CN104317777A - 电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法及*** - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法及***，涉及电子通信应用领域，该计算方法包括以下步骤：构造电阻网络的拉普拉斯矩阵，对拉普拉斯矩阵进行分块，构造一个(N-1)×N阶矩阵B，计算(N-1)×N阶矩阵构造N阶方阵根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。本发明只需要求解一个矩阵方程，就能求出电阻网络中任意两点间的等效电阻，能有效简化等效电阻的计算过程。

Description

电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法及***

技术领域

本发明涉及电子通信应用领域，具体是涉及一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法及***。

背景技术

电阻网络模型、随机行走模型及图论最短路径模型有密切关系^[1]，它们被广泛应用图像处理分析等领域，然而，现有的电阻网络任意两点间的等效电阻计算方法需要计算电阻网络的拉普拉斯矩阵的全部非零特征值和对应的特征向量^[2]。在实际应用中，对于大型电阻网络，不仅计算量大，并且很难准确求解全部非零特征值和对应的特征向量，因此，现有的方法并没有从根本上解决电阻网络中任意两点间的等效电阻计算问题。

参考文献：

[1]Blanchard P.,Volchenkov D.Random Walks andDiffusions on Graphs and Databases:An Introduction.Springer Seriesin Synergetics.Berlin,Heidelberg:Springer,2011.

[2]F.Y.Wu.Theory of resistor networks:the two-pointresistance.Journal of Physics A:Mathematical and General,Vol.37,No.26,July2004,pp.6653-6673

发明内容

本发明的目的是为了克服上述背景技术的不足，提供一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法及***，只需要求解一个矩阵方程，就能够求出电阻网络中任意两点间的等效电阻，能够有效简化电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程。

本发明提供一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法，包括以下步骤：

S1、在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0；构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L： $L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& -c_{12}& ...& -c_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& ...& -c_{2N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -c_{1N}& -c_{2N}& ...& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

S2、对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$

其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，

是L₁₂的转置矩阵；

S3、构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$B={\left(\begin{array}{cccc}1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& ...& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ \frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}$

$={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N};$

S4、计算(N-1)×N阶矩阵

S5、构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

S6、根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

在上述技术方案的基础上，N＝4时，在一个含有4个结点的电阻网络中，r₁＝1,r₂＝2，该电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程如下：

(1)根据步骤S1构造该电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2.5& -1& -0.5\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& -0.5& -1& 2.5\end{array}\right);$

(2)根据步骤S2对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中， $L_{11}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2.5& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right),L_{12}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\\ -1\end{array}\right),L_{22}=2.5;$

(3)根据步骤S3构造3×4阶矩阵B：

$B=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right);$

(4)根据步骤S4计算(N-1)×N阶矩阵

$\begin{array}{c}Y=L_{11}^{-1}B\\ ={\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 5/2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& -1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\end{array}\right)\end{array};$

(5)根据步骤S5构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right):$

$X=\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& 1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);$

(6)根据步骤S6中的公式：

R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，

计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻：

R₁₃＝X₁₁+X₃₃-X₁₃-X₃₁＝1＝r₁；

$R_{12}=X_{11}+X_{22}-X_{12}-X_{21}=\frac{2}{3}=\frac{r_1({2r}_1+{3r}_2)}{4(r_1+r_2)};$

$R_{14}=X_{11}+X_{44}-X_{14}-X_{41}=\frac{2}{3}.$

本发明还提供一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算***，包括第一矩阵构造单元、分块单元、第二矩阵构造单元、矩阵计算单元、第三矩阵构造单元和等效电阻计算单元，

在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0；

所述第一矩阵构造单元用于：构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L： $L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& -c_{12}& ...& -c_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& ...& -c_{2N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -c_{1N}& -c_{2N}& ...& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

所述分块单元用于：对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，是L₁₂的转置矩阵；

所述第二矩阵构造单元用于：构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$B={\left(\begin{array}{cccc}1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& ...& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ \frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}$

$={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N};$

所述矩阵计算单元用于：计算(N-1)×N阶矩阵

所述第三矩阵构造单元用于：构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

所述等效电阻计算单元用于：

根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

在上述技术方案的基础上，N＝4时，在一个含有4个结点的电阻网络中，r₁＝1,r₂＝2，该电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程如下：

