式的技术，即如图1所示。其配合加工机台在刀具轴向运动和改变刀具与被加工齿轮中心距方法，达成降低隆齿加工的齿面扭曲的目的；但是此种方式沿刀具导程修整刀具压力角倾斜的方向，因而必须使刀具修整方式多一个可以改变压力角倾斜方向的自由度，使得刀具制造成本较高，而且刀具修整与齿轮加工的计算与设定相当复杂。

另一方面，以美国专利公告号第5,338,134号所揭露的技术来说，其将蜗杆造型的精切刀具透过左右压力角不同的形式，配合加工机台轴向及径向执行进行加工。然而，此方式只对齿面单边作精加工，刀具刃口的另一边并没有参与加工；因此，虽然提高了刀具的强度及寿命，但相对降低了加工的效率，也没有解决齿面扭曲的问题。

再者，在美国专利公告号第7,937,182号中揭露了一种利用对角线比率及中心距变化的刀具和工件，以进行齿轮加工的方法；其通过协调刀具隆齿的量和路线及对角比率，以产生工件所需的齿形扭曲。

综上所述，目前这些技术实皆以非线性改变压力角大小与方向及加工进给的方式来达成，但刀具的制造成本相对提高，且未必能降低齿面扭曲的现象发生。由此观之，现行产业界制造需要导程隆齿的圆柱齿轮，一般利用改变刀具与被加工齿轮中心距的方式达成此一目的，然而使用这种方式加工如果没有配合刀具与被加工齿轮轴交角改变，会使加工后的齿面产生扭曲现象。目前齿轮加工机台在加工时为了顾及机台刚性，加工时会固定工件与刀具轴交角，因此容易产生所加工齿轮齿面扭曲现象，降低原本所设计的齿轮组装公差。

因此，如何设计出一抑制前述齿面扭曲的问题，且不需要增加自由度控制上的复杂度的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，便成为相关厂商以及相关研发人员所共同努力的目标。

【发明内容】

本发明人有鉴于现有的齿轮加工机台容易产生所加工齿轮齿面扭曲现象，降低原本所设计的齿轮组装公差的缺失，乃积极着手进行开发，以期可以改进上述既有的缺点，经过不断地试验及努力，终于开发出本发明。

因此，本发明的一目的是在提供一种具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具，以抑制前述齿面扭曲的问题，且不需要增加自由度控制上的复杂度。

根据本发明的一实施方式，提出一种具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具，是用以将一齿胚加工成一齿轮，该具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具包括一蜗杆本体及至少一螺旋刃口部。该螺旋刃口部分布于该蜗杆本体上，且该螺旋刃口部具有变压力角分布的结构特征，其分部特征为在导程方向呈现线性变化形成双导程特征。

具体来说，根据本发明其它实施方式，该螺旋刃口部的变压力分布的结构特征，可以是由压力角由大到小从蜗杆本体一端渐次分布到蜗杆本体另一端；。从另一个角度观之，螺旋刃口部的变压力角分布的结构特征可以是线性分布的，在导程方向会呈现双导程特征。

更进一步的来说，在本发明另一实施方式中，该具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具可应用于一创成式齿轮加工机上；其整体包括一刀头座、一自由度控制机构，以及一工件主轴。该刀头座是用来安装前述的该具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具的该蜗杆本体。该自由度控制机构用以控制该刀头座，产生一轴向进给自由度、一切向进给自由度与一设定倾角自由度。该工件主轴则用以安装一齿胚，以受该具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具加工。值得注意的是，该螺旋刃口部因导程出双导程形式与变压力角分布的结构特征，使该齿胚被加工时，该刀头座与该工件主轴间的中心距离得以固定，进而省略加工过程中用以改变中心距离的径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制齿胚的齿面扭曲。

本发明的另一目的是在提供一种具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具的操作方法，以提供低成本高效率的隆齿加工方式。

根据本发明的又一实施方式，提出一种具双导程形式与变压力角的蜗杆型刀具的加工方法，是利用前述的该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具将一齿胚加工成一齿轮，包括下列步骤：以一齿条刀坐标***来描述一蜗杆本体；以一刀具坐标***来描述分布于蜗杆本体上的螺旋刃口部；将齿条刀坐标***的向量参数，转换成刀具坐标***的向量参数，使蜗杆本体可以被假想成齿条刀，进而将螺旋刃口部的形状导程出具双导程形式与变压力角的结构特征；以及利用螺旋刃口部的变压力角分布的结构特征，设定加工齿胚所需的轴向进给自由度、切向进给自由度与设定倾角自由度，进而省略径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制齿胚的齿面扭曲。

