CN104391446A - 一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法 - Google Patents

Abstract

一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，第一部分：建立平流层卫星的六自由度动力学模型。首先建立相关坐标系，再选取广义坐标并计算广义力，计算***的动能和势能，得到***的动力学模型。第二部分：基于级联子***的平流层卫星经向运动控制，提取出“球-绳子***”、“绳-帆子***”和“帆-舵子***”三个级联子***；分解为三个级联子控制问题并用反馈线性化理论依次设计子***的控制律：先在“球-绳子***”设计实现气球经向控制所需的系绳侧偏角，接着在“绳-帆子***”中设计跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角，最后在“帆-舵子***”中设计跟踪气动帆偏航角所需的舵偏角，最终实现平流层卫星的经向的高精度控制。

Description

一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法

技术领域

本发明提供一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，它涉及建立一种平流层卫星的六自由度动力学模型以及基于此模型的平流层卫星经向偏移级联控制设计方法，为平流层卫星的环地球纬度自主飞行提供了技术方案，属于自动控制技术领域。

背景技术

临近空间为海拔20～100Km的空间范围，其底部(海拔10～50km)为平流层范围。平流层大气上下对流小，以稳定的大气环流为主。临近空间飞行器主要工作在海拔20km以上的平流层。作为一种新型临近空间飞行器，平流层卫星在传统高空气球的基础上加装了动力装置来控制其经向偏移，以实现在稳定的大气环流作用下环地球纬度方向飞行。如图1所示，本发明针对的平流层卫星由高空气球、吊舱、系绳和带方向舵的气动帆构成。其中气球工作在海拔35km的高度，而气动帆通过长达15km的系绳悬挂于气球之下，工作在海拔20km的高度。气球和气动帆所在高度的风速差可达20m/s，调整气动帆方向舵可利用这一风速差改变气动帆的偏航角，从而改变气动帆所受的气动力，该气动力通过系绳作用于气球进而控制平流层卫星的经向偏移。与其它同类型的平流层飞行器相比，平流层卫星在能耗、制造、发射、回收和维护等方面有诸多优势。

为实现平流层卫星经向偏移的控制，现有的控制设计多基于简化的平面模型，将***近似处理为受力平衡状态下的静态***，对***进行分时段控制，这很难满足控制***的精度要求。本发明根据平流层卫星飞行过程中气球、系绳和气动帆的运动特点提出了一种六自由度动力学模型，并考虑到对此模型无法用整体反馈线性化方法设计控制律进行经向偏移控制，故依据平流层卫星的飞行机理从六自由度动力学模型中提取出三个级联子***，用反馈线性化方法对这三个子***依次设计控制律，可实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。

发明内容

(1)目的：本发明旨在提供一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，它涉及揭示平流层卫星飞行机理的六自由度动力学模型和基于此模型设计的平流层卫星经向偏移高精度控制方法。

(2)技术方案：针对以上目的，本发明主要内容包括两部分。第一部分：建立平流层卫星的六自由度动力学模型。其方法是：首先建立相关坐标系，再选取广义坐标并计算广义力，接着计算***的动能和势能，继而利用第二类拉格朗日方程得到***的动力学模型。第二部分：设计基于级联子***的平流层卫星经向偏移控制律。其程序是：为克服无法用整体反馈线性化方法直接设计平流层卫星经向偏移控制律的难点，根据平流层卫星的飞行机理，从所建立的六自由度模型中提取出“球-绳子***”、“绳-帆子***”和“帆-舵子***”这三个级联的子***模型；再将“舵控制球”分解为“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”这三个子控制问题，并用反馈线性化理论依次设计三个子***的控制律。先基于“球-绳子***”模型设计出实现平流层卫星经向偏移控制所需的系绳侧偏角，接着基于“绳-帆子***”模型设计出跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角，最后基于“帆-舵子***”模型设计出跟踪气动帆偏航角所需的方向舵偏角。分别选取三个级联子***的控制器参数，使“帆-舵子***”的响应速度快于“绳-帆子***”，且“绳-帆子***”的响应速度快于“球-绳子***”，最终可实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。

为实现上述方案，本发明一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其具体步骤如下：

第一部分：建立平流层卫星的六自由度动力学模型

步骤一建立地面坐标系、帆坐标系、球气流坐标系和帆气流坐标系；

步骤二选取气球系绳点的经度、纬度和高度，系绳的倾角和侧偏角以及气动帆的偏航角为***的广义坐标，并分别计算出对应各广义坐标的非保守的广义力；

步骤三分别计算出气球、系绳和气动帆的动能和势能，这里气球仅考虑其平动动能，而系绳和气动帆则考虑其平动动能和转动动能，以地面坐标系水平面为势能零点；

步骤四根据第二类拉格朗日方程得到平流层卫星的六自由度动力学模型，并将其整理为矩阵形式。

第二部分：设计基于级联子***的平流层卫星经向偏移控制律

步骤五根据预定纬度轨道位置和经度偏移位置规划消除平流层卫星经向偏移的期望轨迹；

步骤六从六自由度动力学模型提取“球-绳子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪平流层卫星经向期望轨迹所需的系绳侧偏角；

步骤七从六自由度动力学模型提取“绳-帆子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角；

步骤八从六自由度动力学模型提取“帆-舵子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪气动帆偏航角所需的方向舵偏角；