(1)所述第一矩阵构造单元构造该电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2.5& -1& -0.5\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& -0.5& -1& 2.5\end{array}\right);$

(2)所述分块单元对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中， $L_{11}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2.5& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right),L_{12}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\\ -1\end{array}\right),L_{22}=2.5;$

(3)所述第二矩阵构造单元构造3×4阶矩阵B：

$B=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right);$

(4)所述矩阵计算单元计算(N-1)×N阶矩阵

$\begin{array}{c}Y=L_{11}^{-1}B\\ ={\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 5/2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& -1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\end{array}\right)\end{array};$

(5)所述第三矩阵构造单元构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right):$

$X=\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& 1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);$

(6)所述等效电阻计算单元根据公式：

R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，

计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻：

R₁₃＝X₁₁+X₃₃-X₁₃-X₃₁＝1＝r₁；

$R_{12}=X_{11}+X_{22}-X_{12}-X_{21}=\frac{2}{3}=\frac{r_1({2r}_1+{3r}_2)}{4(r_1+r_2)};$

$R_{14}=X_{11}+X_{44}-X_{14}-X_{41}=\frac{2}{3}.$

与现有技术相比，本发明的优点如下：

本发明利用矩阵分析理论，只需要求解一个矩阵方程，就能够求出电阻网络中任意两点间的等效电阻，能够有效简化电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程，不仅可以应用于实际电阻网络中电阻的计算，也可以应用于图像处理与分析等其它领域。

附图说明

图1是本发明实施例中含4个结点的电阻网络的结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细描述。

本发明实施例提供一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法，包括以下步骤：

S1、在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0；构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& -c_{12}& ...& -c_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& ...& -c_{2N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -c_{1N}& -c_{2N}& ...& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

S2、对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$

其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，

是L₁₂的转置矩阵；

S3、构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$\begin{array}{c}B={\left(\begin{array}{cccc}1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& ...& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ \frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}\\ ={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}\end{array};$

S4、计算(N-1)×N阶矩阵

S5、构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

S6、根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

本发明实施例还提供一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算***，包括第一矩阵构造单元、分块单元、第二矩阵构造单元、矩阵计算单元、第三矩阵构造单元和等效电阻计算单元。

在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0。

第一矩阵构造单元用于：构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L： $L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& -c_{12}& ...& -c_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& ...& -c_{2N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -c_{1N}& -c_{2N}& ...& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

分块单元用于：对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$

其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，

是L₁₂的转置矩阵；

第二矩阵构造单元用于：构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$B={\left(\begin{array}{cccc}1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& ...& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ \frac{1}{N}& ...& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}$

$={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N};$

矩阵计算单元用于：计算(N-1)×N阶矩阵

第三矩阵构造单元用于：构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

等效电阻计算单元用于：

根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

下面以N＝4为例给出一个计算示例。

参见图1所示，N＝4时，在一个含有4个结点的电阻网络中，r₁＝1,r₂＝2，该电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程如下：

(1)根据上述步骤S1及图1构造该电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2.5& -1& -0.5\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& -0.5& -1& 2.5\end{array}\right);$

(2)根据上述步骤S2对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中， $L_{11}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2.5& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right),L_{12}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\\ -1\end{array}\right),L_{22}=2.5;$

(3)根据上述步骤S3构造3×4阶矩阵B：

$B=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right);$

(4)根据上述步骤S4计算(N-1)×N阶矩阵

$\begin{array}{c}Y=L_{11}^{-1}B\\ ={\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 5/2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& -1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\end{array}\right)\end{array};$

(5)根据上述步骤S5构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right):$

$X=\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& 1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);$

(6)根据上述步骤S6中的公式：

R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，

计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻：

R₁₃＝X₁₁+X₃₃-X₁₃-X₃₁＝1＝r₁；

$R_{12}=X_{11}+X_{22}-X_{12}-X_{21}=\frac{2}{3}=\frac{r_1({2r}_1+{3r}_2)}{4(r_1+r_2)};$

(注意：在文献[2]中，是一个笔误)

$R_{14}=X_{11}+X_{44}-X_{14}-X_{41}=\frac{2}{3}.$

下面给出上述计算方法的理论证明。

假设拉普拉斯矩阵L的全部特征值和对应的的特征向量为λ_i和Ψ_i＝(ψ_1i,ψ_2i,…,ψ_Ni)^T，即

LΨ_i＝λ_iΨ_i,j＝1,2,…,N.                (1)