【附图说明】

为让本揭示内容的上述和其它目的、特征、优点与实施例能更明显易懂，所附附图的说明如下：

图1为现有的蜗杆型刀具(实线部分)与欧洲菲特与利勃滚齿刀(虚线部分)的轴向刃口示意图；

图2为本发明一实施方式的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的轴向刃口示意图；

图3为本发明一实施方式的创成式齿轮加工机的加工自由度的操作示意图；

图4为以一般加工工具制作本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具时，加工工具本身的坐标***图；

图5为图4的一般加工工具在加工制作本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具时的结构示意图；

图6为本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法的方法流程图；

图7为图4的一般加工工具在加工制作本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具时，作动方式的坐标***图；

图8为本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具进行加工齿胚时的坐标***图；

图9为标准刀具加工的齿面拓朴图；

图10为具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具加工的齿面拓朴图。

【符号说明】

10  标准刀具

11  齿条刀

20  具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具

200 蜗杆本体

201 螺旋刃口部

202 刀头座

203 自由度控制机构

21  齿胚

30  工件主轴

40  设定倾角

50  中心距离

51  轴向进给方向

52  切向进给方向

6   具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法

7   创成式齿轮加工机。

【具体实施方式】

请参考图3以及图5所示，本发明的一种具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20，是用以将一齿胚21加工成一齿轮(图未示)，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20包括一蜗杆本体200以及一螺旋刃口部201，该螺旋刃口部201分布设置于该蜗杆本体200上，且该螺旋刃口部201具有变压力角分布。

其中该螺旋刃口部201的变压力角分布由大变小从该蜗杆本体200一端渐次分布到该蜗杆本体200另一端。该螺旋刃口部201的变压力角分布，变化后成双导程形式。该螺旋刃口部201的变压力角分布为线性分布。在本发明的一实施例中，本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20，更包括：一刀头座202，用以安装该蜗杆本体200；一自由度控制机构203，是用以控制该刀头座202，产生一轴向进给自由度、一切向进给自由度与一设定倾角自由度；以及一工件主轴30，是用以安装该齿胚21，以受加工；其中，该螺旋刃口部201因导程出变齿厚分布的结构特征，使该齿胚21被加工时，该刀头座202与该工件主轴30间的中心距离得以固定，进而省略加工过程中用以改变中心距离的径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制该齿胚21的齿面扭曲。

本发明于一实施方式中提出一种具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20，例如滚齿刀、刃口型刀具或蜗杆式磨轮，其用以配合加工机台轴向进给和切向进给，来达到齿轮导程隆齿修形的目的。换句话说，透过改变刀具压力角大小的方式来降低隆齿加工过程中经常出现的齿面扭曲现象，并在齿轮加工时，控制加工机台在刀具轴向的运动，因而不需要改变刀具与被加工齿轮的中心距。易言之，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20在使用上，同时解决了现有的自由度变量设定复杂与加工后齿面弯曲的问题。因此，本发明透过诸实施方式的揭示，实现了对圆柱齿轮进行低成本且高效率隆齿加工的目的。

请参考图2，图2是本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的轴向刃口示意图。图2中，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20，在螺旋线方向上，可以看出刀具上前端齿到后端齿有变压力角的特征存在，迥异于以虚线表示的一标准刀具10。具体的说，在图2中，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的压力角变化是由一端朝另一端变大或变小。

本发明于另一实施方式中提出一种创成式齿轮加工机7，以配合使用该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20。请参考图3，图3是该创成式齿轮加工机7的加工自由度的操作示意图。图3中，该创成式齿轮加工机7一端为用以安装该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的该刀头座202及提供轴向进给、切向进给与倾角改变，三种自由度的机构；该创成式齿轮加工机7的另一端为待加工的该齿胚21与用以安置该齿胚21的该工件主轴30。该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20于该创成式齿轮加工机7上对该齿胚21加工时，该齿胚21被安置在该工件主轴30上，且受控于该工件主轴30而转动，以使待切销加工的部位朝向该刀头座202。具体来说，该刀头座202转到该齿胚21与该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的一设定倾角40，移动该齿胚21与该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的一中心距离50，使该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20接触该齿胚21上待切削或以其它方式加工的部位。开始进行加工时，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20沿一轴向进给方向51作动，同时由该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的一侧开始沿一切向进给方向52移动到该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的另一侧，直至完成加工。

请参考图3、图5及图6所示，本发明另外提出一种具双导程形式与变压力角蜗杆式刀具的操作方法6，是利用该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20将一齿胚21加工成一齿轮，包括下列步骤：