步骤九根据控制律设计中“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”的要求，选取对应的级联子***控制参数使得：“帆-舵子***”的闭环***响应速度快于“绳-帆子***”的闭环***响应速度，且“绳-帆子***”的闭环***响应速度快于“球-绳子***”的闭环***响应速度，从而实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。

其中，在步骤一中所述的“建立地面坐标系、帆坐标系、球气流坐标系和帆气流坐标系”基于以下假设：

i)视地面坐标系为惯性坐标系；

ii)气球始终处于浮重平衡状态且不考虑其转动；

iii)系绳为直线状并忽略其扭转及气动力影响；

iv)气动帆始终于铅垂面内运动；

v)忽略高度方向气流影响。

定义相关坐标系如下：

i)地面坐标系O_ex_ey_ez_e：原点O_e为地面一固定点；O_ex_e轴朝正东方向；O_ez_e轴竖直向下；O_ey_e轴与O_ex_e、O_ez_e构成右手坐标系。

ii)气动帆坐标系O_Sx_Sy_Sz_S：与气动帆固连。原点O_S为帆系绳点，O_Sx_S轴沿平衡杆向前；O_Sz_S轴在帆对称平面内垂直O_Sx_S向下；O_Sy_S轴与O_Sx_S、O_Sz_S构成右手系。

iii)球气流坐标系O_Bx_Bay_Baz_Ba：原点O_B为球系绳点，O_Bx_Ba轴沿气球空速方向；O_Bz_Ba轴在含O_Bx_Ba的铅垂平面内垂直O_Bx_Ba向下；O_By_Ba轴垂直于面O_Bx_Baz_Ba向右。

iv)帆气流坐标系O_Sx_Say_Saz_Sa：原点O_S为帆系绳点，O_Sx_Sa轴指向气动帆空速方向；O_Sz_Sa轴在包含O_Sx_Sa的铅垂平面内垂直O_Sx_Sa向下；O_Sy_Sa轴垂直面O_Sx_Saz_Sa向右。

其中，在步骤二中所述的“选取气球系绳点的经度、纬度和高度，系绳的倾角和侧偏角以及气动帆的偏航角为***的广义坐标”，其选取方法根据上述几条假设：由假设ii)知气球系绳点的经度、纬度和高度足以描述气球的状态，由假设iii)可知系绳的倾角和侧偏角足以刻画系绳的状态，由假设iv)可知气动帆的偏航角可用来刻画气动帆的状态。选取广义坐标q＝[x,y,z,α,β,ψ]^T，其中x,y,z为气球系绳点在惯性坐标系下的位置，α为系绳倾角，β为系绳侧偏角，ψ为气动帆偏航角。分别计算出对应各广义坐标的非保守的广义力如下：

$Q_x=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{x}+A_{B1}+A_{S1}+A_{R1}\mathrm{\δ},Q_y=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{y}+A_{B2}+A_{S2}+A_{R2}\mathrm{\δ},Q_z=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{z}-B,$

Q_α＝-(A_S1+A_R1δ)lsinαcosβ＝-A_S1lsinαcosβ-A_R1lδsinαcosβ，

Q_β＝-(A_S1cosαsinβ-A_S2cosβ)l-(A_R1cosαsinβ-A_R2cosβ)lδ，

Q_ψ＝-x_OAA_S1sinψ+x_OAA_S2cosψ-(A_R1sinψ-A_R2cosψ)x_ORδ，

其中δ为气动帆方向舵偏角，B为气球总浮力；气球、气动帆和方向舵的气动力分别为

$\left[\begin{array}{c}{A}_{B1}\\ A_{B2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-Q_B{S}_B{C}_B\cos {\mathrm{\β}}_B\\ -Q_B{S}_B{C}_B\sin {\mathrm{\β}}_B\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{S1}\\ A_{S2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Q}_S{S}_S{C}_S\sin (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\\ -Q_S{S}_S{C}_S\cos (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{R1}\\ A_{R2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Q}_S{S}_R{C}_R\sin (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\\ -Q_S{S}_R{C}_R\cos (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\end{array}\right]$

Q_B为气球动压，S_B为气球等效面积，C_B为气球阻力系数，Q_S为气动帆动压，S_S为气动帆等效面积，C_S为气动帆升力系数，S_R为方向舵等效面积，C_R为方向舵升力系数。

其中，在步骤三中所述的“分别计算出气球、系绳和气动帆的动能和势能，这里气球仅考虑其平动动能，而系绳和气动帆则考虑其平动动能和转动动能，以地面坐标系水平面为势能零点”，其计算方法如下：

平动动能其中m_i为刚体质量，r_Ci为刚体质心矢径；

转动动能其中ω_Ci为刚体绕质心的角速度矢，I_Ci为刚体的惯性张量阵；

势能V_i＝m_ig^Tr_Ci，其中g为重力加速度矢量。

i)气球动能

$T_B=\frac{1}{2}{m}_B{{\stackrel{\·}{r}}_B}^T{\stackrel{\·}{r}}_B=\frac{1}{2}{m}_B({\stackrel{\·}{x}}^2+{\stackrel{\·}{y}}^2+{\stackrel{\·}{z}}^2)$