其中λ₁≥λ₂≥…≥λ_N-1＞λ_N＝0，文献[2]中给出了下面的定理：

定理^[2]：电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻为

$R_{\mathrm{\α\β}}=\underset{j=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_j}{|{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\αj}}-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\βj}}|}^2---\left(2\right)$

令：

L(ε)＝L+εI(ε＞0),            (3)

G(ε)＝(G_ij)＝L^-1(ε),                (4)

|L+εI|＝D(ε)＝εⁿ+d₁ε^n-1+…+d_N-1ε+d_N,          (5)

(L+εI)A(ε)＝A(ε)(L+εI)＝D(ε)I,          (6)

A(ε)＝ε^N-1I+A₁ε^N-2+…+A_N-2ε+A_N-1。            (7)

显然，d_N-1≠0，d_N＝0，D(0)＝0，D(-L)＝0，LA_N-1＝0。

为得到我们的主要定理，下面给出三个引理：

【引理1】：

$R_{\mathrm{\α\β}}=\frac{A_{\mathrm{\α\α}}^{\′}\left(0\right)+A_{\mathrm{\β\β}}^{\′}\left(0\right)-A_{\mathrm{\α\β}}^{\′}\left(0\right)-A_{\mathrm{\β\α}}^{\′}\left(0\right)}{d_{N-1}},$

其中，A′(0)是A′(ε)在ε＝0处的导数，A′_αβ(0)是矩阵A′(0)的第α行第β列元素。

证明如下：由上述公式(4)和(6)可知：

由文献[1]可知：

$R_{\mathrm{\α\β}}=\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }(G_{\mathrm{\α\α}}\left(\mathrm{\ϵ}\right)+G_{\mathrm{\β\β}}\left(\mathrm{\ϵ}\right)-G_{\mathrm{\α\β}}\left(\mathrm{\ϵ}\right)-G_{\mathrm{\β\α}}\left(\mathrm{\ϵ}\right))---\left(8\right)$

因此， $R_{\mathrm{\α\β}}=\frac{A_{\mathrm{\α\α}}^{\′}\left(0\right)+A_{\mathrm{\β\β}}^{\′}\left(0\right)-A_{\mathrm{\α\β}}^{\′}\left(0\right)-A_{\mathrm{\β\α}}^{\′}\left(0\right)}{D^{\′}\left(0\right)}---\left(9\right)$

证毕。

【引理2】：

$R_{\mathrm{\α\β}}=\frac{A_{N-2,\mathrm{\α\α}}+A_{N-2,\mathrm{\β\β}}-A_{N-2,\mathrm{\α\β}}-A_{N-2,\mathrm{\β\α}}}{d_{N-1}}---\left(10\right)$

其中，A_N-2,αβ是矩阵A_N-2的第α行第β列元素。

由【引理1】和上述公式(7)即得。

【引理3】：

设X为下面矩阵方程的解，

$\mathrm{LX}=I-\frac{1}{N}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right),---\left(11\right)$

则R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα         (12)

其中，X_αβ矩阵X的第α行第β列元素。

证明如下：

由上述公式(5)、(6)及(7)有：

$\left\{\begin{array}{c}L+A_1=d_{1}I\\ A_{1}L+A_2=d_{2}I=L{A}_1+A_2\\ .\\ .\\ .\\ A_{N-2}L+A_{N-1}=d_{N-1}I={\mathrm{LA}}_{N-2}+A_{N-1}\end{array}\right.$

于是，

A_N-2＝d_N-2I-d_N-3L+d_N-4L²+…+(-1)^N-3d₁L^N-3+(-1)^N-2L^N-2

LA_N-2＝d_N-1I-A_N-1

i＝1，2，…，N-1。

另一方面，LA_N-1＝0，R(L)＝N-1， $L\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)=0,$

因此， $A_{N-1}=a\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right),$ 其中，α为常数，并且

${\mathrm{LA}}_{N-2}=d_{N-1}I-a\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right)---\left(13\right)$

两边同乘以(1 1 … 1)得：

$\begin{array}{c}0=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ....& 1\end{array}\right){\mathrm{LA}}_{N-2}\\ =d_{N-1}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right)-a\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right]\end{array}---\left(14\right)$