步骤600：以一齿条刀坐标***来描述该蜗杆本体200；

步骤601：以一刀具坐标***来描述分布于该蜗杆本体200上的该螺旋刃口部201；

步骤602：将该齿条刀坐标***的向量参数，转换成该刀具坐标***的向量参数，使该蜗杆本体200可以被假想成一齿条刀11，进而将该螺旋刃口部201的形状导程出变压力角分布的结构特征；以及

步骤603：利用该螺旋刃口部201的变齿厚分布的结构特征，设定加工该齿胚21所需的轴向进给自由度、切向进给自由度与设定倾角自由度，进而省略径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制该齿胚21的齿面扭曲。

接下来，具体说明本实施方式的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20及其相配合的该创成式齿轮加工机7，何以能够提供较精简的机台自由度设定，却又能达到避免齿面扭曲的高精密度加工需求。首先须从该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的制造与设计流程说明起。

请参考图4，图4以一般加工工具制作该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20时，加工工具本身的坐标***图；其以诸法线参数描述一般加工工具的坐标。具体来说，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的理论齿形可以假想为由一齿条刀11，所创成出来的。

更具体地来说，请一并参考图5与图7，图5是图4的一般加工工具在加工制作本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20时的结构示意图，图7是图4的一般加工工具在加工制作本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20时，作动方式的坐标***图。图6中，S₇为齿条刀坐标***，其原点即为图上所标示的O₇；S₃为刀具坐标***，其原点即为图上所标示的O₃；S₄为固定坐标***，其原点即为图上所标示的O₄，且两坐标***的原点重迭。当该齿条刀11平移一个距离时，刀具对着固定坐标***S₄的Z轴Z₄旋转一个角度因此，刀具的位置向量及法向量分别如下式所示：

以齿条刀坐标***S₇表示的位置向量：

r₇＝[x₇,y₇,z₇,1]^T

           ……式(2)

＝[u₁cosα_on,-u₁sinα_on+bu₁v₁,v₁,1]^T,

以齿条刀坐标***S₇表示的法向量：

n₇＝[n_x7,n_y7,n_z7]^T

                ……式(3)

＝[-bv₁+sinα_on,cosα_on,-bu₁cosα_on,0]^T,

其中，u₁、v₁为齿条刀参数；α_on为标准法向压力角；r_o1为刀具节圆半径。

经过两坐标***间的转换计算后，可以得到该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20的位置向量及法向量分别表示如下：

以刀具坐标***S₃表示的位置向量：

该刀具坐标***S₃表示的位置向量为：

r₃＝[x₃(u₁,v₁,ψ₁),y₃(u₁,v₁,ψ₁),z₃(u₁,v₁,ψ₁),1]^T,  ……式(4)

该蜗杆本体200以刀具坐标***S₃表示的法向量为：

n₃＝[n_x3(u₁,v₁,ψ₁),n_y3(u₁,v₁,ψ₁),n_z3(u₁,v₁,ψ₁)]^T,  ……式(2)

其中，各参数亦转换如下：

x₃＝(r_o1+u₁cosα_on)cosψ₁

+(r_o1ψ₁+(sinα_on-bv₁)u₁cosβ_o1-v₁sinβ_o1)sinψ₁,

y₃＝(r_o1+u₁cosα_on)sinψ₁

+(-r_o1ψ₁+(-sinα_on+bv₁)u₁cosβ_o1+v₁sinβ_o1)cosψ₁,

z₃＝v₁cosβ_o1+(sinα_on-bv₁)u₁sinβ_o1,

n_x3＝(sinα_on-bv₁)cosψ₁

+cosα_on(-cosβ_o1+bu₁sinβ_o1)sinψ₁,

n_y3＝cosα_on cosψ₁(cosβ_o1-bu₁sinβ_o1)

+(sinα_on-bv₁)sinψ₁,

n_z3＝-cosα_on(bu₁cosβ_o1+sinβ_o1).