其中m_B为气球质量。

ii)气球势能

$V_B=-m_B{g}_B^T{r}_B=-m_B{g}_{B}z$

其中g_B＝(0,0,g_B)^T为气球所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示。

iii)系绳动能

$\begin{array}{c}{T}_r=\frac{m_T}{24}[3{(2\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+3{(2\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+l^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β}\\ +3{(2\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+l^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2{\cos }^2\mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β})]\end{array}$

iv)系绳势能

$V_T=-m_T{g}_T^T{r}_T={-m}_T{g}_T(z+\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})$

其中g_T＝[0,0,g_T]^T为系绳中点高度的重力加速度地面坐标系中的矢量表示。

v)气动帆动能

$\begin{array}{c}{T}_S=\frac{1}{2}[{m_S(\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +m_S{(\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+m_S{(\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+J_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^2]\end{array}$

其中m_S为气动帆质量，J_z为气动帆绕轴O_Sz_S的转动惯量。

vi)气动帆势能

$V_S=-m_S{g}_S^T{r}_S={-m}_S{g}_S(z+l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+z_{\mathrm{OC}})$

其中g_S＝[0,0,g_S]^T为气动帆所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示。

综上，可得拉格朗日函数

$\begin{array}{c}L=(T_B+T_T+T_S)-(V_B+V_T+V_S)\\ =\frac{1}{24}[{12m}_B({\stackrel{\·}{x}}^2+{\stackrel{\·}{y}}^2+{\stackrel{\·}{z}}^2)+3m_T{(2\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+3m_T{(2\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +3m_T{(2\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2{+m}_T{l}^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2{\cos }^2\mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β})\\ +m_T{l}^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β}+12m_S{(\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+12m_S{(\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +12m_S{(\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+24m_B{g}_{B}z+12m_T{g}_T(2z+l\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})\\ 12J_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^2+24m_S{g}_S(z+l\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+z_{\mathrm{OC}})]\end{array}$

其中，在步骤四中所述的“根据第二类拉格朗日方程得到平流层卫星的六自由度动力学模型，并将其整理为矩阵形式”，即为整理为

$H\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+N(q,\stackrel{\·}{q})=Q$

这里q为***广义坐标向量，H(q)为***惯性矩阵，为***状态量的非线性项，Q为广义力向量。

其中，在步骤五中所述的“根据预定纬度轨道位置和经度偏移位置规划消除平流层卫星经向偏移的期望轨迹”，其方法是基于反正切函数设计由初始点缓慢变化到目标点的曲线。

其中，在步骤六中所述的“从六自由度动力学模型提取球-绳子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪平流层卫星经向期望轨迹所需的系绳侧偏角”，球-绳子***模型根据***在经度方向的受力分析可得。

其中，在步骤七中所述的“从六自由度动力学模型提取绳-帆子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角”，绳-帆子***模型由所建立的六自由度动力学第五行简化而来。

其中，在步骤八中所述的“从六自由度动力学模型提取帆-舵子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪气动帆偏航角所需的方向舵偏角”，帆-舵子***模型直接由所建立的六自由度动力学第六行得到。

其中，在步骤九中所述的“根据控制律设计中“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”的要求，选取对应的级联子***控制参数使得：“帆-舵子***”的闭环***响应速度快于“绳-帆子***”的闭环***响应速度，且“绳-帆子***”的闭环***响应速度快于“球-绳子***”的闭环***响应速度，从而实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。”其实现办法是，选取相应闭环控制***的响应速度，使响应快闭环***响应速度高于响应慢者一个数量级。

(3)优点及效果：

与现有技术相比，本发明的优点和效果是：

①提供了更全面刻画平流层卫星飞行过程的六自由度动力学模型，为控制设计和仿真验证提供了基础；

②基于所建立的六自由度动力学模型提出了三个级联子***的控制设计方法，克服了对平流层卫星整体模型无法直接用反馈线性化方法设计经向偏移控制律的困难。

附图说明

图1平流层卫星示意图。

图2平流层卫星经向偏移控制***设计流程图。

其中图1中涉及符号说明如下：

O_ex_ey_ez_e—地面坐标系；O_Sx_Sy_Sz_S—帆坐标系；O_Bx_Bay_Baz_Ba—球气流坐标系；O_Sx_Say_Saz_Sa—帆气流坐标系；V₃₅—海拔35km风速；V₂₀—海拔20km风速；O_BO_S—系绳；O_BO_S′—系绳在面O_ex_ez_e上的投影；α—O_BO_S′与轴O_ez_e的夹角(系绳倾角)；β—O_BO_S与O_BO_S′的夹角(系绳侧偏角)；β_B—O_Bx_Ba与轴O_ex_e的夹角；ψ—O_Sx_S与轴O_ex_e的夹角(气动帆偏航角)；β_S—O_Sx_S与轴O_Sx_Sa的夹角；

具体实施方式

下面结合附图2，对本发明中的实施方法作进一步说明：

第一部分：建立平流层卫星的六自由度动力学模型

步骤一建立地面坐标系、帆坐标系、球气流坐标系和帆气流坐标系

考虑到平流层气流和平流层卫星结构的特点，坐标系的建立基于以下假设：

i)视地面坐标系为惯性坐标系；

ii)气球始终处于浮重平衡状态且不考虑其转动；

iii)系绳为直线状并忽略其扭转及气动力影响；

iv)气动帆始终于铅垂面内运动；

v)忽略高度方向气流影响。

定义相关坐标系如下：

①地面坐标系O_ex_ey_ez_e：原点O_e为地面一固定点；O_ex_e轴朝正东方向；O_ez_e轴竖直向下；O_ey_e轴与O_ex_e、O_ez_e构成右手坐标系。