即：0＝d_N-1(1 1 … 1)-Na(1 1 … 1)    (15)

d_N-1＝Na                             (16)

记I＝[e₁,e₂,…,e_N]，则下面方程组

$\mathrm{Lx}=e_i-\frac{1}{N}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)---\left(17\right)$

的解为

$x=x^{*}+k\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right),---\left(18\right)$

其中，x^*是方程组(17)的一个特解，k是任意常数。由公式(10)可知：R_αβ与k无关，因此，为了计算R_αβ，只需要求出矩阵方程(11)的任意一个解，由上述公式(10)式即得公式(12)，证毕。

由以上三个引理可以得到本发明的主要结果：

设一个含N个结点的连通电阻网络的拉普拉斯矩阵L为：

$L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$

其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，记

$Y=L_{11}^{-1}B,---\left(19\right)$

$X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right)$ 是N阶方阵，其中，

$B={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}---\left(20\right)$

则结点α和结点β之间的电阻由上述公式(12)给出。

证明如下：

只须验证 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right)$ 是矩阵方程(11)的解。记：

$B_1={\left(\begin{array}{ccc}1& ...& 1\\ ...& ...& ...\\ 1& ...& 1\end{array}\right)}_{N\×(N-1)},B_2={\left(\begin{array}{c}1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)}_{N\×1},$

则：

$\left(\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{L}_{11}\\ L_{12}^T\end{array}\right)=0$

即： $L_{12}^T{L}_{11}^{-1}=-\frac{1}{N}{B}_2^T{B}_1=-{\left(\begin{array}{ccc}1& ...& 1\end{array}\right)}_{1\×(N-1)},$

$L_{11}Y=L_{11}{L}_{11}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right),$

$L_{12}^{T}Y=L_{12}^T{L}_{11}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ ...& ...& ...& ...\\ -\frac{1}{N}& ...& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{N}& ...& -\frac{1}{N}& \frac{N-1}{N}\end{array}\right).$

因此， $\mathrm{LX}=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{L}_{11}Y\\ L_{12}^{T}Y\end{array}\right)=I-\frac{1}{N}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ .\\ .\\ .\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\end{array}\right).$

证毕。

本领域的技术人员可以对本发明实施例进行各种修改和变型，倘若这些修改和变型在本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则这些修改和变型也在本发明的保护范围之内。

说明书中未详细描述的内容为本领域技术人员公知的现有技术。

Claims (4)

1.一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0；构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& {-c}_{12}& \·\·\·& {-c}_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& \·\·\·& -c_{2N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ -c_{1N}& -c_{2N}& \·\·\·& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

S2、对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$

其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，

是L₁₂的转置矩阵；

S3、构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$\begin{array}{c}B={\left(\begin{array}{cccc}1& \·\·\·& 0& 0\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ 0& \·\·\·& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ \frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}\\ ={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& \·\·\·& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ -\frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}\end{array};$

S4、计算(N-1)×N阶矩阵

S5、构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

S6、根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

2.如权利要求1所述的电阻网络中任意两点间等效电阻的计算方法，其特征在于：N＝4时，在一个含有4个结点的电阻网络中，r₁＝1,r₂＝2，该电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程如下：

(1)根据步骤S1构造该电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2.5& -1& -0.5\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& -0.5& -1& 2.5\end{array}\right);$

(2)根据步骤S2对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中， $L_{11}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2.5& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right),L_{12}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\\ -1\end{array}\right),$ L₂₂＝2.5；

(3)根据步骤S3构造3×4阶矩阵B：

$B=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right);$

(4)根据步骤S4计算(N-1)×N阶矩阵

$\begin{array}{c}Y=L_{11}^{-1}B\\ ={\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 5/2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right)\\ =\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& -1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\end{array}\right)\end{array};$

(5)根据步骤S5构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right):$

$X=\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& 1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);$

(6)根据步骤S6中的公式：

R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，

计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻：

R₁₃＝X₁₁+X₃₃-X₁₃-X₃₁＝1＝r₁；

$R_{12}=X_{11}+X_{22}-X_{12}-X_{21}=\frac{2}{3}=\frac{r_1(2r_1+3r_2)}{4(r_1+r_2)};$