且参数u₁,v₁,ψ₁关系必须符合下列方程式：

$f_1(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1)=n_3\·\frac{\∂[x_3(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1),y_3(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1),z_3(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1)]}{\∂{\mathrm{\ψ}}_1}=0$      ……式(6)

承上所述，请再参考图8，图8为本发明的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20进行加工该齿胚21时的坐标***图。该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20对该齿胚21作对角进给的加工动作时，可描述如图8所示。在图8中，S₁为刀具坐标***(图中x₁轴与y₁轴所代表的坐标)，S₂为工件坐标***，S_a为齿轮加工机固定坐标***。一般刀具在加工机上需要以三个进给量来实现加工程序，亦即沿着齿轮轴的轴向进给量Z_a(t)，沿着刀具轴的切向进给量Z_s(t)，以及刀具与工件的中心距E_o。此外，γ为刀具与工件的机械设定倾角。在传统式的滚齿加工下，需要作齿轮导程方向修整时，要同时沿着图8所示的该轴向进给方向51进行轴向进给，且设定该中心距离50以进行径向进给；径向进给量需设定为：

$E_o-{\mathrm{az}}_a^2\left(t\right)$      ……式(7)

但加工出来的齿面容易发生曲面扭曲的问题。

本实施方式所提供的该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20及其相配合的该创成式齿轮加工机7，其之所以能解决了曲面扭曲的问题又可达到齿面修整的目的，是先将该中心距离50设为一个定值，并设计刀具使其具有变齿厚的特征，同时佐以该轴向进给方向51及该切向进给方向52的控制，亦即设定其进给关系式如下：

$z_S\left(t\right)=c_1{z}_a\left(t\right)+c_2{z}_a^2\left(t\right).$      ……式(8)

此时，利用齿轮原理及微分几何理论，带入上述方程式(1)～(8)，我们即可求得齿面的齿形，以赋予该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20变齿厚的特征来达到所需的效果。

实施例

请一并参考图9与图10，图9是该标准刀具10加工的齿面拓朴图，图10是该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20加工的齿面拓朴图。

这里提供一般传统的该标准刀具10与该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20加工齿轮的修整范例。下列为齿轮及刀具的基本参数：

齿轮资料如下：

齿数＝50齿

法向模数＝3mm

法向弧齿厚＝4.712mm

法向压力角＝20度 右旋

螺旋角＝20度

面宽＝14mm

刀具资料如下：

牙口数＝1

螺旋角＝89度 右旋

法向弧齿厚＝4.712mm

机械设定如下：

刀头座倾角＝21度

齿胚与刀具标准中心距＝166.351mm

在该标准刀具10加工下，机台作轴向及径向进给，设定进给关系参数a＝1.34×10^-3；b＝0；c1＝0；c2＝0。其中，a为中心距变化系数，b为变压力角系数，c1与c2为刀具切向进给系数。其齿面拓朴图如图9所示，由图可看出左右齿面上有扭曲情况发生；反之，在该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20加工下，机台作轴向及切向进给，设定进给关系参数a＝0；b＝-1.134×10^-5；c1＝-2.921；c2＝-4.835×10^-4。其齿面拓朴图如图10所示，由图上可看出本实施方式的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具20，能有效抑制了齿面上扭曲的情形，并达到导程修整的目的。

综上所述，本发明诸实施方式的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具及其配合的创成式齿轮加工机，能以轴向及切向进给的方式实现低成本、高效率的隆齿加工方法，并有效降低齿面扭曲的现象发生，进而对产业界带来庞大的经济利益而深具产业的利用价值。更具体地来说，本发明诸实施方式至少具有下列的特点及优势：

1.具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具(如滚齿刀或蜗杆式磨轮)配合加工机台轴向及切向进给即可达到齿轮导程隆齿修形。

2.透过改变刀具齿厚的方式抑制隆齿加工的齿面扭曲现象。

3.具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具在制造与使用上，不需增加现有机台的加工自由度及机构的改变。

4.齿轮加工时只需配合加工机台的轴向及切向进给，不需要改变刀具与被加工齿轮的中心距离。

虽然本发明已以诸实施方式揭露如上，然其并非用以限定本发明，任何熟习此技艺者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰，因此本发明的保护范围当视后附的申请专利范围所界定者为准。

Claims (9)

1.一种具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，是用以将一齿胚加工成一齿轮，其特征在于，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具包括：

一蜗杆本体；以及

一螺旋刃口部，是分布设置于该蜗杆本体上，且螺旋刃口部具有变压力角分布。

2.如权利要求1所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，其特征在于，该螺旋刃口部的变压力角分布由大变小从该蜗杆本体一端渐次分布到该蜗杆本体另一端。

3.如权利要求1所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，其特征在于，该螺旋刃口部的变压力角分布，变化后成双导程形式。

4.如权利要求1所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，其特征在于，该螺旋刃口部的变压力角分布为线性分布。