②气动帆坐标系O_Sx_Sy_Sz_S：与气动帆固连。原点O_S为帆系绳点，O_Sx_S轴沿平衡杆向前；O_Sz_S轴在帆对称平面内垂直O_Sx_S向下；O_Sy_S轴与O_Sx_S、O_Sz_S构成右手系。

③球气流坐标系O_Bx_Bay_Baz_Ba：原点O_B为球系绳点，O_Bx_Ba轴沿气球空速方向；O_Bz_Ba轴在含O_Bx_Ba的铅垂平面内垂直O_Bx_Ba向下；O_By_Ba轴垂直于面O_Bx_Baz_Ba向右。

④帆气流坐标系O_Sx_Say_Saz_Sa：原点O_S为帆系绳点，O_Sx_Sa轴指向气动帆空速方向；O_Sz_Sa轴在包含O_Sx_Sa的铅垂平面内垂直O_Sx_Sa向下；O_Sy_Sa轴垂直面O_Sx_Saz_Sa向右。

步骤二选取广义坐标q＝[x,y,z,α,β,ψ]^T，其中x,y,z为气球系绳点在惯性坐标系下的位置，α为系绳倾角，β为系绳侧偏角，ψ为气动帆偏航角。分别计算出对应各广义坐标的非保守的广义力如下：

$Q_x=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{x}+A_{B1}+A_{S1}+A_{R1}\mathrm{\δ},Q_y=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{y}+A_{B2}+A_{S2}+A_{R2}\mathrm{\δ},Q_z=-m^{\′}\stackrel{\·\·}{z}-B,$

Q_α＝-(A_S1+A_R1δ)lsinαcosβ＝-A_S1lsinαcosβ-A_R1lδsinαcosβ，

Q_β＝-(A_S1cosαsinβ-A_S2cosβ)l-(A_R1cosαsinβ-A_R2cosβ)lδ，

Q_ψ＝-x_OAA_S1sinψ+x_OAA_S2cosψ-(A_R1sinψ-A_R2cosψ)x_ORδ，

其中δ为气动帆方向舵偏角，B为气球总浮力；气球、气动帆和方向舵的气动力分别为

$\left[\begin{array}{c}{A}_{B1}\\ A_{B2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-Q_B{S}_B{C}_B\cos {\mathrm{\β}}_B\\ -Q_B{S}_B{C}_B\sin {\mathrm{\β}}_B\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{S1}\\ A_{S2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Q}_S{S}_S{C}_S\sin (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\\ -Q_S{S}_S{C}_S\cos (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_{R1}\\ A_{R2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Q}_S{S}_R{C}_R\sin (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\\ -Q_S{S}_R{C}_R\cos (\mathrm{\ψ}+{\mathrm{\β}}_S)\end{array}\right]$

Q_B为气球动压，S_B为气球等效面积，C_B为气球阻力系数，Q_S为气动帆动压，S_S为气动帆等效面积，C_S为气动帆升力系数，S_R为方向舵等效面积，C_R为方向舵升力系数。

步骤三分别计算气球、系绳和气动的动能和势能

i)气球动能

$T_B=\frac{1}{2}{m}_B{{\stackrel{\·}{r}}_B}^T{\stackrel{\·}{r}}_B=\frac{1}{2}{m}_B({\stackrel{\·}{x}}^2+{\stackrel{\·}{y}}^2+{\stackrel{\·}{z}}^2)$

其中m_B为气球质量。

ii)气球势能

$V_B=-m_B{g}_B^T{r}_B=-m_B{g}_{B}z$

其中g_B＝(0,0,g_B)^T为气球所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示。

iii)系绳动能

$\begin{array}{c}{T}_r=\frac{m_T}{24}[3{(2\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+3{(2\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+l^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β}\\ +3{(2\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+l^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2{\cos }^2\mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β})]\end{array}$

iv)系绳势能

$V_T=-m_T{g}_T^T{r}_T={-m}_T{g}_T(z+\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})$

其中g_T＝[0,0,g_T]^T为系绳中点高度的重力加速度地面坐标系中的矢量表示。

v)气动帆动能

$\begin{array}{c}{T}_S=\frac{1}{2}[{m_S(\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +m_S{(\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+m_S{(\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+J_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^2]\end{array}$

其中m_S为气动帆质量，J_z为气动帆绕轴O_Sz_S的转动惯量。

vi)气动帆势能

$V_S=-m_S{g}_S^T{r}_S={-m}_S{g}_S(z+l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+z_{\mathrm{OC}})$

其中g_S＝[0,0,g_S]^T为气动帆所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示。

综上，可得拉格朗日函数

$\begin{array}{c}L=(T_B+T_T+T_S)-(V_B+V_T+V_S)\\ =\frac{1}{24}[{12m}_B({\stackrel{\·}{x}}^2+{\stackrel{\·}{y}}^2+{\stackrel{\·}{z}}^2)+3m_T{(2\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+3m_T{(2\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +3m_T{(2\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2{+m}_T{l}^2({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2{\cos }^2\mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β})\\ +m_T{l}^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β}+12m_S{(\stackrel{\·}{y}+l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\β})}^2+12m_S{(\stackrel{\·}{x}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2\\ +12m_S{(\stackrel{\·}{z}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-l\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})}^2+24m_B{g}_{B}z+12m_T{g}_T(2z+l\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})\\ 12J_z{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^2+24m_S{g}_S(z+l\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+z_{\mathrm{OC}})]\end{array}$