$R_{14}=X_{11}+X_{44}-X_{14}-X_{41}=\frac{2}{3}.$

3.一种电阻网络中任意两点间等效电阻的计算***，其特征在于：包括第一矩阵构造单元、分块单元、第二矩阵构造单元、矩阵计算单元、第三矩阵构造单元和等效电阻计算单元，

在含N个结点的电阻网络中，各结点的编号分别为i＝1,2,…,N，N是大于1的正整数，结点i和结点j之间的电阻为r_ij＝r_ji＞0，结点i和结点j之间的电导为当结点i和结点j之间没有电阻时，c_ij＝0；

所述第一矩阵构造单元用于：构造电阻网络的拉普拉斯矩阵L： $L=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& {-c}_{12}& \·\·\·& {-c}_{1N}\\ -c_{12}& c_{22}& \·\·\·& -c_{2N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ -c_{1N}& -c_{2N}& \·\·\·& c_{\mathrm{NN}}\end{array}\right),$ 其中， $c_{\mathrm{ii}}=-\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}},$ Σ表示求和；

所述分块单元用于：对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中，L₁₁为L的分块矩阵中的左上角的那一个N-1阶方阵，是L₁₂的转置矩阵；

所述第二矩阵构造单元用于：构造一个(N-1)×N阶矩阵B：

$\begin{array}{c}B={\left(\begin{array}{cccc}1& \·\·\·& 0& 0\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ 0& \·\·\·& 1& 0\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}-{\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ \frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{1}{N}& \frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N}\end{array}$

$\begin{array}{c}={\left(\begin{array}{cccc}\frac{N-1}{N}& \·\·\·& -\frac{1}{N}& -\frac{1}{N}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ -\frac{1}{N}& \·\·\·& \frac{N-1}{N}& -\frac{1}{N}\end{array}\right)}_{(N-1)\×N};\end{array}$

所述矩阵计算单元用于：计算(N-1)×N阶矩阵

所述第三矩阵构造单元用于：构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right);$

所述等效电阻计算单元用于：

根据公式：R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻R_αβ，其中，X_αα是N阶方阵X的第α行第α列元素，X_ββ是N阶方阵X的第β行第β列元素，X_αβ是N阶方阵X的第α行第β列元素，X_βα是N阶方阵X的第β行第α列元素。

4.如权利要求3所述的电阻网络中任意两点间等效电阻的计算***，其特征在于：N＝4时，在一个含有4个结点的电阻网络中，r₁＝1,r₂＝2，该电阻网络中任意两点间等效电阻的计算过程如下：

(1)所述第一矩阵构造单元构造该电阻网络的拉普拉斯矩阵L：

$L=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2.5& -1& -0.5\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& -0.5& -1& 2.5\end{array}\right);$

(2)所述分块单元对拉普拉斯矩阵L进行分块： $L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{12}^T& L_{22}\end{array}\right),$ 其中， $L_{11}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2.5& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right),L_{12}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -0.5\\ -1\end{array}\right),$ L₂₂＝2.5；

(3)所述第二矩阵构造单元构造3×4阶矩阵B：

$B=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right);$

(4)所述矩阵计算单元计算(N-1)×N阶矩阵

$\begin{array}{c}Y=L_{11}^{-1}B\\ ={\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 5/2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}3/4& -1/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& 3/4& -1/4& -1/4\\ -1/4& -1/4& -1/4& 3/4\end{array}\right)\\ =\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& -1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\end{array}\right)\end{array};$

(5)所述第三矩阵构造单元构造N阶方阵 $X=\left(\begin{array}{c}Y\\ 0\end{array}\right):$

$X=\left(\begin{array}{cccc}3/8& 1/24& -1/8& -7/24\\ 0& 1/3& 0& 1/3\\ -1/8& 1/24& 3/8& -7/24\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);$

(6)所述等效电阻计算单元根据公式：

R_αβ＝X_αα+X_ββ-X_αβ-X_βα，

计算电阻网络中结点α和结点β之间的等效电阻：

R₁₃＝X₁₁+X₃₃-X₁₃-X₃₁＝1＝r₁；

$R_{12}=X_{11}+X_{22}-X_{12}-X_{21}=\frac{2}{3}=\frac{r_1(2r_1+3r_2)}{4(r_1+r_2)};$

$R_{14}=X_{11}+X_{44}-X_{14}-X_{41}=\frac{2}{3}.$