5.如权利要求1所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具，其特征在于，更包括：

一刀头座，用以安装该蜗杆本体；

一自由度控制机构，是用以控制该刀头座，产生一轴向进给自由度、一切向进给自由度与一设定倾角自由度；以及

一工件主轴，是用以安装该齿胚，以受加工；

其中，该螺旋刃口部因导程出变齿厚分布的结构特征，使该齿胚被加工时，该刀头座与该工件主轴间的中心距离得以固定，进而省略加工过程中用以改变中心距离的径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制该齿胚的齿面扭曲。

6.一种具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法，其特征在于，是利用一具有双导程形式与变压力角蜗杆式刀具将一齿胚加工成一齿轮，该具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具包括一蜗杆本体以及一螺旋刃口部，该螺旋刃口部分布设置于该蜗杆本体上，且螺旋刃口部具有变压力角分布，该操作方法包括下列步骤：

以一齿条刀坐标***来描述该蜗杆本体；

以一刀具坐标***来描述分布于该蜗杆本体上的该螺旋刃口部；

将该齿条刀坐标***的向量参数，转换成该刀具坐标***的向量参数，使该蜗杆本体可以被假想成齿条刀，进而将该螺旋刃口部的形状导程出变压力角分布的结构特征；以及

利用该螺旋刃口部的变齿厚分布的结构特征，设定加工该齿胚所需的轴向进给自由度、切向进给自由度与设定倾角自由度，进而省略径向进给自由度，且仍能对齿面进行隆齿修整并抑制该齿胚的齿面扭曲。

7.如权利要求6所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法，其特征在于，该齿条刀坐标***描述该蜗杆本体如下：

该齿条刀坐标***S₇具有两两垂直的三轴x₇、y₇与z₇，该蜗杆本体以该齿条刀坐标***S₇表示的位置向量为：

r₇＝[x₇,y₇,z₇,1]^T

＝[u₁cosα_on,-u₁sinα_on+bu₁v₁,v₁,1]^T,

该蜗杆本体以该齿条刀坐标***S₇表示的法向量为：

n₇＝[n_x7,n_y7,n_z7]^T

＝[-bv₁+sinα_on,cosα_on,-bu₁cosα_on]^T,

其中，u₁、v₁为该齿条刀坐标***S₇的虚拟齿条刀参数，用以将该蜗杆本体假想成齿条刀；α_on为标准法向压力角；r_o1为刀具节圆半径。

8.如权利要求7所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法，其特征在于，该刀具坐标***将该齿条刀坐标***转换如下：

该刀具坐标***S₃具有两两垂直的三轴x₃、y₃与z₃，该蜗杆本体以该刀具坐标***S₃表示的位置向量为：

r₃＝[x₃(u₁,v₁,ψ₁),y₃(u₁,v₁,ψ₁),z₃(u₁,v₁,ψ₁),1]^T,

该蜗杆本体以刀具坐标***S₃表示的法向量为：

n₃＝[n_x3(u₁,v₁,ψ₁),n_y3(u₁,v₁,ψ₁),n_z3(u₁,v₁,ψ₁)]^T,

其中，各参数亦转换如下：

x₃＝(ro₁+u₁cosα_on)cosψ₁

+(r_o1ψ₁+(sinα_on-bv₁)u₁cosβ_o1-v₁sinβ_o1)sinψ₁,

y₃＝(r_o1+u₁cosα_on)sinψ₁

+(-r_o1ψ₁+(-sinα_on+bv₁)u₁cosβ_o1+v₁sinβ_o1)cosψ₁,

z₃＝v₁cosβ_o1+(sinα_on-bv₁)u₁sinβ_o1,

n_x3＝(sinα_on-bv₁)cosψ₁

+cosα_on(-cosβ_o1+bu₁sinβ_o1)sinψ₁,

n_y3＝cosα_on cosψ₁(cosβ_o1-bu₁sinβ_o1)

+(sinα_on-bv₁)sinψ₁,

n_z3＝-cosα_on(bu₁cosβ_o1+sinβ_o1).

且参数u₁,v₁,ψ₁关系必须符合下列方程式：

$f_1(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1)=n_3\·\frac{\∂[x_3(u_1,v_{1,}{\mathrm{\ψ}}_1),y_3(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1),z_3(u_1,v_1,{\mathrm{\ψ}}_1)]}{{\∂\mathrm{\ψ}}_1}=0.$

9.如权利要求8所述的具有双导程形式与变压力角的蜗杆式刀具的操作方法，其特征在于，一般刀具控制参数的轴向进给量Z_a(t)，切向进给量Z_s(t)，中心距离E_o，轴向进给量与切向进给量互动关系为 $z_s\left(t\right)=c_1{z}_a\left(t\right)+c_2{z}_a^2\left(t\right)..$