步骤四将第②和③步结果代入第二类拉格朗日方程

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_i}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_i}=Q_i,(i=\mathrm{1,2},...,6)$

得到平流层卫星的六自由度动力学模型，并将其整理为如下矩阵形式：

$H\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+N(q,\stackrel{\·}{q})=Q---\left(1\right)$

其中H(q)＝[h_ij]为6×6对称矩阵，其非零元为

h₁₁＝h₂₂＝h₃₃＝m_B+m_T+m_S+m′， $h_{14}=-(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β},$

$h_{15}=-(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β},h_{25}=(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l\cos \mathrm{\β},h_{34}=(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β},$

$h_{35}=-(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β},h_{44}=(\frac{1}{3}{m}_T+m_S)l^2\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\β},h_{45}=\frac{m_T}{24}{l}^2\sin 2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β},$

$h_{55}=(\frac{1}{2}{m}_T+m_S-\frac{1}{12}{m}_T{\sin }^{2}2{\mathrm{\α}\cos }^2\mathrm{\β})l^2,$ h₆₆＝J_z；

为六维列向量，其中

$n_1=(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})l-(A_{B1}+A_{S1}+A_{R1}{\mathrm{\β}}_S),$

$n_2=-(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)l{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\sin \mathrm{\β}-(A_{B2}+A_{S2}+A_{R2}{\mathrm{\β}}_S),$

$n_3=-(\frac{1}{2}{m}_T+m_S)({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})l,$

$\begin{array}{c}{n}_4=-(\frac{m_T}{3}+m_S)l^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\β}-\frac{m_T}{12}{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2(4{\cos }^2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β}-1)\sin 2\mathrm{\α}\\ -(\frac{1}{2}{m}_T{g}_T+m_S{g}_S)l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+(A_{S1}+A_{R1}{\mathrm{\β}}_S)l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\end{array},$

$\begin{array}{c}{n}_5=(\frac{1}{12}{m}_T+\frac{1}{3}{m}_T{\cos }^2\mathrm{\α}+\frac{1}{2}{m}_S)l^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\sin 2\mathrm{\β}-\frac{m_T}{6}{l}^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}\sin 4\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β}+\frac{m_T}{24}{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}}\sin 2\mathrm{\β}\\ +(\frac{1}{2}{m}_T{g}_T+m_S{g}_S)l\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-(A_{S1}+A_{R1}{\mathrm{\β}}_S)l\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-(A_{S2}+A_{R2}{R}_S)l\cos \mathrm{\β}\end{array},$

n₆＝(A_S1sinψ-A_S2cosψ)x_OA+(A_R1sinψ-A_R2cosψ)β_Sx_R；

Q＝bδ，其中b＝[b₁,...,b₆]^T为六维列向量，

b₁＝A_R1，b₂＝A_R2，b₂＝0，b₄＝-A_R1lcosαcosβ，b₅＝(A_R1sinαsinβ+A_R2cosβ)l，

b₆＝-(A_R1sinψ-A_R2cosψ)x_OR。

第二部分：设计基于级联子***的平流层卫星经向偏移控制律

步骤五根据预定纬度轨道位置和经向偏移位置规划消除平流层卫星经向偏移的期望轨迹。

设A点为平流层卫星的当前位置，B点为位于预定轨道上的一点，P_A和P_B分别为点A和B沿地面O_ey_e轴坐标，则基于双曲正切函数设计的耗时t_s从A点机动到B点的轨迹为

y^d(t)＝[(P_B-P_A)tanh(10t/t_s-5)]/2+(P_B+P_A)/2

此期望轨迹变化平缓，沿其运动可满足控制过程中方向舵偏角始终处于合理角度内的要求。

步骤六从六自由度动力学模型(1)中提取“球-绳子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪平流层卫星经向期望轨迹y^d(t)所需的系绳侧偏角β^d。

“球-绳子***”的动力学方程为

$(m_B+m^{\′})\stackrel{\·\·}{y}+A_{B2}=(m_T{g}_T+m_S{g}_S)\tan \mathrm{\β}---\left(2\right)$

定义跟踪误差e₁＝y^d-y，可设计出保证跟踪误差收敛到零所需的系绳侧偏角为

β^d＝arctan(c₁Δ₁)         (3)

其中c₁＝M/(m_Tg_T+m_Sg_S)，M＝m_B+m′， ${\mathrm{\Δ}}_1={\stackrel{\·\·}{y}}^d+k_{d1}{\stackrel{\·}{e}}_1+k_{p1}{e}_1+A_{B2}/M,k_{d1}>0,k_{p1}>0.$

步骤七从六自由度动力学模型(1)提取“绳-帆子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪系绳侧偏角β^d所需的气动帆偏航角ψ^d。

“绳-帆子***”的动力学方程为

$H_1{\stackrel{\·\·}{q}}_1+{\stackrel{\‾}{N}}_1(q_1,{\stackrel{\·}{q}}_1)=2\mathrm{\π}{Q}_S{S}_S{\stackrel{\‾}{b}}_1[\mathrm{\ψ}-\arctan (b/a)]---\left(4\right)$

其中H₁(q₁)＝(h_ij)_5×5，q₁＝[x,y,z,α,β]^T， ${\stackrel{\‾}{N}}_1(q_1,{\stackrel{\·}{q}}_1)={[{\stackrel{\‾}{n}}_1,{\stackrel{\‾}{n}}_2,{\stackrel{\‾}{n}}_3,{\stackrel{\‾}{n}}_4,{\stackrel{\‾}{n}}_5]}^T,{\stackrel{\‾}{b}}_1={[\mathrm{0,1,0,0},l\cos \mathrm{\β}]}^T.$

${\stackrel{\‾}{n}}_1=(m_T/2+m_S)({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})l+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2(m_T/2+m_S)l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-A_{B1},$

${\stackrel{\‾}{n}}_2=-(m_T/2+m_S)l+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\sin \mathrm{\β}-A_{B2},$

${\stackrel{\‾}{n}}_3=-(m_T/2+m_S)({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})l-(m_T/2+m_S)l{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β},$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{n}}_4=\frac{1}{12}[-({4m}_T+12m_S)l^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 2\mathrm{\β}+(6m_T{g}_T+12m_S{g}_S)l\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ +m_T{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2(4{\cos }^2\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β}-1)\sin 2\mathrm{\α}]\end{array},$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{n}}_5=\frac{1}{24}[({4m}_T+8m_T{\cos }^2\mathrm{\α}+12m_S)l^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}+4m_T{l}^2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin 4\mathrm{\α}{\cos }^2\mathrm{\β}\\ +m_T{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2{\sin }^{2}2\mathrm{\α}\sin 2\mathrm{\β}]+(m_S{g}_S+m_T{g}_T/2)l\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}.\end{array}.$

a和b分别为气动帆空速沿地面系O_ex_e和O_ey_e轴的分量。定义系绳侧偏角误差e₂＝β^d-β，设计出可保证系绳侧偏角误差收敛到零所需的气动帆偏航角为

${\mathrm{\ψ}}^d=\arctan (b/a)+(c^T{H}_1^{-1}{\stackrel{\‾}{N}}_1+{\mathrm{\Δ}}_2)/\left(2\mathrm{\π}{Q}_S{S}_S{c}^T{H}_1^{-1}{\stackrel{\‾}{b}}_1\right)----\left(5\right)$

其中 ${\mathrm{\Δ}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}^d+k_{d2}{\stackrel{\·}{e}}_2+k_{p2}{e}_2,k_{d2}>0,k_{p2}>0,{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^d=c_2(m_T{g}_T+m_S{g}_S){\mathrm{\Δ}}_3,$

$c_2=M/[M^2{\mathrm{\Δ}}_1^2+{(m_T{g}_T+m_S{g}_S)}^2],{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}^d=(m_T{g}_T+m_S{g}_S)({\mathrm{\Δ}}_4-c_2{\mathrm{\Δ}}_1{\mathrm{\Δ}}_3)c_2,$

${\mathrm{\Δ}}_3={\stackrel{\·\·\·}{y}}^d-(k_{d1}^2-k_{p1}){\stackrel{\·}{e}}_1-k_{d1}{k}_{p1}{e}_1,{\mathrm{\Δ}}_4={\stackrel{\·\·\·\·}{y}}^d+k_{d2}(k_{d2}^2-{2k}_{p2}){\stackrel{\·}{e}}_1+k_{p2}(k_{d2}^2-k_{p2})e_1.$

步骤八从六自由度动力学模型(1)提取出“帆-舵子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪气动帆偏航角ψ^d所需的方向舵偏角δ。

“帆-舵子***”的动力学方程为

$h_{66}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}+n_6=b_6\mathrm{\δ}---\left(6\right)$

定义气动帆偏航角误差e₃＝ψ^d-ψ，设计出可保证气动帆偏航角误差收敛到零所需的方向舵偏角为

$\mathrm{\δ}=[n_6+h_{66}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}^d+k_{d3}{\stackrel{\·}{e}}_3+k_{p3}{e}_3)]/b_6---\left(7\right)$

其中k_d3＞0，k_p3＞0， ${\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^d=\frac{a\stackrel{\·}{b}-\stackrel{\·}{a}b}{a^2+b^2}+\frac{{\stackrel{\·}{A}}_S^d}{2\mathrm{\π}{Q}_S{S}_S}-\frac{A_S^d{\stackrel{\·}{Q}}_S}{2\mathrm{\π}{Q}_S^2{S}_S},$

$\stackrel{\·}{b}=-l{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\sin \mathrm{\β},{\stackrel{\·}{Q}}_S=(\stackrel{\·}{a}a+\stackrel{\·}{b}b){(a^2+b^2)}^{-1/2}{\mathrm{\ρ}}_S{V}_{S\∞},$

$\stackrel{\·}{a}=-({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+2\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β})l,$

${\stackrel{\·}{A}}_S^d=-\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{\β}}[(k_{d2}^2-k_{p2})({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^d-\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})\cos \mathrm{\β}+k_{d2}{k}_{p2}({\mathrm{\β}}^d-\mathrm{\β})\cos \mathrm{\β}+\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Δ}}_2\sin \mathrm{\β}];$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}^d=\frac{a\stackrel{\·\·}{b}-\stackrel{\·\·}{a}b}{a^2+b^2}+\frac{{\stackrel{\·\·}{A}}_S^d}{2\mathrm{\π}{Q}_S{S}_S}-\frac{{\stackrel{\·}{A}}_S^d{\stackrel{\·}{Q}}_S}{\mathrm{\π}{Q}_S^2{S}_S}--\frac{A_S^d{\stackrel{\·\·}{Q}}_S}{2\mathrm{\π}{S}_S{Q}_S^2}-\frac{2(a\stackrel{\·}{b}-\stackrel{\·}{a}b)(a\stackrel{\·}{a}+b\stackrel{\·}{b})}{{(a^2+b^2)}^2}+\frac{A_S^d{\stackrel{\·}{Q}}_S^2}{\mathrm{\π}{Q}_S^3{S}_S},$

$\stackrel{\·\·}{a}=-({\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^3\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-3{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}^2\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+3\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^3\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})l,\stackrel{\·\·}{b}=-l{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^3\cos \mathrm{\β},$

${\stackrel{\·\·}{Q}}_S={\mathrm{\ρ}}_S{V}_{S\∞}[(\stackrel{\·\·}{a}a+\stackrel{\·\·}{b}b+2\stackrel{\·}{a}\stackrel{\·}{b}){(a^2+b^2)}^{-1/2}+{(\stackrel{\·}{a}a+\stackrel{\·}{b}b)}^2{(a^2+b^2)}^{-3/2}]+{\mathrm{\ρ}}_S^3{(\stackrel{\·}{a}a+\stackrel{\·}{b}b)}^2(a^2+b^2),$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{A}}_S^d=\frac{1}{\cos \mathrm{\β}}\left[k_{d2}(k_{d2}^2-2k_{p2}){\stackrel{\·}{e}}_2{k}_{p2}{e}_2(k_{d2}^2-k_{p2}-2k_{d2}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\tan \mathrm{\β})\right]-\frac{2\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\sin \mathrm{\β}}{{\cos }^2\mathrm{\β}}(k_{d2}^2-k_{p2})e_2\\ +\frac{{\mathrm{\Δ}}_2\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}+(1+{\sin }^2\mathrm{\β}){\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}^2}{{\cos }^3\mathrm{\β}}{\mathrm{\Δ}}_2\end{array}.$

步骤九根据控制律设计中“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”的要求，选取控制律参数k_p1，k_d1，k_p2，k_d2，k_p3和k_d3，使“帆-舵子***”的闭环***响应频率比“绳-帆子***”的闭环***响应频率高一个数量级，“球-绳子***”的闭环***响应频率比“帆-舵子***”的闭环***响应频率高一个数量级，从而实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。一般地，可取k_p1＝0.0001，k_d1＝0.02，k_p2＝0.04，k_d2＝0.4，k_p3＝4和k_d3＝4。

Claims (10)

1.一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下： 

第一部分：建立平流层卫星的六自由度动力学模型 

步骤一建立地面坐标系、帆坐标系、球气流坐标系和帆气流坐标系； 

步骤二选取气球系绳点的经度、纬度和高度，系绳的倾角和侧偏角以及气动帆的偏航角为***的广义坐标，并分别计算出对应各广义坐标的非保守的广义力； 

步骤三分别计算出气球、系绳和气动帆的动能和势能，这里气球仅考虑其平动动能，而系绳和气动帆则考虑其平动动能和转动动能，以地面坐标系水平面为势能零点； 

步骤四根据第二类拉格朗日方程得到平流层卫星的六自由度动力学模型，并将其整理为矩阵形式； 

第二部分：设计基于级联子***的平流层卫星经向偏移控制律 

步骤五根据预定纬度轨道位置和经度偏移位置规划消除平流层卫星经向偏移的期望轨迹； 

步骤六从六自由度动力学模型提取“球-绳子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪平流层卫星经向期望轨迹所需的系绳侧偏角； 

步骤七从六自由度动力学模型提取“绳-帆子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角； 

步骤八从六自由度动力学模型提取“帆-舵子***”模型，并用反馈线性化方法设计跟踪气动帆偏航角所需的方向舵偏角； 

步骤九根据控制律设计中“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”的要求，选取对应的级联子***控制参数使得：“帆-舵子***”的闭环***响应速度快于“绳-帆子***”的闭环***响应速度，且“绳-帆子***”的闭环***响应速度快于“球-绳子***”的闭环***响应速度，从而实现平流层卫星经向偏移的高精度控制。 

2.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤一中所述的“建立地面坐标系、帆坐标系、球气流坐标系和帆气流坐标系”基于以下假设： 

i)视地面坐标系为惯性坐标系； 

ii)气球始终处于浮重平衡状态且不考虑其转动； 

iii)系绳为直线状并忽略其扭转及气动力影响； 

iv)气动帆始终于铅垂面内运动； 

v)忽略高度方向气流影响； 

定义相关坐标系如下： 

1)地面坐标系O_ex_ey_ez_e：原点O_e为地面一固定点；O_ex_e轴朝正东方向；O_ez_e轴竖直向下；O_ey_e轴与O_ex_e、O_ez_e构成右手坐标系； 

2)气动帆坐标系O_Sx_Sy_Sz_S：与气动帆固连，原点O_S为帆系绳点，O_Sx_S轴沿平衡杆向前；O_Sz_S轴在帆对称平面内垂直O_Sx_S向下；O_Sy_S轴与O_Sx_S、O_Sz_S构成右手系； 

3)球气流坐标系O_Bx_Bay_Baz_Ba：原点O_B为球系绳点，O_Bx_Ba轴沿气球空速方向；O_Bz_Ba轴在含O_Bx_Ba的铅垂平面内垂直O_Bx_Ba向下；O_By_Ba轴垂直于面O_Bx_Baz_Ba向右； 

4)帆气流坐标系O_Sx_Say_Saz_Sa：原点O_S为帆系绳点，O_Sx_Sa轴指向气动帆空速方向；O_Sz_Sa轴在包含O_Sx_Sa的铅垂平面内垂直O_Sx_Sa向下；O_Sy_Sa轴垂直面O_Sx_Saz_Sa向右。 

3.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤二中所述的“选取气球系绳点的经度、纬度和高度，系绳的倾角和侧偏角以及气动帆的偏航角为***的广义坐标”，其选取方法根据上述几条假设：由假设ii)知气球系绳点的经度、纬度和高度足以描述气球的状态，由假设iii)知系绳的倾角和侧偏角足以刻画系绳的状态，由假设iv)知气动帆的偏航角用来刻画气动帆的状态；选取广义坐标q＝[x,y,z,α,β,ψ]^T，其中x,y,z为气球系绳点在惯性坐标系下的位置，α为系绳倾角，β为系绳侧偏角，ψ为气动帆偏航角，分别计算出对应各广义坐标的非保守的广义力如下： 

Q_α＝-(A_S1+A_R1δ)lsinαcosβ＝-A_S1lsinαcosβ-A_R1lδsinαcosβ， 

Q_β＝-(A_S1cosαsinβ-A_S2cosβ)l-(A_R1cosαsinβ-A_R2cosβ)lδ， 

Q_ψ＝-x_OAA_S1sinψ+x_OAA_S2cosψ-(A_R1sinψ-A_R2cosψ)x_ORδ， 

其中δ为气动帆方向舵偏角，B为气球总浮力；气球、气动帆和方向舵的气动力分别为 

Q_B为气球动压，S_B为气球等效面积，C_B为气球阻力系数，Q_S为气动帆动压，S_S为气动帆等效面积，C_S为气动帆升力系数，S_R为方向舵等效面积，C_R为方向舵升力系数。 

4.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤三中所述的“分别计算出气球、系绳和气动帆的动能和势能，这里气球仅考虑其平动动能，而系绳和气动帆则考虑其平动动能和转动动能，以地面坐标系水平面为势能零点”，其计算方法如下： 

平动动能其中m_i为刚体质量，r_Ci为刚体质心矢径； 

转动动能其中ω_Ci为刚体绕质心的角速度矢，I_Ci为刚体的惯性张量阵； 

势能V_i＝m_ig^Tr_Ci，其中g为重力加速度矢量； 

i)气球动能 

其中m_B为气球质量； 

ii)气球势能 

其中g_B＝(0,0,g_B)^T为气球所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示； 

iii)系绳动能 

iv)系绳势能 

其中g_T＝[0,0,g_T]^T为系绳中点高度的重力加速度地面坐标系中的矢量表示； 

v)气动帆动能 

其中m_S为气动帆质量，J_z为气动帆绕轴O_Sz_S的转动惯量； 

vi)气动帆势能 

其中g_S＝[0,0,g_S]^T为气动帆所在高度的重力加速度矢量在地面坐标系中的表示； 

综上，可得拉格朗日函数 

。

5.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤四中所述的“根据第二类拉格朗日方程得到平流层卫星的六自由度动力学模型，并将其整理为矩阵形式”，即为整理为 

这里q为***广义坐标向量，H(q)为***惯性矩阵，为***状态量的非线性项，Q为广义力向量。 

6.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤五中所述的“根据预定纬度轨道位置和经度偏移位置规划消除平流层卫星经向偏移的期望轨迹”，其方法是基于反正切函数设计由初始点缓慢变化到目标点的曲线。 

7.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤六中所述的“从六自由度动力学模型提取球-绳子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪平流层卫星经向期望轨迹所需的系绳侧偏角”，球-绳子***模型根据***在经度方向的受力分析得到。 

8.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征 在于：步骤七中所述的“从六自由度动力学模型提取绳-帆子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪系绳侧偏角所需的气动帆偏航角”，绳-帆子***模型由所建立的六自由度动力学第五行简化而来。 

9.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤八中所述的“从六自由度动力学模型提取帆-舵子***模型，并用反馈线性化方法设计跟踪气动帆偏航角所需的方向舵偏角”，帆-舵子***模型直接由所建立的六自由度动力学第六行得到。 

10.根据权利要求1所述的一种平流层卫星六自由度动力学建模与级联控制方法，其特征在于：步骤九中所述的“根据控制律设计中“舵控制帆”、“帆控制绳”和“绳控制球”的要求，选取对应的级联子***控制参数使得：“帆-舵子***”的闭环***响应速度快于“绳-帆子***”的闭环***响应速度，且“绳-帆子***”的闭环***响应速度快于“球-绳子***”的闭环***响应速度，从而实现平流层卫星经向偏移的高精度控制”其实现办法是，选取相应闭环控制***的响应速度，使响应快闭环***响应速度高于响应慢者一个数量级。